对一道课本试题的变式

对一道课本习题的变式、推广与思考波利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这个题目就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域。

”题目：已知ABC ∆两个顶点()()0,6,0,6B A -，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于94-，求顶点C 的轨迹方程。

（北师大版数学选修2-1第三章§1椭圆习题3-1A 组第8题） 一、动手实践，掌握方法解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()6,66,621-≠≠-=+=x x x yk x y k ， 根据题意，9421-=⋅k k ，所以 943622-=-x y ，化简，得()6,61163622-≠≠=+x x y x 所以顶点C 的轨迹是椭圆，去掉左右顶点。

评析：（1）典型的用直接法求动点的轨迹方程，注意6,6-≠≠x x ，一方面它保证了直线BC AC ,的斜率的存在性，另一方面符合C 为ABC ∆的一个顶点，C B A ,,不能共线。

（2）题目的几何条件包括“两个定点、一个动点、一个定值，两条直线的斜率，一个等量关系”。

（3）轨迹是椭圆，去掉左右顶点。

二、引进参数，化静为动变式1、已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之积等于()0≠m m ，试讨论动点C 的轨迹。

分析：首先确定动点C 的轨迹方程，然后依据方程判定它的轨迹。

解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是ax yk a x y k -=+=21,，()a x +-≠，根据题意，m kk =⋅21，所以m a x y =-222，化简，得动点C 的轨迹方程12222=-may a x ，所以 1、当0 m 时，动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线，去掉它的两个顶点； 2、当0 m 时（1）若1-=m ，则动点C 的轨迹方程为222a y x =+，所以它的轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆，去掉与x 轴的两个交点；（2）当01 m -时，22ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，去掉左右顶点；（3）当1- m 时，22ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆去掉左右顶点。

评析：引进参数，化静为动，培养学生分类讨论的数学思想，发展学生的数学思维能力。

注意到变式1并没有改变题目中的几何关系，但是参数值及它的的符号决定了轨迹的不同形式——圆、椭圆、双曲线，这也从一个侧面说明三种曲线之间有着内在的联系，可以想象当参数m 由()+∞→≠→-→∞-001变化时，动点c 的轨迹由焦点在y 轴上的椭圆，变为圆，再变为焦点在x 轴上椭圆，然后蜕变为焦点在x 轴上的双曲线，这确实是一个神奇的过程。

三、变换条件，探究结果波利亚曾指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。

”在解题教学活动过程中要学会采“蘑菇”，善于引导学生对一个好问题进行变式改造，如改变题目的条件、结论、图形、叙述方式等，进而对问题进行更深层次的探索，这样灵活的运用变式教学，既可以免于搞题海战术，减轻学生负担，做到深入浅出，以点带面，以少胜多，又能较好的培养学生的思维能力，克服思维定势，提高学生的解题能力及应变能力，而且能激发学生学习数学的兴趣，提高学习积极性。

[]1变式2、已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之商等于常数()0≠m m ，试探求动点C 的轨迹。

解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是ax y k a x y k -=+=21,，()a x +-≠，根据题意,m kk=21所以m a x a x =+-，整理，得a mm x -+=11因为,0≠m 所以a x ≠，又111-=-+mm 无实数解，所以a x -≠，故动点C 的轨迹方程是a mm x -+=11()0≠m 。

1、当1=m 时，a mm -+11无意义，动点C 的轨迹不存在，即21k k =不可能成立；2、当0≠m 且1≠m 时，动点C 的轨迹是一条平行于y 轴的直线。

变式3已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之差等于常数m ，试探求动点C 的轨迹。

解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()a x a x ax yk a x y k -≠≠-=+=,,21 不妨假设m k k =-21，所以m ax ay=--222 1、若,0=m 则0=y ，所以动点C 的轨迹方程是x 轴上去掉两个点B A ,; 2、当0≠m 时，整理，得⎪⎭⎫⎝⎛--=222ma y m a x ，所以动点C 的轨迹是焦点在y 轴上的抛物线，去掉B A ,两个点。

评析：将原来题目中的斜率之积为常数，变换为斜率之商、斜率之差等于常数，引导学生思考交流、合作探究，学会运用运动变化的观点，辩证的思维方式认识问题、分析问题，能够深入问题的内部，抓住问题的本质，从而有效提升学生的数学素养。

四、前后互易，探究必要性变式4、已知ABC ∆两个顶点()()0,6,0,6B A -，顶点C 的轨迹方程是()6,61163622-≠≠=+x x y x ，探究：边BC AC ,所在直线的斜率之积是否为定值？解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()6,66,621-≠≠-=+=x x x y k x y k ，那么()9436369436222221-=--=-=⋅x x x y k k ，所以边BC AC ,所在直线的斜率之积为定值，等于94-。

评析：1、结合变式4可知，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于94-是顶点C 的轨迹是椭圆()6,61163622-≠≠=+x x y x 的充要条件。

2、联想：已知B A ,分别是椭圆()012222 b a by a x =+的左右顶点，点C 是椭圆上异于B A ,两点的任意一个点，直线BC AC ,的斜率分别是21,k k ，则2221ab k k -=⋅。

变式5、已知ABC ∆的顶点()0,6-A ,顶点C 的轨迹方程是()6,61163622-≠≠=+x x y x ,且边BC AC ,所在直线的斜率之积等于94-，探究：顶点B 是定点吗？解析：设()n m B ,，()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率()m x x mx ny k x y k ≠-≠--=+=,6,621， 根据题意946-=--⋅+m x n y x y ，整理，可得()m ny x m y x 249649422=--++又顶点C 的轨迹方程是1449422=+y x ，所以方程()14424964-=--m ny x m 对()[]4,4,6,6-∈-∈y x 恒成立，所以0,6==n m ，即顶点B 是定点()0,6。

评析：在解题教学活动中进行探究式教学有助于培养学生思维的深刻性，引导学生透过现象看本质，洞察数学对象的本质及联系。

很多数学问题，条件关系比较隐蔽，如果只看问题的表面，是无从下手的。

因此在解题教学活动中，要进行由表及里探索，抓住问题的本质和规律。

[]1 五、引入直线，追踪高考变式6、已知ABC ∆两个顶点()()0,6,0,6B A -，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于94-， （1）求顶点C 的轨迹E 的方程；（2）设直线l 与曲线E 仅有一个公共点D ，求原点()0,0与直线l 的距离的取值范围。

解析：（2）()I 若直线l 与曲线E 相切于点D ，设直线l 的方程为：m kx y +=，代入E 的方程：1449422=+y x ，消去y ，得()014491894222=-+++m mkx x k ，由0=∆，得163622+=k m ①又原点()0,0与直线l 的距离12036112222+-=+=+=k k m k m d 根据题意，,02≥k 所以36120162+≤k ，所以64 d ≤，即点()0,0与直线l 的距离的取值范围是[)6,4 ()II 若直线l 过点A 或点B ,根据对称性，仅考虑直线l 过点A ，设其方程为()6+=x k y ，根据题意0≠k且原点()0,0到直线l 的距离13636136162222+-=+=+=k k k k k d ，因为0≠k ，所以3613602 +k ，60 d ， 即原点()0,0与直线l 的距离的取值范围是()6,0。

综上所述，点()0,0与直线l 的距离的取值范围是[)6,4或()6,0。

变式7、将椭圆1163622=+y x 进行均匀压缩，使得长轴变为原来的66倍，离心率变为原来的10103，得到椭圆E '。

直线l :y ＝－x +3与椭圆E '有且只有一个公共点T . （I ）求椭圆E '的标准方程及点T 的坐标；（II ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ,与椭圆E '交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得PB PA PT ⋅=λ2，并求λ的值.解析：容易求得椭圆E '的方程为22163x y+=，点T 坐标为（2,1）.()II 由已知可设直线l '的方程为()021≠+=m m x y由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=321x y m x y ，可得321,322my m x +=-= 所以P 点坐标为2298,321,322m PT m m =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-① 设点()()2211,,,y x B y x A由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+m x y y x 2113622，可得()01244322=-++m mx x ② 方程②的判别式()22916m -=∆，由0 ∆，得-223223m 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123mPA x ==--，同理223m PB x =--，结合①、②可得 12522(2)(2)433m m PB PB x x ⋅=----21212522(2)(2)()433m m x x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅.评析：解析几何综合题，一般涉及直线与圆锥曲线的位置关系，对应的题型有定值（定点）问题，最值（参数范围）问题，在解决这类问题的过程中，注意数形结合、回归定义、等价转化、设而不求、巧设坐标、引入向量等数学思想方法的灵活运用，它可以降低思维量，减少运算量。