Delaunay三角剖分算法

1.2. Delaunay三角剖分的定义
Delaunay边：假设E中的一条边e（两个端a,b），e若满足下 列条件，则称之为Delaunay边：存在一个圆经过a,b两点， 圆内(注意是圆内，圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其 他的点，这一特性又称空圆特性。三角剖分的补充.ppt Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含 Delaunay边，那么该三角剖分称Delaunay三角剖分。
1.4.Delaunay三角剖分的特性
以下是Delaunay剖分所具备的优异特性： 1.最接近：以最近临的三点形成三角形，且各线段 (三角形的边)皆不相交。 2.唯一性：不论从区域何处开始构建，最终都将得 到一致的结果。 3.最优性：任意两个相邻三角形形成的凸四边形的 对角线如果可以互换的话，那么两个三角形六个内 角中最小的角度不会变大。
在完成构网后，增加新点时，无需对所有的 点进行重新 构网，只需对新点的影响三角形 范围进行局部联网，且局部联网的方法简单 易行。同样，点的删除、移动也可快速动态 地进行。但在实际应用当中，这种构网算法 当 点集较大时构网速度也较慢，如果点集范 围是非凸区域或者存在内环，则会产生非法一个超级三角形，包含所有散点，放入三角 形链表。 2、将点集中的散点依次插入，在三角形链表中找出 其外接圆包含插入点的三角形（称为该点的影响三 角形），删除影响三角形的公共边，将插入点同影 响三角形的全部顶点连接起来，从而完成一个点在 Delaunay三角形链表中的插入。
3、根据优化准则对局部新形成的三角形进行优化。 将形成的三角形放入Delaunay三角形链表。
4.最规则：如果将三角网中的每个三角形的最小 角进行升序排列，则Delaunay三角网的排列得到 的数值最大。 5.区域性：新增、删除、移动某一个顶点时只会 影响临近的三角形。 6.具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形 成一个凸多边形的外壳。
1.5.局部最优化处理
理论上为了构造Delaunay三角网，Lawson提出的 局部优化过程LOP(Local Optimization Procedure)，一般三角网经过LOP处理，即可确保 成为Delaunay三角网，其基本做法如下所示： 1.将两个具有共同边的三角形合成一个多边形。 2.以最大空圆准则作检查，看其第四个顶点是 否在三角形的外接圆之内。
3.如果在，修正对角线即将对角线对调，即完 成局部优化过程的处理。 LOP处理过程如下图所示：
2.Delaunay剖分的算法
Delaunay剖分是一种三角剖分的标准，实现它有多 种算法。 wson算法 逐点插入的Lawson算法是Lawson在1977年提出，该 算法思路简单，易于编程实现。 基本原理为：首先建立一个大的三角形或多边形， 把 所有数据点包围起来，向其中插入一点，该
Delaunay三角剖分算法
1. 三角剖分与Delaunay剖分的定义 如何把一个散点集合剖分成不均匀的三 角形网格，这就是散点集的三角剖分问题， 散点集的三角剖分，对数值分析以及图形 学来说，都是极为重要的一项预处理技术。 该问题图示如下：
1.1.三角剖分定义
三角剖分：假设V是二维实数域上的有限点集，边e 是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的 集合。那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个 平面图G，该平面图满足条件： 1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。 2.没有相交边。 3.平面图中所有的面都是三角面，且所有三角面的 合集是散点集V的凸包。三角剖分的补充
合成算法的基本步骤
把点集V 以横坐标为主, 纵坐标为辅按升序排序, 然后递归地执行以下步骤: if V 中数据量大于一给定值, 把V 分为近似相等的两个子集V L 和V R ; 在V L 和V R 中用逐点插入法生成三角网; 找出连接V L 和V R 中两个凸壳的底线和顶线; 由底线至顶线合并V L 和V R 中两个三角网; else
1.3.Delaunay三角剖分的准则
要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个 重要的准则： 1、空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意 四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三 角形的外接圆范围内不会有其它点存在。如下图 所示：
2、最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角 剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最 小角最大。从这个意义上讲，Delaunay 三角网是 “最接近于规则化的“的三角网。具体的说是指 在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在 相互交换后，六个内角的最小角不再增大。如下 图所示：
a) b) c) d)
生成基本三角网; end
点与包含它的三角形三个顶点相连，形成三个新的 三角形，然后逐个对它们进行空外接圆检测，同时 用Lawson设计的局部优化过程LOP进行优化，即通过 交换对角线的方法来保证所形成的三角网为 Delaunay三角网。 上述基于散点的构网算法理论严密、唯一性好，网 格满足空圆特性，较为理想。由其逐点插 入的构网 过程可知，遇到非Delaunay边时，通过删除调整， 可以构造形成新的Delaunay边。
3、根据优化准则对局部新形成的三角形进行优化。 将形成的三角形放入Delaunay三角形链表。 4、循环执行上述第2步，直到所有散点插入完毕。 这一算法的关键的第2步图示如下：
合成算法介绍
三角网生长法在80 年代中期以后的文献中已很少见, 较多的是分治算法和逐点插入法。而后两类算法又 各有其长处及短处。 逐点插入法虽然实现比较简单, 占用内存较小, 但它 的时间复杂度差, 即运行速度慢。 分治算法从时间复杂度方面看, 它最好。但由于递 归执行,它需要较大内存空间。在较低档的计算机平 台上, 速度慢和占用大空间都是令人难以接受的。 @ 这里, 我们提出并实现了一种合成算法, 它把逐点插 入法植入到了分治算法中, 互相取长补短, 体现了它 们的综合优势, 从而达到了较好的时空性能。