2.6 一次函数、二次函数与幂函数

§2.6 一次函数、二次函数与幂函数
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于
( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2 2．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0有一个负数根”的
( )
A ．必要不充分条件
B ．充分必要条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )
4.幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭
⎫4，1
2，那么f (8)的值为 ( ) A ．2 6
B ．64
C.
2
4
D.164
5．已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)·2
7325
t t x
+-(t ∈N)是偶函数，则实数t 的值为( ) A ．0 B ．－1或1 C ．1
D ．0或1
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0，1<β<2，则实数m 的取值范围是 . 7．对于函数y ＝x 2
，y ＝12
x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内 都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有__________． 8．已知函数f (x )＝
ax ＋b
x －b
，其图象关于点(－3,2)对称，则f (2)的值是________． 9．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________．
三、解答题(共41分)
10．(13分)如果幂函数f(x)＝
2
13
22
p p
x-++(p∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求
p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．
11.(14分)是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？
若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
12．(14分)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
(1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x)，求实数b的取值范围；
(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．
答案
1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 6.⎝⎛⎭⎫2，52 7．①②⑤⑥ 8.15 9.3
8或－3 10．解 ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，
∴－12p 2＋p ＋3
2>0，即p 2－2p －3<0.
∴－1<p <3，又∵f (x )是偶函数且p ∈Z. ∴p ＝1，故f (x )＝x 2. 11．解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.
当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧
f (a )＝a －a 2
＝－2，
f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1；
当0<a ≤1时，⎩
⎪⎨⎪⎧
f (a )＝a －a 2＝－2，
f (－1)＝1＋3a ＝2⇒a 不存在；
当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
f (－1)＝1＋3a ＝2，f (1)＝1－a ＝－2⇒a 不存在． 综上可得a ＝－1.
12．解 (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ，x 2－bx ＋b <0
⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4. (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4. ①当Δ≤0，即－255≤m ≤25
5
时，则必需 ⎩⎨⎧
m 2
≤0－25
5≤m ≤25
5
⇒－
25
5
≤m ≤0. ②当Δ>0，即m <－
255或m >25
5
时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)． 若m
2
≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧
m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0
⇒m ≥2；
若m
2≤0，则x2≤0，即
⎩⎪
⎨
⎪⎧m
2≤0
F(0)＝1－m2≥0
⇒－1≤m<－25 5；
综上所述：－1≤m≤0或m≥2.。