上海市高一数学上学期期末试卷及答案(共3套)
高一数学第一学期期末试卷及答案5套
高一数学第一学期期末试卷及答案5套完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的） 1、若角终边经过点，则（ ）A.B.C. D.2、函数的一条对称轴是（ ） A.B.C.D.3、已知集合}1{>=x x A ，11{|()}24xB x =>，则A B ⋂=（ ） A ．R B ．),1(+∞C ．)2,(-∞D ．)2,1( 4、( ) A.B.C.D.5、已知⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,2cos )(x x f x x x f π，则=)2(f （ ） A ． 1- B ．1 C ． 3- D ． 36、已知，则()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 23—B. C. D. 7、若向量，，则在方向上的投影为（ ） A. -2 B. 2 C.D.8、若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x-=+，则(2)f =（ ）A.0B.1C.83D.49、若向量，i 为互相垂直的单位向量，—j 2=j m +=且与的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是 ( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1210、已知函数2(43)3,0,()log (1)1,0,a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13[,]34B.1334⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 103⎛⎤ ⎥⎝⎦，D.30,4⎛⎫⎪⎝⎭11、已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（ ）A. （0，]B. （0，2]C. [，]D. [，]12、将函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x 2cos 4x f π和直线()1x x g —=的所有交点从左到右依次记为，若P 点坐标为()30，=++A P 2....（ ）A. 0B. 2C. 6D. 10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上） 13、已知角θ的终边经过点(39,2)a a -+，且θsin >0，θcos <0则a 的取值范围是 14、已知函数3()2,(0,1)x f x a a a -=+>≠且，那么其图象经过的定点坐标是15、已知2cos ,63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭则2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 16、已知关于的方程0a cos 3sin =+θθ—在区间()π，0上有两个不相等的实数根，则=+2cosβα__________.三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明，写明过程或演算步骤) 17、（本题满分10 分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （）（1）求证：；(2) ，求实数m 的值.18、（本题满分12 分） 已知是的三个内角，向量，，且.(1) 求角； (2)若，求．19、（本题满分12 分）已知函数()log (2)log (3),a a f x x x =++-其中01a <<. (1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值20、（本题满分12 分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0,0,0A ωϕπ>><<，函数()f x 图像上相邻的两个对称中心之间的距离为4π，且在3x π=处取到最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将向左平移6π个单位，得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调递增区间。
2023-2024学年上海中学高一上学期数学期末试卷及答案(2024.01)
1上海中学2023学年第一学期高一年级数学期末2024.01一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．函数224y x x =−+的图像关于直线________成轴对称． 2．已知函数()21,2,lg ,2,x x f x x x +<= ≥ 则()()()05f f f +=________．3．已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为________．4．已知点()sin ,cos P αα在第二象限，则角α的终边在第________象限．5．化简：4224441sin cos sin cos sin cos θ⋅θ+θ⋅θ=−θ−θ________．6．若函数()1f x x a =−+在区间[)1,+∞上是严格增函数，则实数a 的取值范围为______． 7．函数()21yf x =−的定义域为()0,1，则函数()1yf x =−的定义域为________．8．函数3132xx y −=−的值域是________．9．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且当0x >时，其表达式为()22x f x x =+，则当0x <时，其表达式为()f x =________．10．已知函数()3log ,034,3x x f x x x <<= −≥，若存在0a b c <<<满足()()f a f b ==()f c ，则()()f a f c abc的取值范围为________．11．已知函数()f x ，()g x ，()h x 的定义域均为R ．给出以下3个命题： （1）()f x 一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；（2）若()f x 是奇函数，且在().0−∞是严格减函数，则()f x 在R 上是严格减函数； （3）若()()f x g x +，()()g x h x +，()()h x f x +在R 上均是严格增函数；则()f x ，()g x ，2()h x 中至少有一介在R 上是严格增函数．其中，假命题的序号为________．12．已知函数()f x 满足：()()()()22114f x f x f x f x +−++−=则下列三个结论： （1）()()()()2220242024186518654f f f f −+−=；（2）()()20232024f f =； （3）()()202418654f f +≤．其中正确的结论是________． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13．若幂函数()()22235mm f x mm x −−=+−的图像不经过原点，则m 的值为（ ）A ．2B ．3−C ．3D ．3−或214．存在函数()f x 满足：x R ∀∈都有（ ） A ．()31fx x +=B ．211f x x=−C ．()211f x x +=+D ．()221f x x x +=+15．已知函数()()1,0,2,0,x x f x x x x +< =−≥ 若(1)f x −在区间I 上恒负，且是严格减函数，则区间I 可以是（ ）．A ．()2,1−−B ．()1,0−C ．()0,1D ．()1,216．定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）． （1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．43三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)已知函数()f x 是R 上的严格增函数，()g x 是R 上的严格减函数，判断函数()()f x g x −的单调性，并利用定义证明．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 在下面的坐标系中画出下列函数的图像： （1）2y x −=（2）22x y =−．419.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 解下列关于x 的方程：（1）162log log 163x x +=； （2）()()2416290x x x a a a −+⋅−−⋅=．20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分)某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k ≤ += ≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）．521.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．6参考答案一、填空题1.1x =；2.1；3.8；4.四；5.12； 6.(],2−∞； 7.()0,2； 8.()1,1,2−∞∪+∞；9.212x x +； 10.10,3； 11.（3）； 12.（1）（3）； 二、选择题13.A ； 14.D ； 15.B ； 16.B16.定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）．（1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．4B(1)方程()0f g x = 有且仅有三个解;()g x 有三个不同值,由于()y g x =是减函数,所以有三个解,正确;(2)方程()0g f x = 有且仅有三个解;从图中可知,()()0f x ,a ∈可能有1,2,3个解,不正确; (3)方程()0f f x = 有且仅有九个解;类似(2)不正确;(4)方程()0g g x = 有且仅有一个解.结合图象,()y g x =是减函数,故正确.7故选B . 三、解答题 17.严格增，证明略 18. 画图略 19. （1）416x or =（2）①当0a ≤时，()23log 1x a =−；②当01a <<时，()()122233log 1,log 2x a x a =−=；③当1a ≥时，()23log 2x a =20.某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k≤ +=≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）． （1）1000k = （2）522(1)由17时测得的平均行车速度为3/km h ,得100n =, 代入*2600,9,1033000,10,……n n vn N n n k +∈ +,可得2330003100k =+,解得1000k =. (2)①当9…n 时,60060010101nq nv n n===++为增函数,所以6009300109…q ×<+; ②当10…n 时,330001000q nv n n==+在(0,上单调递增,在,)+∞上单调递减,8且由()31.631.7,知,当31,32n n ==时,较大的q 值为最大值, 分别代入31n =和32n =计算,结果均约为522,故522max q ≈. 综上可知,一天内车流量q 的最大值为522.21.若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．（1）()f n <()1f n + （2）不是 （3）证明见解析（3）①首先证明对于任意*n N ∈,()()1.f n f n <+当()1x n,n ∈+时,由()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 可知()f x 介于()f n 和()1f n +之间.若()()1,…f n f n +则()f x 在区间(]1n,n +上存在最小值()1f n +,矛盾. 利用归纳法和上面结论可得：对于任意*,k n N ∈,()(),.n k f n f k <<当时 ②其次证明当1…n 且x n >时,()()f x f n >;当2…n 且x n <时,()()…f x f n . 任取x n >,设正整数k 满足1剟n k x k <+,则()()()()1剟剟f n f k f x f k …+. 若存在01厖k x k n +>使得()()0…f x f n ,则()()()()00剟?f x f n f k f x , 即()()0f k f x =.由于当()1x k ,k ∈+时,()()…f k f x , 所以()f x 在区间(0k ,x 有最小值()0f x ,矛盾.9类似可证,当2…n 且x n <时,()()…f x f n .③最后证明:当1…x 时,()()2f x f x >.当1x =时,()()21f f >成立.当1x >时,由21x x x −=>可知,存在*n N ∈使得2x n x <<,所以()()()2…f x f n f x <.当()1x n,n ∈+时,有:()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 若()()1f n f n =+,则()()()1,f x f n f n ==+所以()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故不成立.若()()1f n f n ≠+,则()(){}()()(){},11min f n f n f x max f n ,f n +<<+假设()()1f n f n +<,则()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故假设不成立. 所以当()1x n,n ∈+时,()()()1f n f x f n <<+对于任意*n N ∈都成立. 又()()1f n f n <+,故当()*m n m n N <∈、所以()()()()11,f m f m f n f n <+<…<−<即()()f m f n <.所以当x n <时,则存在正整数m 使得1剟m x m n −<,则()()()()1剟f m f x f m f n −< 所以当x n <时,()()f x f n <,同理可证得当x n >时,()()f x f n >.所以当1x >时,必然存在正整数n ,使得2x n x <<,所以()()()2f x f n f x <<; 当1x =时,()()21f f >显然成立; 所以综上所述:当1…x 时,()()2f x f x >.。
上海市高一上学期期末考试数学试卷含答案
上海市高一年级第一学期数学学科期末考试卷（考试时间：90分钟 满分：150分 ）一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________． 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________． 3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81，则=)(x f ____________． 4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________． 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________． 6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是 ． 7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________． 9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______．10．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那 么a 的取值范围 ． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；④若1l =题的是__________．13．如图所示，已知函数()2log 4y x =图像上的两点 ,A B 和函数2log y x =上的点C ，线段AC 平行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时点B 的坐标为(),p q ，则22qp +的值为14．若点A 、B 同时满足以下两个条件：（1）点A 、B 都在函数()y f x =上；（2）点A 、B 关于原点对称； 则称点对(),A B 是函数()f x 的一个“姐妹点对”．已知函数()()()24020x x f x x xx -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()f x 的“姐妹点对”是 ． 二、选择题（每题5分，共20分）15．“3log 2<x ”是“1218>⎪⎭⎫⎝⎛-x ”的……………………………………（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．若2{|21},{|}M x y x N y y x ==+==-，则集合N M ,两的关系是（ ） A ．{(1,1)}MN =-B ．M N ＝∅C ．M N ⊆D ．N M ⊆17．已知()f x 是R 上的偶函数， 当0x >时()f x 为增函数， 若120,0x x <> 且12||||x x <， 则下列不等式成立的是…………………………………( ) A ．12()()f x f x ->- B ．12()()f x f x -<- C ．12()()f x f x ->- D ．12()()f x f x -<-18．函数()2()0f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a=-对称．据此可以推测，对 任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是………………………………………………………………（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}1,4,16,64三、解答题（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域 内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分 ） 记关于x 的不等式01x ax -≤+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（1）若3a =，求出集合P ； （2）若Q P ，求实数a 的取值范围．20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 ）某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y (万元)与年产量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为230400010x y x =-+． （1）当该产品的年产量为多少时，每吨的平均成本P 最低，并求每吨最低成本；（2）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时可获得最大利润，并求出最大年利润Q ．21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分 ）关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-，其中a 是实数． （1）当2a =时，解上述方程；（2）根据a 的不同取值，讨论上述方程的实数解的个数．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx且是定义域为R 的奇函数．（1）求k 值；（2）若()10f <，试判断函数单调性并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的t 的取值范围； （3）若()312f =，且()x mf aa x g xx 2)(22-+=-在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得()()()1100f x f x f +=+成立．（1）函数()xx f 1=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数()M x ax f ∈+=1lg 2，求a 的取值范围；（3）设函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，证明：函数()M x x f x∈+=22．高一年级数学试卷答案一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________．]5,2( 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________．3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,81，则=)(x f ____________．31-x4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________．2 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________．35-6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是_(2 1)--，_．7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．33-8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________．)2,2(-9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,010．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那 么a 的取值范围__11[,)62__． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．(2]-∞，12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m ≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =.其中正确命题的是__________． ①②③④13．．()()()1,3,1,3-- 二、选择题（每题5分，共20分）15．A 16．D 17．B 18．D三、解答题：（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分 ） 解（1）若3a =，由不等式301x x -≤+，即(3)(1)0x x -+≤且1x ≠-，……… 4分 解得集合{|13,}.P x x x R =-<≤∈ ……………………………… 6分 （2）由不等式|1|1x -≤，解得{|02,}.Q x x x R =≤≤∈ …………………8分由不等式01x ax -≤+，得()(1)0x a x -+≤且1x ≠-，…………………9分 当1a >-时，{|1,}P x x a x R =-<≤∈， 又因为Q P ⊆，所以2a ≥；当1a <-时，{|1,}P x a x x R =≤<-∈，Q P 不成立；当1a =-时，P =∅，QP 也不成立．因此，求实数a 的取值范围是[)2,.+∞（可以不讨论直接判断得出）… 12分20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 ） 解（1）()400030,150,25010x P x x=+-∈………………………………3分3010≥=……………………………………………5分()4000200150,25010x x x=⇒=∈ ……………………………6分 当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．………7分（2）()216304000,150,25010x Q x x x =-+-∈………………………10分 ()212301290129010x =--+≤ ……………………………12分 ()230150,250x =∈……………………………………………13分 生产230吨时，最大年利润1290Q =万元．…………………14分 21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分 ）解（1）1030(1)(3)2x x x x x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩…………………………………………3分x ⇒=2分 （2）原方程可化为1030(1)(3)x x x x a x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩，……………………………6分即21353x x x a<<⎧⎨-+-=⎩，………………………………………………8分 作出253(13)y x x x =-+-<<及y a =的图像． 当1x =时1y =，当3x =时3y =，当52x =时134y =．由图像知： ① 413>a 或1≤a 时，两曲线无公共点，故原方程无解；………………10分 ② 当131≤<a 或413=a 时，两曲线有一个公共点，故原方程有一个实数解；…12分③ 当4133<<a 时，两曲线有两个公共点，故原方程有两个实数解．…………14分22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 解(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()()001102f k k =⇒--=⇒= ……………………………… 4分 （2）),10()(≠>-=-a a a a x f xx且1(1)0,0,0,1,01f a a a a a<∴-<>≠∴<<又且……………………………5分x y a =在R 上递减，x y a -=在R 上递增，故()f x 在R 上单调递减． …6分不等式化为)4()(2-<+x f tx x f 04)1(,422>+-+->+∴x t x x tx x即恒成立，………………………… 8分016)1(2<--=∆∴t ，解得53<<-t ．………………………………… 9分(3)∵()312f =，231=-∴a a ，即,02322=--a a122a a ∴==-或（舍去）………………………………………………………10分 ∴()()22222)(2222+--+=-+=---x x x x x xm a a x mf a ax g ．令xxaa x f t --==)(由(1)可知xxaa x f --=)(为增函数∵1x ≥，∴()312t f ≥=……………12分 令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2 (32t ≥)……………………………13分 若32m ≥，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2……………… 14分 若32m <，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去…15分 综上可知m ＝2． ……………………………………………16分23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解（1）若()xx f 1=M ∈，则在定义域内存在0x ， 使得01111102000=++⇒+=+x x x x ， ∵方程01020=++x x 无解，∴()xx f 1=M ∉．……………………… 4分 ()()()()2222(2)lglg lg lg 2221011211a a a a f x M a x ax a x x x =∈⇒=+⇒-++-=++++………………………………………………………………………………6分 当2=a 时，21-=x ；……………………………………………………7分 当2≠a 时，由0≥∆，得[)(]53,22,530462+⋃-∈⇒≤+-a a a ，……9分∴[]53,53+-∈a ． ………………………………………………10分()()()()()00002112000000311212322(1)221x x x x f x f x f x x x x +-⎡⎤+--=++---=+-=+-⎣⎦（），……………………………………………………………………………………13分又∵函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，设交点的横坐标为a ，则()01202010=-+⇒=+-x a x a，其中10+=a x ，…………………16分∴()()()1100f x f x f +=+，即()M x x f x∈+=22 ．…………………18分。
2021-2022年上海市松江区高一数学上学期期末试卷及答案
2021-2022年上海市松江区高一数学上学期期末试卷及答案一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1. 已知集合，，则___________ {1,0,1,2}A =-{|03}B x x =<<A B = 【答案】 {1,2}2. 函数的定义域为______.()()lg 1f x x =-【答案】 ()1,+∞3. 若，则=__________. 41log 2x =x 【答案】24. 已知、是方程的两个根，则______． 1x 2x 2330x x +-=1211x x +=【答案】15. 设、为实数，比较两式的值的大小：_______ （用符号a b 22a b +222a b --,,,>≥<≤或=填入划线部分）． 【答案】≥6. 已知是奇函数，当时，，则的值为________．()y f x =0x >()2f x x =-1(2f -【答案】##1.5 327. 函数的严格减区间是_________. 2()lg(4)f x x x =-【答案】 [)2,48. 已知函数，则不等式的解集为____ ()1||xf x x =+(3)(2)0f x f x -+>【答案】（1，＋∞）9. 若存在实数使成立，则实数的取值范围是___________． x 13x a x -+-≤a 【答案】2 4.a -≤≤10. 对任意的正实数、恒成立，则实数的取值范围是x y+≤m ________． 【答案】)+∞11. 设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，y l 2log y x =2log 1y x =-A B 若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，2log y x =C ABC AB 则点的横坐标为_______.C12. 已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩b ()()g x f x b =-a 取值范围是________． 【答案】()(),01,-∞⋃+∞二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）A. 与B. 与2y =y x =y x =l n e x y =C. 与 D. 与22x y =4x y =y x =11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C14. 已知函数可表示为()y f x =x02x <<24x ≤<46x ≤<68x ≤≤y 1234则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域是 ()()43ff =()f x {}1,2,3,4C. 的值域是 D. 在区间上单调递增()f x []1,4()f x []4,8【答案】B15. 设、是实数，则“”是“且”的（ ） x y 0x >x y >11x y>A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 【答案】B16. 已知函数，若，且，则13,0()3,0x x x f x x +⎧-≥=⎨<⎩123x x x <<123()()()f x f x f x ==的取值范围是（ ）2123()x f x x x ⋅+A. B. 10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .D.3(0,230,8⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题）17. 已知全集，集合，． U =R {}2230A x x x =--<{}1216xB x =<<（1）求 ；A B ⋃（2）设集合，若，求实数的取值范围． {3,}D x a x a a =<<+∈R D A ⊆a 【答案】（1） ()1,4A B =- （2）． (,4][3,)∞∞--⋃+18. 已知函数． 2||1()1x f x x +=-（1）证明：函数为偶函数；()y f x =（2）证明：函数在区间上是严格减函数. ()y f x =(1,)+∞【答案】 （1）因为， 2||1()1x f x x +=-所以的定义域为，且． ()f x {|D x x R =∈1}x ≠±对于任意，因为，x D ∈2211()()()11x x f x f x x x -++-===---所以为偶函数．()f x （2）当时，． (1,)x ∈+∞211()11x f x x x +==--任取，且，12,(1,)x x ∈+∞12x x <那么 2112121211()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----因为，所以，， 121x x <<210x x ->12()1(1)0x x ->-所以，即． 12())0(f x f x ->12()()f x f x >所以是上的严格减函数．()f x (1,)+∞19. 环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号国产电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h （不含80km/h ）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh ）与速度（单位：km/h ）的下列数据：M vv204060M300056009000为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，． 321()40M v v bv cv =++2()800(3v M v a =+()500log (1)a M v v b =++（1）当时，请选出符合表格所列实际数据的函数模型，并求出相应的函数解析式； 080v ≤<（2）现有一辆同型号汽车在200km 的国道上行驶，如何行使才能使得总耗电量最少，最少为多少？【答案】（1）符合，且 321()40M v v bv cv =++321()218040M v v v v =-+（2）此汽车以40km/h 的速度行驶时，总耗电量最少，最少为28000Wh 20. 已知函数. 2()1xf x x -=+（1）求不等式的解集；(4)1(2)f x f x -+<+（2）若关于的方程在上有解，求实数的最大值； x ()0f x m -=[1,)x ∈+∞m （3）证明：函数关于点中心对称. ()y f x =(1,1)--【答案】（1） ()3,3-（2）最大值为12（3）在函数的图象上任意取一点， ()y f x =(,)P a b 关于点的对称点， ()1,1--(2,2)Q a b ----由得，即 , ()f a b =21a b a -=+2(1)1ba b b -=≠-+把代入得2x a =--224(2)211a af a a a+++--==--+--, 24+3611221311bb b b b b b b -+++==⋅=---+---+所以对称点在函数的图象上. (2,2)Q a b ----()y f x =即函数的图象关于中心对称.()y f x =()1,1--21. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有()y f x =D k x D ∈，则称函数具有性质.|()()|f x f x k --≤()f x ()P k （1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由；()2021f x =()g x x =(1)P （2）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：()y f x =k ()y f x =()P k 是偶函数；()y f x =（3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求0a k >，()2()log 4xf x a x =+-()P k a 的取值范围. 【答案】 （1）对任意，得， x ∈R |()()||20212021|01f x f x --=-=<所以具有性质；()f x (1)P 对任意，得. x ∈R |()()||()||2|g x g x x x x --=--=易得只需取，则， 1x =|(1)(1)|21g g --=>所以不具有性质 ()g x (1)P .（2）设二次函数满足性质. 2()(0)f x ax bx c a =++≠()P k 则对任意，x ∈R 满足. 22|()()||()||2|f x f x ax bx c ax bx c bx k --=++--+=≤若，取，，矛盾. 0b ≠00||kx b =>000|()()||2|2f x f x bx k k --==>所以，此时， 0b =2()(0)f x ax c a =+≠满足，即为偶函数 ()()f x f x -=()y f x =（3）由于，函数的定义域为R .0a >2()log (4)xf x a x =+-易得. 22()log (4)log (22)x x xf x a x a -=+-=+⋅若函数具有性质，则对于任意实数， ()f x ()P k x 有22|()()||log (22)log (22)|xxxx f x f x a a ----=+⋅-+⋅，即. 222|log |22x x x x a k a --+⋅=≤+⋅222log 22x xx xa k k a --+⋅-≤+⋅即. 24log 14x xak k a +-≤≤+⋅由于函数在上严格递增，得. 2log y x =(0,)+∞42214x kkxa a -+≤+⋅即. 112214k k xa a a a --≤++⋅当时，得，对任意实数恒成立. 1a =212k k -≤≤x 当时，易得，由，得， 1a >10a a->141x a +⋅>10114x a <<+⋅得，得. 11014x a a a a a -<<-+⋅11114xa a a a a a -<+<+⋅由题意得对任意实数恒成立， 112214k k xa a a a --≤++⋅x 所以，即122k k a a -⎧≥⎪⎨⎪≤⎩12.k a <≤当时，易得，由，得， 1a <10a a-<141x a +⋅>10114xa <<+⋅得，得. 11014x a a a a a ->>-+⋅11114xa a a a a a ->+>+⋅由题意得对任意实数恒成立， 112214k k xa a a a --≤++⋅x 所以，即 212k ka a-⎧≥⎪⎨≤⎪⎩12.ka ->≥综上所述，的取值范围为.a [2,2]k k -。
上海市2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
2021-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.已知集合{}2|20A x x x =--=，用列举法可表示为A =_________. 【答案】{}1,2- 【解析】 【分析】解方程220x x --=得1x =-或2x =，用列举法表示，即可. 【详解】方程220x x --=的解为：1x =-或2x =∴{}{}2|201,2A x x x =--==-故答案为：{}1,2-【点睛】本题考查集合的表示方法，属于容易题. 2.函数()lg(2)f x x =-的定义域是____________. 【答案】(2,+∞) 【解析】详解】∵20x ->，∴2x >．3.命题“若1x >，则0x >”的逆否命题是________. 【答案】若0x ≤，则1x ≤ 【解析】 【分析】根据命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，写出即可. 【详解】命题“若1x >，则0x >”的逆否命题是“若0x ≤，则1x ≤”故答案为：若0x ≤，则1x ≤【点睛】本题考查命题的四种形式，属于容易题.4.若函数()()11()31x f x x x >=-+≤⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦________.【答案】3【解析】 【分析】先求解()14f -=，再求()4f ，即可.【详解】当1x ≤时()3f x x =-+，则()()1134f -=--+=. 当1x >时()1f x =，则()()1413f f f -==⎡⎤⎣⎦.故答案为：3【点睛】本题考查分段函数求值，属于较易题.5.已知集合{}{}2,1,2,1,A B a =-=，且B A ⊆，则实数a 的值为_________.【答案】2± 【解析】 【分析】根据题意可知，a A ∈，根据元素的互异性可知1a ≠，求解即可.【详解】若使得B A ⊆成立，则需1a Aa ∈⎧⎨≠⎩，即2a =-或2a =故答案为：2±【点睛】本题考查集合之间的关系，属于容易题.6.已知集合{}2|60A x x px =-+=，若3A ∈，则方程15x p -=的解为__________.【答案】2x = 【解析】 分析】由题意可知，3是方程260x px -+=的根，解得5p =.方程15x p -=等价变形为155x -=，解得，即可. 【详解】3A ∈∴3是方程260x px -+=的根，即23360p -+=，解得5p =.又方程155x p -==11x ∴-=，解得2x =.故答案为：2x =【点睛】本题考查元素与集合的关系以及实数指数幂的运算，属于较易题. 7.函数()2log f x x x =+零点个数为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】函数()2log f x x x =+的零点个数，等价于方程()0f x =根的个数，等价于函数2log y x =与y x =-交点的个数，在同一坐标系下，画出函数图象，确定交点个数即可.【详解】由题意可知，在同一坐标系下，画出2log y x =与y x =-的函数图象，如图所示由图可知，函数2log y x =与y x =-有一个交点，则函数()2log f x x x =+有一个零点. 故答案为：1【点睛】本题考查函数的零点个数，属于较易题. 8.设函数()11f x x =-的反函数为()1f x -，则()11f -=_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据原函数与反函数的关系，解方程111x =-，即可. 【详解】令()111f x x ==-解得2x = 函数()11f x x =-的反函数为()1f x -. ∴()112f -=故答案为：2【点睛】本题考查反函数，属于较易题.9.若函数()2f x ax bx c =++是定义域为()23,1a -的偶函数，则a b +=_________.【答案】1 【解析】 【分析】根据函数()f x 为偶函数，则定义域关于原点的对称，且0b =，列方程组得23100a b -+=⎧⎨=⎩，解方程组即可. 【详解】函数()2f x ax bx c =++是定义域为()23,1a -的偶函数∴23100a b -+=⎧⎨=⎩，解得1a =，0b =即1a b += 故答案为：1【点睛】本题考查函数的奇偶性，定义域关于原点对称是解决本题的关键，属于较易题. 10.方程2lg 3lg 20x x -+=的解为_________. 【答案】10或100 【解析】 【分析】令lg t x =，则方程2lg 3lg 20x x -+=变形为2320t t -+=，解得1t =或2t =，即lg 1x =或lg 2x =，解方程即可.【详解】令lg t x =，则方程2lg 3lg 20x x -+=变形为2320t t -+=.解得1t =或2t =，即lg 1x =或lg 2x =， 解得10x =或100x = 故答案为：10或100【点睛】本题考查解对数方程，属于较易题.11.己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.【答案】1-或2. 【解析】 【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解. 【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即2110,2a a a --==（舍去），或152a （舍去）； 当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===， 综上1a =-或2a =. 故答案为:1-或2.【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题. 12.已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】0a ≤ 【解析】 【分析】根据()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，可知12ax x -≤-，即11a x≤-，令11y x =-，根据函数11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增，求解a 的取值范围，即可. 【详解】()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数∴()f x 在R 上是减函数.∴12ax x -≤-，即11a x≤-. 令11y x =-，则11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增. 若使得不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立. 则需min111101a x ⎛⎫≤-=-= ⎪⎝⎭.故答案为：0a ≤【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题. 二、选择题13.下列四组函数中，表示同一函数的是( )A. ()()21,11x f x g x x x -==+-B. ()()0,1f x x g x ==C. ()(),f x x g x ==D. ()()0,0x x f x x g x x x >⎧==⎨-<⎩【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的两要素，定义域与对应法则，判断两个函数是否为同一函数，即可. 【详解】选项A ，()f x 的定义为{}1x x ≠，()g x 的定义为R 不相同，不是同一函数. 选项B ，()f x 的定义为{}0x x ≠，()g x 的定义为R 不相同，不是同一函数. 选项C ，()f x 的定义为R ，()g x 的定义为R 相同，()()f x g x x ==，是同一函数. 选项D ，()f x 的定义为R ，()g x 的定义为{}0x x ≠不相同，不是同一函数. 故选：C【点睛】本题考查函数的两要素，属于较易题. 14.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =( )A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式102x x +<-，得12x -<<，即{}12B x x =-<<，与集合A ，求交集，即可. 【详解】{}10122x B x x x x ⎧⎫+=<=-<<⎨⎬-⎩⎭，{}2,1,0,1,2A =--{}0,1A B ∴⋂=故选：B【点睛】本题考查集合的运算，属于容易题.15.设命题甲为“0＜x ＜3”，命题乙为“|x -1|＜2“，那么甲是乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】化简命题乙，再利用充分必要条件判断出命题甲和乙的关系． 【详解】命题乙为“|x -1|＜2， 解得-1＜x ＜3．又命题甲为“0＜x ＜3”， 因为{|03}x x <<{|13}x x -<<那么甲是乙的充分不必要条件． 故选A ．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.16.下列函数中，值域是()0,∞+的是( )A. 13y x = B. y =C. ||31x y =- D. 2yx【答案】D 【解析】 【分析】先求解四个选项对应函数的定义域，再根据定义域求解值域，即可. 【详解】因为函数13y x =的定义域为R ，值域为R ，不是()0,∞+ 所以选项A 不符合题意.因为函数y =={1x x ≤-或}3x ≥所以值域为[)0,+∞，不是()0,∞+，选项B 不符合题意. 因为函数31x y =-的定义域为R 关于原点对称，3131xxy --==-所以函数31xy =-为偶函数.当0x ≥时3131xx y =-=-，单调递增 当0x <时3131xx y -=-=-，单调递减所以0min 310y =-=即函数31xy =-值域为[)0,+∞，不是()0,∞+，所以选项C 不符合题意.因为函数2y x 的定义域为{}0x x ≠关于原点对称， ()22x x ---=所以函数2yx 为偶函数.当0x >时2210y xx -==>，单调递减 当0x <时2210y x x-==>，单调递减即函数2y x 值域为()0,∞+，所以选项D 符合题意.故选：D【点睛】本题考查求函数的值域，属于中档题. 三、解答题17.已知函数()(),1xf x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2，求实数a 的值.【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知，函数()f x 在[]1,2单调递增，则()()212f f -=，解方程，即可. 【详解】函数()(),1xf x a a =>∴函数()f x 在[]1,2单调递增即()()2max 2f x f a ==，()()min 1f x f a ==又函数()(),1xf x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2.∴()()2212f f a a -=-=，解得2a =或1a =-（舍去）综上所述：2a =【点睛】本题考查指数函数的单调性，属于较易题.18.已知函数()f x =.求：(1)函数()f x 的定义域；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1)[)(]1,00,1-；(2)偶函数，证明见解析.【解析】 【分析】(1)根据分式分母不为0，开偶次方的根式，被开方式大于或者等于0，列不等式组，求解即可.(2)根据函数奇偶性的定义，证明即可.【详解】(1)若使得函数()f x =有意义则需2010x x ≠⎧⎨-≥⎩解得10x -≤<或01x <≤. 所以函数()f x 的定义域为[)(]1,00,1-.(2)由(1)可知，函数()f x 的定义域为[)(]1,00,1-关于原点对称()()f x f x x-===∴函数()f x 为偶函数.【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于较易题.19.甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速[]70,120v ∈（千米/时）.已知汽车每小时．．．的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为20.02v ，固定部分为220元.(1)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？（结果保留整数）【答案】(1)()[]20.0270,120166220,y v vv =+∈；(2)当105v =时，最小运输成本为696元. 【解析】 【分析】(1)由题意可知，汽车的行驶时间为166v（小时），汽车每小时．．．的运输成本为20020.20v +，从而确定全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数关系，即可. (2)由(1)可知，()216684110000.0222025y v v v v ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，根据对号函数，求解即可. 【详解】(1)因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速[]70,120v ∈（千米/时）.所以汽车的行驶时间为166v（小时） 又汽车每小时．．．的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为20.02v ，固定部分为220元所以汽车每小时．．．的运输成本为20022.20v +（元） 则全程运输成本()[]20.0270,120166220,y v vv =+∈ (2) 由(1)可知，()216684110000.0222025y v v v v ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当v ⎡∈⎣时，函数841100025y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减当v ⎡⎤∈⎣⎦时，函数841100025y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增所以，当105v =≈时，全程运输成本取得最小值即最小运输成本为()2min 1660.02105220696105y =⨯+≈元. 【点睛】本题考查函数的实际应用，属于中档题. 20.已知m 是整数，幂函数()22m m f x x -++=在[)0,+∞上是单调递增函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)作出函数()()1g x f x =-的大致图象；(3)写出()g x 的单调区间，并用定义法证明()g x 在区间[)1,+∞上的单调性.【答案】(1)()2f x x =；(2)图象见解析；(3)减区间为(][],1,0,1-∞-；增区间为[][)1,0,1,-+∞，证明见解析.【解析】【分析】(1)根据幂函数()22mm f x x -++=在[)0,+∞上是单调递增函数，可知220m m -++>，解不等式即可.(2)由(1)可知()2f x x =，则()21g x x =-，先画出21y x =-的图象，再将该图象x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即可.(3)根据(2)图象写出单调区间，再根据定义法证明函数单调性，即可.【详解】(1)由题意可知，220m m -++>，即12m -<<因为m 是整数，所以0m =或1m =当0m =时，()2f x x =当1m =时，()2f x x = 综上所述，幂函数()f x 的解析式为()2f x x =. (2) 由(1)可知()2f x x =，则()21g x x =- 函数()g x 的图象，如图所示：(3)由(2)可知，减区间为(][],1,0,1-∞-；增区间为[][)1,0,1,-+∞当[)1,x ∈+∞时，()2211g x x x =-=- 设任意的1x ，[)21x ∈+∞,且120x x ->则()()()()()()2222121212121211g x g x x x x x x x x x -=---=-=-+ 又1x ，[)21x ∈+∞,且120x x ->∴()()120g x g x ->即()g x 在区间[)1,+∞上单调递增.【点睛】本题考查求幂函数的解析式以及画函数图象，单调性的定义法证明.属于中档题.21.已知函数()()()4log 1,0,1a f x x a a =+->≠的反函数()1fx -的图象经过点()5,1P -，函数()2(),21x g x b b R =-∈+为奇函数. (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()()22xF x g x =+-的零点； (3)设()g x 的反函数为()1gx -，若关于x 的不等式()()1g k x f x -+<在区间()1,0-上恒成立，求正实数k 的取值范围.【答案】(1)()()24log 1f x x =+-；(2)4log 3x =；(3)(]0,4.【解析】【分析】(1)根据原函数与反函数的关系可知，函数()f x 过点()1,5-，代入求解a 值，即可.(2)由题意可知()00g =，解得1b =，从而确定()22121x x F x =-+-+，令()0F x =，即()()21212x x -+=，即43x =，解方程，即可.(3)由题意可知，()()121log ,1,11x g x x x-+=∈--，则不等式()()1g k x f x -+<变形为()2214log 1x k x-<++，令()1,0,1t x t =+∈，则244log 4k t t ⎛⎫<++- ⎪⎝⎭，令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据函数的单调性，可知244log 44y t t ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，从而求解正实数k 的取值范围.【详解】(1)由题意，()f x 过点(1,5)-，即()14log 25a f -=+=，解得2a = 所以()()24log 1f x x =+-. (2)()g x 为R 上的奇函数∴()0201021g b b =-=-=+，解得1b =，即()2121x g x =-+ 则()()22x F x g x =+-令()0F x =，即221021x x -+-=+ 则()()()2212121412x x x x -+=-=-=即43x =，解得4log 3x =.(3)由(2)可知()2121x g x =-+ ∴()()121log ,1,11x g x x x-+=∈-- 即()()()12214log 1log 1x k f x g x x x-+<-=+---()()()2222114144log 4log 11x x x x x-+-++=+=+++ 令()1,0,1t x t =+∈，则2224444log 4log 4t t k t t t -+⎛⎫<+=++- ⎪⎝⎭令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()0,1t ∈ 244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在()0,1t ∈单调递减 ∴22444log 44lo 41g 14y t t ⎛⎫⎛⎫=++->++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若关于x 的不等式()()1gk x f x -+<在区间()1,0-上恒成立,则4k ≤ 又k 为正实数∴(0,4]k ∈.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的零点，以及恒成立问题求参数取值范围，属于较难的题.。
上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
【详解】因为函数
y
x2
x 2x
5
的定义域为 R
，
y 1
当 x 0 时，
x 5 2 x，
u
因为
x
5 x
在
(,
5) 和(
5, ) 上单调递增，在[
5, 0) 和 (0,
5] 上单调递减，
y 1
根据复合函数单调性法则，可知
x
5 x
2
应该在
[
5, 0) 和 (0,
5] 上单调递增，
y x 而函数 x2 2x 5 本身在 x 0 处有意义，且函数图象不间断，
【详解】当 a 1时：函数 y f (x) ax 单调递增，
f 2 a2 2, f (4) a4 4a 2
；
当 0 a 1时：函数
y
f
(x) ax 单调递减，
f
2 a2
4,
f (4) a4
2
，无解.
综上所述： a 2
故答案为 2
【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握.
意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.
12.已知函数 f (x) || x 1| | x 3 | 1| ，若 f 4a2 6a f (4a) ，则实数 a 的取值范围
为_______.
3
【答案】
4
13 , 3 4
13
1 2
3 4
,
5.函数 f (x) x2 4x(x 0) 的反函数为_________；
【答案】 2 x 4(x 0)
【解析】
【分析】
x 2 y 4 y 0
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
高一上学期期末数学试题一、填空题1化成有理数指数幂的形式为__________. 0)a >【答案】13a 【分析】根据给定条件，利用分数指数幂的意义求解作答. 【详解】. 0a >114111113333444()()()a a a a a +=⋅===故答案为：13a 2．不等式的解集是___________. |1|2x -<【答案】(1,3)-【分析】根据绝对值的意义直接求解即可. 【详解】, |1|2x -< ,212x ∴-<-<解得，13x -<<所以不等式的解集为. (1,3)-故答案为：(1,3)-3．已知a 、b 是方程的两个根，则______． 23410x x -+=11a b+=【答案】4【分析】直接利用韦达定理代入计算即可.【详解】由韦达定理可得，41,33a b ab +==4113413a b a b ab++===故答案为：4.4．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为________． 54︒10cm 2cm 【答案】15π【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形面积公式求解即可. 3π10α=【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角.则该扇形的面积为3π5410α=︒=. 213π1015π210⨯⨯=2cm 故答案为： 15π5．已知，则角属于第____________象限． sin 0tan θθ<θ【答案】二或三【分析】根据题意，结合三角函数在各个象限的符号，即可得到结果. 【详解】因为，即与的符号相反， sin 0tan θθ<sin θtan θ所以为第二或第三象限， θ故答案为: 二或三6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. ()y f x =R 0x >()21x f x =-(2)f -=【答案】3-【详解】 由题意得，函数为奇函数，所以.()y f x =()2(2)2(21)3f f -=-=--=-7．已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a 的()3x f x a =+1()y f x -=1()y f x -=(3,2)值为__________． 【答案】-6【分析】由的图象过点得函数的图象过点，把点代入1()y f x -=(3,2)()y f x =(2,3)(2,3)()y f x =的解析式求得的值．a 【详解】解：的图象过点，1()y f x -= (3,2)函数的图象过点，∴()y f x =(2,3)又，()3x f x a =+，即．233a ∴+=6a =-故答案为：． 6-8．已知，则____________． cos )ααβ=-=π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos(2)αβ-=【分析】根据，得到，求出π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭sin )ααβ=-=法，结合余弦的和角公式求出答案.【详解】，故，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为，所以，sin()0αβ-=>π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以，sin )ααβ==-==故()()()()2cos cos cos sin sin cos αβααβααβααβ⎡⎤-=+--⎦=--⎣. ==9．在数学解题中，时常会碰到形如“”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若1x yxy+-，则________.sincos855tan 15cos sin 55a b a b πππππ+=-b a =【分析】将已知条件左边分式分子分母同时除以，结合两角和的正切公式，求得的值. cos5a πba【详解】由已知分子分母同时除以得，sincos855tan 15cos sin 55a b a b πππππ+=-cos 5a π. tan85tan 151tan 5ba b a πππ+=-又，所以. tantan853tantan()15531tan tan 35πππππππ+=+=-tan 3b a π=【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查齐次方程的计算，属于中档题.10．若函数有2个零点，则实数a 的取值范围是______．()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩【答案】(](]2,01,2- 【分析】画出的图像，分，，，，讨()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩2a ≤-20a -<≤01a <≤12a <≤2a >论观察图像可得答案.【详解】当时，函数零点为1，只有1个零点2a ≤-()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，1，有2个零点，符合；20a -<≤()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，1，有3个零点；01a <≤()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，有2个零点；12a <≤()2,1,x x x x af x x x a⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，2，有3个零点；2a >()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩综上：实数a 的取值范围是 (](]2,01,2- 故答案为：.(](]2,01,2- 【点睛】思路点睛：对于分段函数的零点问题，注意根据两段函数的零点合理分类，分类时注意按一定的次序进行.二、单选题11．以下命题正确的是（ ） A ．终边重合的两个角相等 B ．小于 的角都是锐角 90 C ．第二象限的角是钝角 D ．锐角是第一象限的角【答案】D【分析】根据象限角的定义判断求解即可.【详解】对于A,例如和中边相同，但两个角不相等，故A 错误；30 390对于B,例如，但不是锐角，故B 错误；090< 0 对于C,例如是第二象限角，但不是钝角，故C 错误； 210- 210- 因为锐角为大于小于，所以锐角在第一象限，故D 正确. 0 90 故选:D.12．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：32()22f x x x x =+-- (1)2f =- (1.5)0.625f = (1.25)0.984f =-(1.375)0.260f =-(1.4375)0.162f =(1.40625)0.054f =-那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．A ．1.2 B ．1.4 C ．1.3 D ．1.5 32220x x x +--=【答案】B【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.【详解】解：因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1)0,(1.5)0f f <>(1)(1.5)0f f <(1,1.5)，所以不满足精确度；1.510.50.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.25)0f <(1.25)(1.5)0f f <(1.25,1.5)，所以不满足精确度；1.5 1.250.250.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.375)0f <(1.375)(1.5)0f f <(1.375,1.5)，所以不满足精确度；1.5 1.3750.1250.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.4375)0f >(1.4375)(1.375)0f f <(1.375,1.4375)，所以满足精确度；1.4375 1.3750.06250.1-=<0.1所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包32220x x x +--=0.05(1.375,1.4375)括端点值），根据四个选项可知选B . 故选：B13．已知全集及集合，，则的U =R 2128,4aA a a -⎧⎫=≤<∈⎨⎬⎩⎭Z {}23100B b b b b =+->∈R ，A B 元素个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】可求出集合，，然后进行交集和补集的运算求出，然后即可得出的元素个A B A B A B 数．【详解】解：，2128,4a A a a -⎧⎫=≤<∈⎨⎬⎩⎭Z {}23100B b b b b =+->∈R ，，，，1，2，3，，或，且{|223A a a ∴=--<…}{|14a Z a a ∈=-<…}{0a Z ∈=4}{|5B b b =<-2}b >，U =R ，， ∴{|52}B b b =-……{0,1,2}A B = 的元素个数为：3．∴A B 故选：． B 14．函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中正确的个数为1()||1f x x =-（ ）①函数的定义域为； ②； ()f x {}1x x ≠2022((2023))2021f f =-③函数的图像关于直线对称； ④当时，函数的最大值为； ()f x 1x =(1,1)x ∈-()f x 1-⑤方程有四个不同的实根． 2()40f x x -+=A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据分式分母不为零可求得定义域判断①；利用解析式可求得判断()f x ()()2023f f ②；通过判断③；分别在和的情况下得到，判断④；利用()()20f f ≠(]1,0x ∈-[)0,1x ∈()max f x 数形结合判断⑤.【详解】对于①，由得：，的定义域为，①错误；10x -≠1x ≠±()f x \{}1x x ≠±对于②，，，②正确；()120232022f = ()()112022202312022202112022f f f ⎛⎫∴===-⎪⎝⎭-对于③，，，， ()12121f ==- ()10101f ==--()()20f f ∴≠不关于直线对称，③错误；()f x \1x =对于④，当时，，此时； (]1,0x ∈-()1111f x x x ==---+()()01f x f ≤=-当时，，此时； [)0,1x ∈()11f x x =-()()01f x f ≤=-综上所述：当时，，④正确；()1,1x ∈-()max 1f x =-对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的大致图象，()f x 24y x =-由图象可知与有四个不同交点，()f x 24y x =-方程有四个不同的根，⑤正确.∴()240f x x -+=所以正确的个数为3. 故选：B.三、解答题15．已知，求下列各式的值：1tan 2,tan 42παβ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭(1)；tan α(2)． sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++【答案】(1)13(2) 1-【分析】(1)两角和的正切展开求解.(2)两角和的正余弦展开合并同类项，再运用两角和的正余的逆运用转化为正切求解.【详解】（1） πtantan π1tan 4tan 2π41tan 1tan tan 4ααααα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-⋅1tan 3α∴=（2）()()sin sin cos cos sin ,cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=⋅+⋅+=⋅-⋅sin()2sin cos 2sin sin cos()2sin sin cos cos sin 2sin cos cos s c s in o sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-∴=++⋅+⋅-⋅⋅-+⋅ ()()()sin cos sin sin cos tan sin sin cos cos cos βααβαββααβαββα-⋅-⋅===-⋅+⋅-又 ()11tan tan 523tan 1111tan tan 61132βαβααβ-----====-+⋅-⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭sin()2sin cos 12sin sin cos()αβαβαβαβ+-∴=-++16．某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一块面积为（单位：平()0x x ≥方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司2x每年的燃料费为（，k 为常数）万元．记y 为该公司10年的燃料费与安装太阳能板1040kx +0x ≥的费用之和．(1)求k 的值，并写出函数的表达式；()y f x =(2)求y 的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x ． 【答案】(1)，()； 800k =80042xy x =++0x ≥(2)38万元，安装的太阳能板的面积为36平方米.【分析】(1)根据每年的燃料费计算可得k 值，进而写出函数的表达式. ()y f x =(2)利用(1)中函数表达式结合均值不等式即可计算最小值及所对x 值. 【详解】（1）依题意，当时，，解得， 0x =2040k=800k =于是得该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和，，800800101040242x xy x x =⋅+=+++0x ≥所以，函数的表达式为，. 800k =()y f x =80042xy x =++0x ≥（2）由(1)知，，， 0x ≥8004223842x y x +=+-≥=+当且仅当，即时取“=”， 800442x x +=+36x =所以y 的最小值是38万元，此时所安装的太阳能板的面积为36平方米. 17．已知函数的表达式为.()y f x =()9233x x f x a =-⋅+(1)若，求函数的值域； 1,[0,1]a x =∈()y f x =(2)当时，求函数的最小值；[1,1]x ∈-()y f x =()h a (3)对于（2）中的函数，是否存在实数，同时满足下列两个条件：（i ）；（ii ）()h a ,m n 3n m >>当的定义域为，其值域为；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ()h a [,]m n 22,m n ⎡⎤⎣⎦,m n 【答案】(1)[]2,6(2)22821,9331()3,33126,3aa h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩(3)不存在，理由见解析【分析】（1）由，利用的范围可得的范围，进而可得答案；()2312x y =-+x 3x （2）令，函数可转化为，分、、讨论可得答3x t =()f x ()()223g t t a a =-+-13a <133a ≤≤3a >案；（3）假设满足题意的，存在，函数在上是减函数，求出的定义域、值域，列m n ()h a ()3,+∞()h a 出方程组，求解与已知矛盾，即可得到结论.【详解】（1）当时，由，得，1a =9233x x y =-⨯+()2312x y =-+因为，所以，，[]0,1x ∈[]31,3x∈[]2,6y ∈所以函数的值域为.()y f x =[]2,6（2）令，因为，故，函数可转化为3x t =[]1,1x ∈-1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ， ()()222233g t t at t a a =-+=-+-①当时，；13a <()1282393ah a g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭②当时，；133a ≤≤()()23h a g a a ==-③当时，．3a >()()3126h a g a ==-综上所述，. ()22821,93313,33126,3a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩（3）假设满足题意的，存在，m n 因为，，3n m >>()126h a a =-所以在上是严格减函数，()y h a =()3,+∞所以在上的值域为，()y h a =[],m n ()(),⎡⎤⎣⎦h n h m 又在上的值域为，所以，即， ()y h a =[],m n 22,m n ⎡⎤⎣⎦()()22h n m h m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩两式相减，得，()()()226m n m n m n m n -=-=+-因为，所以，3n m >>6m n +=而由，可得，与矛盾．3n m >>6m n +>6m n +=所以，不存在满足条件的实数，．m n 18．已知函数的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数()f x 值均为正，则称此函数为“正函数”.（1）证明函数是“正函数”； ()()2lg 11f x x =++（2）如果函数不是“正函数”，求正数a 的取值范围. ()11a f x x x =+-+（3）如果函数是“正函数”，求正数a 的取值范围. ()()()222242122x a x a f x x a x a +--+=+--+【答案】（1）证明见解析，（2）（3）(,1]-∞(){}6,13- 【解析】（1）有题知：，即证.()1f x ≥（2）首先讨论当时，显然不是“正函数”. 当时，从反面入手，假设0a ≤()11a f x x x =+-+0a >是“正函数”，求出的范围，再取其补集即可.()f x a （3）根据题意得到：或，解方程和不等式组即可. 22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩12242122a a a a --+==--+【详解】（1）.2()lg(1)1lg111f x x =++≥+=函数值恒为正数，故函数是“正函数”.2()lg(1)1f x x =++（2）当时，，0a ≤(0)10f a =-<显然不是“正函数”. ()11a f x x x =+-+当时0a >假设为“正函数”.则恒大于零. ()11a f x x x =+-+()f x. ()1221a f x x x =++-≥+所以，即20->1a >所以不是“正函数”时， ()11a f x x x =+-+.01a <≤综上：.1a ≤（3）有题知：若函数是“正函数”， ()22(2)242(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+则或. 22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩12242122a a a a --+==--+解得：或.61a -<<3a =【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.。
上海高一上数学期末考试试卷
【分析】
根据原函数与反函数的关系，解方程 ，即可.
【详解】
令 解得
函数 的反函数为 .
故答案为：
13．1
【解析】
【分析】
根据函数 为偶函数，则定义域关于原点的对称，且 ，列方程组得 ，解方程组即可.
【详解】
函数 是定义域为 的偶函数
，解得 ，
即
故答案为：
14．10或100
【解析】
【分析】
令 ，则方程 变形为 ，解得 或 ，即 或 ，解方程即可.
16．
【解析】
【分析】
根据 为奇函数，且在 上是减函数，可知 ，即 ，令 ，根据函数 在 上单调递增，求解 的取值范围，即可.
【详解】
为奇函数，且在 上是减函数
在 上是减函数.
∴ ，即 .
令 ，则 在 上单调递增.
若使得不等式 在 上都成立.
则需 .
故答案为：
17．
【解析】
【分析】
由题意可知，函数 在 单调递增，则 ，解方程，即可.
【详解】
(1)由题意， 过点 ，即 ，解得
所以 .
(2) 为 上的奇函数
∴ ，解得 ，即
则
令 ，即
则
即 ，解得 .
(3)由(2)可知
即
令 ，则
令 ，
在 单调递减
∴
若关于 的不等式 在区间 上恒成立,则
又 为正实数
∴ .
【详解】
函数
函数 在 单调递增
即 ，
又 函数 在区间 上的最大值比最小值大 .
，解得 或 （舍去）
综上所述：
18．(1) ；(2)偶函数，证明见解析.
【解析】