两变量之间关系的分析

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第一节 简单线性相关
（一）线性相关的概念 （二）相关系数的意义及计算 （三）相关系数的统计推断
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（一）线性相关的概念
例10.1 某临床医生共测定了21名肝癌患者血清中胆固醇（mmol/L）和三酰 甘油（mmol/L）的含量。问肝癌患者血清中胆固醇与三酰甘油是否具有相 关关系？
如表何10描.1 述21例两肝连癌患续者血表清10.胆1 2固1例醇肝与癌三患者酰血甘清油胆相固醇关与性三研酰究甘油相关性研究
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（一）线性相关的概念
正相关 positive correlation
Y
负相关 negative correlation
Y
零相关 zero correlation
Y
零相关 zero correlation
Y
（a） X
（c） X
（e） X
（g） X
完全正相关
Y
perfect positive correlation
描述两变量间关系的密切程度和方向？
相关
3
相关的由来
Francis Galton：
• “维多利亚女王时代最博 学的人 ”
• 1888 年 ， 高 尔 顿 发 表 论 文《相关及其主要来自人 体的度量》，充分论述了 “相关”的统计学意义， 并提出了相关系数的计算 公式。
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内容
第一节 简单线性相关 第二节 秩相关 第三节 相关与回归的区别与联系
Xi X Yi Y
i 1
i 1
lXX
n i 1
两变量之间关系的分析 —相关
王 睿 副教授 卫生统计学教研室
医学研究实例
例10.1 某临床医生共测定了21名肝癌患者血清中胆固（mmol/L）和三酰 甘油（mmol/L）的含量。问肝癌患者血清中胆固醇与三酰甘油是否具有相 关关系？
表10.1 21例肝癌患者血清胆固醇与三酰甘油相关性研究
两个变患量者序号 血清胆固醇（mmol/L） 三酰甘油（mmol/L）
• 两个变量之间，一个增大，另一个也相应地增 大（或是减小），这种现象称为共变，也就是 这两个变量之间有“相关关系”。
• 两个随机变量之间这种呈线性趋势的关系称为 线性相关（linear correlation），又称简单相 关 （ simple correlation ） ， 简 称 相 关 （correlation）。
协方差
n
( Xi X )(Yi Y )
X和Y的样本协方差 i1
n1
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（二）相关系数的意义及计算
Y
X和Y的样本协方差：
Y
n
( Xi X )(Yi Y )
i 1
n1
X
X
附图2 双变量协方差示意图（2）
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（二）相关系数的意义及计算
Y
X和Y的样本协方差：
Y
n
( Xi X )(Yi Y )
i 1
n1
X
X
附图3 双变量协方差示意图（3）
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（二）相关系数的意义及计算
Y
X和Y的样本协方差：
Y
n
( Xi X )(Yi Y )
i 1
n1
X
X
附图4 双变量协方差示意图（4）
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（二）相关系数的意义及计算
Y
X和Y的样本协方差：
Y
n
( Xi X )(Yi Y )
i 1
n1
X
X
附图5 双变量协方差示意图（5）
1
4.89
1.48
2
3.41
1.01
3
5.70
1.30
4
6.84
1.78
…
…
…
19
6.11
1.45
20
3.63
1.15
21
3.89
0.78
2
医学研究实例
• 谷草转氨酶与谷丙转氨酶； • 收缩压与舒张压； • 血糖与糖化血红蛋白； • 高密度脂蛋白与胆固醇； • ……
回归：描述两变量间依存变化的数量关系
Y
•这种关系的密切程度怎样？ •正向变化（正相关）？ •反向变化（负相关）？
X
附图1 相关系数示意图（1）
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（二）相关系数的意义及计算
• 线性相关系数（linear correlation coefficient）：
又 称 Pearson 积 矩 相 关 系 数 （ Pearson product moment coefficient），用以定量描述两个变量间线性关系 的密切程度与相关方向的统计指标。
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（二）相关系数的意义及计算
Y
X和Y的样本协方差：
Y
n
( Xi X )(Yi Y )
i 1
n1
X
X
附图6 双变量协方差示意图（6）
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（二）相关系数的意义及计算
r 相 关lX系Y 数 lXX lYY
n XX和i YX的协Yi 方 Y差
n(iX1 的方差2 )n(Y的方差2 )
6.84 1.78
1.78
势 表 示 两…变 量 间 的 相 … …
关关系。19
20
6.11
19
3.63
20
21
21
3.89
……
…
6.11 1.45
1.45
3.63 1.15
1.15
3.89
0.78
0.78
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（一）线性相关的概念
图10.2 肝癌患者血清胆固醇与三酰甘油关系散点图
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（一）线性相关的概念
完全负相关
Y
perfect negative correlation
零相关
Y zero correlation
曲线相关 curvilinear correlation
Y
（b） X
10
（d） X
（f） X
图10.1 不同r值的相关系数示意图
（h） X
（二）相关系数的意义及计算
相关分析的研究内容：
•两个变量之间是否有线性关系？
− 符号： 样本 r 总体
− 资料要求：两变量满足双变量正态分布（bivariate normal distribution）。
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（二）相关系数的意义及计算
相关系数 X和Y的协方差 (X的方差)(Y的方差)
方差（variance）
协：
协，众之同和也。
协+方差（co + variance）
—《说文》
协方差（covariance）
co：
together, jointly, equally; 如co-operate, coact
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（二）相关系数的意义及计算
方差
当样本值为（x1，y1），…，（xn，yn）时，
n
(Xi X )2
X的样本方差 i1 n1
n
(Yi Y )2
Y的样本方差 i1 n1
变量之间的关系？ 患者序号 血清胆固醇（mmo患l/者L）序号 三血酰清甘胆油固（醇mmol/L三）酰甘油
（mmol/L）
（mmol/L）
1
4.89
1.48
1
4.89
1.48
散点图： 2 3
3.41
2
5.70
3
3.41 1.01
1.01
5.70 1.30
1.30
用 点 的 密4集 程 度 、 趋6.84 4