高中数学必修5第三章不等式练习题
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式：ab≤a+b2课时作业(含解析)新人教A版必修5-新人
课时作业24 基本不等式：ab ≤a ＋b 2时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式中正确的是( D )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2D ．x 2＋3x 2≥2 3 解析：a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确． 2．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y的最小值为( D ) A ．10 B.110C ．5 D.15解析：∵lg x ＋lg y ＝2，∴xy ＝100.且x >0，y >0.1x ＋1y ≥21xy ＝15. 3．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( C ) A ．最大值为0 B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0.∴x ＋1x －2＝－[(－x )＋1(－x )]－2≤－2·(－x )·1(－x )－2＝－4，等号成立的条件是－x ＝1－x ，即x ＝－1.4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m 、n 的大小关系是( A ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．不确定解析：∵a >2，∴a －2>0，又∵m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4， 当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时取等号． ∴m ≥4.∵b ≠0，∴b 2>0，∵2－b 2<2，∴22－b 2<4，即n <4，∴m >n .5．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 解析：设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x(k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立． 6．已知x >1，y >1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( D )A ．有最大值2B ．等于4C ．有最小值3D ．有最大值4解析：因为x >1，y >1，所以log 2x >0，log 2y >0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋log 2y 22＝⎣⎡⎦⎤log 2(xy )22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号．故选D.二、填空题7．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是215；(2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是2254. 解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝2254， 即xy 的最大值是2254. 当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值． 8．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞. 解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 9．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是①③④.(填序号) 解析：因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，所以①正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故②不正确；a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，所以③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，所以④正确．三、解答题10．(1)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值． (2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． (3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值； 解：(1)∵0<x <12，∴1－2x >0. y ＝14·2x ·(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22 ＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，y 最大值＝116. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3 ≤－243－x ·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)， y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x ＋3(x ＋y )4y＝1＋⎝⎛⎭⎫y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y＝1＋32. 当且仅当y 4x ＝3x 4y， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．∴1x ＋3y 的最小值为1＋32. 11．设a ，b ，c ∈R ＋.求证：(1)ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc ；(2)(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋c ≥4. 证明：(1)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2)≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ＝右边，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝[a ＋(b ＋c )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋c≥2a (b ＋c )·21a (b ＋c )＝4＝右边， 当且仅当a ＝b ＋c 时，等号成立．——能力提升类——12．若f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 均为正数，P ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则( A ) A ．P ≤G ≤H B ．P ≤H ≤GC ．G ≤H ≤PD ．H ≤G ≤P解析：因为a ，b 均为正数，所以a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2＝2ab a ＋b，当且仅当a ＝b 时等号成立．又因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，所以P ≤G ≤H . 13．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( C ) A ．8 B ．7C ．6D ．5解析：由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.14．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2. 解析：令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2(a ＋1)(b ＋3)＝9＋2(a ＋1)(b ＋3)≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2. 15．如图，如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值X 围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米， 则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x. 令y ＝x ＋2×144x≤44(x >0)， 解得8≤x ≤36，则x 的取值X 围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2. 当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立， 则y 最小值＝242≈34.0，即最少需要34.0米铁丝网．。
高中数学必修5第3章《不等式》基础训练题
必修5第三章《不等式》基础训练题一、选择题1．若b <0，a ＋b >0，则a －b 的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不能确定2．已知M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，若x ≠2或y ≠－1，则( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定3．不等式(x －2)(x ＋3)>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)4．函数y ＝x (x －1)＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1}5．不论x 为何值，二次三项式ax 2＋bx ＋c 恒为正值的条件是( )A ．a >0，b 2－4ac >0B ．a >0，b 2－4ac ≤0C ．a >0，b 2－4ac <0D ．a <0，b 2－4ac <06．下列命题中正确的是( )A ．不等式x 2>1的解集是{x |x >±1}B ．不等式－4＋4x －x 2≤0的解集是RC ．不等式－4＋4x －x 2≥0的解集是空集D ．不等式x 2－2ax －a －54>0的解集是R7．若关于x 的不等式2x －1>a (x －2)的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a ＝2C ．a <2D ．a 不存在8．已知点M (x 0，y 0)与点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的两侧，则( )A ．3x 0＋2y 0>10B ．3x 0＋2y 0<0C ．3x 0＋2y 0>8D ．3x 0＋2y 0<89．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y －1)≥00≤x ≤2，表示的平面区域的面积是( )A ．2B ．4C ．6D ．810．在直角坐标系内，满足不等式x 2－y 2≤0的点(x ，y )的集合(用阴影表示)是( )二、填空题11．一个两位数个位数字为a ，十位数字为b ，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．12．已知x <1，则x 2＋2与3x 的大小关系为________．13．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x －7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中有________个元素．14．不等式x ＋1x －2>0的解集是________．15．原点O (0,0)与点集A ＝{(x ，y )|x ＋2y －1≥0，y ≤x ＋2,2x ＋y －5≤0}所表示的平面区域的位置关系是________，点M (1,1)与集合A 的位置关系是________．必修5第三章《不等式》基础训练题命题：水果湖高中 胡显义答案1．解析：由题意知a >0，又b <0，∴a －b >0.答案：A2．解析：∵M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y＝(x －2)2＋(y ＋1)2－5>－5＝N ，∴M >N .答案：A3．解析：不等式(x －2)(x ＋3)>0的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故选C.答案：C4．解析：要使函数有意义，需，即x ≥1，或x ＝0.所以函数的定义域为{x |x ≥1}∪{0}，故选C.答案：C5．解析：须a >0且Δ<0.答案：C6．解析：结合三个二次的关系．答案：B7．解析：不等式即为(2－a )x >1－2a ，当a ≠2时，不等式为条件不等式，不合要求；当a ＝2时，不等式即0·x >－3对一切x 成立，故a 的取值范围是a ＝2.答案：B8．解析：∵点M 和点A 在直线l 的两侧，又把点A 代入得3×1＋2×2－8＝－1<0，∴3x 0＋2y 0－8>0，即3x 0＋2y 0>8，故选C.答案：C9．解析：如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ (x －y ＋1)(x ＋y －1)≥00≤x ≤2表示的平面区域为一等腰直角三角形，其斜边长为4，斜边上的高为2，得其面积为4.故选B.答案：B10．解析：不等式x 2－y 2≤0可化为(x ＋y )(x －y )≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0x －y ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0x －y ≥0，作出直线x ＋y ＝0和x －y ＝0，判定区域，可知选D.答案：D11．答案：50<10b ＋a <10012．解析：(x 2＋2)－3x ＝(x －1)(x －2)．∵x<1，∴x－1<0，x－2<0，∴(x－1)(x－2)>0，∴x2＋2>3x.答案：x2＋2>3x13．解析：由(x－1)2<3x－7得x2－5x＋8<0，∵Δ<0，∴集合A为Ø，因此A∩Z的元素不存在．答案：014．解析：不等式等价于(x＋1)·(x－2)>0，∴x>2或x<－1.答案：{x|x<－1，或x>2}15．解析：若点满足各不等式⇒点在不等式组所表示的平面区域内，否则，点不在不等式组所表示的平面区域内，代入原点(0,0)，显然0＋2×0－1<0.故原点不满足不等式x＋2y－1≥0.∴点O在平面区域之外，同理点M在平面区域之内．答案：原点O在集合A所表示的平面区域之外点M在集合A所表示的平面区域之内。
【精品专区】高中数学必修5第三章不等式练习题_高一数学
不等式题组训练一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于 （ ）A ．54-xB ．3-C ．3D ．x 45- 2．函数y ＝log21（x ＋11x --1） （x > 1）取得最大值时x 是 （ ）A ．－2B ．2C ．－3D ．33．不等式xx --213≥1的解集是 ( )A ．{x|43≤x ≤2} B ．{x|43≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2}4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．ba 11< B ．ba11>C ．a ＞b 2D ．a 2＞2b5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小,则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式0212<-+xx 的解集是__________________.2.如果33log log m n +≥4，那么m n +的最小值是__________________.3．已知正项等差数列{}n a 的前10项和为50，则56.a a 的最大值是__________________.4.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂B 种药 需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A 、B 两种药至少各配一剂，应满足的条件 是__________________.5. 0≤x, 0≤y 及x y +≤4所围成的平面区域的面积是__________________. 三、解答题（四个小题，每题10分，共40分） 1．解223log (3)0x x -->2．求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y3．求证：ca bc ab c b a ++≥++2224.某单位决定投资3200元建一仓库（长方形状），高度很定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌转，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.试求： （1）仓库面积的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？[综合训练B 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－21,31)，则a ＋b 的值是_____。
高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的解法(第1课时)练习(含解析)新人教A版必修5
高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的解法（第1课时）练习（含解析）新人教A 版必修5一、选择题：1．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集为( )A ．{x |x ≤2或x ≥1}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．∅【答案】C【解析】：由－x 2－x ＋2≥0，得x 2＋x －2≤0，即(x ＋2)(x －1)≤0，所以－2≤x ≤1，所以原不等式解集为{x |－2≤x ≤1}．2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(－2，1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1，2)【答案】B【解析】由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0，所以－2＜x ＜1. 3．二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＞0B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＞0D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0 【答案】D【解析】结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx ＋c ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0.4．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－14 【答案】D【解析】由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13.所以⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14.5．已知不等式ax 2＋3x －2＞0的解集为{x |1＜x ＜b }．则a ，b 的值等于( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1【答案】C【解析】 因为不等式ax 2＋3x －2＞0的解集为{x |1＜x ＜b }，所以方程ax 2＋3x －2＝0的两个根分别为1和b ，根据根与系数的关系，得1＋b ＝－3a ，b ＝－2a，所以a ＝－1，b ＝2.6．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)【答案】D【解析】由x ＜g (x )，得x ＜x 2－2，则x ＜－1或x ＞2；由x ≥g (x )，得x ≥x 2－2，则－1≤x ≤2.因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ＜－1或x ＞2，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，－1≤x ≤2. 因为当x ＜－1时，y ＞2；当x ＞2时，y ＞8.所以 当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f (x )的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时， －94≤y ≤0. 所以当x ∈[－1，2] 时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0.综上可知，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．二、填空题：7．设0＜b ＜1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2＞(ax )2的解集中的整数解恰有3个，则a 的取值范围为________． 【答案】(1，3)【解析】 原不等式转化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]＞0，①当a ≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a ＞1时，b 1－a ＜x ＜b a ＋1，由题意知0＜ba ＋1＜1，所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤b1－a＜－2.整理，得2a －2＜b ≤3a －3.结合题意b ＜1＋a ，有2a －2＜1＋a .所以a ＜3，从而有1＜a ＜3.综上可得a ∈(1，3)．8．若0＜t ＜1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪t ＜x ＜1t【解析】因为0＜t ＜1，所以1t＞1，所以(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |t ＜x ＜1t . 9．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2＞0的解集为________．【答案】{x |x ＞1或x ＜－2}【解析】 因为ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.所以bx 2－ax －2＞0，即x 2＋x －2＞0，解得x ＞1或x ＜－2.10．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2＜0}，B ＝{x |x －a ＜0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________． 【答案】(－∞，1]【解析】 A ＝{x |3x －2－x 2＜0}＝{x |x 2－3x ＋2＞0}＝{x |x ＜1或x ＞2}，B ＝{x |x ＜a }．若B ⊆A ，如图，则a ≤1.三、解答题 11．解下列不等式：(1)2＋3x －2x 2＞0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1； (3)x 2－2x ＋3＞0. 【答案】见解析【解析】 (1)原不等式可化为2x 2－3x －2＜0，所以(2x ＋1)(x －2)＜0，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜2. (2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0，所以(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥1.(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0， 故原不等式的解集是R. 12．解不等式组：－1＜x 2＋2x －1≤2. 【答案】见解析【解析】 原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得(x ＋3)(x －1)≤0， 所以－3≤x ≤1.所以原不等式组的解集为{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}， 13．设f (x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1.(1)当m ＝1时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)若不等式f (x )＋1＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，求m 的值． 【答案】见解析【解析】 (1)当m ＝1时，不等式f (x )＞0为2x 2－x ＞0，因此所求解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)不等式f (x )＋1＞0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m ＞0，由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根．因此⎩⎪⎨⎪⎧32＋3＝mm ＋132×3＝mm ＋1⇒m ＝－97.。
新版高中数学人教A版必修5习题：第三章不等式 3.4.1
3.4基本不等式:√ab≤a+b2第1课时基本不等式课时过关·能力提升基础巩固1若x>0,则x+4x的最小值为().A.2B.3C.2√2D.4答案:D2若x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是().A.400B.100C.40D.20解析:xy≤(x+y2)2=400,当且仅当x=y=20时,等号成立.答案:A3若0<x<13,则x(1−3x)取最大值时x的值是().A.13B.16C.34D.23解析:∵0<x<13,∴0<1−3x<1.∴y=x(1-3x)=13×3x(1−3x)≤13×(3x+1-3x 2)2=112. 当且仅当3x=1-3x ,即x =16时取等号.答案:B 4设a ,b ∈R ,若a ≠b ,a+b=2,则必有( ).A.1≤ab ≤a 2+b 22B.ab <1<a 2+b22C.ab <a 2+b22<1D.a 2+b 22<ab <1解析:令a=-1,b=3,则ab=-3,a 2+b 22=5,则有ab<1<a 2+b22,所以排除选项A,C,D,故选B .答案:B5若M =a 2+4a (a ∈R ,a ≠0),则M 的取值范围为( ).A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-4]C.[4,+∞)D.[-4,4]解析:当a>0时,M =a 2+4a =a +4a ≥2√a ·4a =4,当且仅当a =4a,即a=2时取“=”; 当a<0时,M =a 2+4a=a +4a =−[(-a )+(-4a )]≤-2√(-a )·(-4a )=−4,当且仅当-a=−4a,即a=-2时取“=”.综上,M的取值范围为(-∞,-4]∪[4,+∞).答案:A6若a>b>1,P=√lgalgb,Q=lga+lgb2,R=lg a+b2,则下列结论正确的是().A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q 解析:∵a>b>1,∴lg a>0,lg b>0.∴R=lg a+b2>lg√ab=12lg(ab)=lga+lgb2=Q>√lgalgb=P.∴P<Q<R.答案:B7若a>0,b>0,则2ba +ab的最小值是.解析:2ba +ab≥2√2ba·ab=2√2,当且仅当2ba=ab,即a=√2b时取“=”.答案:2√28当函数y=x2(2-x2)取最大值时,x=. 解析:当−√2<x<√2时,y=x2(2-x2)≤(x 2+2-x22)2=1,当且仅当x2=2-x2,即x=±1时,等号成立,当x2≥2时,y=x2(2-x2)≤0,不可能取最大值.所以当x=±1时,y=x2(2-x2)有最大值为1.答案:±19已知2x +3y=2(x>0,y>0),求xy的最小值.解∵x>0,y>0,2x +3y=2,∴2=2x +3y≥2√6xy(当x=2,y=3时,等号成立),即1≥√6xy.∴√xy≥√6,从而xy≥6,即xy的最小值为6.10已知x>-1,试求函数y=x 2+7x+10x+1的最小值.解∵x>-1,∴x+1>0,∴y=x 2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=x+1+4x+1+5≥2√(x+1)·4x+1+5=9.当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立.所以函数y=x 2+7x+10x+1的最小值为9.能力提升1若2a+b=1,a>0,b>0,则1a +1b的最小值是().A.2√2B.3−2√2C.3+2√2D.3+√2解析:1a +1b=2a+ba+2a+bb=2+1+ba +2ab=3+ba+2ab.∵a>0,b>0,∴1a +1b =3+b a +2a b ≥3+2√b a ·2a b =3+2√2,当且仅当b a =2a b ,即b =√2a =√2−1时“=”成立.∴1a +1b 的最小值为3+2√2.答案:C 2若x+3y-2=0,则函数z=3x +27y +3的最小值是( ).A.323B.3+2√2C.6D.9解析:z=3x +27y +3≥2√3x ·27y +3=2√3x+3y +3. ∵x+3y-2=0,∴x+3y=2.∴z ≥2√3x+3y +3=2√32+3=9,当且仅当3x =27y ,即x=3y=1时取“=”.答案:D3若a>0,b>0,a+b=2,则y =1a +4b 的最小值是( ).A .72B.4C.92D.5解析:依题意得1a +4b =12(1a +4b )(a +b)=12[5+(b a +4a b )]≥12(5+2√b a ·4a b )=92,当且仅当{a +b =2,b a =4a b ,a >0,b >0,即a =23,b =43时取等号,即1a +4b 的最小值是92. 答案:C4当x >12时,函数y =x +82x -1的最小值为( ).A .92B.4C.5D.9 解析:∵x >12,∴2x −1>0. ∴y=x +82x -1=x +4x -12=x −12+4x -12+12 ≥2√(x -12)·4x -12+12=4+12=92, 当且仅当x −12=4x -12,即x =52时取等号. 答案:A 5设a ,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为 .解析:因为a ,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是√a +1+√b +3=√x +√y,而(√x +√y)2=x +y +2√xy ≤x+y+(x+y )=18,所以√x +√y ≤3√2.此时x=y ,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2. 答案:3√2★6函数y=log a (x-1)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在一次函数y=mx+n 的图象上,其中m ,n>0,则1m +2n 的最小值为 .解析:由题意,得点A (2,1),则1=2m+n.又m ,n>0,所以1m +2n =2m+n m +2(2m+n )n =4+n m +4m n ≥4+2√4=8.当且仅当n m =4m n ,即m =14,n =12时取等号,则1m+2n的最小值为8.答案:8★7若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是.解析:因为x>0,所以x+1x≥2,当且仅当x=1时取等号,所以有xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15,即xx2+3x+1的最大值为15,故a≥15.答案:[15,+∞)★8已知f(x)=a x(a>0,且a≠1),当x1≠x2时,比较f(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小.解∵f(x)=a x,∴f(x1+x22)=ax1+x22,∴12[f(x1)+f(x2)]=12(a x1+a x2).∵a>0,且a≠1,x1≠x2,∴a x1>0,a x2>0,且a x1≠a x2,∴12(a x1+a x2)>√a x1·a x2=ax1+x22,即f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2.9若正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy与2x+y的最小值.解∵2x+y+6=xy,x>0,y>0,∴xy=2x+y+6≥2√2·√xy +6, 即xy-2√2√xy −6≥0,当且仅当{2x =y ,2x +y +6=xy时,等号成立. ∴(√xy −3√2)(√xy +√2)≥0. ∵√xy +√2>0,∴√xy ≥3√2,xy ≥18.又2x+y+6=12×2xy ≤12·(2x+y 2)2, ∴(2x+y )2-8(2x+y )-48≥0,∴(2x+y-12)(2x+y+4)≥0.∵2x+y+4>0,∴2x+y ≥12.∴xy 的最小值为18,2x+y 的最小值为12.。
高中数学人教版必修5课时练习：第三章 不等式3-2 一元二次不等式及其解法
∴M∩N＝{x|0≤x≤2}，故选 D．
3．若{x|2<x<3}为 x2＋ax＋b<0 的解集，则 bx2＋ax＋1>0 的解集为( )
A．{x|x<2 或 x>3}
B．{x|2<x<3}
C．{x|31<x<12}
D．{x|x<31或 x>21}
[答案] D
[解析] 由 x2＋ax＋b<0 的解集为{x|2<x<3}，知方程 x2＋ax＋b＝0 的根分别为 x1＝2，x2 ＝3.
则不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是________．
[答案] {x|x＜－2 或 x＞3}
[解析] 由表知 x＝－2 时 y＝0，x＝3 时，y＝0. ∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 可化为 y＝a(x＋2)(x－3)，又当 x＝1 时，y＝－6，∴a＝1. ∴不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|x<－2 或 x>3}． 三、解答题
<x<1}，选 D．
2．设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x2－2x－3<0}，则 M∩N 等于( )
A．{x|0≤x<1}
B．{x|0≤x≤2}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0≤x≤2}
[答案] D
[解析] ∵N＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，M＝{x|0≤x≤2}，
C．{x|x＜1t 或 x＞t}
D．{x|t＜x＜1t }
[答案] D
[解析] 化为(x－t)(x－1t )＜0，
∵0＜t＜1，∴1t ＞1＞t，∴t＜x＜1t .
6．已知不等式 x2＋ax＋4＜0 的解集为空集，则 a 的取值范围是( )
新版高中数学人教A版必修5习题：第三章不等式 检测A(1)
第三章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有().A.M>NB.M≥NC.M<ND.M≤N解析:∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=2a2-4a-(a2-2a-3)=2a2-4a-a2+2a+3=a2-2a+3=a2-2a+1+2=(a-1)2+2>0,∴M>N.答案:A<0的解集为().2不等式x-3x+2A.{x|-2<x<3}B.{x|x<-2}C.{x|x<-2,或x>3}D.{x|x>3}解析:原不等式等价于(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3.答案:A3若集合A={x|x2-2x>0},B={x|−√5<x<√5},则().A.A∩B=⌀B.A∪B=RC .B ⊆AD .A ⊆B解析:∵x 2-2x=x (x-2)>0,∴x<0或x>2.∴集合A 与B 在数轴上表示为由图象可以看出A ∪B=R ,故选B . 答案:B4不等式组{x ≥0,x +3y ≥6,3x +y ≤6所表示的平面区域的面积等于( ).A .32B.23C.13D.3答案:D5若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是( ). A.[0,2] B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]解析:∵2x +2y =1≥2√2x+y ,∴(12)2≥2x+y ,即2x+y ≤2-2.∴x+y ≤-2.答案:D6若变量x ,y 满足约束条件{x +y -1≤0,3x -y +1≥0,x -y -1≤0,则z =2x +y 的最大值为( ).A.1B.2C.3D.4解析:画出可行域,如图中的阴影部分所示.由图知,z是直线y=-2x+z在y轴上的截距,当直线y=-2x+z经过点A(1,0)时,z取最大值,此时x=1,y=0,则z的最大值是2x+y=2+0=2.答案:B7若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中恒成立的是().A.a2+b2>2abB.a+b≥2√abC.1a +1b>√abD.3ba +a27b≥23解析:由ab>0,得a,b同号.当a<0,b<0时,B,C不成立;当a=b时,A不成立;∵ba >0,∴3ba+a27b≥2√3ba ·a27b=23.答案:D8在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域{x-2≤0,x+y≥0, x-3y+4≥0中的点在直线x+y−2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=().A.2√2B.4C.3√2D.6解析:画出不等式组{x-2≤0,x+y≥0,x-3y+4≥0表示的平面区域如图阴影部分所示.作出直线x+y-2=0.设直线x-3y+4=0与x+y=0的交点为C ,直线x=2与直线x+y=0的交点为D. 过C 作CA ⊥直线x+y-2=0于点A , 过D 作DB ⊥直线x+y-2=0于点B ,则区域中的点在直线x+y-2=0上的投影为AB.∵直线x+y-2=0与直线x+y=0平行, ∴|CD|=|AB|.由{x -3y +4=0,x +y =0,得{x =-1,y =1,∴C 点坐标为(-1,1).由{x =2,x +y =0,得{x =2,y =-2,∴D 点坐标为(2,-2).∴|CD|=√9+9=3√2,即|AB|=3√2.故选C .答案:C9已知正实数a ,b 满足4a+b=30,当1a +1b 取最小值时,实数对(a,b)是( ). A.(5,10) B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)解析:1a +1b =(1a +1b )×130×30=130(1a +1b )(4a +b)=130(5+b a +4a b) ≥130(5+2√b a ·4ab)=310, 当且仅当{ba=4ab ,4a +b =30,即{a =5,b =10时取等号.故选A .答案:A10某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A 产品,每千克A 产品获利40元;乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B 产品,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,则甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ).A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱 解析:设甲车间加工原料x 箱,乙车间加工原料y 箱,由题意,得{x +y ≤70,10x +6y ≤480,x ≥0,y ≥0,x ,y ∈N ,目标函数z=280x+200y.画出可行域,如图中的阴影部分所示.由图知,目标函数过点A 时,z 取最大值.解方程组{x +y =70,10x +6y =480,得x=15,y=55,即A (15,55).所以甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱时,甲、乙两个车间每天总获利最大. 答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知x>0,y>0,若x ,y 满足x 3+y4=1,则xy 的最大值为 . 解析:∵x>0,y>0,∴1=x3+y4≥2√x 3·y4=√33√xy,则xy ≤3,当且仅当x3=y4,即x =32,y =2时,等号成立,∴xy 的最大值为3.答案:312若x ,y 满足约束条件{y -x ≤1,x +y ≤3,y ≥1,则z =x +3y 的最大值为 .如图,作出不等式组所表示的可行域.由z=x+3y ,得y=−13x +z 3.取l 0:x+3y=0,在可行域内平移直线l 0,由图可知直线过A 点时z 最大,由{y -x =1,x +y =3,得A (1,2).所以z max =1+3×2=7. 答案:713当x>1时,log 2x 2+log x 2的最小值为 . 解析:当x>1时,log 2x>0,log x 2>0,所以log 2x 2+log x 2=2log 2x +1log 2x≥2√2log 2x ·1log 2x =2√2,当且仅当2log 2x =1log 2x,即x =2√22时,等号成立,所以log 2x 2+log x 2的最小值为2√2. 答案:2√214如果实数x ,y 满足条件{x -y +1≥0,y +1≥0,x +y +1≤0,那么y -1x -1的取值范围是 .解析:画出可行域如图中的阴影部分所示.设P (x ,y )为可行域内的一点,M (1,1),则y -1x -1=kPM. 由于点P 在可行域内,则由图知k MB ≤k PM ≤k MA .又可得A (0,-1),B (-1,0),则k MA =2,k MB =12,则12≤k PM ≤2,即y -1x -1的取值范围是[12,2].答案:[12,2]15若不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 解析:不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立,即(a+2)x 2+4x+a-1>0对一切x ∈R 恒成立. 若a+2=0,则显然不成立;若a+2≠0,则{a +2>0,16-4(a +2)(a -1)<0⇔{a >-2,16-4(a +2)(a -1)<0⇔{a >-2,a <-3或a >2⇔a>2.答案:(2,+∞)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)解不等式组{3x -2x -6≤1,2x 2-x -1>0.解由3x -2x -6≤1得2x+4x -6≤0,∴-2≤x<6.由2x 2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0,∴x>1或x<−12.∴原不等式组的解集为{x |-2≤x <-12,或1<x <6}.17(8分)某工厂建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房,房屋正面的造价为1 200元/m 2,房屋侧面的造价为800元/m 2,屋顶的造价为5 800元.若墙高为3 m,且不计房屋背面的费用,则建造此小房的最低总造价是多少元?解设房子的长为x m,宽为y m,总造价为t元,则xy=12,且t=3×x×1200+3×y×800×2+5800 =1200(3x+4y)+5800≥1200×2√12xy+5800=34600(当且仅当3x=4y,即x=4,y=3时,等号成立).故最低总造价是34600元.18(9分)已知函数f(x)=x2-2x-8,若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.解f(x)=x2-2x-8.当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,则x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,即x2-4x+7≥m(x-1).于是对一切x>2,均有不等式x 2-4x+7x-1≥m成立.∵x2-4x+7x-1=(x−1)+4x-1−2≥2√(x-1)·4x-1−2=2(当且仅当x=3时,等号成立), ∴实数m的取值范围是(-∞,2].19(10分)解关于x的不等式x2-(3m+1)x+2m2+m<0.解∵x2-(3m+1)x+2m2+m=(x-m)[x-(2m+1)],∴方程x2-(3m+1)x+2m2+m=0的两解是x1=m,x2=2m+1.当m<2m+1,即m>-1时,原不等式的解为m<x<2m+1;当m=2m+1,即m=-1时,原不等式无解;当m>2m+1,即m<-1时,原不等式的解为2m+1<x<m.综上所述,当m>-1时,原不等式的解集为{x|m<x<2m+1};当m=-1时,原不等式的解集为⌀;当m<-1时,原不等式的解集为{x|2m+1<x<m }.20(10分)某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50 000 kg,问饲料怎样混合,才使成本最低?解设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z 元,那么{x +y ≥35000,y ≥15x ,0≤x ≤50000,y ≥0,而z=0.28x+0.9y ,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域如图中阴影部分所示.作一组平行直线0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点A 时,z 最小,又直线x+y=35000和直线y =15x 的交点A (875003,175003),故当x =875003,y =175003时,饲料费用最低. 答:谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合,此时成本最低.。
高二数学必修5第三章不等式章末训练题精选（含解析）
⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分)1.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧，则a的取值范围是( )A.a<0或a>2B.0答案 B2.若不等式ax2+bx-2>0的解集为x|-2A.-18B.8C.-13D.1答案 C解析 ∵-2和-14是ax2+bx-2=0的两根.∴-2+-14=-ba -2 ×-14=-2a，∴a=-4b=-9.∴a+b=-13.3.如果a∈R，且a2+a<0，那么a，a2，-a，-a2的⼤⼩关系是( )A.a2>a>-a2>-aB.-a>a2>-a2>aC.-a>a2>a>-a2D.a2>-a>a>-a2答案 B解析 ∵a2+a<0，∴a(a+1)<0，∴-1a2>-a2>a.4.不等式1x<12的解集是( )A.(-∞，2)B.(2，+∞)C.(0,2)D.(-∞，0)∪(2，+∞)答案 D解析 1x<12⇔1x-12<0⇔2-x2x<0⇔x-22x>0⇔x<0或x>2.5.设变量x，y满⾜约束条件x+y≤3，x-y≥-1，y≥1，则⽬标函数z=4x+2y的值为( )A.12B.10C.8D.2答案 B解析 画出可⾏域如图中阴影部分所⽰，⽬标函数z=4x+2y可转化为y=-2x+z2，作出直线y=-2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2.解⽅程组x+y=3，y=1得A(2,1)，∴zmax=10.6.已知a、b、c满⾜cA.ab>acB.c(b-a)>0C.ab2>cb2D.ac(a-c)<0答案 C解析 ∵c0，c<0.⽽b与0的⼤⼩不确定，在选项C中，若b=0，则ab2>cb2不成⽴.7.已知集合M={x|x2-3x-28≤0}，N={x|x2-x-6>0}，则M∩N为( )A.{x|-4≤xB.{x|-4C.{x|x≤-2或x>3}D.{x|x答案 A解析 ∵M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7}，N={x|x2-x-6>0}={x|x3}，∴M∩N={x|-4≤x8.在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1-y)，若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成⽴，则( )A.-1答案 C解析 (x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a)<1⇔-x2+x+(a2-a-1)<0恒成⽴⇔Δ=1+4(a2-a-1)<0⇔-129.在下列各函数中，最⼩值等于2的函数是( )A.y=x+1xB.y=cos x+1cos x (0C.y=x2+3x2+2D.y=ex+4ex-2答案 D解析 选项A中，x>0时，y≥2，x<0时，y≤-2;选项B中，cos x≠1，故最⼩值不等于2;选项C中，x2+3x2+2=x2+2+1x2+2=x2+2+1x2+2，当x=0时，ymin=322.选项D中，ex+4ex-2>2ex•4ex-2=2，当且仅当ex=2，即x=ln 2时，ymin=2，适合.10.若x，y满⾜约束条件x+y≥1x-y≥-12x-y≤2，⽬标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最⼩值，则a的取值范围是( )A.(-1,2)B.(-4,2)C.(-4,0]D.(-2,4)答案 B解析 作出可⾏域如图所⽰，直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最⼩值，由图象可知-1即-411.若x，y∈R+，且2x+8y-xy=0，则x+y的最⼩值为( )A.12B.14C.16D.18答案 D解析 由2x+8y-xy=0，得y(x-8)=2x，∵x>0，y>0，∴x-8>0，得到y=2xx-8，则µ=x+y=x+2xx-8=x+ 2x-16 +16x-8=(x-8)+16x-8+10≥2 x-8 •16x-8+10=18，当且仅当x-8=16x-8，即x=12，y=6时取“=”.12.若实数x，y满⾜x-y+1≤0，x>0，则yx-1的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞，-1)∪(1，+∞)C.(-∞，-1)D.[1，+∞)答案 B解析 可⾏域如图阴影，yx-1的⼏何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得yx-1>1或yx-1⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分)13.若A=(x+3)(x+7)，B=(x+4)(x+6)，则A、B的⼤⼩关系为________.答案 A14.不等式x-1x2-x-30>0的解集是________________________________________________________________________.答案 {x|-56}15.如果a>b，给出下列不等式：①1a<1b;②a3>b3;③a2>b2;④2ac2>2bc2;⑤ab>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.其中⼀定成⽴的不等式的序号是________.答案 ②⑥解析 ①若a>0，b<0，则1a>1b，故①不成⽴;②∵y=x3在x∈R上单调递增，且a>b.∴a3>b3，故②成⽴;③取a=0，b=-1，知③不成⽴;④当c=0时，ac2=bc2=0,2ac2=2bc2，故④不成⽴;⑤取a=1，b=-1，知⑤不成⽴;⑥∵a2+b2+1-(ab+a+b)=12[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]>0，∴a2+b2+1>ab+a+b，故⑥成⽴.16.⼀批货物随17列货车从A市以v千⽶/⼩时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千⽶，为了安全，两列货车的间距不得⼩于v202千⽶，那么这批货物全部运到B市，最快需要________⼩时.答案 8解析 这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t=400+16v202v=400v+16v400≥2 400v×16v400=8(⼩时)，当且仅当400v=16v400，即v=100时等号成⽴，此时t=8⼩时.三、解答题(本⼤题共6⼩题，共74分)17.(12分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;(2)b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R.解 (1)由题意知1-a<0且-3和1是⽅程(1-a)x2-4x+6=0的两根，∴1-a<041-a=-261-a=-3，解得a=3.∴不等式2x2+(2-a)x-a>0即为2x2-x-3>0，解得x32.∴所求不等式的解集为x|x32.(2)ax2+bx+3≥0，即为3x2+bx+3≥0，若此不等式解集为R，则b2-4×3×3≤0，∴-6≤b≤6.18.(12分)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0.解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0，即x+a7x-a8<0.①当-a70时，-a7②当-a7=a8，即a=0时，原不等式解集为∅;③当-a7>a8，即a<0时，a8综上知，当a>0时，原不等式的解集为x|-a7当a=0时，原不等式的解集为∅;当a<0时，原不等式的解集为x|a819.(12分)证明不等式：a，b，c∈R，a4+b4+c4≥abc(a+b+c).证明 ∵a4+b4≥2a2b2，b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2c2a2，∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2)即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.⼜a2b2+b2c2≥2ab2c，b2c2+c2a2≥2abc2，c2a2+a2b2≥2a2bc.∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc)，即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).∴a4+b4+c4≥abc(a+b+c).20.(12分)某投资⼈打算投资甲、⼄两个项⽬，根据预测，甲、⼄项⽬可能的盈利率分别为100%和50%，可能的亏损率分别为30%和10%，投资⼈计划投资⾦额不超过10万元，要求确保可能的资⾦亏损不超过1.8万元，问投资⼈对甲、⼄两个项⽬各投资多少万元，才能使可能的盈利?解 设投资⼈分别⽤x万元、y万元投资甲、⼄两个项⽬，由题意知x+y≤10，0.3x+0.1y≤1.8，x≥0，y≥0.⽬标函数z=x+0.5y.上述不等式组表⽰的平⾯区域如图所⽰，阴影部分(含边界)即可⾏域.作直线l0：x+0.5y=0，并作平⾏于直线l0的⼀组直线x+0.5y=z，z∈R，与可⾏域相交，其中有⼀条直线经过可⾏域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离，这⾥M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解⽅程组x+y=10，0.3x+0.1y=1.8，得x=4，y=6，此时z=1×4+0.5×6=7(万元).∵7>0，∴当x=4，y=6时，z取得值.答 投资⼈⽤4万元投资甲项⽬、6万元投资⼄项⽬，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利.21.(12分)设a∈R，关于x的⼀元⼆次⽅程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1，x2，且0解 设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2.因为x1，x2是⽅程f(x)=0的两个实根，且0所以f 0 >0，f 1 <0，f 2 >0⇒a2-a-2>0，7- a+13 +a2-a-2<0，28-2 a+13 +a2-a-2>0⇒a2-a-2>0，a2-2a-8<0，a2-3a>0⇒a2，-23⇒-2所以a的取值范围是{a|-222.(14分)某商店预备在⼀个⽉内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购⼊x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购⼊的书桌⼀个⽉所付的保管费与每批购⼊书桌的总价值(不含运费)成正⽐，若每批购⼊4台，则该⽉需⽤去运费和保管费共52元，现在全⽉只有48元资⾦可以⽤于⽀付运费和保管费.(1)求该⽉需⽤去的运费和保管费的总费⽤f(x);(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资⾦够⽤?写出你的结论，并说明理由.解 (1)设题中⽐例系数为k，若每批购⼊x台，则共需分36x批，每批价值20x.由题意f(x)=36x•4+k•20x，由x=4时，y=52，得k=1680=15.∴f(x)=144x+4x (0(2)由(1)知f(x)=144x+4x (0∴f(x)≥2144x•4x=48(元).当且仅当144x=4x，即x=6时，上式等号成⽴.故只需每批购⼊6张书桌，可以使资⾦够⽤.。
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高中数学必修5第三章不等式题组训练[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ）A ．54-xB ．3-C ．3D ．x 45- 2．函数y ＝log 21（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ）A ．－2B ．2C ．－3D ．33．不等式xx --213≥1的解集是 ( )A ．{x|43≤x ≤2} B ．{x|43≤x ＜2}C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2}4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．ba 11< B ．ba11>C ．a ＞b 2D ．a 2＞2b5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( )A ．－3＜a ＜1B ．－2＜a ＜0C ．－1＜a ＜0D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组⎩⎨⎧->-≥32x x 的负整数解是____________________。
2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。
3．不等式0212<-+xx 的解集是__________________。
4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。
5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n nn n n n g n n ∈=--=-+ϕ,用不等号连结起来为____________.三、解答题（四个小题，每题10分，共40分） 1．解log (2x – 3)(x 2－3)＞02．不等式049)1(220822<+++++-m x m mxx x 的解集为R,求实数m 的取值范围。
3．求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y4．求证：cabc ab c b a ++≥++222[综合训练B 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－21,31)，则a ＋b 的值是_____。
A. 10B. －10C. 14D. －142．下列不等式中：①0232>-+x x 和 0432>-+x x ②358354++>++x x x 和 84>x③358354-+>-+x x x 和 84>x ④023>-+xx 和 0)2)(3(>-+x x不等价的是（ ）A ．① 和② B ．① 和③ C ．②和③ D ．②、③和④ 3．关于x 的不等式(k 2－2k ＋25)x ＜(k 2－2k ＋25)1–x 的解集是 ( )A ．x ＞21 B ．x ＜21 C ．x ＞2 D ．x ＜24．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋x1 B ．y= sinx ＋xsin 1,x ∈(0,2π)C ．y=2322++x x D ．y=x ＋12-x5．如果x 2＋y 2=1,则3x －4y 的最大值是 ( ) A ．3 B ．51 C ．4 D ．56．已知函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象经过点(－1,3)和(1,1)两点,若0＜c ＜1,则a 的取值范围是 ( ) A ．(1,3) B ． (1,2) C ．[2,3) D ．[1,3] 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1．设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是___________。
2．函数y ＝2x ＋1+x 的值域是________________。
3．不等式0)1()10)(3(2≥---x x x x 的解集是___________.4．已知f(x)=ux+v,x ∈[－1,1],且2u 2+6v 2=3,那么f(x)的最大值是________. 5．设x 、y ∈R + 且yx 91+=1,则x+y 的最小值为________.三、解答题（四个小题，每题10分，共40分） 1． 在函数xy 1=的图象上，求使yx11+取最小值的点的坐标。
2． 函数4522++=x x y 的最小值为多少？3．若a －1≤x 21log≤a 的解集是[41,21],则求a 的值为多少？4．设,10<<a 解不等式：()02log2<--xxaa a[提高训练C 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ ）． A ．4-≤m 或4≥m B ． 45-≤<-m C ．45-≤≤-m D ． 25-<<-m 2．若c a >且0>+c b ，则不等式0))((>-+-ax b x c x 的解集为（ ）A ．{}c x b x a x ><<-或,|B ． {}b x c x a x ><<-或,|C ．{}c x a x b x ><<-或,|D ． {}a x c x b x ><<-或,| 3．不等式lgx 2＜lg 2x 的解集是 ( ) A ．(1001,1) B ．(100,＋∞)C ． (1001,1)∪(100,＋∞) D ．(0,1)∪(100,＋∞)4．若不等式x 2－log a x ＜0在(0,21)内恒成立,则a 的取值范围是 ( )A ．161≤x ＜1 B ．161＜a ＜1 C ．0＜a ≤161 D ．0＜a ＜1615．若不等式0≤x 2－ax ＋a ≤1有唯一解,则a 的取值为 ( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．66．a > b > 0, 下列不等式一定成立的是 ( ) A ．a +bb a11+> B ．bc ac <C ．ba ba b a >++22 D ．ba ab ab b a +>>+22二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式log 2 (2x－1) ·log 2 (2x +1－2)<2的解集是_______________。
2．已知a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝1，则21+a ＋21+b 的范围是____________。
3．函数f(x)=x1－x(0＜x ≤41)的最小值为________.4．设0≠x ，则函数1)1(2-+=xx y 在x =________时，有最小值__________。
5．不等式24x -＋xx ≥0的解集是________________。
三、解答题（四个小题，每题10分，共40分） 1．已知函数y ＝13422+++x n x mx的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
2．已知2>a ，求证：()()1loglog1+>-a a aa3．已知集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛<---)26(log )9(log|,212|31231)1(3322x x x B x x x x , 又A ∩B={x|x 2+ax+b ＜0},求a+b 等于多少？3． 画出下列不等式组表示的平面区域，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+.110,100,3623,242y x y x y x高中数学必修5第三章不等式题组训练参考答案[基础训练A 组]一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C二、填空题 1.1,2-- 2. 13或24 3.),2(+∞ 4. 1,,1大± 5. )()()(n g n n f <<φ 三、解答题 1.),2()2,3(+∞∈ x 2. 21-<m 3.3max =Z4.提示：由ab b a 222≥+ 或作差[综合训练B 组]一、选择题 1.D 2.B 3.B 4. 5.D 6.B二、填空题 1.(][)+∞-∞-,11, 2.[)+∞-,2 3. ()()()10,31,00, ∞- 4. 2 5.16三、解答题1.略 2. ()11， 3.25 4. 2=a[提高训练C 组]一、选择题 1.D 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 二、填空题1.⎪⎭⎫⎝⎛32452log,log2. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2,2622 3.4154. 3,1±5. [)(]2,00,3 -三、解答题1.1334322+++=x x x y 2. 略3.1- 4. 略。