8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
空间几何体与三视图、体积和表面积
中小学1对1课外辅导专家
1
龙文教育学科老师个性化教案
教师 黄刚 学生姓名 王嘉玮 上课日期 2014年8月23日
学科 数学 年级 高一 教材版本 人教A版
学案主题 复习巩固课 课时数量
（全程或具体时间） 第（ 6 )课时 授课时段 15:00--17:00
教学目标 教学内容 空间几何体与三视图、体积和表面积
个性化学习问题解决 认识空间几何体的基本特征
三视图、体积和表面积
教学重点、难点 认识空间几何体的基本特征，培养空间想象能力、体积和表面积
三视图与几何体还原
1．多面体的结构特征
(1)棱柱 底面：互相平行侧面：都是四边形，且每相邻两个面的交线都 平行且相等
(2)棱锥 底面：是多边形侧面：都是有一个公共顶点的三角形
(3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分．
2．旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 任一边所在的直线
圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线
圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线
球 半圆 直径所在的直线
3．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
4．三视图
中小学1对1课外辅导专家
2
(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
第3课时 由三视图确定几何体的表面积或体积(教案)
九年级数学下册
第3课时 由三视图确定几何体的表面积或体积
【知识与技能】
熟练掌握已知空间几何体的三视图求其表面 积和体积的方法.
【过程与方法】
1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力.
2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维.
【情感态度】
通过研究三视图，研究我国著名建筑物的三视图研究，培养学生的爱国情结.
【教学重点】
观察，实践，猜想和归纳的探究过程.
【教学难点】
如何引导学生进行合理的探究.
一、复习提问
1.如何求空间几何体的表面积和体积（例如：球，棱柱，棱台等）；
2.三视图与其几何体如何转化.
二、思考探究，获取新知
如图是一个几何体的三视图，已知左视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：m)，求该几何体的面积和体积. 九年级数学下册
解 该几何体是正三棱柱，由正视图知正三棱柱的高为3cm，底面三角形的高为3cm.则底面边长为2cm，故S底面面积=）（2cm3232
S侧面面积=2×3×3=18 (cm2)
故这个几何体的表面积S = 2S底面面积十S侧面面积 =）（2cm1832
三棱柱的体积是V=）（3cm3333
【教学说明】空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小；先将直观图的各个要素弄清 楚，然后再代公式进行计算.
求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得；求体积是将几何体各个部分的体积相加求得，那么请同学们动脑筋想一想，假设没 有给出几何体的直观图，只是给出一个几何体的三视图，我们怎样解决求该几何体的表面积和体积呢？此时应首先将该三视图转化为几何体的直观图，然后弄清给出直观图的各个要素，再代公式进行计算
思考
如何求出四棱台的表面积和体积？
请大家回想一下，在解答的过程中，容易出错的地方是什么（让学生思考）.
【总结归纳】求组合几何体的表面积的时候容易出错.
三、典例精析、掌握新知
8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积(试题部分)
北京曲一线图书策划有限公司 2021版《5年高考3年模拟》A版
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专题八 立体几何
【真题探秘】
8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
探考情 悟真题
【考情探究】
考点 内容解读 5年考情 预测
热度 考题示例 考向 关联考点
1.三视图
与直观图 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型;会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.
(3)会用平行投影与中心投影2019课标Ⅱ,16,5分 直观图、几何体
的结构特征
★★★ 2018课标Ⅰ,7,5分 三视图、直观图 最短路径
2018课标Ⅲ,3,5分 三视图、直观图、
几何体的结构特征
2017课标Ⅰ,7,5分 三视图、直观图 梯形的面积
2.空间几
何体的
表面积
和体积 2019课标Ⅰ,12,5分 球的体积 线面垂直
★★★ 2018课标Ⅱ,16,5分 圆锥的性质和侧面积 线面角
2016课标Ⅰ,6,5分 三视图、球的
体积与表面积
2015课标Ⅰ,11,5分 三视图、组合体(柱 北京曲一线图书策划有限公司 2021版《5年高考3年模拟》A版
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两种方法画出简单空间图形的三视图和直观图,了解空间图形的不同表示形式.
(4)会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).
(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 体、
《空间几何体》基础的知识点
《空间几何体》知识点总结
一、 空间几何体的结构特征
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体
旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2 ）柱，锥，台，球的结构特征
1.1棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱.
2.1棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。
2.2圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台 3.2圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
4.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
二、 空间几何体的三视图与直观图
1. 投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。
2. 三视图一一正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而
画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等
3. 直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4. 斜二测法：在坐标系 x'o'y'中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性
不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于 y轴（或在y轴上）的线
段长度减半。
三、空间几何体的表面积与体积
1、空间几何体的表面积
① 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
2
② 圆柱的表面积 S = 2二「I • 2二r 2 ③圆锥的表面积 S =理「I •二r
2、空间几何体的体积
④圆台的表面积S二 rl + Tt r2 2 2
1第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积
专题四立体几何与空间向量第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018 卷Ⅰ空间几何体的三视图及侧面展开问题·Ｔ71.“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面的位置关系(特别是平行与垂直)．2．考查一个小题时，此小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一个小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，此小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查. 空间几何体的截面问题·T12卷Ⅱ圆锥的侧面积·T16卷Ⅲ三视图的识别·T3三棱锥的体积及外接球问题·T102017 卷Ⅰ空间几何体的三视图与直观图、面积的计算·T7卷Ⅱ空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4卷Ⅲ球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T82016卷Ⅰ有关球的三视图及表面积的计算·T6卷Ⅱ空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T6卷Ⅲ空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T9直三棱柱的体积最值问题·T10
空间几何体和三视图,表面积及体积
1 空间几何体与三视图
空间几何体 三视图 正视图 光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图。 正视图与侧视图高平齐；
侧视图与俯视图宽相等；
俯视图与正视图长对正。 侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图。
俯视图 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
直观图 画法 使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其它部分。
面积
关系 水平放置的平面图形的面积为S，使用斜二测画法画出的直观图的面积为'S，则22'SS。
表面积和体积 表面积 体积
棱柱 2SSS侧全底
表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和。 VSh底高
13VSh锥
'SS
1('')3VSSSSh台
'0S
VSh柱 棱锥 SSS侧全底 13VSh底高
棱台 SSSS侧全上底下底 1('')3VSSSSh
圆柱 222Srrh全 2Vrh
圆锥 2Srrl全 213Vrh
圆台 22('')Srrrlrl全 221('')3Vrrrrh
球 24SR球 343VR球
1.3空间几何体的表面积与体积
1.3表面积与体积
一、知识点
1、表面积
2、体积
二、练习、
练习1、 已知直三棱柱的边长都为4，求它的表面积
练习2、 已知底面为梯形的直四棱柱，梯形的上下底边长分别为2，4，高为10，侧棱长10，求其表面积
练习3、 已知三棱锥的边长都为4，求它的表面积
练习4、 已知圆柱高为4，底边半径为4，求其表面积
练习5、 已知扇形的半径为2，弧长为，求扇形的面积
练习6、 已知圆锥底面半径为2，母线长为10，求其表面积
练习7、 已知圆台上下底面半径分别为2，4，母线长为10，求其表面积
练习8 、已知直四棱柱的上底面的面积为10，侧棱长为20，求其体积
练习9、 已知五棱柱的下底面的面积为10，上下底面之间的距离为20，侧棱长为30，求其体积
练习10、已知圆柱的下底面的半径为10，母线长为30，求其体积
练习11、已知三棱锥的顶点到底面距离为20，底面边长都是2的正三角形，求其体积
练习12、已知底面半径为2的圆锥，轴截面为正三角形，求其体积
练习13、已知棱台上下底面分别是边长为4，10的正方形，两面之间距离为20，求其体积
练习14、已知圆台上下底面半径分别为4，10，两面之间距离为20，求其体积
练习15、已知球的半径为4，求其表面积与体积
练习16、已知一个球的半径扩大1倍，它的体积圹大到原来的____倍
练习17、已知一个正方体的项点都在球面上，它的棱长为4cm，求球的表面积与体积
练习18、如图，一个三棱柱容器盛有水，且侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，液面的恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？
第二节 空间几何体的表面积与体积
第二节 空间几何体的表面积与体积 考试要求
了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式．
[知识排查·微点淘金]
知识点1 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥 圆台
侧面展
开图
侧面积
公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
[微拓展] 圆台、圆柱、圆锥之间的转化
当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：
S圆柱侧＝2πrl――→r′＝rS圆台侧＝π(r＋r′)l――→r′＝0 S圆锥侧＝πrl.
知识点2 空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝13S底h
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋
S上＋S下 V＝13(S上＋S下＋
S上S下)h
球 S＝4πR2 V＝43πR3
[微拓展]
柱体、锥体、台体的体积公式间的联系：V柱体＝Sh――→S′＝SV台体＝13(S′＋S′S＋S)h――→S′＝0 V锥体＝13Sh.
常用结论 几个与球有关的切、接问题的常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.
[小试牛刀·自我诊断]
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高的乘积．(×)
(2)球的体积之比等于半径比的平方．(×)
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝32a.(√)
2．(链接教材必修2 P27T1)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
10 空间几何体直视图、三视图
1
教导处签字：
日期： 年 月 日 学生 学 校 年 级 高一
教师 授课日期 授课时段
课题 空间几何体的三视图与直观图、体积与表面积计算
重点
难点 1. 空间几何体的三视图、直观图（重点）
2. 直观图的计算问题、表面积与体积计算问题（难点）
教
学
步
骤
及
教
学
内
容 一、课前导入
1、交流学习情况
2、作业检查与上堂课知识回顾
二、查漏补缺
中心投影与平行投影
（1）投影可以分为中心投影和平行投影．
（2）在平行投影中，如果投影线正对着投影面（即投影线与投影面垂直），那么这种投影称为正投影,否则,称为斜投影.
空间几何体的三视图、直观图
空间几何体的表面积和体积
（1）柱体、锥体、台体的表面积
表面积相关公式 表面积相关公式
棱柱 2SSSSlc侧全底侧侧棱长直截面周长，其中 圆柱 222Srrh全 （r：底面半径，h：高棱锥 SSS侧全底 圆锥 2Srrl全 （r：底面半径，l：母线长棱台 SSSS侧全上底下底 圆台 22('')Srrrlrl全
（r：下底半径，r’：上底半径，l：母线长）
（2）柱体、锥体、台体的体积：
体积公式 体积公式
棱柱 VSh底高 圆柱 2Vrh
棱锥 13VSh底高 圆锥 213Vrh
棱台 1('')3VSSSSh 圆台 221('')3Vrrrrh
三、学习总结
四、作业布置 课后
评价 一、 学生对于本次课的评价
O 特别满意 O 满意 O 一般 O 差
2
一、课前导入
1、交流学习情况 二、 教师评定
1、 学生上次作业评价
O好 O较好 O 一般 O差
几何体的表面积和体积求法
1 几何体的表面积与体积问题
之前已经学过空间几何体的相关概念，知道什么是多面体什么是旋转体。然后它们之间的一系列转化也已经了解，那么我们知不知道这些几何体的表面积或者是体积怎么求，本节课主要就是学习这块的内容。
在初中我们已经知道圆柱的体积是底面积乘以高，然后圆锥的体积需要乘以31。所以这边我们先要了解一些其它的几何体的表面积和体积。
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面
展开图
侧面
积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧
＝π(r＋r′)l
2.空间几何体的表面积与体积公式
名 称
几何体 表面积 体 积
柱体
(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h
锥体
(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝13S底h
2 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧
＋S上＋S下 V＝13(S上＋S下
＋S上S下)h
球 S＝4πR2 V＝43πR3
一些总结
1．辨明两个易误点
(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．
(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．
2.求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．
(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．
(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体
1．如图，一个空间几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )
A．1 B．12
C.13 D．16
D [解析] 由三视图可知，该几何体为三棱锥，V＝13Sh＝13×12×1×1×1＝16，故选D．
3 2.(2015·高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )