凹凸函数之切线放缩
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!导数中的不等式证明导数中的不等式证明是高考中的一个经典考点。
由于不等式证明的灵活性和多样性，该考点备受命题者的青睐。
本文将从五个方面系统地介绍一些常规的不等式证明手段。
命题角度1：构造函数典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数$f(x)=1-\ln x+\frac{e}{x}$，$g(x)=x-\frac{e}{x}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。
求$a,b$的值，并证明当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。
解析】（1）$a=b=-1$；2）$g(x)=-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{ e}{2\ln x}-\frac{x}{2}+\frac{e}{2x}\leq1$。
令$h(x)=f(x)+g(x)-\frac{2}{x}$，则$h(x)=1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\ln x-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$h'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{e}{x^2}-\frac{1}{x}-\frac{e}{2x^2}+\frac{1}{2}-\frac{e}{2x^2}$，$h''(x)=\frac{2}{x^3}-\frac{3e}{x^3}+\frac{2e}{x^3}$。
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题
导数中的不等式证明命题角度1 构造函数【典例1】 已知函数()ln 11,()x x ae f x g x bx x e x=-=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直．（1）求,a b 的值；（2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x+≥．命题角度2 放缩法【典例2】 已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （1）求,a b ；（2）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+.【典例3】 已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：22231ln 2ln ln 2421n n nn n n +<+++<++【典例4】 已知函数()2ln 2xx f x e +=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e+'+<+.命题角度3 切线法【典例5】 已知函数()2x f x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例6】 若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+-的最小值为.A .18B .1C .19D - 【变式训练】 设2D a =+，其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为.A .B .1C .1A【能力提升】 对于任意0,b a R >∈，不等式()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数m 的最大值为.A .2B .C e .3A 命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数()2ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =.（1）求实数,a b 的值；（2）设()()()()21212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F '<.【典例8】 已知函数()()2,,,x f x e g x ax bx a b R ==+∈.（1）当0b =时，方程()()0f x g x +=在区间()0,+∞上有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（2）当0a b =>时，设12,x x 是函数()()()F x f x g x =-两个不同的极值点，【典例9】 已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ， (e 为自然对数的底数).（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：()()122f x f x +>.【典例10】 已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()()212g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是9.24A ⎫⎛-- ⎪⎝⎭ ， 9. 04B ⎫⎛- ⎪⎝⎭ ，().2 0C - ， ().1 D +∞ ，命题角度5 函数凹凸性的应用【典例11】 已知函数()()1ln f x x x =+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y ax b =+．（1）求证：1x >时，()f x ax b >+；（2）求证：()()2*2ln 2ln 2ln723...2,1632n n n n n -++++>≥∈-N ．【典例12】 已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当()1,x ∈+∞时，证明：()21ln xe x x x x e-<<-.【典例13】 已知函数()ln f x x x =，()()22a x x g x -=.（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【典例14】 函数()()ln 1f x x ax =++的图像与直线2y x =相切．（1）求a 的值；（2）证明：对于任意正整数n ，()1122!!n n nnn n n en en ++⋅<<⋅.【典例15】 已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（1）求,a b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.答 案导数中的不等式证明导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。
导数与函数放缩问题之切线法放缩
导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 二、典型例题1:()ln 1,()0x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，21()ln ,().x f x ex x x f x xe e =-<+例2：已知求证：例3：已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（1）求,a b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.例4：已知函数()ln f x x x =，()()22a x x g x -=.（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦sin ,(0,)y x x π=∈三、巩固练习练习1：已知函数f (x )＝e x －a .(1)若函数f (x )的图象与直线l ：y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若f (x )－ln x >0恒成立，求整数a 的最大值．练习:2：已知函数()2x f x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.练习3：函数的图像与直线相切．（1）求的值；（2）证明：对于任意正整数，()1122!!n n nnn n n en en ++⋅<<⋅.()()ln 1f x x ax =++2y x =a n导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 二、典型例题1:()ln 1,()0x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，1ln 1x e x x x ≥+≤-考虑：，放缩-11()ln 1ln 1x x ef x ae x e x ≥=--≥--≥证明如下：因为a 所以x-(x-1)-1=0 21()ln ,().x f x ex x x f x xe e =-<+例3：已知求证：1()ln 0x g x e x ex ex =+-+>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即证：①-0x x e ex e ex ≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅考虑：，即②1ln 1,x x ≥-11ln 1,ln +0ex x ex ex ⇒≥-≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即③由②③相加，且不能同时取等，即可得①式成立，即证。
切线放缩公式大全
切线放缩公式大全切线放缩公式是微积分中的重要概念之一，它在曲线的切线近似及其应用中起到了关键作用。
本文将为您介绍切线放缩公式的相关内容。
一、切线的定义在微积分中，对于给定函数y=f(x)，在点(x_0, y_0)处，函数的切线是通过该点且与函数图像在该点相切的线。
切线的斜率等于函数的导数在该点处的值，切线的方程可以通过斜率和点的坐标得到。
二、切线的斜率对于函数y=f(x)，在点(x_0, y_0)处的切线斜率可以通过函数的导数在该点处的值f'(x_0)计算得到。
切线的斜率公式如下：k=f'(x_0)三、切线放缩公式切线放缩公式是指通过一个点的切线来近似曲线的局部行为。
在切线放缩公式的推导中，关键是需要利用到函数的导数。
1. 斜率形式的切线放缩公式在给定函数y=f(x)的情况下，对于点(x_0, y_0)处的切线近似曲线的情况，可以使用切线的斜率和点的坐标来表示切线放缩公式。
切线放缩公式如下：y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)2. 一阶泰勒展开形式的切线放缩公式在给定函数y=f(x)的情况下，可以使用一阶泰勒展开来近似曲线的局部行为。
一阶泰勒展开形式的切线放缩公式如下：f(x) ≈ f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)3. 二阶泰勒展开形式的切线放缩公式在给定函数y=f(x)的情况下，可以使用二阶泰勒展开来更精确地近似曲线的局部行为。
二阶泰勒展开形式的切线放缩公式如下：f(x) ≈ f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2四、切线放缩公式的应用切线放缩公式在微积分中有广泛的应用，特别是在近似计算、求解极限、曲线的性质分析和图像的绘制等方面。
以下是切线放缩公式的一些应用案例：1. 近似计算通过使用切线放缩公式，可以对函数在某一点附近的取值进行近似计算，避免了对整个函数进行详细计算的复杂性。
导数中证明不等式技巧：构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔(三)
-1-
②若 a 0 ，如图，总有 x3 x1 ，欲使 x4 x2 ，亦即
1 4a 9 a 1 a 2 2a 9 ， 2 2
所以 4a 9 a a 2 2a 9 ，即 0 4 a 9 a a 2 2 a 9 ， 两边平方，化简可得 4a 9 1 ，所以 a 2 .
命题角度 5
函数凹凸性的应用
【典例 10】（2018 届合肥三模）已知函数 f x x 2 x a 2 有零点 x1，x2 ，函数 g x x 2 a 1 x 2 有 零点 x3，x4 ，且 x3 x1 x4 x2 ，则实数 a 的取值范围是
结合函数图象，欲使 x3 x1 x4 x2 ，则 2 a 0 ，所以实数 a 的取值范围是 2， 0 .正确答案为 C. 思路 4 ： （特例法）令 a 2 ，则函数 f x x 2 x 有零点 x1 =0，x2 1 ，函数 g x x 2 x 2 有零点
【评注】 同理，g x3 f x3 a 1 x3 0 a 1 x3 ，g x4 f x4 a 1 x4 0 a 1 x4 ， 所以 x3 1 x4 ，
0 . 故 g 1 a 2 0 ，即 a 2 ，所以实数 a 的取值范围是 2，
0 .正确答案为 C. 所以实数 a 的取值范围是 2，
思路 3：因为函数 f x x 2 x a 2 有零点 x1，x2 ，
所以 x 2 x 2 a 的解分别为 x1，x2 ， 因为函数 g x x 2 a 1 x 2 有零点 x3，x4 ， 所以 x 1 a 的解分别为 x3，x4 ， 令 h x x 2 x 2,u x x 1 ，两个函数的交点的坐标分别为 1,0 , 1, 2 , 2,0 ，如图所示，
高考数学助手：导数中证明不等式技巧构造切线放缩二元变量凹凸反转
高考数学助手：导数中证明不等式技巧构造切线放缩二元变量凹凸反转
导数中不等式的证明是历年的高考中一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。
今天将会通过五个方面系统的介绍一些常规的不等式的证明手段。
总的来说：
命题角度1 构造函数
命题角度2 放缩法
命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路
命题角度5 函数凹凸性的应用
这五种命题角度，五种解题方法，同学们一定要会呢！导数在高考中占的比重还是挺大的！。
切线放缩公式大全
切线放缩公式大全1.切线放缩公式在数学中，切线放缩公式是一组用于计算图形放缩前后相似性的公式。
这些公式可以用于计算曲线的切线斜率、曲率和其他相关参数。
下面是一些常用的切线放缩公式。
1.1切线斜率放缩公式设曲线方程为y=f(x)，其上特定点(x0,y0)处的切线斜率为m0。
如果对曲线进行放缩，即沿x轴方向将横坐标放大k倍，纵坐标放大h倍，则新曲线方程为y'=h*f(k*x)，其上对应点(x0',y0')处的切线斜率为m0'。
切线斜率放缩公式为：m0'=m0*(h/k)这个公式说明了切线的斜率在放缩时也要按比例放缩。
1.2曲率放缩公式曲率是刻画曲线弯曲程度的一个参数。
在进行放缩时，曲线的曲率也会发生变化。
设曲线方程为y=f(x)，则曲线上特定点(x0,y0)处的曲率为κ0。
如果对曲线进行放缩，即沿x轴方向将横坐标放大k倍，纵坐标放大h倍，则新曲线方程为y'=h*f(k*x)，其上对应点(x0',y0')处的曲率为κ0'。
曲率放缩公式为：κ0'=κ0*(1/k)这个公式说明了曲率在放缩时反比于放缩比例。
1.3其他放缩公式除了切线斜率和曲率的放缩公式外，还有一些其他常用的公式可以用于图形的放缩。
比如，如果对一个图形进行放缩，横坐标放大k倍，纵坐标放大h倍，则图形的面积会变为原来的k*h倍，周长也会按比例放大。
如果放缩比例为k=h，则图形的面积和周长都会变为原来的k^2倍。
2.应用举例以下是一些切线放缩公式的应用举例：2.1切线斜率放缩应用假设有一曲线方程为y=x^2，点(1,1)处的切线斜率为2、现在对该曲线进行放缩，横坐标放大3倍，纵坐标放大2倍。
则新的曲线方程为y'=2*(3x)^2=18x^2，对应点(1,2)处的切线斜率为2*(2/3)=4/32.2曲率放缩应用假设有一曲线方程为 y = sin(x)，点(π/2, 1)处的曲率为 1、现在对该曲线进行放缩，横坐标放大2倍，纵坐标放大3倍。
凹凸函数之切线放缩
凹凸函数之切线放缩很多不等式的证明都涉及放缩法、构造法、拆分、引入增量，记得前不久看到泰勒展开，谈到超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），其中就有一个特例，将超越函数利用导数的几何意义（切线）进行放缩，即变成b kx x g +≥)(，或b kx x g +≤)(（等号成立的条件恰好是切点时满足）。
这里特例举几个题目来谈谈它的应用。
例1、()[]23,0,31x f x x x +=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且满足122010670a a a +++= ，则122010()()()f a f a f a +++ =6030解析：3)31(f =因为，当12201013a a a ==== 时，122010()()()f a f a f a +++ =6030对于函数23()(03)1x f x x x +=≤≤+,19()316k f '==-,在13x =处的切线方程为即3(11)10y x =-，则()22331(11)(3)()01103x f x x x x x +=≤-⇔--≤+成立，所以当03,n a n N *<≤∈时，有()3(113)10n n f a a ≤-122010()()()f a f a f a +++ []12201031120103()603010a a a ≤⨯-+++= 例2、已知函数2901x f x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．解析：（1）2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++，令()0f x '=，解得x a =±（负值舍去），由122a <<，解得144a <<．（ⅰ）当104a <≤时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为18(2)41f a =+．（ⅱ）当4a ≥时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为118()24f a =+．（ⅲ）当144a <<时， 在12x a <<时，()0f x '>，在2x a <<时，()0f x '<，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为=2f a a （．（2）设切点为(,())t f t ，则()1,()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩由()1f t '=-，有2229[1]1(1)at at -=-+，化简得2427100a t at -+=，即22at =或25at =，…①由()2f t t a =-+，有2921t a t at =-+，…②由①、②解得2a =或544a =．（3）当2a =时，29()12x f x x =+，由（2）的结论直线4y x =-为曲线()y f x =的切线，(2)2f = ，∴点(2,(2))f 在直线4y x =-上，根据图像分析，曲线()y f x =在线4y x =-下方．下面给出证明：当1[,2]2x ∈时，()4f x x ≤-．3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++ 2221(2)12x x x --=+（），当1[,2]2x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．∴12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++ ，121414x x x +++= ，1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-= ．∴要使不等式1214()()()f x f x f x λ+++≤ 恒成立，必须42λ≥．又 当12141x x x ==== 时，满足条件121414x x x +++= ，且1214()()()42f x f x f x +++= ，因此，λ的最小值为42．例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且311i i x ==∑，则2111x ++2211x ++2311x +≤2710证明：设g(x)=211x +,则g´(x)=222(1)x x -+，g´´(x)=2232(31)(1)x x -+，由g´´(x)＜0得-33＜x＜33，g´´(x)＞0得x＞33或x＜-33，∵g(x)在R 上连续，故g(x)=211x +在［-33，33］上是上凸的，在区间(-∞，-33)，(33，+∞)上是下凸的。
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凹凸函数之切线放缩
很多不等式的证明都涉及放缩法、构造法、拆分、引入增量，记得前不久看到泰勒展开，谈到超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），其中就有一个特例，将超越函数利用导数的几何意义（切线）进行放缩，即变成b kx x g +≥)(，或b kx x g +≤)(（等号成立的条件恰好是切点时满足）。
这里特例举几个题目来谈谈它的应用。
例1、()[]2
3,0,31x f x x x
+=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *
<≤∈，且满足122010670a a a +++=，则122010()()()f a f a f a +++= 6030
解析：3)31(f =因为，当1220101
3a a a ====时，122010()()()f a f a f a +++=6030
对于函数23()(03)1x f x x x +=≤≤+,19()316k f '==-,在13x =处的切线方程为即3
(11)10y x =-，
则()2
2331(11)(3)()01103
x f x x x x x +=
≤-⇔--≤+成立， 所以当03,n a n N *<≤∈时，有()3
(113)10
n n f a a ≤- 122010()()()f a f a f a +++[]1220103
1120103()603010
a a a ≤⨯-+++=
例2、已知函数2
901x
f x a ax =
>+()() ． （1）求f x ()在1
2
2[,]上的最大值；
（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；
（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式
1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．
解析：（1）222222
9[1(1)2]9(1)
()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==
++，
令()0f x '=，解得x =（负值舍去），由122<<，解得144a <<．
（ⅰ）当104a <≤时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴()f x 在1
[,2]2上的最大值为18(2)41f a =+．
（ⅱ）当4a ≥时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴()f x 在1
[,2]2
上的最大值为118()24f a =+．
（ⅲ）当144a <<时，在12x <<时，()0f x '>2x <<时，()0f x '<，
∴()f x 在1[,2]2上的最大值为=2f a a
（
（2）设切点为(,())t f t ，则()1,
()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩
由()1f t '=-，有2
22
9[1]1(1)at at -=-+，化简得2427100a t at -+=， 即22at =或25at =， …① 由()2f t t a =-+，有
2
921t
a t at =-+，…②
由①、②解得2a =
或4a =．
（3）当2a =时，2
9()12x
f x x
=+，由（2）的结论直线4y x =-为曲线()y f x =的切线， (2)2f =，∴点(2,(2))f 在直线4y x =-上，
根据图像分析，曲线()y f x =在线4y x =-下方． 下面给出证明：当1
[,2]2
x ∈时，()4f x x ≤-．
3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++2
2
21(2)
12x x x
--=+（）， 当1
[,2]2
x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．
∴12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++，
121414x x x +++=，
1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-=．
∴要使不等式1214()()()f x f x f x λ+++≤恒成立，必须42λ≥． 又当12141x x x ====时，满足条件121414x x x +++=， 且1214()()()42f x f x f x +++=，因此，λ的最小值为42．
例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且3
1
1i i x ==∑，则
2111x ++2
21
1x ++23
11x +≤2710
证明：设g(x)= 211x +,则g ´(x)= 222(1)x x -+，g ´´(x)= 223
2(31)
(1)x x -+，
由g ´´(x)＜0得
＜x
g ´´(x)＞0得x
x ＜
∵g(x)在R 上连续，故g(x)= 211x +在［
］上是上凸的，在区间(-∞，
)，
(+∞)上是下凸的。
由3
1
1i i x ==∑，则平衡值x 0= 13，由导数知识易求得g(x) = 2
11x +在 x=
13处的切线为y=2750（2-x ）,因x 0= 13∈［
，g(x) = 211x +在［
］上是上凸的，故g(x) = 211x +≤2750（2-x ）恒成立。
即2111x +≤2750（2-x 1）
，221
1x +≤2750
（2-x 2），2311x +≤2750（2-x 3），三式相加并结合3
1
1i i x ==∑即得2111x ++2
211x ++2311x +≤2710。
若将该题条件改为：若)3,2,1(,0=>i x i ，且3
1
3i
i x
==∑时，解法同理。
此时平衡值x 0=1，而g(x) =
211x +在x= 1处的切线为y=-12x+1, 因x 0= 1∈
(3
，+∞)，g(x) = 211x +在
(3，+∞)上是下凸的，故g(x) = 211x +≥- 12x+1恒成立。
即2111x +≥- 12x 1+1，2
21
1x +≥- 12x 2+1，2311x +≥- 12x 3+1三式相加并结合3
13i i x ==∑即得2111x ++2
211x ++2311x +≥32。
即得一个新的不等式：若x i
>3,i=1,2,3，且3
13i i x ==∑，则2111x ++2
2
1
1x ++2311x +≥32。
所以，在证明一类多元不等式时，我们经常用到的一个办法就是假设这些变元的和为1。
例4、若实数c b a ,,，证明：2
3
≥+++++b a c c a b c b a 。
提示：不妨设1=++c b a ，则平衡点是31=
x 。
x x x f -=1)(在31=x 的切线4
19-=x y ，有 4
1
9)(-≥
x x f 。
5、若z y x ,,非负，且12
2
2
=++z y x ，证明：43
1112
22≤+++++z
z y y x x 提示：平衡点是33=x 。
2
1)(x x x f +=在3
3
=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f
练习1：已知函数)2()
20()
2(11)(2>≤≤⎪⎩⎪
⎨⎧++=x x f x x x f ，
⑴求函数)(x f 在定义域上的单调区间。
⑵若关于x 的方程0)(=-a x f 恰有两个不等的实根，求实数a 的范围；
⑶已知实数]1,0[,21∈x x ，121=+x x ，若不等式)ln()()(21p x x x f x f --≤在),(+∞∈p x 上恒成立，求实数p 的最小值。
（可以利用切线求)()(21x f x f 的最大值）
练习2：若z y x ,,非负，且12
22=++z y x ，证明：4
3111222≤+++++z z y y x x
提示：平衡点是33=
x 。
21)(x x x f +=在3
3
=
x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f 切线放缩法实质就是利用函数的图像性质解决一类多元的问题向一元函数求最值和类型的不等
式转化。
此时，可以选择先求二阶导看凹凸性，判断这个函数是否能使用切线法，或者能够被用得比较好。
也可以直接选择求一阶导，把等号取道条件的切线值求出来，对应不等式常数项配最后的常数系数。
其本质相当于求这个一元函数在等号取到条件时（也就是文中的平衡点）的切线值，进一步求对于这个一元函数相对应的某个局部不等式。