2022九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 方法专题2 特殊平行四边形中的最值与动点问题习题课件
第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练2022-2023学年北师大版数学九年级上册
北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形
——动点问题专题训练
1. 如图1，△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝑎，点𝑃是底边𝐵𝐶上的一个动点，𝑃𝐷//𝐴𝐶，𝑃𝐸//𝐴𝐵．
(1)用𝑎表示四边形𝐴𝐷𝑃𝐸的周长为 ．
(2)点𝑃运动到什么位置时，四边形𝐴𝐷𝑃𝐸是菱形，请说明理由．
(3)如图2，如果△𝐴𝐵𝐶不是等腰三角形，其他条件不变，点𝑃运动到什么位置时，四边形𝐴𝐷𝑃𝐸是菱形(不必说明理由)．
2. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，点𝑂是边𝐴𝐶上一个动点，过𝑂作直线𝑀𝑁//𝐵𝐶.设𝑀𝑁交∠𝐴𝐶𝐵的平分线于点𝐸，交△𝐴𝐶𝐵的外角平分线于点𝐹．
(1)求证：𝑂𝐸=𝑂𝐹；
(2)若𝐶𝐸=8，𝐶𝐹=6，求𝑂𝐶的长；
(3)若点𝑂为𝐴𝐶中点，当△𝐴𝐵𝐶满足什么条件时，四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是正方形？并说明理由．
3. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务，如图(1)，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点𝑂，点𝑀是𝐵𝐶边的中点，过点𝑀作𝑀𝐸//𝐴𝐶交𝐵𝐷于点𝐸，作𝑀𝐹//𝐴𝐶交𝐴𝐶于点𝐹，我们称四边形𝑂𝐸𝑀𝐹为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的“伴随四边形”．
(1)若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，则其“伴随四边形”是______，若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，则其“伴随四边形”是______(在横线上填特殊平行四边形的名称)；
(2)如图(2)，若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，𝑀是𝐵𝐶延长线上的一个动点，其他条件不变，点𝐹落在𝐴𝐶的延长线上，请写出线段𝑂𝐵、𝑀𝐸、𝑀𝐹之间的数量关系，并说明理由．
4. 如图1，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝐺是𝐶𝐷边上的一动点，(点𝐺不与𝐶、𝐷重合)以𝐶𝐺为一边在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷外作正方形𝐶𝐸𝐹𝐺，连接𝐵𝐺，𝐷𝐸.我们探究下列图中线段𝐵𝐺、线段𝐷𝐸的长度关系及所在直线的位置关系；
2022年九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定教案新版北师大版
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欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！ 1.2矩形的性质与判定
第2课时矩形的判定
教学目标
【知识与能力】
熟练运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形．
【过程与方法】
经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
【情感态度价值观】
通过学生独立完成证明的过程，体会数学是严谨的科学，增强学生严谨的治学态度，从而养成良好的习惯．
教学重难点
【教学重点】
能够用综合法证明矩形的判定定理并利用定义和定理进行证明.
【教学难点】
灵活运用矩形的性质和判定定理及其相关结论解决问题．
课前准备
多媒体课件、三角板.
教学过程
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课 【课堂引入】
教师：我们前几节课学习了两个比较特殊的平行四边形：菱形和矩形，同学们还记得它们有哪些特殊的性质吗？
学生：相比较平行四边形而言，菱形的四条边相等、对角线互相垂直，矩形的四个角相等、对角线相等．
教师：你怎样判定一个四边形是菱形呢？
学生：四条边相等的四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
教师：我们通过菱形的判定方法发现，在判定条件中都体现了它特殊的性质，那么我们能不能利用矩形的特殊性质对应的条件来判定一个四边形是矩形呢？这节课我们来探究一下矩形相关的判定方法．
板书课题：第2课时 矩形的判定
通过对比菱形的性质和判定，感受判定四边形是菱形的条件与其特殊性质的关系，然后通过类比的方法思考矩形的判定方法，即引入了新课，体现了类比的数学思想．
活动
二：
实践
探究 教师：首先，请大家想一想矩形的定义．
学生：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
教师：如果让大家判断一个四边形是不是矩形，你首先想到的是什么？
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2022-2023学年北师大版九年级数学上学期基础知识讲练1-13 特殊平行四边形动点问题
专题1.13 特殊平行四边形动点问题（专项练习）
一、单选题
类型一、菱形动点问题
1．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( )
A．4 B．245
C．6 D．485
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
3．如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，⊥A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（ ）
A．四边形DEBF为平行四边形 B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形
C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形 D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形
4．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，动点P从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长PO交CD于点Q，则四边形APCQ形状的变化依次为（ ） A．平行四边形—矩形—平行四边形—矩形B．平行四边形—菱形—平行四边形—矩形
C．平行四边形—矩形—菱形—矩形 D．平行四边形—菱形—平行四边形
类型二、矩形动点问题
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为CB上一动点（不与点C重合），将⊥CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C'恰好落在AE上，则CE的长是（ ）
A．2
B．1 C．2 D．3
6．如图，矩形ABCD中，P为AB边上一动点（含端点），E为CD中点，F为CP中点，当点P由B向A运动时，下面对EF变化情况描述正确的是（ ）
2022-2023学年北师大版九年级数学上册第1章《特殊的平行四边形》单元测试卷含答案
第1章特殊的平行四边形
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
2．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
3．如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB．若∠BCF＝35°，则∠ACD的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
6．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的条件是（ ）
A．AO＝CD B．AO＝CO＝BO＝DO
C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
7．顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边中点得到的图形是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
8．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D． +1
二．填空题（共10小题，满分30分）
9．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为 ；所作的第n个四边形的周长为 ．
第一章特殊平行四边性1.1.2菱形的判定 2021——2022学年北师大版九年级数学上册
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1.1.2菱形的判定
一．选择题（共8小题）
1．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是菱形 B．四条边相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
2．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（ ）
A．∠AOB＝60° B．AC⊥BD C．AC＝BD D．AB⊥BC
3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝OD
C．AC＝BD D．AB∥CD，AD＝BC
4．如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（ ）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
5．如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC
第3题 第4题 第5题
6．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A．BE平分∠ABC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．AB＝AC 2 / 27
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形．（ ）
第一章 特殊的平行四边形 单元检测 2022-2023学年北师大版数学 九年级上册(含答案)
2022-2023北师大版数学 九年级上册第一章 特殊的平行四边形 单元检测
一．选择题（共12小题）
1．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC的垂直平分线EF分别交BC，AC于点E、F，连接DF，若∠BCD＝70°，则∠ADF的度数是（ ）
A．60° B．75° C．80° D．110°
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD．从中选择两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选③④
3．下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．四条边都相等的四边形是菱形
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．菱形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．四条边都相等 C．对角相等 D．对边平行
6．如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，F是AB上的任意一点，过点F分别作FE∥BD、FG∥AC，FE交AD于E点，FG交BC于G点．则下列结论错误的是（ ）
A．BD垂直平分FFG∥ACG B．EF+FG＝AC
C．△AFE是等腰直角三角形 D．GC+FG＝AC
7．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点O为正方形的中心，点G为AB边上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作DE⊥GO，垂足为点E，连接CE，则CE的最小值为（ ）
A．2 B．4﹣ C． D．﹣1
8．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝6，则菱形ABCD的周长为（ ）
专题05解题技巧专题：特殊平行四边形中定值、最值、中点四边形问题原卷版重点突围
专题05 解题技巧专题：特殊平行四边形中定值、最值、中点四边形问
题
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 定值问题】........................................................................................................................................1
【考点二 最小值问题】....................................................................................................................................3
【考点三 最大值问题】....................................................................................................................................5
【考点四 中点四边形问题】............................................................................................................................6
【典型例题】
【考点一 定值问题】
例题：（2022秋·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD
《第1章特殊平行四边形》专题培优提升训练2021-2022学年北师大版九年级数学上册
2021年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》专题培优提升训练（附答案）
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
2．如图，O是正方形ABCD对角线AC，BD的交点，AF平分∠BAC，交BD于点M，DE⊥AF于点H，分别交AB，AC于点E，G．
（1）证明△AED≌△BFA；
（2）△ADM是等腰三角形吗？请说明理由；
（3）若OG的长为1，求BE的长度．
3．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：CE＝FE；
（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．
4．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．
（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；
（2）求△BMN面积的最小值．
5．如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．
6．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，H是AF的中点．
（1）求证：CH＝AF；
（2）若BC＝1，CE＝3，求CH的长．
7．四边形ABCD是正方形，点M在边BC上（不与端点B、C重合），点N在对角线AC上，且MN⊥AC，连接AM，点G是AM的中点，连接DN、NG．
（1）若AB＝10，BM＝2，求NG的长；
（2）求证：DN＝NG．
8．如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，
四边形中的最值问题
四边形中的最值问题
1. 引言 四边形是平面几何中的一个基本概念，它具有四个边和四个角的特征。在四边形的研究中，我们常常遇到一些最值问题，即求解四边形中某个特征的最大值或最小值。本文将探讨四边形中的最值问题，介绍不同类型的四边形及其特点，并通过具体例子进行分析和求解，帮助读者更好理解和应用相关知识。
2. 四边形的分类 四边形可以根据边的性质和角的性质进行分类，常见的四边形包括矩形、正方形、平行四边形、菱形、梯形等。接下来我们将分别介绍这些四边形的特点和性质。
2.1 矩形 矩形是一种特殊的平行四边形，其特点是拥有四个直角，对边相等且平行。在矩形中，我们常常需要求解最大或最小的周长、面积或对角线长度。
2.2 正方形 正方形是一种特殊的矩形，其特点是拥有四个相等的边和四个直角。在正方形中，周长、面积和对角线长度都是最值问题的重点。
2.3 平行四边形 平行四边形是指具有两组相等且平行的对边的四边形。在平行四边形中，我们需要考虑最值问题时，常常涉及到边长、角度、面积等的求解。
2.4 菱形 菱形是一种特殊的平行四边形，其特点是拥有四个相等的边和两组相互垂直的对角线。在菱形中，最值问题常常涉及到边长、角度和面积等的求解。
2.5 梯形 梯形是一种至少有一对平行边的四边形。在梯形中，需要考虑最值问题时，我们常常需要求解最大或最小的面积、周长或某个角度的大小。
3. 求解最值问题的方法 在四边形中求解最值问题，我们可以采用不同的方法和技巧。下面将介绍一些常用的方法，以帮助读者更好地解决类似问题。
3.1 几何方法 在几何方法中，我们通过观察四边形的形状和特征，利用几何定理进行推导和证明，从而得出最值问题的结果。例如，在矩形中求解最大面积，我们可以利用矩形的对称性和面积公式进行推导。
3.2 代数方法 在代数方法中，我们通过引入代数变量，建立方程或不等式，利用数学运算和求解技巧，求解最值问题。例如，在平行四边形中求解最大周长，我们可以表示边长为变量，建立周长的表达式，通过求导等方法求解最值。
北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形回顾与思考》听评课记录
北师大版九年级数学上册《第一章 特殊平行四边形回顾与思考》听评课记录
一.基本信息
听课日期：2022年10月10日
听课时间：上午第二节课
授课教师姓名：张伟
学科/课程名称：北师大版九年级数学上册
班级/年级：九年级一班
教学主题或章节：《第一章 特殊平行四边形回顾与思考》
听课人员信息
听课人姓名：李明
听课人职务：数学教研组长
听课目的：教学研究、教师培训
二.课堂观察记录
1.教学准备
教师的教学计划清晰，对教学内容、教学目标、教学方法等方面都有明确的规划和设计。教学资源准备充分，使用了教材、教具和多媒体等教学工具。
2.教学过程
开始阶段，张教师通过复习上节课的知识点，自然引入本节课的主题，让学生能够快速进入学习状态。展开阶段，张教师运用了讲授、讨论等教学方法，引导学生主动参与课堂，通过讲解特殊平行四边形的性质和判定方法，让学生理解和掌握相关知识。结束阶段，张教师对本节课的内容进行了总结归纳，并布置了适量的作业，帮助学生巩固所学知识。
3.师生互动
师生交流频率较高，张教师注重与学生的互动，鼓励学生提问和发表自己的观点。学生参与度较高，反应积极，能够主动参与到课堂讨论中。
4.学生学习状态
学生们的学习积极性和专注度较高，表现出对特殊平行四边形的兴趣。学生之间的合作学习情况良好，能够互相帮助和讨论，共同解决问题。
5.课堂管理
课堂纪律状况良好，学生们能够遵守课堂纪律，保持安静的学习环境。时间分配合理，课堂节奏控制得当，张教师能够合理安排每个环节的时间，确保课堂内容的完整性。
6.教学技术使用
张教师有效利用了现代教育技术和工具，通过多媒体演示和教学软件的使用，使得教学内容更加生动直观，增强了学生的学习兴趣和理解能力，对教学效果起到了良好的支持作用。
三.教学效果评价
1. 目标达成
本节课的教学目标明确且适切，张教师在课前已经制定了明确的学习目标，并通过教学过程引导学生去达成这些目标。从学生的表现来看，大部分学生能够达到预期的学习目标，对特殊平行四边形的性质和判定方法有了较好的理解和掌握。