九年级数学专训2利用概率揭示游戏规则的公平性
北师大版九年级上册数学第三章概率的进一步认识第一讲 用概率判断游戏规则的公平性
解：列出得到的两数字之和的所有可能的结果如下：
转盘摸球 1 3
2 6＋1＝7
2＋3＝5 4＋3＝7 6＋3＝9
5
2＋5＝7 4＋5＝9 6＋5＝11
共有 9 种等可能的结果，其中“和为 3 的倍数”的有 3 种，“和为 7 的倍数”的有 3 种， ∴P(小杰赢)＝39＝13， P(小玉赢)＝39＝13. ∴游戏是公平的．
(1)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可
能出现的结果．
解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
转盘摸球
2
4
6
1
(2，1) (4，1) (6，1)
3
(2，3) (4，3) (6，3)
5
(2，5) (4，5) (6，5)
(2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的 两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为 什么？
解：所有可能结果如下表：
红1
红2
白1
白2
红1
(红2，红1) (白1，红1) (白2，红1)
红2 (红1，红2)
(白1，红2) (白2，红2)
白1 (红1，白1) (红2，白1)
(白2，白1)
白2 (红1，白2) (红2，白2) (白1，白2)
(2)若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球的 颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请 说明理由． 解：不公平．理由如下： 由(1)知共有 12 种等可能的结果，其中摸到两个小球的颜 色相同的有 4 种，摸到两个小球的颜色不同的有 8 种， ∴甲获胜的概率为142＝13，乙获胜的概率为182＝23. ∴这个游戏对甲、乙双方不公平．
北师版 九年级上
第三章 概率的进一步认识
北师版初中数学九年级上册精品教案 第3章 概率的进一步认识 第2课时 利用概率判断游戏的公平性
第2课时 利用概率判断游戏的公平性教师备课 素材示例●情景导入 如图，小明、小亮和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则如下：由小明和小亮玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小亮中的获胜者．假设小明和小亮每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？【教学与建议】教学：通过做游戏激发了学生学习的兴趣，达到巩固知新作用．建议：学生仿照上节课所学的用树状图或表格求概率的方法尝试解决上面的问题．●复习导入 (1)小颖将一枚质地均匀的硬币掷一次，正面朝上的概率是__12__；连续掷两次，两次都是正面朝上的概率是__14__；连续掷三次，三次都是正面朝上的概率是多少呢？(2)掷一枚硬币一次，这是一步试验，可用直接计算法求概率；掷两枚硬币(或一枚硬币掷两次)，这是两步试验，可用__列表法或画树状图法__求概率；掷三枚硬币(或一枚硬币掷三次)，这是三步试验，那么如何求三步试验的概率呢？带着这个问题进入今天的学习吧！【教学与建议】教学：复习上节课所学的新方法，熟练掌握其操作，为本课时的进一步运用做好准备．建议：用树状图或表格，不容易出错．概率＝事件可能出现的结果数试验所有可能出现的结果数，用列表法或画树状图法列举所有可能的结果．【例1】今年母亲节，小南和小开为各自的母亲买一束鲜花，现有三种不同类型的鲜花可供选择：康乃馨、百合和玫瑰，两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为(A)A ．13B ．12C ．23D ．19参加游戏的双方最关心的是游戏规则是否公平、合理，而衡量游戏公平与否的标准就是游戏中胜负的概率大小．【例2】(1)小明和小亮做游戏，先各自在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏(C)A ．对小明有利B ．对小亮有利C ．公平D ．无法确定对谁有利(2)小明与小亮玩掷骰子游戏，有两个均匀的正方体骰子，六个面上分别写有1，2，3，4，5，6这六个数．若掷出的两个骰子的两个数的和为奇数，则小明胜；若掷出的两个骰子的两个数的和为偶数，则小亮胜．这个游戏对双方__公平__(选填“公平”或“不公平”)．高效课堂 教学设计1．进一步经历用树状图和列表法计算事件发生的概率．2．通过具体情境，感受一件事情公平与否在现实生活中广泛存在．▲重点用树状图和列表法计算涉及两步及以上试验的随机事件发生的概率． ▲难点树状图和列表法的运用方法．◆活动1 创设情境 导入新课(课件)“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近现代逐渐风靡世界．简单明了的法则，单次玩法比拼运气，多回合玩法比拼心理博弈，使得“石头、剪刀、布”这个古老的游戏同时拥有“意外”与“技术”两种特性，深受世界人民喜爱．那么同学们想一想“石头、剪刀、布”有没有规则漏洞可钻呢？◆活动2 实践探究 交流新知小可、子宣、欣怡三人在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序，她们约定用“石头、剪刀、布”的方式确定，那么在一个回合中，三个人都出“剪刀”的概率是多少？问题1：这个游戏是几步试验完成？问题2：每种都有几个可能性？问题3：一共有多少种可能性．解：用树状图分析所有可能的结果，如图：总共有27种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中，三个人都出“剪刀”的结果只有1种，所以其概率为127.归纳：当一次试验涉及更多的因素时，可采用树状图法把所有可能的结果都列出来．◆活动3 开放训练应用举例例1 (教材P62例1)小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？【方法指导】因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果．解：画树状图如图：总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中，两人手势相同的结果有3种：(石头，石头)，(剪刀，剪刀)，(布，布)，所以小凡获胜的概率为39＝13；小明胜小颖的结果有3种：(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，所以小明获胜的概率为39＝13；小颖胜小明的结果也有3种：(石头，布)，(剪刀，石头)，(布，剪刀)，所以小颖获胜的概率为39＝13.因此，这个游戏对三人是公平的． 例2 (教材P 62“做一做”)小明和小军两人一起做游戏．游戏规则如下：每人从1，2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次质地均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．如果你是游戏者，你会选择哪个数？【方法指导】这个问题看上去复杂，实际上等同于每人各掷一次质地均匀的骰子，将两人掷得的点数相加，看点数之和为几的概率最大．所以掷得的点数之和是哪个数的概率大，选择这个数后获胜的概率就大．理解到这一点之后学生通过列表法完成本题．和为7的结果最多，有6种，其概率为636＝16，所以如果我是游戏者，我会选择数字7.◆活动4 随堂练习1．一个不透明的布袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为(B) A ．16B ．13C ．12D ．232．一只昆虫在如图所示的树枝上爬行，假定昆虫在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它停留在A 叶面的概率是__16__. 3．某市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”“1000m 跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项从“引体向上”或“推铅球”中选一项测试．小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是__14__. 4．甲、乙、丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．(1)求甲第一个出场的概率；(2)求甲比乙先出场的概率．解：画树状图如下：总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．(1)由树状图可知，甲第一个出场的结果有2种：(甲、乙、丙)(甲、丙、乙)，所以P(甲第一个出场)＝26＝13； (2)由树状图可知，甲比乙先出场的结果有3种：(甲、乙、丙)(甲、丙、乙)(丙、甲、乙)，所以P(甲比乙先出场)＝36＝12. ◆活动5 课堂小结与作业学生活动：你这节课的主要收获是什么？教学说明：可以用树状图或表格求两步或两步以上随机试验的概率． 作业：课本P 64习题3.2中的T 1、T 2、T 3.本节课在学生初步掌握一定技能之后，将技能训练寓于问题的解决过程中．培养学生应用数学的意识，增强学习数学的兴趣和信心．有意识地引导学生进行提炼升华，目的是进一步巩固用树状图或表格求概率．。
课时2 用概率判断游戏的公平性
新课讲解
解：(1)∵在一个不透明的口袋中有6个除颜色
外其余都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，
1个白球，∴P(摸出一个白球)＝
1; 6
(2)该游戏对双方是公平的．理由如下：由题意
可知P(乐乐获胜)＝ 3 1 , 62
＝
P1(亮2亮 获1 ,胜)
62
∴他们获胜的概率相等，即游戏是公平的．
方法总结：判断游戏是否公平，关键是看双方在
当堂小练
1.袋子里有1个红球，3个白球和5个黄球，每一个球
除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则
1
P(摸到红球)= 9 ;
1
P(摸到白球)= 3 ;
5
P(摸到黄球)= 9 .
当堂小练
2.规定：在一副去掉大、小王的扑克牌中，牌面 从小到大的顺序为：2、3、4、5、6、7、8、9、 10、J、Q、K、A,且牌面的大小与花色无关.小
现小明已经摸到的牌面为A，然后小颖摸牌， 16
P(小明获胜）= 17 . P(小颖获胜）= 0 .
拓展与延伸
3.用10个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.
1
（1）使得摸到红球的概率是 ，摸到白球的概率
也是 1
；
2
2
1
（2）使得摸到红球的概率是 ，摸到白球和黄球
的概率也是 2
5
.
5
新课讲解
解：这个游戏不公平. 1 2 3 4 5
理由是：如果将每一个球都编上号码，
从盒中任
共有5种等可能的结果：1号球，
意2号摸球出，一3个号球球，，4号球，5号球.
摸出红球可能出现两种等可能的结果：摸出1号球
或2号球.P(摸到红球）= 2 . 5
九年级数学 解码专训(1)
九年级数学解码专训一：利用概率判断游戏规则的公平性名师点金：通过计算概率判断游戏是否公平是概率知识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决游戏公平性问题要先计算游戏双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平．利用概率判断摸球游戏的公平性1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，除数字不同外，球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？(2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率；(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1时甲胜，否则乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？请说明理由．利用概率判断转盘游戏的公平性2．如图，有A，B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后(当指针指在边界线上时视为无效，重转)，若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为(x，y)．记S＝x＋y.(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；(2)李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<6时甲获胜，否则乙获胜，你认为这个游戏公平吗？若不公平，对谁有利？请说明理由．(第2题)利用概率判断掷骰子游戏的公平性3．“五一”假期，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：(1)若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图；(2)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？(3)若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李．试用列表法或画树状图法分析，这个规则对双方是否公平？(第3题)解码专训二：概率应用的四种类型名师点金：概率的应用很广泛，主要体现在与其他知识的综合，如：在方程和不等式中的应用、在函数中的应用、在几何中的应用、在物理学中的应用等．概率在方程和不等式(组)中的应用1．(2015·成都)有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 有解的概率为________． 2．甲、乙两名同学投掷一枚均匀的正六面体骰子(6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，用字母p ，q 分别表示两人各投掷一次骰子所得到的点数．(1)满足关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0有实数解的概率是________． (2)(1)中方程有两个相等实数解的概率是________．概率在函数中的应用题型1：放回事件3．在四个完全相同的球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋中任取一个球记下数字后作为点P 的横坐标x ，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P 的纵坐标y ，求点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率．题型2：不放回事件4．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记数字为x ，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记数字为y.(1)计算由x ，y 确定的点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上的概率； (2)小明和小红约定做游戏，其规则为：若x ，y 满足xy>6，则小明胜；若x ，y 满足xy<6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．概率在几何中的应用5．如图为4张背面完全相同的纸牌(分别用①、②、③、④表示)，在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回)，再随机摸出一张．(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌出现的所有可能结果；(2)以两次摸出牌上的结果为条件，求能判定四边形ABCD是平行四边形的概率．(第5题)概率在物理学中的应用6．如图所示，有一条电路AB由图示的开关控制，任意闭合两个开关．(1)请你画出树状图表示所有等可能的情况；(2)请你求出使电路形成通路的概率．(第6题)解码专训三：几种常见热门考点名师点金：概率是近年来中考的必考内容，主要考点是概率的意义，用频率估计概率，用列表法或树状图法计算概率及概率的应用，其考查形式既有单一考查，又有与平面直角坐标系、几何与统计知识等综合考查．判断事件类型1．下列事件中，是必然事件的为( ) A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 B ．成都平原7月份某一天的最低气温是－2 ℃ C ．在标准大气压下，通常加热到100 ℃时，水沸腾 D ．打开电视，正在播放节目《中国好声音》 2．下列事件，是随机事件的是( ) A ．四边形的内角和为180°B ．袋中有2个黄球，3个绿球共5个球，随机摸出一个球是红球C ．2016年巴西举办奥运会D ．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限求事件的概率3．(2015·河北)将一枚质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是( )A .12B .13C .15D .164．有七张正面分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的卡片，它们除数不同外其余全部相同．现将它们背面朝上洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数为a ，则使关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a(a －3)＝0有两个不相等的实数根的概率是________．5．(2015·宜昌)901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团(每个学生必须参加且只参加一个)．为了解学生参加社团的情况，学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计，绘制成如图所示不完整的扇形统计图．已知参加“读书社”的学生有15人．请解答下列问题：(1)该班的学生共有________名；(2)若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同，请你计算“吉他社”对应扇形的圆心角的度数；(3)901班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀成员，现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率．(第5题)用频率估计概率6．一个不透明的盒子里有红色、黄色、白色小球共80个，它们除颜色不同外其余均相同．小文将这些小球摇匀后从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次试验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为30%和40%.由此可知盒中大约有白球________个．游戏的公平性问题7．四张质地相同的卡片如图①所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．(1)求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；(2)童童和乐乐想用这四张卡片做游戏，游戏规则见图②.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变公平．(第7题)答案解码专训一1．解：(1)∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，球上的数字为偶数的是2与4，∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为24＝12.(2)画树状图如图：(第1题)∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情况，∴两个球上的数字之和为偶数的概率为412＝13.(3)∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共6种情况，∴P(甲胜)＝612＝12，P(乙胜)＝612＝12，∴P(甲胜)＝P(乙胜)，∴这种游戏方案对甲、乙双方公平．2．解：(1)列表如下：(2)由表格可知，S＝x＋y的值有12种等可能的结果，其中S＜6的情形有4种，故P(甲获胜)＝412＝13，所以乙获胜的概率为23，因为13＜23，所以这个游戏不公平，对乙有利．3．解：(1)设D 地车票有x 张，则x ＝(x ＋20＋40＋30)×10%，解得x ＝10，即去D 地的车票有10张，补全统计图如图所示：(第3题(1))(2)小胡抽到去A 地的概率为2020＋40＋30＋10＝15.(3)列表如下：(第3题(3))或画树状图如图：可知共有16种等可能的结果．其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种，分别为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)；所以小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为616＝38；则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1－38＝58，因为38≠58， 所以这个规则对双方不公平．解码专训二1.49 点拨：若不等式组有解，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 的解集为3≤x ＜2a －13，且必须满足条件2a －13＞3，解得a ＞5，∴满足条件的a 的值为6，7，8，9，∴使不等式组有解的概率为49.2．(1)1936 (2)1183．解：画树状图如图所示：(第3题)∴点P 的坐标有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共有16种等可能的结果，其中在直线y ＝－x ＋5上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果．∴点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率为416＝14. 4．解：(1)方法一：列表如下：4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果，∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13. 方法二：画树状图如图所示：(第4题)∵共有12种等可能的结果，在函数y ＝－x ＋5的图象上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13；(2)不公平．理由如下：∵x ，y 满足xy ＞6的有：(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种情况，x ，y 满足xy ＜6的有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种情况，∴P(小明胜)＝412＝13，P(小红胜)＝612＝12.∵13≠12，∴游戏不公平．公平的游戏规则可改为：若x ，y 满足xy ≥6，则小明胜，若x ，y 满足xy ＜6，则小红胜．(答案不唯一)5．解：(1)画树状图如图：(第5题)(2)由(1)知共有12种等可能的结果．其中能判定四边形ABCD 是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③，共8种情况，∴能判定四边形ABCD 是平行四边形的概率为812＝23.6．解：(1)画出树状图如图：(第6题)(2)由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中使电路形成通路的有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，da ，db ，ea ，eb ，共12种情况，所以P(使电路形成通路)＝1220＝35.解码专训三1．C 2.D 3.B4.475．解：(1)60(2)参加“吉他社”的学生在全班学生中所占比例为1－25%－20%－20%－15%2＝10%， 所以“吉他社”对应扇形的圆心角的度数为360°×10%＝36°.(3)画树状图如图：(第5题)或列表如图：由树状图(况有2种，故P(恰好选中甲和乙)＝26＝13.6．247．解：(1)P(随机抽取一张卡片，恰好得到数字2)＝12.(2)画树状图如下：(第7题)从树状图中可以看出所有等可能的结果共有16种，组成的两位数不超过32的有10种，∴P(组成的两位数不超过32)＝1016＝58，∴P(童童胜)≠P(乐乐胜)，∴游戏规则不公平．将游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，则童童胜，反之乐乐胜．(答案不唯一)。
利用概率解决“游戏是否公平”类问题
是 正面，那 么你赢 ；如果 两次是一正一反 ，则我
赢．”小红 赢 的 概 率 是
，据 此 判 断 该 游
戏 （填“公平”或“不公平”）．
【解 析 】所 有可能出现 的结果如下 表所示 ：
４ ５ ６
＼＼ 和
＼
４
８ ９ １０
５
９ ｌ０ ｌｌ
６
１０ ｌｌ １２
ｏ
Ａ 图 ｌ
【解 析】根 据题 意画出树状 图．如 图 ２所 示 ， 所 有 出现 的等可 能结 果有 ２４种 ，其 中积为 偶 数 的有 １８种结 果 ，积为 奇数 的有 ６种结 果．因 此积 为偶数 的概 率为尸，＝ １８＝ ， 积为奇 数的
概 率 为 Ｐ２＝ ６ ＝ １ 因为 ３ ．
利 用概 率解决
类 问题
杨 波
判 断 游戏 公 平 与否 ，关键 是根 据 规 则 用 “树状 图 ”或 者“列 表法 ”算 出 各 自的概 率 ，概 率均 等 ，则游 戏公平 ，否 则就 不公平．设计 游戏 规 则 时 ，应 先根据 题 意 求出 随机 事件 的各 种 可 能 出现 的情 况 的概 率 ，再 根据 其 中概 率相 等时 的 情况 设计 公 平 的游戏 规 则 ，也可 根 据 概 率不相 等时 的情况 设计公平 的游戏规则．为 了帮 助 同学 们 更好 地理 解 ，本 文选 取 教材 中
由表 可知 ，共 有 ９种 等 可能结 果 ，其 中和 为偶 数 有 ５种 结 果 ，和 为奇 数有 ４种结 果 ，所 以按照 小明 的想法 参加敬 老服 务活动 的概率 为 ５ ，按 照 小亮 的 想法 参加 文 明礼 仪宣 传活
动 的概 率为 ４，［￣ｙｊ ５ ４，所 以这 个游戏不
利用概率判断游戏规则的公平性 (共14张PPT)
训练角度 2 利用概率判断转盘游戏的公平性
2.【2016· 营口】如图是一个转盘，转盘被平均分成4等
份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别标 有数字1，2，3，4，指针的位置固定，转动转盘后
任其自由停止，每次指针落在每一扇形的机会均等
(若指针恰好落在分界线上则重转)． (1)图中标有“1”的扇形至少绕圆心 90 度能与标有“4”的 旋转________ 扇形的起始位置重合；
用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字 之和为偶数的概率． 解： 画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和
为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)， 共4种情况，
4 1 = . ∴两个球上的数字之和为偶数的概率为 12 3
(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的
习题课 阶段方法技巧训练
专训2
利用概率判断游戏 规则的公平性
通过计算概率判断游戏是不是公平是概率知
识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决
游戏公平性问题要先计算游戏双方获胜的概率， 若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游
戏不公平．
训练角度 1 利用概率判断摸球游戏的公平性
1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，
对雾霾天气
了解程度的 统计表：
对雾霾天气的了解程度
A.非常了解 B.比较了解
百分比
5% 15%
C.基本了解
D.不了解
45%
n
请结合统计图表，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有________ 400 人， 35% ； n＝________ (2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角 126 度； 是________
2024九年级数学下册第4章概率集训课堂练素养1.利用概率判断游戏规则的公平性习题课件新版湘教版
4 2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船发射取 得圆满成功，北京航空航天大学桂海潮教授成为我国 首位载荷专家，从贫困县的普通学生到太空科研第一 人，他的事迹激励着每一位立志报国的中学生．我校 即将开展“桂海潮事迹宣讲活动”，实力相当的甲、乙 两位同学决定通过转盘游戏确定谁成为首位宣讲员，
规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘A，B，A转盘 中数字1所对扇形区域的圆心角为90°，B转盘被分成面积 相等的3个扇形，依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若 指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则 乙获胜．(如果落在分割线上，则需要重新转动转盘)
1 (1)转动转盘A，指向的数字为1的概率是____4____．
(2)试用列表或画树状图的方法说明游戏是否公平．若公平，
请说明理由；若不公平，谁获胜的可能性更大？
【解】将转盘A 4等分，这样才使指向每个区域的可能
性均等，用
1
2
2
Hale Waihona Puke 2列表法表示 如下：
3 1＋3＝4 2＋3＝5 2＋3＝5 2＋3＝5 4 1＋4＝5 2＋4＝6 2＋4＝6 2＋4＝6 5 1＋5＝6 2＋5＝7 2＋5＝7 2＋5＝7
0
(－2，0) (－1，0)
—
(1，0) (2，0)
1
(－2，1) (－1，1) (0，1)
—
(2，1)
2
(－2，2) (－1，2) (0，2) (1，2)
—
由表格可知一共有 20 种等可能的结果，其中数字之积为 0
的结果有 8 种，数字之积不为 0 的结果有 12 种， ∴王伟参赛的概率为280＝25， 孙莉参赛的概率为1220＝35. ∵25≠35，∴班长设计的这个游戏规则对双方不公平．
公平不公平 概率来评评(数学人教版九年级上册)
公平不公平概率来评评在解决等可能事件的概率计算问题时，常常与“游戏公平与否”不期而遇.其实，这类问题实质上就是分别求两者在等可能事件中的概率，再进行比较大小.例1 如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为；（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A 为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．解析：（1）1 4（2）这个游戏规则不公平．理由：画树状图如图所示：由树状图知，总共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果有5种，所以P（甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A）＝5 16.因为14＜516，所以这个游戏规则不公平．例2小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率；（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用表格修改游戏规则，以确保游戏的公平性．解析：（1）用表格表示所有可能出现的结果如下：由表格知，总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中“差的绝对值”为0，1，2的结果有24种，“差的绝对值”为3，4，5的结果有12种，所以，P（小伟胜）=2436=23，P（小梅胜）=1236=13.（2）因为23≠13，所以上述游戏不公平.根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，可将游戏规则修改为：两次掷的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜. （答案不唯一）。
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2020-2021学年
专训2利用概率揭示游戏规则的公平性名师点金：通过计算概率判断游戏是不是公平的是概率知识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决游戏问题要先计算游戏双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平．
利用概率判断摸球游戏的公平性
1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．
(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？
(2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．
(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1时甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？
利用概率判断转盘游戏的公平性
2．【2020·营口】如图是一个转盘，转盘被平均分成4等份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别标有数字1，2，3，4，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，每次指针落在每一
扇形的机会均等(若指针恰好落在分界线上则重转)．
(1)图中标有“1”的扇形至少绕圆心旋转________度能与标有“4”的扇形的起始位置重合；
(2)现有一本故事书，姐妹俩商定通过转盘游戏定输赢(赢的一方先看)，游戏规则是：姐妹俩各转动一次转盘，两次转动后，若指针所指扇形上的数字之积为偶数，则姐姐赢；若指针所指扇形上的数字之积为奇数，则妹妹赢．这个游戏规则对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
(第2题)
利用概率判断统计事件的公平性
3．【2020·天水】近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中作了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级；A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
对雾霾天气的了解程度百分比
A.非常了解5%
B.比较了解15%
C.基本了解45%
D.不了解n。