8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积

(2)半径为R的球的表面积为S=4πR2. 【知识拓展】 1.特殊的棱柱和棱锥 (1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫做 正棱柱. (2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥 叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体. (3)特殊的四棱柱:
(4)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的部分是棱 台. 2.若长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则它的体对角线长l=
(1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体,则可直 接利用公式求解. (2)求组合体的体积.若所给的几何体是组合体,不能直接利用公式求解, 则常用转换法、分割法、补形法等进行求解,特别地,三棱锥的体积常 用等体积法求解. (3)求以三视图为背景的几何体的表面积或体积,应先根据三视图得到 几何体的直观图,然后根据条件求解. (4)利用“等体积法”可求点到平面的距离.
考向基础
考点三 简单几何体的三视图
1.几何体的三视图指正视图、侧视图、俯视图.又称为主视图、左
视图、俯视图.
“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自
物体的前面向后正投影,所得的投影图称为“正视图”;自左向右正投
影,所得的投影图称为“侧视图”;自上向下正投影,所得的投影图称为
“俯视图”.
4.长方体的体积公式为V=abc,正方体的体积公式为V=a3,圆柱的体积公
式为V=πr2h.棱柱和圆柱的体积公式可以统一为V柱=Sh,其中S为底面面
积,h为高.
5.圆锥的体积公式为V=⑧
1
3 πr2h
,棱锥的体积公式为V= 1Sh.圆锥和
3
1
棱锥的体积公式可以统一为V锥=⑨ 3Sh ,其中S为底面面积,h为高.
a2 b2 c2 .
方法技能
方法1 根据三视图确定直观图的方法
(1)三视图为三个三角形,对应三棱锥; (2)三视图为两个三角形,一个四边形,对应四棱锥; (3)三视图为两个三角形,一个带圆心的圆,对应圆锥; (4)三视图为一个三角形,两个四边形,对应三棱柱; (5)三视图为两个四边形,一个圆,对应圆柱.
考向基础
考点四 空间几何体的表面积和体积
1.柱体、锥体、台体的侧面积就是各侧面面积之和,表面积是各个
面的面积之和,即① 侧面积 与② 底面面积 之和.
2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的
表面积就是展开图的面积.
3.圆柱的侧面积公式是S柱侧=③ 2πrl ,表面积公式是S柱=④2πr(r+l) ; 圆锥的侧面积公式是S锥侧=⑤ πrl ,表面积公式是S锥=⑥ πr(r+l) ; 圆台的侧面积公式是S台侧=⑦ π(r+r')l ,表面积公式是S台=π(r'2+r2+r' l+rl),其中r',r分别为上、下底面的半径,l为母线长.
2
2
答案 96+4 13 ;80
5.球 (1)一个半圆环绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球 面,球面所围成的几何体叫做球. 形成球的半圆的圆心叫做球心;连接球面上一点和球心的线段叫做球的 半径;连接球面上两点且通过球心的线段叫做球的直径. (2)球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆,被经过球心的平 面截得的圆叫做球的大圆. 球的截面性质:r=⑩ R2 d 2 ,其中r为截面圆的半径,R为球的半径,d 为球心到截面圆圆心的距离.
例1 如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分 别为直角三角形、直角梯形和直角三角形,则该多面体的各条棱中,最 长的棱的长度为( )
A.2 2 B. 10 C.2 3 D. 13
解题导引
解析 由题意得,该多面体的直观图如图所示,最长的棱为AC= BC2 AB2 = 8 4 =2 3 ,故选C.
答案 C
方法2 空间几何体的表面积和体积的求解方法
1.空间几何体表面积的求法 (1)表面积是各个面的面积之和.求多面体的表面积时,只需将它们沿着 棱剪开后展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面 积.求旋转体的表面积时,可从旋转体的生成过程及其几何特征入手,将 其展开求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图 中的边长关系. (2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、 锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作 差,求出几何体的表面积. 2.空间几何体体积的求法
3.圆柱、圆锥、圆台的特征 分别以⑤ 矩形一边 、⑥ 直角三角形一直角边 、⑦ 直角梯形 中垂直于底边的腰 所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的 面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.其中,旋转轴叫做所围 成的几何体的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底 面;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面,无论旋转 到什么位置,这条边都叫做侧面的⑧ 母线 . 4.棱台、圆台的定义 用平行于底面的平面分别去截棱锥、圆锥,⑨ 截面与底面间 的部分 分别叫做棱台、圆台.
6.圆台的体积公式为V= 1 π(r'2+r'r+r2)h,棱台的体积公式为V=1 (S'+ SS ' +
3
3
S)h.圆台和棱台的体积公式可以统一为V台= 1 (S'+ S 'S +S)h,其中S'、S分
3
别为上、下底面的面积,h为高.
7.球的体积及球的表面积公式
4
(1)半径为R的球的体积为V= 3 πR3;
考点二 斜二测画法
考向基础 水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的步骤:
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于O点.画直观图时, 把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于O'点,且使∠x'O'y'=45°(或135 °),它们确定的平面表示水平面; (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴 或y'轴的线段; (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y 轴的线段,长度变为本来的一半.
高考数学（浙江专用）
专题八 立体几何
8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
考点清单
考向基础
考点一 简单几何体的结构特征
1.棱柱的结构特征
(1)棱柱的主要结构特征:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行.棱柱的两个互相平行的面叫做
棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两侧面的公共边叫做棱柱的侧
棱.棱柱的两底面之间的距离,叫做棱柱的高.
(2)棱柱的分类:按侧棱与底面的位置关系可分为斜棱柱、直棱柱;按底
面多边形边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等;底面是正多边形的直
棱柱又称为① 正棱柱 .
2.棱锥的结构特征 (1)棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角 形,这些面围成的几何体叫做棱锥. (2)正棱锥的定义:如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面内 的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥. (3)正棱锥的性质: (i)各侧棱② 相等 ,各侧面都是③ 全等的等腰三角形 ,各等腰三 角形底边上的高相等.侧面等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的④斜高 . (ii)棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形;棱锥 的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
例2 (202X浙江名校协作联考,11)一个空间几何体的三视图如图所
示,则该几何体的表面积为
,体积为
.
解析 由三视图分析可知,该几何体为组合体,上部是有一个侧面垂直
底面的四棱锥,下部是正方体.体积V=43+ 1 ×42×3=80,表面积S=5×42+ 1 ×4
3
2
×3+ 1 ×4×5+2×1 ×4× 13 =96+4 13 .
2.三视图的画法要求
(1)在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线.
(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左
方、正上方视察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样
长,俯侧一样宽,正侧一样高. (3)由三视图想象几何体特征时要根据“① 长对正 、②宽相等 、 ③ 高平齐 ”的基本原则. 3.平行投影的投影线④ 互相平行 ;中心投影的投影线交于一点.