2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果． 【详解】由题意A C ⊆，则U UC A ⊆痧，当U B C ⊆ð，可得“A B =∅”；若“AB =∅”能推出存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð，U ∴为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的充分必要的条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题． 2．已知实数x ，y 满足()01xya a a <<<，[]x 表示不超过x 的最大整数，则下面关系式恒成立的是（ ） A.221111x y >++ B.()()22ln 1ln 1x y +>+ C.11x y x y->- D.[][]x y ≥【答案】D【解析】根据条件求出x y >，结合不等式的关系，利用特殊值法进行判断即可． 【详解】当01a <<时，由x y a a <得x y >，A ．当1x =，1y =-，满足x y >但221111x y =++，故A 错误，B ．当1x =，1y =-，满足x y >，22(1)(1)ln x ln y +=+，但22(1)(1)ln x ln y +>+不成立，故B 错误，C ．当1x =，1y =-，满足x y >，但112x y -=+=，11112x y -=+=，则11x y x y ->-不成立，故C 错误，D ．x y >，[][]x y ∴…成立，故D 正确 故选：D ． 【点睛】本题主要考查不等式的关系和不等式的性质的应用，利用特值法是解决本题的关键． 3．函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得x <或0x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.2p q+ B.(1)(1)12p q ++-1【答案】D【解析】【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得1x =． 【考点】函数模型的应用．二、填空题5．已知集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，若{}123A B ⋃=，，，则实数m =___________. 【答案】3【解析】直接利用并集的定义得到m 的值. 【详解】因为集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，{}123A B ⋃=，，， 所以3m =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查并集定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 6．“21x>成立”是“2x <成立”的 条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 【答案】充分非必要 【解析】先解不等式21x>，再利用充分条件必要条件的定义判断得解. 【详解】 因为21x>，所以02x <<，因为{|02}x x <<⫋{|2}x x < 所以“21x>成立”是“2x <成立”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 【点睛】本题主要考查解分式不等式和充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．函数()f x =___________.【答案】{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞【解析】分类讨论解不等式2(1)(1)02x x x -+-…，即得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则2(1)(1)02x x x -+-…， 当1x =时，不等式成立， 当1x ≠时，不等式等价为102x x +-…， 即2x >或1x -…，综上2x >或1x -…或1x =，所以函数的定义域为{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞. 故答案为：{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞ 【点睛】本题主要考查不等式的解法和函数定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．若函数21()x f x x a+=+的反函数是其本身，则实数a =___________. 【答案】-2【解析】求出反函数与原函数比较可知2a =-． 【详解】 由21+=+x y x a得12-=-ay x y ，所以()f x 的反函数为11()2ax f x x --=-，依题意可得2a =-． 故答案为：2-．【点睛】本题考查了反函数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题． 9．函数3()21x f x -=-，则不等式()1f x <的解集为___________.【答案】(24)，【解析】问题转化为|3|1x -<，求出不等式的解集即可． 【详解】不等式()1f x <即|32|2x -<， 故|3|1x -<， 解得：24x <<， 故答案为：(2,4)． 【点睛】本题考查了解绝对值不等式和指数不等式的解法，考查转化思想，是一道基础题． 10．函数()19310xx f x +=--的零点为___________.【答案】315x og =【解析】由题得(32)(35)0x x +-=，再解指数方程即得解. 【详解】由1()93100x x f x +=--=得2(3)33100x x -⋅-=， 即(32)(35)0x x +-=，30x >，350x ∴-=，即35x =，即3log 5x =， 即函数零点为3log 5x =， 故答案为：3log 5x = 【点睛】本题主要考查函数零点的求解，结合一元二次方程以及指数和对数的转化公式是解决本题的关键．11．已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 【详解】由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+， 同除xy ，得211x y+=， 212()()33x yx y x yx y y x +=++=+++…2x =1y =时取到等号．故答案为：3+． 【点睛】本题考查了基本不等式求最小值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 12．若定义在R 上的函数21()xf x a +=（其中0a >，1a ≠）有最大值，则函数()2()log 2a g x x x =-的单调递增区间为___________．【答案】()0-∞，【解析】先根据题意判断01a <<，可得即求函数2220)t x x x x =-><（或减区间，再利用二次函数的性质得出结论． 【详解】21x +有最小值为1，定义在R 上的函数21()xf x a+=（其中0a >，1)a ≠有最大值，01a ∴<<．则函数2()log (2)a g x x x =-的单调递增区间，即函数2220)t x x x x =-><（或的减区间， 因为函数2220)t x x x x =-><（或的减区间为(,0)-∞， 故答案为：(,0)-∞． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．13．集合{}22|(21)0A x x a x a a =-+++<，集合{}2log |1000xB x x+=≤，且满足R A B ⋂=∅ð，则实数a 的取值范围是___．【答案】1,91000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由二次不等式的解法得1)A a a =+（，，由对数不等式的解法得1[1000B =，10]，即(R C B =-∞，1)(101000⋃，)+∞，由集合交集的运算得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟，得解． 【详解】解不等式22(21)0x a x a a -+++<得1a x a <<+即1)A a a =+（，， 解不等式21000lgx x +…得：(2)30lgx lgx +-…，即1101000x 剟，即1[1000B =，10]， 即(RC B =-∞，1)(101000⋃，)+∞， 又R AB =∅ð，得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟， 即实数a 的取值范围是1[,9]1000， 故答案为：1[,9]1000 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，对数不等式的解法及集合交集的运算，属中档题． 14．已知函数()y f x =的图像与函数(0,1)x y a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=+-⎣⎦，若()y g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】先求出函数()f x 的解析式，然后代入将函数()g x 表示出来，再对底数a 进行讨论即可得 到答案． 【详解】函数()y f x =的图象与函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =对称， ()log (0)a f x x x ∴=>．()()[()g x f x f x f =+（2）1]log (log log 21)a a a x x -=+-2221(21)(log )24a a a log log x --=+-， ①当1a >时，log a y x =在区间1[2，2]上是增函数，1log [log 2a a x ∴∈，log 2]a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，化为log 21a -…， 解得12a …，舍去． ②当01a <<时，log ay x =在区间1[2，2]上是减函数，log [log 2a a x ∴∈，1log ]2a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，解得102a <…． 综上可得：102a <…． 故答案为：(0，1]2．【点睛】本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．下列四个命题中正确的是______．①已知定义在R 上的偶函数(1)y f x =+，则()()11f x f x +=-；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î是两个不同的函数﹔③已知函数*1(),3f x x x =∈-N ，既无最大值，也无最小值； ④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+的所有零点构成的集合共有4个子集． 【答案】①②【解析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由()f x 的单调性可判断③；由()0f x =的解的个数和集合的子集个数，可判断④． 【详解】①已知定义在R 上是偶函数(1)y f x =+，设()(1)F x f x =+，可得()()F x F x -=， 则(1)(1)f x f x +=-，故①正确；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î，即1()y f x -=，x A ∈，由于A D ≠是两个不同的函数，故②正确； ③已知函数1()3f x x =-，*x ∈N ，由()f x 在13x <…递减，3x >递减，可得2x =时，f （2）取得最小值1-，故③错误；④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+，由()0f x =，可得||212x -=或3，解得2log 3x =±或2x =±，()f x 的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为：①②． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和互为反函数的定义，以及函数的单调性和函数零点的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 16．已知函数()()20xf x x ex =+<与函数21()ln()2g x x x a =+++，图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是___________.【答案】(-∞【解析】根据条件转化为当0x >时，()()f x g x -=有解，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】由题意，存在0x >，使()()f x g x -=，即221()2x x ln x a x e -+++=+， 即11()()2xln x a e++=， 即11()()2xln x a e+=-+，设11()()2x h x e =-+，11(0)122h =-+=，当()y ln x a =+经过点1(0,)2时， 则12lna =，得12a e = 作出()y ln x a =+和()h x 的图象，要使两个图象恒有交点，则a即实数a 的取值范围是(a ∈-∞．故答案为：(-∞．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．三、解答题17．解关于x 的不等式：2(2)20kx k x -++<． 【答案】见解析【解析】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<分0k =，0k >，k 0<三种情况进行讨论．0k =、k 0<易解不等式；当0k >时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可． 【详解】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<， （1）当0k =时，有1x >；（2）当0k >时，有2()(1)0k x x k --<，2()(1)0x x k ∴--<，221k k k--=， 当2k >时21k<，21x k ∴<<；当2k =时，21k=，x φ∴∈；当02k <<时，有21k>， 21x k ∴<<；（3）当k 0<时，2()(1)0x x k -->，有21k<，所以21x x k <>或． 综上， 当0k =时，原不等式的解集为(1)+∞，； 当k 0<时，原不等式的解集为2,(1,)k ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 当2k =时，原不等式的解集为∅；当02k <<时，原不等式的解集为21,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当2k >时，原不等式的解集为2,1k ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 该题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，含参数的一元二次不等式的求解，要明确分类讨论的标准：是按照不等式的类型、两根大小还是△的符号，要不重不漏．18．动物园需要用篱笆围成两个面积均为502m 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m ，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m ．（1）设所用篱笆的总长度为l ，垂直于墙的边长为x ．试用解析式将l 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？【答案】（1）1003l x x =+，[225]，.（2时，所用篱笆的总长度最小，最小为【解析】（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长50x ，表示出l ；由2x …且502x…，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解．【详解】（1）由题得每个长方形平行于墙的边长50x ， 则1003l x x=+，2x …且502x…， 225x ∴剟，所以函数的定义域为[2，25]；（2）100320l x x x x =+=…1003x x =，即x =时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是． 【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．19．已知函数()y f x =是函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，函数3()1ax g x x +=-的图像关于直线y x =对称，记()()()F x f x g x =+.（1）求函数()f x 的解析式和定义域﹔（2）在()F x 的图像上是否存在这样两个不同点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求A ，B 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）1()1x f x lgx -=+，()f x 的定义域为(1,1)-；（2）不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【解析】（1）先求出函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，即求出()f x 的解析式，然后求出()f x 的定义域；（2）先求出函数()F x 的解析式，再设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<，推出12y y >，得()F x 为(1,1)-上的递减函数，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【详解】 （1）由21101x y =-+得1101x y y -=+，11y x lg y -=+，1()1x f x lg x-∴=+， 因为函数21101x y =-+的值域为(1,1)-，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-. （2）3()1ax g x x +=-，13()x g x x a -+∴=-，依题意得1()()g x g x -=，1a \=，3()1x g x x +∴=-， 1(13)1x F x g x l x x -∴=+++-，定义域为(1,1)-， 设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<，则122121122112113()()11131x x x y y F x F x lg lg x x x x x --+-=-=+--++--+ 12212112113()3(1111x x x lg x x x x x -++=+---++-） 21211212114(()11(1)()1)x x x x lg x x x x +--=++---， 1211x x -<<<，则21111x x +>+，12111x x ->-，210x x ->，12()1(1)0x x ->-， 211211()011x x lg x x +-∴>+-，211240(1)(1)x x x x ->--）（， 12y y ∴>，故()F x 在(1,1)-上单调递减，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【点睛】本题主要考查了反函数，考查了函数单调性的判定和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．20．已知函数2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-（a 为负整数）()y f x =的图像经过点(2,0)()m m -∈R .（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()2g x bx =+，若()()g x f x ≥在[]1,3x ∈上解集非空，求实数b 的取值范围；（3）证明：方程1()0f x x-=有且仅有一个解． 【答案】（1）2()1f x x =-+．（2）10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（3）见解析﹔ 【解析】（1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，故2321m a m m -=--+，因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数，当23221m m m --+…时，利用判别式可判断此不等式无解，所以23211m m m -=-+，解得1a =-，从而可得()f x 的解析式； （2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空转化为1()b x x-+…在[1，3]上有解，再构造函数转化为最小值可得；（3）即证1y x=与21y x =-+的图象有且只有一个交点，证明0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点，在(,0)-∞上有且只有一个零点，即得证.【详解】 （1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，2321m a m m -∴=--+， 因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数， 当23221m m m --+…时，22540m m -+…，因为△2(5)42470=--⨯⨯=-<，所以22540m m -+…无解， 所以23211m m m -=-+，解得1m =或3m =，所以1a =-， 22(2)43(2)1f x x x x ∴-=-+-=--+，2()1f x x ∴=-+（2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空1()b x x⇔-+…在[1，3]上有解， 令1()()h x x x=-+，则()min b h x …， 因为函数()h x 在[1x ∈，3]上是减函数，所以3x =时，()min h x h =（3）103=-， 故103b -…． （3）证明：即证1y x =与21y x =-+的图象有且只有一个交点， 当0x >时，22221111(1)111110222x x x x x x x x x x --+=+-=++--==>， 即0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点， 当0x <时，令211y x x =+-， 因为函数1y x =在(,0)-∞上为递减函数，函数21y x =+在(,0)-∞上为递减函数， 所以211y x x=+-在(,0)-∞上为递减函数（减函数+减函数=减函数），又12x =-时，1304y =-+<，1x =时，10y =>，根据零点存在性定理知：2110x x+-=在(,0)-∞上有且只有一个零点， 综上得1()0f x x-=有且只有一个解． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，考查函数的零点问题，考查基本不等式，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.． 21．若实数x ﹑y 、m ()x m y m ≠≠，满足||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ． （1）若21x -比1接近0，求x 的取值范围；（2）对正实数a ，b ，如果1a a +比1b b +接近2，求证：当0x >时，1x x a a +比1x x b b +接近2；（3）已知函数()f x等于x a -中接近0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间（结论不要求证明）．【答案】(1) (1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--;（2）证明见解析；（3）见解析 【解析】（1）由新定义可得2|1|1x -<且210x -≠，由绝对值不等式的解法，即可得到解集；（2）运用新定义作差比较，结合基本不等式，即可比较；（3）依据新定义分1a -…和1a >-两种情况写出函数()f x 的解析式，然后指明单调性．【详解】（1）由题意得，221110x x ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩∴0,1x x x <<≠≠±， 所以(1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--. （2）1a a+比1b b +接近2， 11|2||2|a b a b∴+-<+-， 0a >，0b >，12a a ∴+…，12b b+…， 1122a b a b ∴+-<+-，即11a b a b+<+， 11|2||2|x x x x a b a b ∴+-<+-，当0x >时，1x x a a+比1x x b b +接近2； （3）当1a -…时，()||f x x a =-，此时()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；1a >-时，,2222x a x a x a a x a ⎧->++<+-⎪⎨+-++⎪⎩， 当10a -<<时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；当0a …时，()f x在(,2a -∞+-上单调递减，在(2a +-上单调递增． 【点睛】本题是新定义题目，新定义问题，往往是结合相关的知识，利用已有的方法求出所求结果，注意转化思想的应用考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。