上海市交通大学附属中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题 (word版含答案)
2016-2017学年上海交大附中高一(下)3月月考数学试卷
2016-2017学年上海交大附中高一（下）3月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题（本大题共12小题，共60.0分）1.你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是______ ．【答案】【解析】解：由于经过2分钟，秒针转过2个周角，由一周角为，又由顺时针旋转得到的角是负角，故秒针转过的角的弧度数是，故答案为：．根据2分钟，秒针针转过2周，一个周角为，即可得到答案．本题考查的知识点是弧度制，其中一周角，是解答本题的关键．2.已知角的终边上一点P落在直线上，则______ ．【答案】【解析】解：角的终边上一点P落在直线上，，，故答案为：．由条件利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．3.把化成，，的形式为______ ．【答案】【解析】解：由，，，，，则，故答案为：根据辅助角公式化解可得答案．本题主要考察了辅助角公式的应用，属于基本知识的考查．4.函数的定义域为______ ．【解析】解：由题意得：且，解得：，故函数的定义域是，，，故答案为：，，．根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．5.函数的最大值为______ ．【答案】2【解析】解：，的最大值为2．故答案为2．，即可得出结论．本题考查函数的最值，考查二次函数的性质，正确转化是关键．6.已知，求______ ．【答案】【解析】解：，，故答案为先两边平方，利用同角三角函数关系求得，再将化简，代入即可．本题的考点同角三角函数的基本关系考查了同角三角函数的基本关系，关键是利用好平方关系及切化弦关系．7.已知：，则______ ．【答案】【解析】解：因为，．．故答案为：．先由得到，再用诱导公式对所求问题化简整理即可得出答案．本题考查了诱导公式的应用三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的问题之一．8.若函数的值域为R，则实数a的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：函数的值域为R，，为函数的值域的子集，，解得．故答案为，．令，为函数的值域的子集，根据二次函数的性质列出不等式组即可得出a的范围．本题考查了对数的函数的性质，二次函数的性质，属于中档题．9.若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围是______ ．【答案】【解析】解：当时，，若关于x的方程有负根，在，即，即，或，则解得，故答案为：根据指数函数的性质，解不等式即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用指数函数的图象和性质是解决本题的关键．10.小媛在解试题：“已知锐角与的值，求的正弦值”时，误将两角和的正弦公式记成了，解得的结果为，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角的值为______ 写出所有的可能值【答案】，，【解析】解：由题意可得：，观察可得：锐角的值可能为，，．故答案为：，，．由已知利用两角和与差的正弦函数余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了两角和与差的正弦函数余弦函数公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．11.已知，则函数的最小值为______ ．【答案】0【解析】解：由，可得，，可得，，那么当时，y取得最小值为0．故答案为0．由，可得，可得，，转化为二次函数求解最小值即可．本题主要考查了同角三角函数关系式和三角函数的有界性的应用，属于基本知识的考查．12.已知，，，则______ ．【答案】【解析】解：，，，．故答案为：．，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二、选择题（本大题共4小题，共16.0分）13.一个扇形OAB的面积为1平方厘米，它的周长为4厘米，则它的中心角是A. 2弧度B. 3弧度C. 4弧度D. 5弧度【答案】A【解析】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以，面积，所以解得：，，所以扇形的圆心角的弧度数是．根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式求出扇形圆心角的弧度数．本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系，属于基础题．14.角的终边在第二象限，那么的终边不可能在的象限是第象限．A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】C【解析】解：角的终边在第二象限，，，，，当时，此时的终边落在第一象限，当时，此时的终边落在第二象限，当时，此时的终边落在第四象限，综上所述，的终边不可能落在第三象限故选：C．首先利用终边相同角的表示方法，写出的表达式，再写出的表达式，由此判断终边位置．本题考查了终边相同角的表示方法，象限角的概念属于基础知识和基础题目．15.已知，均为锐角，且，则，的大小关系是A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】解：，，，，，，均为锐角，．故选：A．利用两角和与差的正弦函数公式解得，从而得到，由此能比较，的大小关系．本题考查两个锐角的大小的比较，考查两角和与差的正弦函数的应用，属于基础题．16.下列关于幂函数的论述中，正确的是A. 当时，幂函数的图象是一条直线B. 幂函数的图象都经过，和，两个点【答案】D【解析】解：对于，时，无意义；对于，不过，；对于，是奇函数，在定义域内无单调性；对于D，因为时，，故幂函数图象不可能出现在第四象限，故对；故选：D．通过求函数的定义域，判断出错；通过举反例说明错；通过求点的坐标的范围判断出对．本题考查幂函数的性质：定义域、过定点、单调性、奇偶性．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）17.有一种细菌A，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个毫升：试讲饮料中的细菌A的个数y表示成经过的小时数x的函数；若饮料中细菌A的总数超过9万个，将对人体有害，那么几个小时后该饮料将对人体有害？精确到小时．【答案】解：某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个毫升：故200毫升饮料有细菌A4000个，故细菌A的个数，；由得：，解得：，即小时后该饮料将对人体有害．【解析】求出最初的细菌个数，列出函数解析式即可；根据题意得到关于x的不等式，解出即可．本题考查了求函数解析式问题，考查不等式的应用，是一道中档题．18.已知中，，是方程的两个实数根：若，求的值；求的最小值，并指出此时对应的，的值．【答案】解：时，，，；：由题意，，解得或；又，，，，的最小值是，此时对应的．【解析】由根与系数的关系写出，；利用三角形内角和定理与两角和的正切公式计算即可；由以及根与系数的关系，求出；再利用三角形内角和定理与两角和的正切公式，求出的最小值以及此时对应的、的值．本题考查了根与系数的关系以及三角形内角和定理与两角和的正切公式应用问题，是基础题．19.已知函数，其中，是适合的常数若，，求函数的最小值；是否可能为常值函数？若可能，求出为常值函数时，，的值，如果不可能，请说明理由．【答案】解：函数，其中，是适合的常数，，则函数的最小值为1．假设存在常数值，，则，即，，则．，．【解析】将，带入化简，利用三角函数的性质求解即可．假设存在常数值，采用“赋值法”，特殊值，令，带入计算求解在内的常数即可．本题考查了三角函数的性质和赋值法证明存在性问题属于中档题．20.某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”其中，是过抛物线的两条相互垂直的弦点，在第二象限，且，交于点，，点E为y轴上的一点，记，其中为锐角：设线段AF的长为m，将m表示为关于的函数；求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小．【答案】解：点，，，即．，；同理：，，．“蝴蝶形图案”的面积，令，，，，，，，此时．【解析】由点，，代入抛物线的标准方程，即可将m表示为关于的函数；由题意结合图形，把A、B、C、D四点的坐标分别用、、、和表示，代入抛物线方程后最终求得、、、，对三角形面积化简整理，换元后利用配方法求面积的最小值．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点直线与抛物线的关系、三角函数化简、换元法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.若函数定义域为R，满足对任意，，有，则称为“V形函数”；若函数定义域为，恒大于0，且对任意，，有，则称为“对数V形函数”：当时，判断函数是否为V形函数，并说明理由；当时，证明：是对数V形函数；若是V形函数，且满足对任意，有，问是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．【答案】解：，，符号不定，当时，是V形函数；当时，不是V形函数；证明：假设对任意，，有，则，，，显然成立，解：是对数V形函数证明：是V形函数，对任意，，有，对任意，有，，，，，是对数V形函数．【解析】由，可得符号不定，从而可得结论；利用反证法证明假设对任意，，有，则可得，即证，显然成立；是对数V形函数，根据是V形函数，利用对任意，有，证明，从而可得是对数V形函数．本题考查了函数的性质、不等式的性质与解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2016-2017学年上海交大附中高三(下)开学数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海交大附中高三（下）开学数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）函数y＝tan3x的最小正周期为．2．（5分）计算＝．3．（5分）＝．4．（5分）若集合M＝{y|y＝﹣x2+5，x∈R}，N＝{y|y＝，x≥﹣2}，则M∩N＝．5．（5分）二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为．6．（5分）现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种．7．（5分）若cos（π+α）＝﹣，π＜α＜2π，则sinα＝．8．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为．9．（5分）三棱锥O﹣ABC中，OA＝OB＝OC＝2，且∠BOC＝45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是．10．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，AB＝AE＝1，M为矩形AEHD 内一点，若∠MGF＝∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为．11．（5分）若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分析种数是．12．（5分）已知函数y＝a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则的最小值为．13．（5分）已知函数f（x）是R上的减函数，且y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为．14．（5分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如，若x＞0且A（2x•A（x））＝5，则x的取值范围为．二、选择题：15．（5分）在△ABC中，若，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形16．（5分）已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p418．（5分）某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A．B．C．D．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．（10分）某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，规定90分及以上为合格：（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；（3）若三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率．20．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝P A＝BC＝2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．21．（10分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．22．（15分）已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．23．（15分）已知二次函数y＝f（x）的图象的顶点坐标为，且过坐标原点O，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在二次函数y＝f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的表达式；（2）设b n＝a n•a n+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，若T n≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；（3）在数列{a n}中是否存在这样的一些项，，，，…，…（1＝n1＜n2＜n3＜…＜n k＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{}？若存在，写出n k关于k的表达式；若不存在，说明理由．2016-2017学年上海交大附中高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．【解答】解：函数y＝tan3x的最小正周期为T＝＝．故答案为：．2．【解答】解：＝2×3﹣1×4＝2，故答案为：2．3．【解答】解：＝＝（+）＝，故答案为：4．【解答】解：由M中y＝﹣x2+5≤5，得到M＝（﹣∞，5]，由N中y＝，x≥﹣2，得到y≥0，即N＝[0，+∞），则M∩N＝[0，5]，故答案为：[0，5]5．【解答】解：二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为C104＝210，故答案为：106．【解答】解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有＝240种，故答案为：2407．【解答】解：∵cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣，∴cosα＝，又π＜α＜2π，∴sinα＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．8．【解答】解：由得，所以S＝4πR2＝12π．9．【解答】解：将△BOC作为三棱锥的底面，∵OA＝OB＝OC＝2，且∠BOC＝45°，∴△BOS的面积为定值S＝＝，∴当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，此时三棱锥O﹣ABC体积的最大值V＝×S×h＝＝．故答案为：．10．【解答】解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，AB＝AE＝1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF ＝∠MGH，可得△MNG≌△MGH，则△ONG≌△OGH，所以ON＝GH＝AB＝1，因为N是FG的中点，所以NG＝FG＝AD＝×2＝1，所以在Rt△ONG中，OG＝＝＝MG和平面EFGH所成角的正切值为，可得＝，则MO＝＝．则点M到平面EFGH的距离为：．故答案为：．11．【解答】解：当A1＝∅时必须A2＝A，分析种数为1；当A1有一个元素时，分析种数为C31•2；当A1有2个元素时，分析总数为C32•22；当A1＝A时，分析种数为C33•23．所以总的不同分析种数为1+C31•21+C32•22+C33•23＝（1+2）3＝27．故答案为：2712．【解答】解：∵函数y＝a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），∴a＞1，3＝a+b．∴＝（a﹣1+b）＝≥＝，当且仅当a＝，b＝时取等号．故答案为：13．【解答】解：∵y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．∴y＝f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称．即函数f（x）是奇函数，则不等式组，等价为，即，作出不等式组对应的平面区域如图，则u2+v2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方，则由图象知原点到直线u＝1﹣v，即v+u﹣1＝0的距离最小，此时d＝，故u2+v2的最小值为d2＝，故答案为：14．【解答】解：当A（x）＝1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）＝2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）＝2，当A（x）＝3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）＝2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]二、选择题：15．【解答】解：∵＝cos＝sin，⇒，则△ABC是等腰三角形，故选：A．16．【解答】解：对于复数z，若z+＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+＝0．∴“z+＝0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．17．【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n＝d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n＝（n+1）d+a n，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣＝＝，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd＝4d＞0，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选：D．18．【解答】解：假设每年偿还x元，由题意可得a（1+r）5＝x（1+r）4+x（1+r）3+…+x（1+r）+x，化为a（1+r）5＝x•，解得x＝．故选：B．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．【解答】解：（1）由频率分布直方图，知：（0.01+a+0.07+0.06+0.02）×5＝1，解得a＝0.04．（2）规定90分及以上为合格，根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率：p1＝（0.06+0.02）×5＝0.4．（3）三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率：p2＝＝．20．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点；∴DE∥BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC；∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC＝MN；∴DE∥MN；∴MN∥BC；（Ⅱ）如图，在平面P AB内作BZ∥P A，则根据：P A⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ两两垂直；∴以B为坐标原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；∴，；设平面PBC的法向量为；则由得：，令z1＝1，得x1＝0，y1＝﹣1；∴；设直线AC和平面PBC所成角为α，则：sinα＝＝；又；∴；即直线AC和平面PBC所成角为；（Ⅲ）设M（0，y，z），M在棱PB上，则：；∴（0，y，z）＝λ（0，2，2）；∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；∴；因为直线EM与直线AP所成角的余弦值；设直线EM和直线AP所成角为θ；所以cosθ＝；∴8λ2﹣18λ+9＝0；解得，或（舍去）；∴M（0，）；∴．21．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．∵直线l与抛物线相切，∴△＝16﹣16kb＝0，即．∴直线l的方程为y＝kx+．令x＝﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则＝＝．当m＝1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．22．【解答】解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）＝0解得m＝﹣1．（2）由（1）及题设知：，设，∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2．当a＞1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知得，n＝1．23．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）＝（x+1）2﹣，∴S n＝（n+1）2﹣＝n2+n（n∈N*），当n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1＝n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝，当n＝1时，a1＝s1＝1适合上式，∴数列{a n}的通项公式是：a n＝（n∈N*）；（Ⅱ）∵b n＝a n a n+1cos（n+1）π，（n∈N*），∴T n＝b1+b2+…+b n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，由（Ⅰ）得：数列{a n}是以1为首项，公差为的等差数列，①当n＝2m，m∈N*时，T n＝T2m＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）＝﹣（a2+a4+…+a2m）＝﹣••m＝﹣（8m2+12m）＝﹣（2n2+6n），②当n＝2m﹣1，m∈N*时，T n＝T2m﹣1＝T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2m a2m+1＝﹣（8m2+12m）+（16m2+16m+3）＝（8m2+4m+3）＝（2n2+6n+7），∴T n＝，要使T n≥tn2对n∈N*恒成立，只要使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立，即使﹣（2+）≥t对n为正偶数恒成立．∴t≤[﹣（2+）]min＝﹣；（Ⅲ）由a n＝知，数列{a n}中每一项都不可能是偶数，①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}；②q＝1时，显然不存在这样的数列{ank}，q＝3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*，则an1＝1，n1＝1，ank＝3k﹣1＝，n k＝，∴存在满足条件的数列{a nk}，且n k＝，（k∈N*）．。
2016-2017学年上海市交大附中高一（下）学期期中数学试卷（解析版）
2016-2017学年上海市交⼤附中⾼⼀（下）学期期中数学试卷（解析版）2016-2017学年上海市交⼤附中⾼⼀第⼆学期期中数学试卷⼀、填空题1．已知⾓α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有⼀点P （5，﹣12），则sec α＝．2．arccos （?√32）＝．3．已知扇形的圆⼼⾓为2弧度，⾯积为9cm 2，则该扇形的弧长为 cm ． 4．设sin α=35，α∈（π2，π），则tan α的值为．5．函数y =2sin 2(x +π6)的最⼩正周期为．6．若cos x cos y +sin x sin y =13，则cos （2x ﹣2y ）＝． 7．函数y ＝sin x +arcsin x 的值域是．8．关于x 的⽅程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，则a 的取值范围是． 9．设函数f(x)=(sinx+1)2sin 2x+1的最⼤值为M ，最⼩值为m ，则M +m ＝． 10．已知sin α＝3sin （α+π6），则tan （α+π12）＝．11．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满⾜cosA sinA 1=cosB sinB 1=cosC sinC 1=1，则称△A 1B 1C 1是△ABC 的⼀个“对偶”三⾓形，若等腰△ABC 存在“对偶”三⾓形，则其底⾓的弧度数为．12．已知函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，则实数k 的取值范围为．⼆、选择题13．⽅程tan x ＝2的解集为（） A ．{x |x ＝2k π+arctan2，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π±arctan2，k ∈Z }C ．{x |x ＝k π+arctan2，k ∈Z }D ．{x |x ＝k π+（﹣1）k arctan2，k ∈Z }14．已知函数y ＝A sin （ωx +φ）+m （A ＞0，ω＞0）的最⼤值为4，最⼩值为0，最⼩正周期为π2，直线x =π3是其图象的⼀条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A ．y =4sin(4x +π6)B ．y =2sin(2x +π3)+2C ．y =2sin(4x +π3)+2D ．y =2sin(4x +π6)+215．函数y ＝2sin （π62x ），（x ∈[0，π]）为增函数的区间是（） A ．[0，π3]B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6] D ．[5π6，π]16．已知α，β，γ是某三⾓形的三个内⾓，给出下列四组数据：①sin α，sin β，sin γ；②sin 2α，sin 2β，sin 2γ；③cos 2α2，cos 2β2，cos 2γ2；④tan α2，tan β2，tan γ2分别以每组数据作为三条线段的长，其中⼀定能构成三⾓形的有（） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组三、解答题17．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α，β满⾜{5√3sinα+5cosα=8√2sinβ+√6cosβ=2（1）求cos(α+π6)的值．（2）求cos （α+β）的值．18．如图，等腰三⾓形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD ⼤⼩为α，∠CAD ⼤⼩为β．（1）若α=π4，β=π3，求BD DC ；（2）若BD DC=12，β=α+π3，求∠B ．19．某景区欲建两条圆形观景步道M 1，M 2（宽度忽略不计），如图所⽰，已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AD ＝60（单位：⽶），要求圆M 与AB ，AD 分别相切于点B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ．（1）若∠BAD =π3，求圆M 1，M 2的半径（结果精确到0.1⽶）（2）若观景步道M 1，M 2的造价分别为每⽶0.8千元与每⽶0.9千元，则当∠BAD 多⼤时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20．在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(√3sinB?cosB)(√3sinC?cosC)=4cos B cos C．（1）求⾓A的⼤⼩；（2）若a＝2，求△ABC⾯积的取值范围；（3）若sin B＝p sin C，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐⾓三⾓形．21．已知集合P是满⾜下述性质的函数f（x）的全体：存在⾮零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）＝﹣Mf（x）成⽴．（1）设函数g（x）＝sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M＝1时，试说明函数f（x）的⼀个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）＝sinωx∈P，求实数ω的取值范围．2016-2017学年上海市交⼤附中⾼⼀第⼆学期期中数学试卷参考答案⼀、填空题1．已知⾓α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有⼀点P （5，﹣12），则sec α＝135．【分析】利⽤条件直接利⽤任意⾓的三⾓函数的定义求得cos α的值，然后求解sec α．解：由题意可得 x ＝5，y ＝﹣12，r ＝|OP |＝13，∴cos α=x r =513，∴sec α=135．故答案为：135．【点评】本题主要考查任意⾓的三⾓函数的定义，属于基础题．2．arccos （?√32）＝ 5π6．【分析】利⽤arccos(?√32)=π?arccos √32即可得出．解：arccos(?√32)=π?arccos √32=π?π6=5π6．故答案为：5π6．【点评】本题考查了反三⾓函数的性质，属于基础题．3．已知扇形的圆⼼⾓为2弧度，⾯积为9cm 2，则该扇形的弧长为 6 cm ．【分析】利⽤扇形的⾯积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．解：设扇形的弧长为l ，圆⼼⾓⼤⼩为α（rad ），半径为r ，扇形的⾯积为S ，则：r 2=2S α=2×92=9．解得r ＝3∴扇形的弧长为l ＝r α＝3×2＝6l ＝r α＝3×2＝6cm ．故答案为：6．【点评】本题考查扇形⾯积、扇形的弧长公式的应⽤，考查计算能⼒，属于基础题． 4．设sin α=35，α∈（π2，π），则tan α的值为 ?34 ．【分析】由已知利⽤同⾓三⾓函数基本关系式可求cos α，进⽽可求tan α的值．解：∵sinα=35，α∈（π2，π），∴cosα=?√1?sin2α=?45，∴tanα=sinαcosα=3545=?34．故答案为：?3 4．【点评】本题主要考查了同⾓三⾓函数基本关系式在三⾓函数化简求值中的应⽤，考查了转化思想，属于基础题．5．函数y=2sin2(x+π6)的最⼩正周期为π．【分析】利⽤⼆倍⾓的余弦公式化简函数的解析式，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T=2πω，得出结论．解：函数y=2sin2(x+π6)=2sin2(x+π6)?1+1＝﹣cos（2x+π3）+1 的最⼩正周期为2π2=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查三⾓函数的周期性及其求法，⼆倍⾓的余弦公式，利⽤了y＝A cos（ωx+φ）的周期T=2πω，属于基础题．6．若cos x cos y+sin x sin y=13，则cos（2x﹣2y）＝?79．【分析】已知等式左边利⽤两⾓和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式⼦利⽤⼆倍⾓的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代⼊计算即可求出值．解：∵cos x cos y+sin x sin y＝cos（x﹣y）=1 3，∴cos（2x﹣2y）＝cos2（x﹣y）＝2cos2（x﹣y）﹣1=?7 9．故答案为：?7 9．【点评】此题考查了两⾓和与差的余弦函数公式，⼆倍⾓的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．函数y＝sin x+arcsin x的值域是[﹣sin1?π2，sin1+π2]．【分析】函数y＝sin x+arcsin x的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x＝﹣1时，函数有最⼩值，当x＝1时，函数y＝sin x+arcsin x有最⼤值，由此得到函数的值域．解：函数y＝sin x+arcsin x的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x ＝﹣1时，函数y ＝sin x +arcsin x 有最⼩值﹣sin1+（?π2）＝﹣sin1?π2．故当x ＝1时，函数y ＝sin x +arcsin x 有最⼤值 sin1+π2，故函数y ＝sin x +arcsin x 的值域是[﹣sin1?π2，sin1+π2]，故答案为[﹣sin1?π2，sin1+π2]．【点评】本题主要考查正弦函数的和反正弦函数的定义域、值域，及其单调性的应⽤，得到函数在其定义域[﹣1，1]内单调递增，是解题的关键，属于中档题．8．关于x 的⽅程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，则a 的取值范围是 [?54，?1] ．【分析】由题意，x 的⽅程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，转化为⼆次函数值域的问题．解：由cos 2x +sin x +a ＝0，转化为：1﹣sin 2x +sin x +a ＝0，即（sin x ?12）2=54+a∵x ∈(0，π2]上， sin x ∈（0，1）∴sin x ?12∈（?12，12]则（sin x ?12）2∈[0，14]∴{54+a ≤1454+a ≥0 ∴a 的取值范围是[?54，?1]．故答案为[?54，?1]．【点评】本题主要考查对三⾓函数的化简能⼒和三⾓函数的图象和性质的运⽤，属于中档题． 9．设函数f(x)=(sinx+1)2sin 2x+1的最⼤值为M ，最⼩值为m ，则M +m ＝ 2 ．【分析】通过换元可知y ＝f （x ）＝1+2t t 2+1，其中t ＝sin x ∈[﹣1，1]，利⽤z =2tt 2+1为奇函数可知z max +z min ＝0，进⽽M +m ＝（1+z max ）+（1+z min ）＝2．解：由题可知t ＝sin x ∈[﹣1，1]，则y ＝f （x ）＝1+2tt 2+1，令z =2tt 2+1，则当t ＝0时z ＝0，且函数z 为奇函数，所以z max +z min ＝0，⼜因为M +m ＝（1+z max ）+（1+z min ），所以M +m ＝2+（z max +z min ）＝2，故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值及其⼏何意义，考查函数的奇偶性，注意解题⽅法的积累，属于中档题．10．已知sin α＝3sin （α+π6），则tan （α+π12）＝ 2√3?4 ．【分析】利⽤⾓三⾓的基本关系、两⾓和差的三⾓公式求得tan α、tan π12的值，可得tan （α+π12）的值．解：∵sin α＝3sin （α+π6）＝3sin α?√32+3cos α?12，∴tan α=2?33，∴tan π12=tan （π3?π4）=tan π3?tan π41+tan π3?tan π4=√3?11+3=2?√3，∴tan （α+π12）=tanα+tan π121?tanα?tan π12=32?33+(2?√3)1?32?3√3(2√3)=√3)(23√3)2333(23)=2√3?4，故答案为：2√3?4．【点评】本题主要考查两⾓和差的三⾓公式的应⽤，同⾓三⾓的基本关系，属于基础题． 11．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满⾜cosA sinA 1=cosB sinB 1=cosC sinC 1=1，则称△A 1B 1C 1是△ABC 的⼀个“对偶”三⾓形，若等腰△ABC 存在“对偶”三⾓形，则其底⾓的弧度数为3π8．【分析】设等腰△ABC 中A ＝B ，由已知得sin A 1＝sin B 1，cos A ＝sin A 1，cos B ＝sin B 1，cos C ＝sin C 1，则A 1＝B 1，结合同⾓三⾓函数关系进⾏化简求值即可．解：设A ＝B ，由已知得sin A 1＝sin B 1，cos A ＝sin A 1，cos B ＝sin B 1，cos C ＝sin C 1，则A 1＝B 1，所以A +A 1=π2，B +B 1=π2，C +C 1=π2（舍）或A +A 1=π2，B +B 1=π2，C ＝C 1?π2，解得C =π4，A ＝B =π?π42=3π8．故答案是：3π8．【点评】本题主要考查三⾓函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应⽤，属于中档题．12．已知函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，则实数k 的取值范围为 [﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12} ．【分析】对k 的符号进⾏讨论，利⽤符合函数的单调性及余弦函数的单调性列不等式组求出f （x ）的减区间，令区间(π4，π3)为f （x ）单调减区间的⼦集解出k 的范围．解：当k ＞0时，令2m π≤kx ≤π+2m π，解得2mπk≤x ≤πk +2mπk ，m ∈Z ，∵函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，∴{π4≥2mπk π3≤πk +2mπk，解得{k ≥8m k ≤3+6m ，m ∈Z ，∴0＜k ≤3或8≤k ≤9．当k ＜0时，令﹣π+2m π≤﹣kx ≤2m π，解得πk ?2mπk≤x ≤?2mπk ，m ∈Z ，∵函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，∴{π4≥πk ?2mπk π3≤?2mπk ，解得{k ≤4?8m k ≥?6m ，m ∈Z ，∴﹣6≤k ≤﹣4，或k ＝﹣12，综上，k 的取值范围是[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．故答案为：[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质，分类讨论思想，属于中档题．⼆、选择题13．⽅程tan x ＝2的解集为（） A ．{x |x ＝2k π+arctan2，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π±arctan2，k ∈Z }C ．{x |x ＝k π+arctan2，k ∈Z }D ．{x |x ＝k π+（﹣1）k arctan2，k ∈Z }【分析】根据反三⾓函数的定义及正切函数的周期为k π，即可得到原⽅程的解．解：由tan x ＝2，根据正切函数图象及周期可知： x ＝k π+arctan2．故选：C ．【点评】此题考查学⽣掌握正切函数的图象及周期性，是⼀道基础题．14．已知函数y ＝A sin （ωx +φ）+m （A ＞0，ω＞0）的最⼤值为4，最⼩值为0，最⼩正周期为π2，直线x =π3是其图象的⼀条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A ．y =4sin(4x +π6)B ．y =2sin(2x +π3)+2 C ．y =2sin(4x +π3)+2D ．y =2sin(4x +π6)+2【分析】由题意可得A +m ＝4，A ﹣m ＝0，解得 A 和m 的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从⽽得到符合条件的函数解析式．解：由题意可得A +m ＝4，A ﹣m ＝0，解得 A ＝2，m ＝2．再由最⼩正周期为π2，可得2πω=π2，解得ω＝4，∴函数y ＝A sin （ωx +φ）+m ＝2sin （4x +φ）+2．再由 x =π3是其图象的⼀条对称轴，可得 4×π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，⼜|φ|＜π2，∴φ=π6，故符合条件的函数解析式是 y ＝2sin （4x +π6）+2，故选：D ．【点评】本题主要考查利⽤y ＝A sin （ωx +φ）的图象特征，由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，属于中档题．15．函数y ＝2sin （π6?2x ），（x ∈[0，π]）为增函数的区间是（）A ．[0，π3]B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6] D ．[5π6，π]【分析】化简函数y ＝2sin （π62x ），利⽤正弦函数的图象与性质，求出y 在x ∈[0，π]的增区间即可．解：∵y ＝2sin （π6?2x ）＝﹣2sin （2x ?π6），∴只要求y ＝2sin （2x ?π6）的减区间，∵y ＝sin x 的减区间为[2k π+π2，2k π+3π2]，∴令2x ?π6∈[2k π+π2，2k π+3π2]，解得x ∈[k π+π3，k π+5π6]，⼜x ∈[0，π]，∴x ∈[π3，5π6]．故选：C ．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应⽤问题，是基础题⽬． 16．已知α，β，γ是某三⾓形的三个内⾓，给出下列四组数据：①sin α，sin β，sin γ；②sin 2α，sin 2β，sin 2γ；③cos 2α2，cos 2β2，cos 2γ2；④tan α2，tan β2，tan γ2分别以每组数据作为三条线段的长，其中⼀定能构成三⾓形的有（） A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【分析】设α，β，γ的对边分别为a ，b ，c ，不妨令α≤β≤γ，则a ≤b ≤c ，则a +b ＞c ，分别判断两个较⼩的边与最⼤边的差是否⼀定⼤于0，可得答案．解：∵α，β，γ是某三⾓形的三个内⾓，设α，β，γ的对边分别为a ，b ，c ，不妨令α≤β≤γ，则a ≤b ≤c ，则a +b ＞c ．则①中，sin α=a2R ，sin β=b2R，sin γ=c 2R ；则a 2R+b 2R＞c 2R，故⼀定能构成三⾓形；②中，sin 2α=a 24r 2，sin 2β=b 24R2，sin 2γ=c 24R 2，由a 24r +b 24R ＞c 24R 仅在a 2+b 2﹣c 2＞0，即cos γ＞0时成⽴，故不⼀定能构成三⾓形．③中，cos 2α2+cos 2β2=cosα+cosβ?cosγ2+12＞0恒成⽴．恒成⽴，故⼀定能构成三⾓形，故③正确．④中，当α＝β＝30°时γ＝120°，tan α2+tan β2tan γ2＜0，故不⼀定能构成三⾓形，故①③正确，故选：B ．【点评】本题考查了构成三⾓形的条件，三⾓函数的图象和性质，是三⾓函数较为综合的考查，难度较⼤，属于难题三、解答题17．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α，β满⾜{5√3sinα+5cosα=8√2sinβ+√6cosβ=2（1）求cos(α+π6)的值．（2）求cos （α+β）的值．【分析】（1）将等式5√3sin α+5cos α＝8左边提取10，利⽤两⾓和与差的正弦函数公式及特殊⾓的三⾓函数值求出sin （α+π6）的值，由α的范围求出α+π6的范围，利⽤同⾓三⾓函数间的基本关系化简即可求出cos （α+π6）的值；（2）等式√2sin β+√6cos β＝2左边提取2√2，利⽤两⾓和与差的正弦函数公式及特殊⾓的三⾓函数值化简，求出sin （β+π3）的值，由β的范围求出β+π3的范围，利⽤同⾓三⾓函数间的基本关系求出cos （β+π3）的值，将所求式⼦利⽤诱导公式sin （π2+θ）＝cos θ变形，其中的⾓π2+α+β变形为（α+π6）+（β+π3），利⽤两⾓和与差的正弦函数公式化简后，将各⾃的值代⼊即可求出值．解：（1）∵5√3sin α+5cos α＝8，2sin α+12cos α）＝8，即sin （α+π6）=45，∵α∈（0，π3），∴α+π6∈（π6，π2），∴cos （α+π6）=√1?sin 2(α+π6)=35；（2）⼜∵√2sin β+√6cos β＝2，∴2√2（12sin β+√32cos β）＝2，即sin （β+π3）=√22，∵β∈（π6，π2），∴β+π3∈（π2，5π6），∴cos （β+π3）=?√22，∴cos （α+β）＝sin[π+（α+β）]＝sin[（α+π6）+（β+π3）]＝sin （α+π6）cos （β+π3）+cos （α+π6）sin （β+π3） =45×（?√22）+35×√22=?√210．【点评】此题考查了两⾓和与差的正弦函数公式，诱导公式，同⾓三⾓函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换⾓度是解本题的关键，同时注意⾓度的范围．本题中灵活运⽤⾓的变换的技巧达到了⽤已知表⽰未知，在求值题中，这是⼀个重要的经验！ 18．如图，等腰三⾓形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD ⼤⼩为α，∠CAD ⼤⼩为β．（1）若α=π4，β=π3，求BD DC ；（2）若BD DC=12，β=α+π3，求∠B ．【分析】（1）分别在△ABD 和△ACD 中使⽤正弦定理即可得出BD DC=sinαsinβ；（2）利⽤三⾓恒等变换求出α，从⽽得出∠B ．解：（1）在△ABD 中，由正弦定理得BD sinα=AD sinB，在△ACD 中，由正弦定理得DC sinβ=ADsinC，∵∠B ＝∠C ，∴BD sinα=DC sinβ∴BD DC=sinαsinβ=√22√32=√63．（2）由（1）知BD DC=sinαsinβ=12，⼜β＝α+π3，∴sin β＝sin （α+π3）=12sin α+√32cos α，∴12sin α+√32cos α＝2sin α，即√3cos α＝3sin α，∴tan α=√33，∴α=π6，β=π2，∴B =12（π﹣α﹣β）=π6．【点评】本题考查了正弦定理，三⾓恒等变换，属于中档题．19．某景区欲建两条圆形观景步道M 1，M 2（宽度忽略不计），如图所⽰，已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AD ＝60（单位：⽶），要求圆M 与AB ，AD 分别相切于点B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ．（1）若∠BAD =π3，求圆M 1，M 2的半径（结果精确到0.1⽶）（2）若观景步道M 1，M 2的造价分别为每⽶0.8千元与每⽶0.9千元，则当∠BAD 多⼤时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）【分析】（1）利⽤切线的性质即可得出圆的半径；（2）设∠BAD ＝2α，则总造价y ＝0.8?2π?60tan α+0.9?2π?60tan （45°﹣α），化简，令1+tan α＝x 换元，利⽤基本不等式得出最值．解：（1）连结M 1M 2，AM 1，AM 2，∵圆M 1与AB ，AD 相切于B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ，∴M 1，M 2⊥AD ，∠M 1AD =12∠BAD =π6，∠M 2AD =π12，∴M 1B ＝AB tan ∠M 1AB ＝60×√33=20√3≈34.6（⽶），∵tanπ6=2tanπ121?tan 2π12=√33，∴tan π12=2?√3，同理可得：M 2D ＝60×tanπ12=60（2?√3）≈16.1（⽶）．（2）设∠BAD ＝2α（0＜α＜π4），由（1）可知圆M 1的半径为60tan α，圆M 2的半径为60tan （45°﹣α），设观景步道总造价为y 千元，则y ＝0.8?2π?60tan α+0.9?2π?60tan （45°﹣α）＝96πtan α+108π?1?tanα1+tanα，设1+tan α＝x ，则tan α＝x ﹣1，且1＜x ＜2．∴y ＝96π（x ﹣1）+108π（2x ?1）＝12π?（8x +18x ?17）≥84π≈263.8，当且仅当8x =18x 即x =32时取等号，当x =32时，tan α=12，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．∴当∠BAD 为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运⽤，属于中档题．20．在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(√3sinB?cosB)(√3sinC?cosC)=4cos B cos C．（1）求⾓A的⼤⼩；（2）若a＝2，求△ABC⾯积的取值范围；（3）若sin B＝p sin C，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐⾓三⾓形．【分析】（1 ）由已知及三⾓函数中的恒等变换应⽤，从⽽可求tan A=√3，即可解得A的值，（2）由余弦定理和基本不等式可得bc≤4，再根据三⾓形的⾯积公式计算即可，（3）由题意可得p=√32tanC+12，根据⾓C的范围，即可求出．解：（1）∵(√3sinB?cosB)(√3sinC?cosC)=4cos B cos C，∴3sin B sin C+cos B cos C?√3sin B cos C?√3cos B sin C，∴?√3sin（B+C）＝3cos（B+C），∴tan（B+C）=?√3，∴tan A=√3，∴A=π3，（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时取等号，∴S△ABC=12bc sin A≤12×4×√32=√3，∴△ABC⾯积的取值范围为（0，√3]，（3）sin B＝p sin C，∴p=sinBsinC =sin(120°?C)sinC=√32tanC+12，∵△ABC 为锐⾓三⾓形，A =π3，∴π6＜C ＜π2，∴tan C ＞√33，∴12＜p ＜2，即p 的范围为(12，2)【点评】本题主要考查了三⾓函数中的恒等变换应⽤，考查了正弦定理余弦定理和三⾓形的⾯积公式，属于中档题．21．已知集合P 是满⾜下述性质的函数f （x ）的全体：存在⾮零常数M ，对于任意的x ∈R ，都有f （x +M ）＝﹣Mf （x ）成⽴．（1）设函数g （x ）＝sin πx ，试证明：g （x ）∈P ；（2）当M ＝1时，试说明函数f （x ）的⼀个性质，并加以证明；（3）若函数h （x ）＝sin ωx ∈P ，求实数ω的取值范围．【分析】（1）可取M ＝1，验证即可；（2）M ＝1时，由f （x +1）＝﹣f （x ）可得到函数f （x ）的⼀个性质：周期性；（3）由题意可得h （x +M ）＝﹣Mh （x ）成⽴，既 sin （ωx +ωM ）＝﹣M sin ωx ，可对M 分|M |＞1，|M |＜1及|M |＝1三种情况讨论解决．解：（1）取 M ＝1 对于任意x ∈R ，g （x +M ）＝sin （πx +π）＝﹣sin πx ＝﹣g （x ）＝Mf （x ）∴g （x ）∈P（2）M ＝1时，f （x +1）＝﹣f （x ）f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）∴f （x ）是⼀个周期函数，周期为2；（3）∵h （x ）＝sin ωx ∈P ∴存在⾮零常数M ，对于对于任意的x ∈R ，都有h （x +M ）＝﹣Mh （x ）成⽴．既 sin （ωx +ωM ）＝﹣M sin ωx若|M |＞1，取sin ωx ＝1，则 sin （ωx +ωM ）＝﹣M 对x ∈R 恒成⽴时不可能的．若|M |＜1，取sin （ωx +ωM ）＝1，则sinωx =?1M对x ∈R 也不成⽴．∴M ＝±1当 M ＝1时 sin （ωx +ω）＝﹣sin ωx ，sin （ωx +ω）+sin ωx ＝0，2sin(ωx +ω2)?cos ω2=0（x ∈R ），cos ω2=0解得：ω＝2k π+π（k ∈Z ）；当M ＝﹣1时 sin （ωx ﹣ω）＝sin ωx ，sin （ωx ﹣ω）﹣sin ωx ＝0，2cos(ωx ?ω2)?sin(?ω2)=0（x∈R），sin ω2=0解得：ω＝2kπk∈Z综上可得ω＝kπ（k∈Z）【点评】本题考查三⾓函数的周期性与最值，难点在于（3）中对M取值范围的分类讨论及和差化积公式与根据三⾓函数值求⾓的灵活应⽤，属于难题．。
2016-2017年上海交大附中高一(下)3月月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海交大附中高一（下）3月月考数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．（5分）你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是．2．（5分）已知角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，则sin2α＝．3．（5分）把化成A sin（α+φ）（A＞0，φ∈（0，2π））的形式为．4．（5分）函数的定义域为．5．（5分）函数的最大值为．6．（5分）已知，求tan2α+cot2α＝．7．（5分）已知：，则＝．8．（5分）若函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，则实数a的取值范围是．9．（5分）若关于x的方程5x＝有负根，则实数a的取值范围是．10．（5分）小媛在解试题：“已知锐角α与β的值，求α+β的正弦值”时，误将两角和的正弦公式记成了sin（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，解得的结果为，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角α的值为．（写出所有的可能值）11．（5分）已知﹣5sin2α+sin2β＝3sinα，则y＝sin2α+sin2β函数的最小值为．12．（5分）已知，则f（cos10）＝．二、选择题：13．（4分）一个扇形OAB的面积为1平方厘米，它的周长为4厘米，则它的中心角是（）A．2弧度B．3弧度C．4弧度D．5弧度14．（4分）角α的终边在第二象限，那么的终边不可能在的象限是第（）象限．A．一B．二C．三D．四15．（4分）已知α，β均为锐角，且，则α，β的大小关系是（）A．α＜βB．α＞βC．α＝βD．不确定16．（4分）下列关于幂函数y＝xα（α∈Q）的论述中，正确的是（）A．当α＝0时，幂函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）两个点C．若函数f（x）为奇函数，则f（x）在定义域内是增函数D．幂函数f（x）的图象不可能在第四象限内三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（14分）有一种细菌A，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个/毫升：（1）试讲饮料中的细菌A的个数y表示成经过的小时数x的函数；（2）若饮料中细菌A的总数超过9万个，将对人体有害，那么几个小时后该饮料将对人体有害？（精确到0.1小时）．18．（14分）已知△ABC中，tan A，tan B是方程x2+ax+4＝0的两个实数根：（1）若a＝﹣8，求tan C的值；（2）求tan C的最小值，并指出此时对应的tan A，tan B的值．19．（14分）已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数（1）若，求函数f（x）的最小值；（2）f（x）是否可能为常值函数？若可能，求出f（x）为常值函数时，α，β的值，如果不可能，请说明理由．20．（16分）某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”．其中AC，BD是过抛物线y ＝x2的两条相互垂直的弦（点A，B在第二象限），且AC，BD交于点，点E 为y轴上的一点，记∠EF A＝α，其中α为锐角：（1）设线段AF的长为m，将m表示为关于α的函数；（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小．21．（16分）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）有，则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lg[g（x1+x2）]≤lg[g（x1）]+lg[g（x2）]，则称g（x）为“对数V形函数”：（1）当f（x）＝x2时，判断函数f（x）是否为V形函数，并说明理由；（2）当g（x）＝x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．2016-2017学年上海交大附中高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．（5分）你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是﹣4π．【解答】解：由于经过2分钟，秒针转过2个周角，由一周角为2π，又由顺时针旋转得到的角是负角，故秒针转过的角的弧度数是﹣4π，故答案为：﹣4π．2．（5分）已知角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，则sin2α＝．【解答】解：∵角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，∴tanα＝2，∴sin2α＝＝＝＝，故答案为：．3．（5分）把化成A sin（α+φ）（A＞0，φ∈（0，2π））的形式为2sin （）．【解答】解：由＝φ），tanφ＝，∵φ∈（0，2π）），∴φ＝，则＝2sin（），故答案为：2sin（）．4．（5分）函数的定义域为[﹣3，1）∪（1，5]．【解答】解：由题意得：﹣x2+2x+15≥0且x≠1，解得：﹣3≤x≤5，故函数的定义域是[﹣3，1）∪（1，5]，故答案为：[﹣3，1）∪（1，5]．5．（5分）函数的最大值为2．【解答】解：＝1+≤2，∴的最大值为2．故答案为2．6．（5分）已知，求tan2α+cot2α＝．【解答】解：∵，∴，∴∵tan2α+cot2α＝故答案为7．（5分）已知：，则＝．【解答】解：因为，∴sinθ＝．∵＝+2（﹣tanθ）•（﹣cosθ）＝﹣sinθ+2sinθ＝sinθ＝．故答案为：．8．（5分）若函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，则实数a的取值范围是[4，+∞）．【解答】解：∵函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，∴（0，+∞）为函数y＝ax2﹣ax+1的值域的子集，∴，解得a≥4．故答案为[4，+∞）．9．（5分）若关于x的方程5x＝有负根，则实数a的取值范围是a＜﹣3．【解答】解：当x＜0时，0＜5x＜1，若关于x的方程5x＝有负根，在0＜＜1，即，即，则，解得a＜﹣3，故答案为：a＜﹣310．（5分）小媛在解试题：“已知锐角α与β的值，求α+β的正弦值”时，误将两角和的正弦公式记成了sin（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，解得的结果为，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角α的值为，，．（写出所有的可能值）【解答】解：由题意可得：sinαcosβ+cosαsinβ＝cosαcosβ+sinαsinβ＝＝×+×，观察可得：锐角α的值可能为，，．故答案为：，，．11．（5分）已知﹣5sin2α+sin2β＝3sinα，则y＝sin2α+sin2β函数的最小值为0．【解答】解：由﹣5sin2α+sin2β＝3sinα，可得sin2β＝5sin2α+3sinα∈[0，1]，可得sinα∈[]∪[0，]那么y＝sin2α+sin2β＝6sin2α+3sinα＝6（sinα+）2当sinα＝0时，y取得最小值为0．故答案为0．12．（5分）已知，则f（cos10）＝21﹣7π．【解答】解：∵，∴f（cos10）＝f[sin（10﹣）]＝2（10﹣）+1＝21﹣7π．故答案为：21﹣7π．二、选择题：13．（4分）一个扇形OAB的面积为1平方厘米，它的周长为4厘米，则它的中心角是（）A．2弧度B．3弧度C．4弧度D．5弧度【解答】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l＝4，S面积＝lr＝1，所以解得：r＝1，l＝2，所以扇形的圆心角的弧度数是α＝＝＝2．故选：A．14．（4分）角α的终边在第二象限，那么的终边不可能在的象限是第（）象限．A．一B．二C．三D．四【解答】解：∵角α的终边在第二象限，∴+2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z，∴+＜x＜+，k∈Z，当k＝3n（n∈Z）时，此时的终边落在第一象限，当k＝3n+1（n∈Z）时，此时的终边落在第二象限，当k＝3n+2（n∈Z）时，此时的终边落在第四象限，综上所述，的终边不可能落在第三象限故选：C．15．（4分）已知α，β均为锐角，且，则α，β的大小关系是（）A．α＜βB．α＞βC．α＝βD．不确定【解答】解：∵sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，，∴2sinα＝sinαcosβ+cosαsinβ，∴sinα（2﹣cosβ）＝cosαsinβ，∴tanα＝＜＝tanβ，∵α，β均为锐角，∴α＜β．故选：A．16．（4分）下列关于幂函数y＝xα（α∈Q）的论述中，正确的是（）A．当α＝0时，幂函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）两个点C．若函数f（x）为奇函数，则f（x）在定义域内是增函数D．幂函数f（x）的图象不可能在第四象限内【解答】解：对于A，x＝0时，无意义；对于B，y＝不过（0，0）；对于C，y＝是奇函数，在定义域内无单调性；对于D，因为x＞0时，y＝xα＞0，故幂函数图象不可能出现在第四象限，故④对；故选：D．三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（14分）有一种细菌A，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个/毫升：（1）试讲饮料中的细菌A的个数y表示成经过的小时数x的函数；（2）若饮料中细菌A的总数超过9万个，将对人体有害，那么几个小时后该饮料将对人体有害？（精确到0.1小时）．【解答】解：（1）某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个/毫升：故200毫升饮料有细菌A4000个，故细菌A的个数y＝4000•2x，x＞0；（2）由（1）得：4000×2x＞90000，解得：x＞4.49，即4.5小时后该饮料将对人体有害．18．（14分）已知△ABC中，tan A，tan B是方程x2+ax+4＝0的两个实数根：（1）若a＝﹣8，求tan C的值；（2）求tan C的最小值，并指出此时对应的tan A，tan B的值．【解答】解：（1）a＝8时，x2﹣8x+4＝0，∴tan A+tan B＝8，tan A tan B＝4；∴tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝＝：（2）由题意，△＝a2﹣16≥0，解得a≥4或a≤﹣4；又tan A tan B＝4＞0，∴，∴tan A+tan B＝﹣a＞0，∴a＜0，即a≤﹣4；∴tan C＝﹣tan（A+B）＝＝≥，∴tan C的最小值是，此时对应的tan A＝tan B＝2．19．（14分）已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数（1）若，求函数f（x）的最小值；（2）f（x）是否可能为常值函数？若可能，求出f（x）为常值函数时，α，β的值，如果不可能，请说明理由．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数（1）∵，则f（x）＝sin2x+sin2（x+）+sin2（﹣x）＝sin2x+1≥1∴函数f（x）的最小值为1．（2）假设存在常数值，f（0）＝f（），则sin2α+sin2β＝1+cos2α+cos2β，即2（sin2α+sin2β）＝3，∴sin2α+sin2β＝，则cos2α+cos2β＝．∴，．20．（16分）某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”．其中AC，BD是过抛物线y ＝x2的两条相互垂直的弦（点A，B在第二象限），且AC，BD交于点，点E 为y轴上的一点，记∠EF A＝α，其中α为锐角：（1）设线段AF的长为m，将m表示为关于α的函数；（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小．【解答】解：（1）点A（﹣m sinα，m cosα+），∴m cosα+＝（﹣m sinα）2，即m2sin2α﹣m cosα﹣＝0．∵m＞0，∴m＝|AF|＝；（2）同理：|BF|＝，|DF|＝，|CF|＝．“蝴蝶形图案”的面积S＝S△AFB+S△CFD＝，令t＝sinαcosα，t∈（0，]，S＝＝（﹣），，∴＝2，S min＝，此时．21．（16分）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）有，则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lg[g（x1+x2）]≤lg[g（x1）]+lg[g（x2）]，则称g（x）为“对数V形函数”：（1）当f（x）＝x2时，判断函数f（x）是否为V形函数，并说明理由；（2）当g（x）＝x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．【解答】（1）解：f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]＝（x1+x2）2﹣（x12+x22）＝2x1x2∵x1，x2∈R，∴2x1x2符号不定，∴当2x1x2≤0时，f（x）是V形函数；当2x1x2＞0时，f （x）不是V形函数；（2）证明：假设对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），则lgg（x1+x2）﹣lgg（x1）﹣lgg（x2）＝lg[（x1+x2）2+2]﹣lg（x12+2）﹣lg（x22+2）≤0，∴（x1+x2）2+2≤（x12+2）（x22+2），∴x12x22+（x1﹣x2）2+2≥0，显然成立，∴假设正确，g（x）是对数V形函数；（3）解：f（x）是对数V形函数证明：∵f（x）是V形函数，∴对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），∵对任意x∈R，有f（x）≥2，∴0＜f（x1）+f（x2）≤f（x1）f（x2），∴f（x1+x2）≤f（x1）f（x2），∴lgf（x1+x2）≤lgf（x1）+lgf（x2），∴f（x）是对数V形函数．。
2016-2017学年上海市交大附中高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)
2016-2017学年上海市交大附中高一第二学期期末数学试卷一.填空题1．无限循环小数0.03⋅6⋅化成最简分数为 ． 2．函数y ＝2arccos √x −1的定义域是 ．3．若{a n }是等比数列，a 1＝8，a 4＝1，则a 2+a 4+a 6+a 8＝ ． 4．函数f （x ）＝tan x +cot x 的最小正周期为 ．5．已知a ，b ∈R 且lim n→∞(an 2+bn n+1−n)=3，则a 2+b 2＝ ．6．用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12n −1＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n ＝k （k ＞1）不等式成立，推证n ＝k +1时，左边应增加的项数是 ．7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2√3，c ＝2，A ＝120°，S △ABC ＝ ．8．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 ．9．数列{a n }满足a 12+a 222+⋯+a n 2n=2n +5，n ∈N *，则a n ＝ ．10．设[x ]表示不超过x 的最大整数，则[sin1]+[sin2]+[sin3]+…+[sin10]＝ ． 11．已知25sin 2α+sin α﹣24＝0，α在第二象限内，则cos α2的值为 ．12．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦．B ．曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是 ．13．数列{a n }满足：a n ={q n ，n =2k −1(0.5)n，n =2k ，k ∈N *，{a n }的前n 项和记为S n ，若lim n→∞S n ≤1，则实数q 的取值范围是 ．14．已知数列{a n }满足：a 1＝m （m 为正整数），a n+1={a n2，当a n 为偶数时3a n +1，当a n 为奇数时若a 6＝1，则a 5＝ ，m 所有可能取值的集合为 ．二.选择题15．设a、b、c是三个实数，则“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）局部图象如图所示，则函数y ＝f（x）的解析式为（）A．y=32sin(2x+π6)B．y=32sin(2x−π6)C．y=32sin(2x+π3)D．y=32sin(2x−π3)17．若数列{a n}对任意n≥2（n∈N）满足（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n﹣2a n﹣1）＝0，下面给出关于数列{a n}的四个命题：①{a n}可以是等差数列；②{a n}可以是等比数列；③{a n}可以既是等差又是等比数列；④{a n}可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．若数列{a n}前12项的值各异，且a n+12＝a n对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{a n}前12项值的数列为（）A．{a3k+1}B．{a4k+1}C．{a5k+1}D．{a6k+1}三.解答题19．已知函数f（x）＝﹣a cos2x−√3a sin2x+2a+b（a≠0），x∈[0，π2]，值域为[﹣5，1]，求常数a、b的值．20．在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了他们的工资标准：A公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资分别是多少；（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？21．如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝1，BC＝2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC，点P在边AB上，设∠MOD＝θ；（1）若θ＝30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的三角形铁皮PMN面积的最大值．22．在xOy平面上有一点列P1（a1，b1）、P2（a2，b2）、…、P n（a n，b n）、…，对每个正整数n，点P n位于函数y=1000(a6)x（0＜a＜6）的图象上，且点P n、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以P n为顶角顶点的等腰三角形；（1）求点P n的纵坐标b n的表达式；（2）若对每个自然数n，以b n、b n+1、b n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（3）设B n＝b1b2…b n（n∈N*），若a取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{B n}的最大项的项数是多少？试说明理由．23．设递增数列{a n}共有k项，定义集合A k＝{x|x＝a i+a j，1≤i＜j≤k}，将集合A k中的数按从小到大排列得到数列{b n}；（1）若数列{a n}共有4项，分别为a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝6，写出数列{b n}的各项的值；（2）设{a n}是公比为2的等比数列，且0.5＜a1＜2，若数列{b n}的所有项的和为4088，求a1和k的值；（3）若k＝5，求证：{a n}为等差数列的充要条件是数列{b n}恰有7项．2016-2017学年上海市交大附中高一第二学期期末数学试卷参考答案一.填空题1．无限循环小数0.03⋅6⋅化成最简分数为255．【分析】把问题转化为求是以361000为首项，以1100为公比的所有项的和，然后利用无穷递缩等比数列所有项和的求法求解．解：0.03⋅6⋅=0.036+0.00036+…，可看作是以361000为首项，以1100为公比的所有项的和，则无限循环小数0.03⋅6⋅化成最简分数为3610001−1100=36990=255．故答案为：255．2．函数y＝2arccos√x−1的定义域是[1，2]．【分析】函数y＝2arccos√x−1有意义，可得﹣1≤√x−1≤1且x﹣1≥0，解不等式即可得到所求定义域．解：函数y＝2arccos√x−1有意义，可得﹣1≤√x−1≤1且x﹣1≥0，即为x≤2且x≥1，解得1≤x≤2，则函数的定义域为[1，2]．故答案为：[1，2]．3．若{a n}是等比数列，a1＝8，a4＝1，则a2+a4+a6+a8＝8516．【分析】{a n}是等比数列，a1＝8，a4＝1，利用等比数列通项公式求出q=12，由此能求出a2+a4+a6+a8．解：{a n}是等比数列，a1＝8，a4＝1，∴a4=8q3=1，解得q=12，∴a 2+a 4+a 6+a 8=8×12+8×(12)3+8×(12)5+8×(12)7=8516．故答案为：8516．4．函数f （x ）＝tan x +cot x 的最小正周期为 π ．【分析】利用同角三角函数基本关系式化简函数的解析式，然后利用周期公式求解即可． 解：函数f （x ）＝tan x +cot x =sinx cosx +cosx sinx =2sin2x， 因为y ＝sin2x 的周期为：π．所以函数f （x ）＝tan x +cot x 的最小正周期为：π． 故答案为：π．5．已知a ，b ∈R 且lim n→∞(an 2+bn n+1−n)=3，则a 2+b 2＝ 17 ．【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解a ，b 然后求解a 2+b 2即可．解：a ，b ∈R 且lim n→∞(an 2+bnn+1−n)=3，可得limn→∞an 2−n 2+bn−n n+1=3，可得{a =1b −1=3，则a 2+b 2＝1+16＝17． 故答案为：17．6．用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+1n ＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n ＝k （k ＞1）不等式成立，推证n ＝k +1时，左边应增加的项数是 2k ． 【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为 12−1，然后判断n ＝k +1时增加的项数即可．解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为12−1； 由n ＝k ，末项为12k −1到n ＝k +1，末项为 12k+1−1=12k −1+2k，∴应增加的项数为2k ．故答案为2k ．7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2√3，c ＝2，A ＝120°，S △ABC ＝ √3 ．【分析】由正弦定理和已知易得C ＝30°，进而可得sin B =12，由三角形的面积公式可得． 解：∵在△ABC 中，a ＝2√3，c ＝2，A ＝120°，∴由正弦定理可得sin C =csinA a =2×√3223=12， ∴C ＝30°，或C ＝150°（A ＝120°，应舍去）， ∴sin B ＝sin （A +C ）＝sin150°=12∴S △ABC =12acsinB =12×2√3×2×12=√3故答案为：√38．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 [−π3，π4] ．【分析】推导出cos ×∈[−√32，√22]，由此能求出f （x ）＝arcsin （cos x ）的值域．解：∵x ∈[π4，5π6]，∴cos x ∈[−√32，√22]，∴f （x ）＝arcsin （cos x ）∈[−π3，π4]． 故答案为：[−π3，π4]． 9．数列{a n }满足a 12+a 22+⋯+a n2=2n +5，n ∈N *，则a n ＝ {14，n =12n+1，n ≥2． 【分析】利用递推公式a n ={S 1，n =1S n −S n−1，n ≥2即可求解解：当n ＝1时，可得12a 1＝7，即a 1＝14 当n ≥2时，a 12+a 222+⋯+a n 2n=2n +5，n ∈N *，a 12+a 222+⋯+a n−12n−1=2n +3，两式相减可得，a n 2n=2，∴a n ＝2n +1当n ＝1时，a 1＝14不适合上式 故a n ={14，n =12n+1，n ≥2，故答案为：{14，n =12n+1，n ≥2．10．设[x ]表示不超过x 的最大整数，则[sin1]+[sin2]+[sin3]+…+[sin10]＝ ﹣4 ． 【分析】由题意得[sin1]＝[sin2]＝[sin3]＝0，[sin4]＝[sin5]＝[sin6]＝﹣1，[sin7]＝[sin8]＝[sin9]＝0，[sin10]＝﹣1，由此能求出结果．解：[sin1]+[sin2]+[sin3]+…+[sin10] ＝0+0+0﹣1﹣1﹣1+0+0+0﹣1 ＝﹣4． 故答案为：﹣4．11．已知25sin 2α+sin α﹣24＝0，α在第二象限内，则cos α2的值为 ±35 ．【分析】由已知，先求出sin α的值，再利用二倍角余弦公式求cos α2．解：∵25sin 2α+sin α﹣24＝0，∴（25sin α﹣24）（sin α+1）＝0，∵α在第二象限内，∴sin α=2425．cos α=7−25.在第一或第三象限．根据二倍角余弦公式可得cos 2α2=1−cosα2=925∴cosα2=±35，故答案为；±35．12．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦．B ．曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是 144 ．【分析】本题是一个探究型的题，可以看到第四行起每一行实心圆点的个数都是前两行实心圆点个数的和，由此可以得到一个递推关系，利用此递推关系求解即可得答案． 解：由题意及图形知不妨构造这样一个数列{a n }表示实心圆点的个数变化规律，令a 1＝1，a 2＝1，n ≥3时，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2，本数列中的n 对应着图形中的第n +1行中实心圆点的个数． 由此知a 11即所求：故各行中实心圆点的个数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144； 即第13项为144； 故答案为：14413．数列{a n }满足：a n ={q n ，n =2k −1(0.5)n，n =2k，k ∈N *，{a n }的前n 项和记为S n ，若lim n→∞S n ≤1，则实数q 的取值范围是 （﹣1，12] ．【分析】由题意可得数列{a n }的奇数项成公比为q 2，偶数项成公比为0.25的等比数列，由无穷递缩等比数列的求和公式，结合二次不等式的解法，即可得到所求q 的范围． 解：前n 项和记为S n ， a n ={q n ，n =2k −1(0.5)n ，n =2k，k ∈N *， 则lim n→∞S n =lim n→∞[（a 1+a 3+a 5+…）+（a 2+a 4+a 6+…）] =a 11−q 2+a 21−0.25 =q 1−q 2+0.250.75≤1， 由|q |＜1即﹣1＜q ＜1， 可得2q 2+3q ﹣2≤0，解得﹣2≤q ≤12，则q 的取值范围是（﹣1，12]．故答案为：（﹣1，12]．14．已知数列{a n }满足：a 1＝m （m 为正整数），a n+1={a n2，当a n 为偶数时3a n +1，当a n 为奇数时若a 6＝1，则a 5＝ 2 ，m 所有可能取值的集合为 {4，5，32} ．【分析】先确定a 5＝2，a 4＝4，进而a 3＝有两种情况，再分类讨论，即可得到结论． 解：∵数列{a n }满足：a 1＝m （m 为正整数），a n+1={a n2，当a n 为偶数时3a n +1，当a n 为奇数时，a 6＝1，∴a 5＝2，a 4＝4，∴①a 3＝1，a 2＝2，a 1＝4，即m ＝4； ②a 3＝8，a 2＝16，此时，又有下面两种情况： 1°a 1＝5，即m ＝5； 2°a 1＝32，即m ＝32． 故答案为：2，{4，5，32}． 二.选择题15．设a 、b 、c 是三个实数，则“b 2＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】先证明必要性，由a 、b 、c 成等比数列，根据等比数列的性质可得b 2＝ac ；再证充分性，可以举一个反例，满足b 2＝ac ，但a 、b 、c 不成等比数列，从而得到正确的选项． 解：若a 、b 、c 成等比数列， 根据等比数列的性质可得：b 2＝ac ；若b ＝0，a ＝2，c ＝0，满足b 2＝ac ，但a 、b 、c 显然不成等比数列， 则“b 2＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的必要非充分条件． 故选：B ．16．若函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|≤π）局部图象如图所示，则函数y＝f （x ）的解析式为（ ）A ．y =32sin(2x +π6) B ．y =32sin(2x −π6)C ．y =32sin(2x +π3)D ．y =32sin(2x −π3)【分析】由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象可求得A ，T ，从而可得ω，再由f （2π3+π62）=32，结合φ的范围可求得φ，从而可得答案． 解：∵12T =2π3−π6=π2， ∴ω=2πT=2； 又由图象可得：A =32，可得：f （x ）=32sin （2x +φ），f （2π3+π62）=32sin （2×5π12+φ）=32， ∴5π6+φ＝k π+π2，k ∈Z ．∴φ＝k π−π3，（k ∈Z ）， 又∵|φ|≤π，∴当k＝0时，可得：φ=−π3，此时，可得：f（x）=32sin（2x−π3）．故选：D．17．若数列{a n}对任意n≥2（n∈N）满足（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n﹣2a n﹣1）＝0，下面给出关于数列{a n}的四个命题：①{a n}可以是等差数列；②{a n}可以是等比数列；③{a n}可以既是等差又是等比数列；④{a n}可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由已知可得a n﹣a n﹣1＝2，或a n＝2a n﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．解：∵数列{a n}对任意n≥2（n∈N）满足（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n﹣2a n﹣1）＝0，∴a n﹣a n﹣1＝2，或a n＝2a n﹣1，∴①{a n}可以是公差为2的等差数列，正确；②{a n}可以是公比为2的等比数列，正确；③若{a n}既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误；④{a n}可以既不是等差又不是等比数列，错误；故选：B．18．若数列{a n}前12项的值各异，且a n+12＝a n对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{a n}前12项值的数列为（）A．{a3k+1}B．{a4k+1}C．{a5k+1}D．{a6k+1}【分析】对于数列{a n}前12项的值各异，且a n+12＝a n对任意的n∈N*都成立，可知：数列{a n}为周期数列．周期为12，并且数列{a n}前12项的值各异．经过验证：对于数列{a5k+1}，满足要求，而其他A，B，D不满足要求．解：对于数列{a n}前12项的值各异，且a n+12＝a n对任意的n∈N*都成立，可知：数列{a n}为周期数列．周期为12，并且数列{a n}前12项的值各异．对于数列{a5k+1}，对于k＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11时，5k+1分别为：1，6，11，12+4，12+9，12×2+2，12×2+7，12×2+12，12×3+5，12×3+10，12×4+3，12×4+8．经过验证：而其他A，B，D不满足要求．故选：C．三.解答题19．已知函数f （x ）＝﹣a cos2x −√3a sin2x +2a +b （a ≠0），x ∈[0，π2]，值域为[﹣5，1]，求常数a 、b 的值．【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，其中利用分类讨论思想注意做到灵活应用．解：f （x ）＝﹣a cos2x −√3a sin2x +2a +b （a ≠0），＝﹣2a sin （2x +π6）+2a +b ，由于：x ∈[0，π2]，则：2x +π6∈[π6，7π6]， 得到：sin(2x +π6)∈[−12，1] 所以：当a ＞0时，3a +b ≥﹣2a sin （2x +π6）+2a +b ≥b ，由于函数的值域为[﹣5，1]，所以：{3a +b =1b =−5， 解得：a ＝2，b ＝﹣5，同理：当a ＜0时，解得：a ＝﹣2，b ＝1，故：a ＝2，b ＝﹣5或a ＝﹣2，b ＝1，20．在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了他们的工资标准：A 公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B 公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资分别是多少； （2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？【分析】（1）设该人在A 或B 公司连续工作n 年，第n 年的月收入分别为a n ，b n ，分别由等差数列与等比数列的通项公式可得a n ，b n ；（2）设该人在A 或B 公司连续工作10年，工资总收入S ，T ，分别利用等差数列与等比数列的求和公式求出S ，T ，由此推导出选择的公司．解：（1）设该人在A 或B 公司连续工作n 年，第n 年的月收入分别为a n ，b n ，∵A 公司允诺第一年月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元， B 公司允诺第一年月工资为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%， ∴a n ＝8000+500（n ﹣1）＝500n +7500，b n ＝8000×（1+5%）n ﹣1＝8000×1.05n ﹣1．（2）设该人在A 或B 公司连续工作10年，工资总收入S ，T ，则S ＝（8000×10+10×92×500）×12＝1230000（元）， T =8000(1−1.0510)1−1.05×12≈1205769（元）． ∵S ＞T ，∴选择A 公司．21．如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC ，点P 在边AB 上，设∠MOD ＝θ；（1）若θ＝30°，求三角形铁皮PMN 的面积；（2）求剪下的三角形铁皮PMN 面积的最大值．【分析】（1）求出MN 和P 到MN 的距离，代入面积公式得出答案；（2）用θ表示出MN 和P 到MN 的距离，得出三角形的面积S 关于θ的函数，利用三角变换求出S 的最大值．解：（1）当∠MOD ＝θ＝30°时，MN ＝OM •sin θ+AB =32，∴P 到MN 的距离为OA +OM •cos θ＝1+√32． ∴△PMN 的面积为12×32×(1+√32)=6+3√38． （2）MN ＝1+sin θ，P 到直线MN 的距离为（1+cos θ），∴△PMN 的面积S =12×(1+sinθ)(1+cosθ)=12（1+sin θ+cos θ+sin θcos θ）（0≤θ＜π），设sin θ+cos θ＝t ，则sin θcos θ=t 2−12， ∴S =12（1+t +t 2−12）=t 24+t 2+14=14（t +1）2， ∵t =√2sin （θ+π4），0≤θ＜π，∴﹣1＜t ≤√2，∴当t =√2时，S 取得最大值3+2√24． 22．在xOy 平面上有一点列P 1（a 1，b 1）、P 2（a 2，b 2）、…、P n （a n ，b n ）、…，对每个正整数n ，点P n 位于函数y =1000(a 6)x （0＜a ＜6）的图象上，且点P n 、点（n ，0）与点（n +1，0）构成一个以P n 为顶角顶点的等腰三角形；（1）求点P n 的纵坐标b n 的表达式；（2）若对每个自然数n ，以b n 、b n +1、b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围； （3）设B n ＝b 1b 2…b n （n ∈N *），若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{B n }的最大项的项数是多少？试说明理由．【分析】（1）由于三角形为等腰三角形，所以点P n （a n ，b n ）在两点（n ，0）与（n +1，0）连线的中垂线上，结合点P n （a n ，b n ）在函数y =1000(a 6)x （0＜a ＜6）的图象上，可得结论．（2）根据函数y =1000(a 6)x （0＜a ＜6）是单调递减，可得对每一个自然数n 有b n ＞b n +1＞b n +2，进而由b n ，b n +1，b n +2为边长能构成一个三角形，可得b n +2+b n +1＞b n ，由此可求a 的取值范围．（3）先确定数列{∁n }是一个递减的等差数列，再根据当∁n ≥0且C n +1＜0时，数列{∁n }的前n 项的和最大，即可得到结论．解：（1）由题意，∵点P n ，点（n ，0）与点（n +1，0）构成一个以P n 为顶点的等腰三角形，∴点P n （a n ，b n ）在两点（n ，0）与（n +1，0）连线的中垂线上，∴a n ＝n +12，∴b n ＝1000（a 6）m +0.5．… （2）∵函数y =1000(a 6)x （0＜a ＜6）递减，∴对每个自然数n ，有b n ＞b n +1＞b n +2，则以b n ，b n +1，b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2b n +1b n ，即（a 6）2+（a 6）﹣1＞0… 解得a ＜﹣﹣3﹣3√5，或a ＞3+3√5，综上：3√5−3＜a ＜6．…（3）∵3√5−3＜a ＜6，a 取（2）中确定的范围内的最小整数， ∴a ＝4，∴b n ＝1000（23）n+12，…∴数列{b n }是一个递减的正数数列，对每个自然数n ≥2，B n ＝b n B n ﹣1， 于是当b n ≥1时，B n ≥B n ﹣1，当b n ＜1时，B n ＜B n ﹣1，因此，数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1＜1． 由b n ＝1000（23）n+12≥1，∵b 16＞1，b 17＜1，∴B 16 最大．…（16分）23．设递增数列{a n }共有k 项，定义集合A k ＝{x |x ＝a i +a j ，1≤i ＜j ≤k }，将集合A k 中的数按从小到大排列得到数列{b n }；（1）若数列{a n }共有4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝6，写出数列{b n }的各项的值； （2）设{a n }是公比为2的等比数列，且0.5＜a 1＜2，若数列{b n }的所有项的和为4088，求a 1和k 的值；（3）若k ＝5，求证：{a n }为等差数列的充要条件是数列{b n }恰有7项．【分析】（1）由已知中数列{a n }共有4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝6，进而可得数列{b n }的各项的值；（2）设{a n }是公比为2的等比数列，则数列{b n }的所有项的和即a n 中的每一项重复加了k ﹣1次，进而得到答案；（3）若k ＝5，分别证明{a n }为等差数列的充要条件是数列{b n }恰有7项的充分性和必要性，综合可得答案．解：（1）∵集合A k ＝{x |x ＝a i +a j ，1≤i ＜j ≤k }，将集合A k 中的数按从小到大排列得到数列{b n }；若数列{a n }共有4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝6，则b 1＝a 1+a 2＝4，b 2＝a 1+a 3＝5，b 3＝a 1+a 4＝a 2+a 3＝7，b 4＝a 2+a 4＝9，b 5＝a 3+a 4＝10． （2）若{a n }是公比为2的等比数列，则数列{b n }的所有项的和即a n 中的每一项重复加了k ﹣1次，即4088＝（k﹣1）•（2k﹣1）a1，故a1为2的整数次幂，∵0.5＜a1＜2，∴a1＝1，（2k﹣1）（k﹣1）＝4088，k＝9，证明：（3）若k＝5，{a n}为等差数列，则d＞0则数列{b n}也是公差为d的等差数列，最小值为a1+a2＝2a1+d最大值为a4+a5＝2a1+7d，故数列{b n}恰有7项．若数列{b n}恰有7项．则由a1+a2＜a1+a3＜a2+a3＜a2+a4＜a3+a4＜a3+a5＜a4+a5得：{b n}的7项分别为：a1+a2，a1+a3，a2+a3，a2+a4，a3+a4，a3+a5，a4+a5；则由a1+a3＜a1+a4＜a3+a4得：a1+a4＝a2+a3，即a4﹣a3＝a2﹣a1，同理a5﹣a4＝a3﹣a2，a3﹣a2＝a2﹣a1，即{a n}为等差数列．综上可得：{a n}为等差数列的充要条件是数列{b n}恰有7项．。
2017-2018学年上海交通大学附属中学高一数学第二学期期末试卷(解析版)
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第二学期高一数学期末考试试卷（满分150分，120分钟完成. 答案一律写在答题纸上）命题：刘亚丽 审核：杨逸峰一、 填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1、已知12lim()13n an n n→∞-+=，则____________a = 答案：12、一个等差数列的前4项是1,,,2x a x ，则x 等于________ 答案：23、关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110301，则x y += 答案：44、函数sin y x =和tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点个数是_______ 答案：55、在数列}{n a 中，1a ＝2，)(1*1N n a a n n ∈=++，设n S 为数列}{n a 的前n 项和，则2019201820172S S S -+的值为答案：3 解：法－当n 为偶数时，114321=+==+=+-n n a a a a a a Λ，故2n S n =当n 奇数时，21=a ，115432=+==+=+-n n a a a a a a Λ，故23212+=-+=n n S n 故201920182017210112100910103S S S -+=-⨯+= 法二由1a ＝2，)(1*1N n a a n n ∈=++，可得()()21n n a n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数故2019201820172019201820182017201920182()3S S S S S S S a a -+=---=-=6、把函数22sin 2cos )(+-=x x x f 的图象沿x 轴向左平移m 个单位（m>0），所得函数的图象关于直线π817=x 对称，则m 的最小值为 答案：4π7、给出下列等式：π2cos 4=，π2cos 8=，π2cos 16=， ……请从中归纳出第n ()n ∈*N2n 个答案：12cos n +π28、等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是第 项．答案：设抽取的是第n 项．∵S 11＝55，S 11－a n ＝40，∴a n ＝15，又∵S 11＝11a 6 a 6＝5．由a 1＝－5，得d ＝21616=--a a ，令15＝－5＋（n －1）×2，∴n ＝119、ABC ∆中，a b c 、、分别为A B C 、、对边，已知,2a c ==，且sin sin 0020cos 01C B b c A -=，则ABC ∆的面积= 。
2016-2017年上海市交大附中高一上期末
上海交通大学附属中学 2016 学年度第一学期高一期末学试卷一、填空题1. 满足{1,2}{1,2,3,4}A ⊆⊆的集合A 共有____________个．2. 已知集合{}{}222,R ,43,RA y y x x xB y y x x x ==+∈==---∈，则A B =____________． 3. 若1tan 2θ=-，那么221sin cos sin cos θθθθ+-=____________． 4. 不等式3112x x-≥-的解集为____________． 5. 若函数2()1x a f x x bx +=++是定义在[1,1]-上的奇函数，则22a b +=____________． 6. 已知函数()3(0)f x a x b a =-+>，则将(),(3),()f e f f π从小到大排列为____________．7. 在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称声强．日常生活中能听到的声音其声强范围很大，最大和最小之间的比值可达1210倍．用声强的物理学单位表示声音强弱很不方便．当人耳听到两个强度不同的声音时，感觉的大小大致上与两个声强比值的常用对数成比例．所以引入声强级来表示声音的强弱．某一处的声强级，是指该处的声强P 与参考声强0P 的比值的常用对数，单位为贝尔（B ），其中参考声强12010P -=瓦/米2．实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝（dB ）来作为声强级的单位，其公式为声强级（dB ）=010lg P P ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭．若某工厂环境内有一台机器（声源）单独运转时，发出噪声的声强级为80 分贝，那么两台相同的机器一同运转时（声强为原来的两倍），发出噪声的声强级为____________分贝．（精确到0.1分贝）8. 记123100A =⨯⨯⨯⨯，那么2341001111log log log log A A A A ++++=____________．9. 已知,(0,)x y ∈+∞，且191x y+=，那么x y +的最小值是____________． 10. 设0a >且1a ≠，则函数2()221x f x a x x a =+--+的零点的个数为____________．11. 若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是____________．12. 已知函数()y f x =的定义域为(1,)+∞，对于定义域内的任意实数x ，有(2)2()f x f x =成立，且(1,2]x ∈时，2()log f x x =．那么当(1,2n x ⎤∈⎦时，函数()y f x =的最大值为____________．（用n 来表示）二、选择题13. 下列命题中正确的是（ ）A. 第一象限的角必是锐角B. 相等的角终边必相同C. 终边相同的角必相等D. 不相等的角的终边位置必不相同14. 若二次函数2y ax bx c =++的图像不经过原点，则“0abc =”是“此函数为偶函数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 下列选项中，表示的不是同一个函数的是（ ）A. ()f x =()g x =B. ()x f x e =与()t g t e =C. 2(),{0,1}f x x x =∈与(),{0,1}g x x x =∈D. ()1f x =与0()g x x =16. 如果一个函数()y f x =的图象是一个中心对称图形，关于点(,)P m n 对称．那么将()y f x =的图像向左平移m 个单位再向下平移n 个单位后得到一个关于原点对称的函数图像．即函数()y f x m n =+-为奇函数．那么下列命题中真命题的个数是（ ）①二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像肯定不是一个中心对称图形；②三次函数32(0)y ax bx cx d a =+++≠的图像肯定是一个中心对称图形； ③函数1x b y c a=++（0a >且1a ≠）的图像肯定是一个中心对称图形． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个三、解答题17. 某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如左图），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如右图）：（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A 、B 两种产品的利润()f x 、()g x 表示为投资额x 的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得的总利润最大，最大总利润为多少？18. 解关于x 的不等式21ax ax x +->19. 已知函数4()(0)f x x x x=-< （1）求函数()f x 的反函数1()f x -；（2）判断1()f x -的单调性并证明；（3）解不等式：22x >-20. 已知函数()9233x x f x a =-⋅+（1）若1,[0,1]a x =∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）对于（2）中的函数()h a ，是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ，若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由参考答案一、填空题1. 42. [1,1]-3. -14. 3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭5. 06. (3)()()f f f e π<<7. 83.08. 19. 16 10. 2 11. 2(,2],5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭12. 12n - 二、选择题13. B 14. C15. D 16. D三、解答题17. （1）1()(0)4y f x x x ==≥，()0)y g x x ==≥ （2）B 产品投资6.25万元，总利润最大，最大为4.0625万元。
(精品)2016-2017学年上海市交通大学附中高一(下)期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市交通大学附中高一（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．2．（3分）arccos（﹣）=．3．（3分）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为cm．4．（3分）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为．5．（3分）函数的最小正周期为．6．（3分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=．7．（3分）函数y=sinx+arcsinx的值域是．8．（3分）关于x的方程cos2x+sinx+a=0在上有解，则a的取值范围是．9．（3分）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=．10．（3分）已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．11．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为．12．（3分）已知函数y=kcos（kx）在区间单调递减，则实数k的取值范围为．二、选择题13．（3分）方程tanx=2的解集为（）A．{x|x=2kπ+arctan2，k∈Z}B．{x|x=2kπ±arctan2，k∈Z}C．{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}D．{x|x=kπ+（﹣1）k arctan2，k∈Z}14．（3分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A． B．C．D．15．（3分）函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，π]16．（3分）已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sinα，sinβ，sinγ；②sin2α，sin2β，sin2γ；③；④分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组三、解答题17．设，且α，β满足（1）求的值．（2）求cos（α+β）的值．18．如图，等腰三角形ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD大小为α，∠CAD大小为β．（1）若，求；（2）若，求∠B．19．某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D．（1）若，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=4cosBcosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sinB=psinC，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．21．已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=﹣Mf（x）成立．（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．2016-2017学年上海市交通大学附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．【解答】解：由题意可得x=5，y=﹣12，r=|OP|=13，∴cosα==，∴secα=．故答案为：．2．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）arccos（﹣）=．【解答】解：===．故答案为：．3．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为6 cm．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===9．解得r=3∴扇形的弧长为l=rα=3×2=6l=rα=3×2=6cm．故答案为：6．4．（3分）（2016春•金山区校级期末）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为﹣．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴tanα===﹣．故答案为：﹣．5．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数=2﹣1+1=﹣cos（2x+）+1 的最小正周期为=π，故答案为：π．6．（3分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．7．（3分）（2005•上海）函数y=sinx+arcsinx的值域是[﹣sin1﹣，sin1+] ．【解答】解：函数y=sinx+arcsinx的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x=﹣1时，函数y=sinx+arcsinx有最小值﹣sin1+（﹣）=﹣sin1﹣．故当x=1时，函数y=sinx+arcsinx有最大值sin1+，故函数y=sinx+arcsinx的值域是[﹣sin1﹣，sin1+]，故答案为[﹣sin1﹣，sin1+]．8．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）关于x的方程cos2x+sinx+a=0在上有解，则a的取值范围是．【解答】解：由cos2x+sinx+a=0，转化为：1﹣sin2x+sinx+a=0，即（sinx﹣）2=∵上，sinx∈（0，1）∴sinx﹣∈（，]则（sinx﹣）2∈[0，]∴∴a的取值范围是．故答案为．9．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【解答】解：由题可知t=sinx∈[﹣1，1]，则y=f（x）=1+，令z=，则当t=0时z=0，且函数z为奇函数，所以z max+z min=0，又因为M+m=（1+z max）+（1+z min），所以M+m=2+（z max+z min）=2，故答案为：2．10．（3分）（2017•江苏一模）已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．11．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为．【解答】解：设A=B，由已知得sinA1=sinB1，cosA=sinA1，cosB=sinB1，cosC=sinC1，则A1=B1，所以A+A1=，B+B1=，C+C1=（舍）或A+A1=，B+B1=，C=C1﹣，解得C=，A=B==．故答案是：．12．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知函数y=kcos（kx）在区间单调递减，则实数k 的取值范围为[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12} ．【解答】解：当k＞0时，令2mπ≤kx≤π+2mπ，解得≤x≤+，m∈Z，∵函数y=kcos（kx）在区间单调递减，∴，解得，m∈Z，∴0＜k≤3或8≤k≤9．当k＜0时，令﹣π+2mπ≤﹣kx≤2mπ，解得﹣≤x≤﹣，m∈Z，∵函数y=kcos（kx）在区间单调递减，∴，解得，m∈Z，∴﹣6≤k≤﹣4，或k=﹣12，综上，k的取值范围是[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．故答案为：[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．二、选择题13．（3分）（2011•浦东新区二模）方程tanx=2的解集为（）A．{x|x=2kπ+arctan2，k∈Z}B．{x|x=2kπ±arctan2，k∈Z}C．{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}D．{x|x=kπ+（﹣1）k arctan2，k∈Z}【解答】解：由tanx=2，根据正切函数图象及周期可知：x=kπ+arctan2．故选C14．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A． B．C．D．【解答】解：由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A=2，m=2．再由最小正周期为，可得=，解得ω=4，∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=2sin（4x+φ）+2．再由x=是其图象的一条对称轴，可得4×+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=，故符合条件的函数解析式是y=2sin（4x+）+2，故选D．15．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，π]【解答】解：∵y=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣），∴只要求y=2sin（2x﹣）的减区间，∵y=sinx的减区间为[2kπ+，2kπ+]，∴令2x﹣∈[2kπ+，2kπ+]，解得x∈[kπ+，kπ+]，又x∈[0，π]，∴x∈[，]．故选：C．16．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sinα，sinβ，sinγ；②sin2α，sin2β，sin2γ；③；④分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【解答】解：∵α，β，γ是某三角形的三个内角，设α，β，γ的对边分别为a，b，c，不妨令α≤β≤γ，则a≤b≤c，则a+b＞c．则①中，sinα=，sinβ=，sinγ=；则+＞，故一定能构成三角形；②中，sin2α=，sin2β=，sin2γ=，由+＞仅在a2+b2﹣c2＞0，即cosγ＞0时成立，故不一定能构成三角形．③中，+﹣=+＞0恒成立．恒成立，故一定能构成三角形，故③正确．④中，当α=β=30°时γ=120°，tan+tan﹣tan＜0，故不一定能构成三角形，故①③正确，故选：B．三、解答题17．（2011•广东校级模拟）设，且α，β满足（1）求的值．（2）求cos（α+β）的值．【解答】解：（1）∵5sinα+5cosα=8，∴10（sinα+cosα）=8，即sin（α+）=，（3分）∵α∈（0，），∴α+∈（，），∴cos（α+）==；（4分）（2）又∵sinβ+cosβ=2，∴2（sinβ+cosβ）=2，即sin（β+）=，（6分）∵β∈（，），∴β+∈（，），∴cos（β+）=﹣，（7分）∴cos（α+β）=sin[+（α+β）]=sin[（α+）+（β+）]=sin（α+）cos（β+）+cos（α+）sin（β+）=×（﹣）+×=﹣．（12分）18．（2017春•杨浦区校级期中）如图，等腰三角形ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD大小为α，∠CAD大小为β．（1）若，求；（2）若，求∠B．【解答】解：（1）在△ABD中，由正弦定理得，在△ACD中，由正弦定理得，∵∠B=∠C，∴，∴==．（2）由（1）知==，又β=α+，∴sinβ=sin（）=sinα+cosα，∴sinα+cosα=2sinα，即cosα=3sinα，∴tanα=，∴α=，β=，∴B=（π﹣α﹣β）=．19．（2017春•杨浦区校级期中）某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD 分别相切于点C，D．（1）若，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）【解答】解：（1）连结M1M2，AM1，AM2，∵圆M1与AB，AD相切于B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D，∴M1，M2⊥AD，∠M1AD=∠BAD=，∠M2AD=，∴M1B=ABtan∠M1AB=60×=20≈34.6（米），∵tan==，∴tan=2﹣，同理可得：M2D=60×tan=60（2﹣）≈16.1（米）．（2）设∠BAD=2α（0＜α＜），由（1）可知圆M1的半径为60tanα，圆M2的半径为60tan（45°﹣α），设观景步道总造价为y千元，则y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α）=96πtanα+108π•，设1+tanα=x，则tanα=x﹣1，且1＜x＜2．∴y=96π（x﹣1）+108π（）=12π•（8x+﹣17）≥84π≈263.8，当且仅当8x=即x=时取等号，当x=时，tanα=，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．∴当∠BAD为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．20．（2017春•杨浦区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=4cosBcosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sinB=psinC，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．【解答】解：（1）∵=4cosBcosC，∴3sinBsinC+cosBcosC﹣sinBcosC﹣cosBsinC，∴﹣sin（B+C）=3cos（B+C），∴tan（B+C）=﹣，∴tanA=，∴A=，（2）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，当且仅当b=c时取等号，=bcsinA≤×4×=，∴S△ABC∴△ABC面积的取值范围为（0，]，（3）sinB=psinC，∴p===+，∵△ABC为锐角三角形，A=，∴＜C＜，∴tanC＞，∴＜p＜2，即p的范围为21．（2017春•杨浦区校级期中）已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=﹣Mf（x）成立．（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．【解答】解：（1）取M=1 对于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=﹣sinπx=﹣g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P（2）M=1时，f（x+1）=﹣f（x）f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x）∴f（x）是一个周期函数，周期为2；（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常数M，对于对于任意的x∈R，都有h（x+M）=﹣Mh（x）成立．既sin（ωx+ωM）=﹣Msinωx若|M|＞1，取sinωx=1，则sin（ωx+ωM）=﹣M对x∈R恒成立时不可能的．若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，则对x∈R也不成立．∴M=±1当M=1时sin（ωx+ω）=﹣sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；当M=﹣1时sin（ωx﹣ω）=sinωx，sin（ωx﹣ω）﹣sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπk∈Z综上可得ω=kπ（k∈Z）:qiss；沂蒙松；w3239003；caoqz；sllwyn；左杰；cst；zhczcb；lcb001；742048；whgcn；wfy814（排名不分先后）菁优网2017年6月6日。
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交大附中高一期末数学试卷
一. 填空题
1. 无限循环小数0.036
化成最简分数为 2.
函数y =的定义域是
3. 若{}n a 是等比数列，18a =，41a =，则2468a a a a +++=
4. 函数()tan cot f x x x =+的最小正周期为
5. 已知,a b R ∈且2lim()31
n an bn n n →∞+-=+，则22a b += 6. 用数学归纳法证明“11112321
n n +++⋅⋅⋅+<-*(,1)n N n ∈>”时，由n k =(1)k >不 等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数共 项
7. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
若a =2c =，120A ︒=， 则ABC S ∆=
8. 函数()arcsin(cos )f x x =，5[
,]46x ππ∈的值域为 9. 数列{}n a 满足12225222
n n a a a n ++⋅⋅⋅+=+，*n N ∈，则n a = 10. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，则[sin1][sin 2][sin3][sin10]+++⋅⋅⋅+=
11. 已知225sin sin 240αα+-=，α为第二象限角，则cos 2α
=
12. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学 科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形 规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是
13. 数列{}n a 满足：,21(0.5),2n n n q n k a n k
⎧=-⎪=⎨=⎪⎩，*k N ∈， {}n a 的前n 项和记为n S ，若lim 1n n S →∞
≤，则实数q 的 取值范围是
14. 已知数列{}n a 满足：1a m =*()m N ∈，1
0.531n n n
a a a +⎧=⎨+⎩ n n a a 当为偶数时当为奇数时，若61a =， 写出m 所有可能的取值
二. 选择题
15. 设a 、b 、c 是三个实数，则“2b ac =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
16. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>>≤
局部图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为（ ）
A. 3sin(2)26y x π=
+ B. 3sin(2)26y x π=- C. 3sin(2)23y x π=+ D. 3sin(2)23
y x π=- 17. 若数列{}n a 对任意2n ≥()n N ∈满足11(2)(2)0n n n n a a a a -----=，下面给出关于数 列{}n a 的四个命题：① {}n a 可以是等差数列；② {}n a 可以是等比数列；③ {}n a 可以既 是等差又是等比数列；④ {}n a 可以既不是等差又不是等比数列；
则上述命题中，正确的个数为（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
18. 若数列{}n a 前12项的值各异，且12n n a a +=对任意的*n N ∈都成立，则下列数列中可 取遍{}n a 前12项值的数列为（ ）
A. 31{}k a +
B. 41{}k a +
C. 51{}k a +
D. 61{}k a +
三. 解答题
19. 已知函数()cos2sin 22f x a x x a b =-++(0)a ≠，[0,
]2x π∈，值域为[5,1]-，
求常数a 、b 的值；
20. 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了他们的工资标准：A 公司允诺第 一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B 公司允诺第一年月 工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：
（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资分别是多少；
（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？
21. 如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，
1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥，点P 在 边AB 上，设MOD θ∠=；
（1）若30θ︒=，求三角形铁皮PMN 的面积；
（2）求剪下的三角形铁皮PMN 面积的最大值；
22. 在xOy 平面上有一点列111(,)P a b 、222(,)P a b 、⋅⋅⋅、(,)n n n P a b 、⋅⋅⋅，
对每个正整数n ， 点n P 位于函数1000()6x
a y =(06)a <<的图像上，且点n P 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一 个以n P 为顶角顶点的等腰三角形；
（1）求点n P 的纵坐标n b 的表达式；
（2）若对每个自然数n ，以n b 、1n b +、2n b +为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；
（3）设12n n B bb b =⋅⋅⋅*()n N ∈，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{}n B 的 最大项的项数是多少？试说明理由；
23. 设递增数列{}n a 共有k 项，定义集合{|,1}k i j A x x a a i j k ==+≤<≤，将集合k A 中 的数按从小到大排列得到数列{}n b ；
（1）若数列{}n a 共有4项，分别为11a =，23a =，34a =，46a =，写出数列{}n b 的各 项的值；
（2）设{}n a 是公比为2的等比数列，且10.52a <<，若数列{}n b 的所有项的和为4088， 求1a 和k 的值；
（3）若5k =，求证：{}n a 为等差数列的充要条件是数列{}n b 恰有7项；
参考答案
一. 填空题 1. 255 2. [1,2] 3. 8516
4. π
5. 17
6. 2k
7. 8. [,]34ππ- 9. 114,12,2
n n n +=⎧⎨≥⎩ 10. 4- 11. 35 12. 144 13. 1
(1,]2- 14. 4、5、32
二. 选择题
15. B 16. D 17. C 18. C
三. 解答题
19. 2a =，5b =-；或2a =-，1b =；
20.（1）A 公司：7500500n +；B 公司：18000(15%)n -+；
（2）A 公司十年月工资总和为1230000，B 公司十年月工资总和为1207476，选A 公司；
21.（1）
68+；（2）34
+；
22.（1）0.51000()6n n a b +=；（2）36a <<；（3）16B 最大，因为161b >，171b <； 23.（1）14b =，25b =，37b =，49b =，510b =；
（2）11a =，(21)(1)4088k k --=，9k =；（3）略；。