高中数学必修5(人教B版)第三章不等式3.5知识点总结含同步练习题及答案
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
人教课标版(B版)高中数学必修5导学案-不等式的实际应用
3.4不等式的实际应用学习目标：1、通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤，2、让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。
3、通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。
学习重点和难点：重点：不等式的实际应用难点：数学建模【预习达标】1.实际问题中，有许多不等式模型，必须在首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设 ，将量与量间的关系变成 或不等式组．2.实际问题中的每一个量都有其 ，必须充分注意定义域的变化．3.探究：一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变 。
若一个假分数呢？试证明之。
【典例解析】例1.某工厂有一面14m 的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m 2的厂房。
工程条件是：①建1m 新墙的费用为a 元；②修1m 旧墙的费用为4a 元；③用拆去1m 旧墙所得的材料建1m 新墙的费用为2a 元。
现在有两种建设方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x≥14)。
问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？例2.有纯农药一桶，倒出8升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28％.问桶的容积最大为多少？分析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为x 升第一次 ：倒出纯农药8升，纯农药还剩（x-8）升，桶内溶液浓度xx 8- 第二次 ：倒出溶液4升，纯农药还剩［（x-8）—（x x 8-）4］， 中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的28％解答：学生完成。
例3．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少51，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41．（1）设n 年内（本年度万第一年）总投入万a n 万元，旅游业总收入万b n 万元，写出a n 、b n 的表达式。
数学：3.5.1《二元一次不等式(组)所表示的平面区域》素材(新人教B版必修5).ppt
地位与重要性
教材分析 教法与学法 教学过程
教学目标 教学重难点
“ 本节内容是高中数学新教材新 增内容之一。这一节内容是安排 在不等式、直线方程之后，它是 这两部分内容的延续，也是知识 的交汇点；是解决线性规划问题 的基础；在探索问题过程中有效 的训练了数形结合、等价转化等 数学思想。
l:x+y-1=0
P0 (x0, y0) 1
y
P(x,y) x 1
分两个命题证明：
在 直 线 x+y-1=0 右 上 方 的 平 面 区 域 内 则 x+y1>0 在 直 线 x+y-1=0 左 下 方 的 平 面 区 域 内 则 x+y1<0
o
集合｛﹙x,y﹚|︱x+y-1>0｝ 表示直线右上方的平面区域。 类似地，在平面直角坐标系中， 以二元一次不等式x+y-1<0的解为 坐标的点集合｛﹙x,y﹚︱x+y-1<0｝ 是在直线x+y-1=0左下方的平面区 域.
Ax+By+C=0 y
小诀窍
x
如果C≠0,可取(0,0); 如果C＝0,可取(1,0) 或(0,1).
o
例1.画出不等式 2x+y-6＜0 表示的平面区域。
y
画出二元一次 不等式表示平面 区域方法:直线定 界,特殊点定域
6
o
3
x
2x+y-6=0
x y 5 0 例2.画出不等式组 表示的平面区域。 x y 0 x 3
y
给学生创设一个思考 空间引导学生分组讨论探求 o
x+y-1=0
高中数学选修1-1(人教B版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习题及答案
三、知识讲解
1.利用导数研究函数的单调性 描述： 一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间 (a, b) 内，如果 f ′ (x) > 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递增；如果 f ′ (x) < 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递减． 注：在 (a, b) 内可导的函数 f (x) 在 (a, b) 上递增（或递减）的充要条件是 f ′ (x) ⩾ 0 （或 f ′ (x) ⩽ 0 ），x ∈ (a, b) 恒成立，且 f ′ (x) 在 (a, b) 的任意子区间内都不恒等于 0 ． 例题： 求下列函数的单调区间： （1）f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 ；（2）f (x) = x 函数的极值定义 已知函数 y = f (x) ，设 x 0 是定义域 (a, b) 内任一点，如果对 x0 附近的所有点 x，都有 f (x) < f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值，记作
y 极大 = f (x0 ).
并把 x 0 称为函数 f (x) 的一个极大值点． 如果在 x 0 附近都有 f (x) > f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值，记作
1 3 x − x2 + 2x + 1 ． 3 解：（1）函数的定义域为 R．
（3）f (x) =
f ′ (x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1),
令 f ′ (x) > 0 ，解得
x < −1或x > 3,
令 f ′ (x) < 0 ，解得
−1 < x < 3.
2023-2024学年山东省高中数学人教B版 必修一等式与不等式同步测试-5-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年山东省高中数学人教B 版 必修一等式与不等式同步测试(5)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 不等式对于一切 恒成立，那么的取值范围（ ）A. B. C. D.2. 已知函数 ， ，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.19183. 已知函数 ，若正实数 ， 满，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 4. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一.”下图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程.在一个长方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑体积的最小值为（ ）A. B. C. D.5. 已知a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.6. 若a ＞0，b ＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是( )①ab≤1； ②+≤； ③a 2+b 2≥2； ④①②③④①③④③④②③④≥2A. B. C. D. 或 或7. 已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（ ）A. B. C. D. 98548. 若正数满足 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 9. 设x 是实数，且满足等式 ， 则实数等于（ ）（以下各式中）A. B. C. D.-12010. 已知 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 11. 已知 ，则函数 的图象的是（ ）A. B. C. D.12. 若对任意，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D.13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a 的取值范围为 .14. ， 则的取值范围为 ．15. 已知x ，y 为正数，且x+y=20，则m=lgx+lgy 的最大值为 ．16. 已知 ， ，则 的最小值是 .17. 已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点，过右焦点作两条互相垂直的弦和．(1) 求椭圆的方程；(2) 当四边形的面积取得最小值时，求弦所在直线的方程．18. 已知函数 .(1) 当时，求不等式的解集(2) 若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.19. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1) 求出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）(2) 当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.20. 某企业用180万元购买一套设备，该设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了设备的正常运行，企业需要对设备进行维护，已知年的总维护费用与使用年数满足函数关系式，且第二年需要维护费用20万元．(1) 求该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；(2) 试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？21. 已知函数的解析式为 .(1) 求；(2) 画出这个函数的图象,并写出函数的值域；(3) 若 ,有两个不相等的实数根，求的取值范围.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)(3)第 11 页 共 11 页。
高二数学必修5(人教B版)第三章同步检测3-4
3.4 不等式的实际应用基础巩固一、选择题1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元[答案] A[解析] 设每个涨价x 元，则利润y ＝(x ＋10)(400－20x )＝－20x 2＋200x ＋4000，∴当x ＝20040＝5时，y 取得最大值．故每个售价为95元时利润最大．2．在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时θ、r 的值分别是( )A ．θ＝1，r ＝SB ．θ＝2，r ＝4S C ．θ＝2，r ＝3S D ．θ＝2，r ＝S[答案] D[解析] S ＝12θr 2⇒θ＝2Sr2，又扇形周长P ＝2r ＋θr ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋S r ≥4S ， 当P 最小时，r ＝Sr ⇒r ＝S ，此时θ＝2.3．设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是()A．(38－373)m3B．16m3C．42m3D．14m3[答案] B[解析]设长方体长为a m，高为h m，则有2a＋2(2h)＋2(ah)＝32，即a＋2h＋ah＝16，∴16≥22ah＋ah，即(ah)2＋22·ah－16≤0，解得0<ah≤22，∴ah≤8，∴V＝2ah≤16.4．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是() A．4.6m B．4.8mC．5m D．5.2m[答案] C[解析]设直角三角形两直角边长分别为x，y，则12xy＝1，即xy＝2.周长l＝x＋y＋x2＋y2≥2xy＋2xy＝(1＋2)×2≈4.83，当且仅当x＝y时取等号．考虑到实际问题，故选C.二、填空题5．光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[答案]11[解析]设至少需要经过这样的n块玻璃板，则，(1－110)n<13，即n·lg910<lg13∴n>lg 1 3lg 910＝－lg32lg3－1＝－0.47712×0.4771－1≈10.45.又∵n∈N＋，∴n＝11.6．建造一个容积为8m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为__________元．[答案]1760[解析]设水池的底面长、宽分别为x m，y m，则2xy＝8，xy＝4.水池造价为z元．则z＝120xy＋2(2x＋2y)×80＝480＋320(x＋y)≥480＋320×4＝1760.三、解答题7．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算：(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？[解析](1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝yx.由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.∵x>0，y>0，∴4x＋9y≥24x·9y＝12xy.∴6S ＋S ≤160，即(S )2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S ≤100. 故S 的最大允许值为100m 2.(2)当S ＝100m 2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的最大允许值是100m 2，此时正面铁栅长15m. 8．某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售的收入函数为R (x )＝5x －12x 2(万元)，(0≤x ≤5)，其中x 是产品生产并售出的数量．(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数．(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本．(不赔钱)? [解析] (1)设利润为y .则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧R (x )－0.5－0.25x (0≤x ≤5)R (5)－0.5－0.25x (x ＞5)，∴y ＝⎩⎨⎧－12x 2＋4.75 x －0.5(0≤x ≤5)12－0.25x (x ＞5).(2)y ＝－12(x －4.75)2＋10.78125∴x ＝4.75时即年产量为475台时企业所得利润最大．(3)要使企业不亏本，须y ＞0即⎩⎨⎧0≤x ＜5－12x 2＋4.75 x －0.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧12－0.25x ＞0x ≥5. 2．65＜x ＜5或5≤x ＜48，即2.65＜x ＜48. ∴年产量在265台至4800台时，企业才会不亏本．能力提升一、选择题1．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是( )A ．计算机行业好于化工行业B ．建筑行业好于物流行业C ．机械行业最紧张D ．营销行业比贸易行业紧张 [答案] B[解析] 就业情况＝应聘人数招聘人数，计算机就业形式＝215830124620＞1，化工业就业形式＝应聘人数70436＜6528070436＜1，则A 不合适．同理，建筑行业就业形式＝应聘人数76516＜6528076516＜1，物流业就业形式＝74570招聘人数＞7457070436＞1.2．某公司从2006年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：基础工资的25%，到2008年底这位职工的工龄至少是() A．2年B．3年C．4年D．5年[答案] C[解析]设这位职工工龄至少为x年，400x＋1600＞10000·(1＋10%)2×25%，即400x＋1600＞3025，即x＞3.5625，所以至少为4年．二、填空题3．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是__________．[答案]100＜x＜400[解析]由题意可列式5%<7%×200＋4%×x 200＋x <6%，即5<1400＋4x 200＋x <6解得100<x <400.4．周长为2的直角三角形的面积的最大值为________． [答案] 3－2 2[解析] 设直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，则直角三角形的面积S ＝12ab .由已知，得a ＋b ＋c ＝2，∴a ＋b ＋a 2＋b 2＝2， ∴2＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝(2＋2)ab ， ∴ab ≤22＋2＝2－2，∴ab ≤(2－2)2＝6－42， ∴S ＝12ab ≤3－22，当且仅当a ＝b ＝2－2时，S 取最大值3－2 2.三、解答题5．假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元(叫做税率是8个百分点，即8%)，计划收购m 万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购量可增加2x 个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x 的取值范围．[解析] 税率降低后是(8－x )%，收购量为m (1＋2x %)万担，税收为120m(1＋2x %)(8－x )%万元，原来的税收为120m·8%万元．根据题意可得120m(1＋2x %)(8－x )%≥120m·8%·78% 即x 2＋42x －88≤0解之得－44≤x ≤2，又x ＞0，∴0＜x ≤2 ∴x 的取值范围是(0,2]．6.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积8cm 2.问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)[解析] 由题意得xy ＋14x 2＝8，∴y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0＜x ＜42)．于是，框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2(22x ) ＝(32＋2)x ＋16x ≥46＋4 2. 当(32＋2)x ＝16x ，即x ＝8－42时等号成立． 此时，x ≈2.343，y ＝22≈2.828.故当x 为2.343m ，y 为2.828m 时，用料最省．7．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？[解析] 由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f(n)，则f(n)＝50n－[12＋16＋…＋(8＋4n)]－98＝40n－2n2－98.(1)由f(n)>0得，n2－20n＋49<0，∴10－51<n<10＋51，又∵n∈N，∴n＝3,4， (17)即从第3年开始获利；(2)①年平均收入＝f(n)n＝40－2(n＋49n)≤40－2×14＝12，当且仅当n＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)．②f(n)＝－2(n－10)2＋102.因此当n＝10时，f(n)max＝102，总收益为102＋8＝110万元，但7<10，所以第一种方案更合算．。
优化方案·高中同步测试卷·人教B数学必修5：高中同步测试卷(五)-Word版含答案
高中同步测试卷(五)单元检测 数列的概念及表示方法和等差数列(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是( ) A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．数列{f(n)}就是定义在正整数集N *上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数值C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列2．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14 3．已知等差数列{a n }中各项都不相等，a 1＝2，且a 4＋a 8＝a 23，则d ＝( )A ．0 B.12 C ．2D ．0或124．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7＝( ) A ．49 B ．42 C ．35 D ．285．已知f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ≤0时，f (x )＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2 013＝( )A ．2B ．4 C.12D ．146．把70个面包分五份给5个人，使每人所得的面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，问最小的一份面包的个数为( ) A ．2 B ．8 C ．14 D ．20 7．已知在数列{a n }中，a 1＝1，对n ≥2且n ∈N *都有a 1a 2·…·a n ＝2n ，则a 2a 3＝( )A ．2B ．4C ．6D ．88．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21 9．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)10．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知(a1 006－1)3＋2 013(a1 006－1)＝1，(a1 008－1)3＋2 013(a1 008－1)＝－1，则()A．S2 013＝2 013，a1 008＞a1 006B．S2 013＝2 013，a1 008＜a1 006C．S2 013＝－2 013，a1 008＞a1 006D．S2 013＝－2 013，a1 008＜a1 006二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知数列2，7，10，13，4，…，3n＋1，…，则210是它的第________项．12．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N*)，则a20＝________．13．已知等差数列的前三项依次是m，6m，m＋10，则这个等差数列的第10项是________．14．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)在数列{a n}中，a1＝2，点(a n，a n＋1)在函数f(x)＝2x1＋x的图象上．(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想数列{a n}的一个通项公式．16．(本小题满分10分)已知数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n.(1)求a n；(2)设a n＝2λ－1，试求λ的取值范围．17.(本小题满分10分)设等差数列的前n项和为S n.已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．18．(本小题满分10分)已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，f(1)＝2，且f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域上任意x都成立．(1)求函数f(x)的解析式；(2)正项数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝14[3－2f（a n）]2，求证：数列{a n}是等差数列．附加题19．(本小题满分10分)已知数列{a n}满足：a1＝2t，t2－2a n－1t＋a n－1a n＝0，n＝2，3，4…(其中t为常数，且t≠0)．求数列{a n}的通项公式．20．(本小题满分10分)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款(既无利息贷款)，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费，每一年度申请总额规定不超过6 000元．某大学2013届毕业生王某在本科期间共申请了24 000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清．工作后，王某计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．(1)用x和n表示王某第n个月的还款额a n元；(2)若王某恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款，求x的值．参考答案与解析1．[导学号99450080]【解析】选B.A，D显然正确；对于B，因为数列{f(n)}是定义在正整数集N*上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数a n＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，所以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．2．[导学号99450081]【解析】选C.从第三项起，每一项都等于前面连续两项的和即a n＋a n ＋1＝a n＋2，所以x＝5＋8＝13.3．[导学号99450082]【解析】选B.由已知得a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2，即2a1＋10d＝a21＋4a1d＋4d2.又a1＝2，∴4d2－2d＝0，∴2d(2d－1)＝0，∴d＝0或d＝1 2.又∵{a n }中各项都不相等，∴d ＝12.4．[导学号99450083] 【解析】选B.因为数列{a n }是等差数列，所以2a 6＝a 4＋a 8＝a 8＋6， 所以a 4＝6，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7·a 4＝7×6＝42.5．[导学号99450084] 【解析】选C.因为f (2＋x )＝f (2－x )， 所以f (4＋x )＝f (－x )． 又因为f (x )为偶函数， 所以f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )． 所以a 2 013＝f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12.6．[导学号99450085] 【解析】选A.设等差数列为{a n }，首项为a 1，公差为d ＞0，则有⎩⎨⎧16（a 3＋a 4＋a 5）＝a 1＋a 2，5a 1＋5×42×d ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝6.7．[导学号99450086] 【解析】选D.∵a 1·a 2·…·a n ＝2n (n ≥2)，∴a 1·a 2＝22＝4，∴a 2＝4.又a 1·a 2·a 3＝23，∴a 3＝2，∴a 2·a 3＝8.8．[导学号99450087] 【解析】选C.由a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，两式相减得3d ＝－6，即d ＝－2.又a 1＋a 3＋a 5＝105，∴a 1＝39，∴S n ＝39n －n (n －1)＝－(n －20)2＋400，∴当n ＝20时，S n 有最大值400，故选C. 9．[导学号99450088] 【解析】选D.由a n ＋1＞a n ， 得(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2＞n 2＋kn ＋2， 所以k ＞－(2n ＋1)．因为当n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3， 只要k ＞－3，则都有a n ＋1＞a n .10．[导学号99450089] 【解析】选B.∵(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝1且(a 1 008－1)3＋2 013(a 1008－1)＝－1，∴a 1 006－1与1－a 1 008是方程x 3＋2 013x －1＝0的两根．设f (x )＝x 3＋2 013x －1，则f (x )是单调递增函数，∴a 1 006－1＝1－a 1 008，即a 1 006＋a 1 008＝2， ∴S 2 013＝2 013（a 1＋a 2 013）2＝2 013（a 1 006＋a 1 008）2＝2 013.又(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝(a 1 006－1)[(a 1 006－1)2＋2 013]＝1＞0，∴a 1 006－1＞0，即a 1 006＞1，同理可得a 1 008＜1，即a 1 006＞a 1 008，故选B. 11．[导学号99450090] 【解析】由3n ＋1＝210，得3n ＋1＝40， 所以n ＝393＝13. 【答案】1312．[导学号99450091] 【解析】由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)知：a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3，a3＝a2－33a2＋1＝3，a4＝a3－33a3＋1＝0，…，每3项一循环，故a20＝a6×3＋2＝a2＝－ 3.【答案】－ 313．[导学号99450092]【解析】由已知得12m＝2m＋10，所以m＝1，故a1＝1，a2＝6，a3＝11，所以d＝5，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋5(n－1)＝5n－4，所以a10＝5×10－4＝46.【答案】4614．[导学号99450093]【解析】log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝10（a1＋a10）2＝10×（a5＋a6）2＝10×42＝20.【答案】2015．[导学号99450094]【解】(1)∵(a n，a n＋1)在函数f(x)＝2x1＋x的图象上，∴a n＋1＝2·a n1＋a n. ∵a1＝2，∴a2＝43，a3＝87，a4＝1615.(2)由a1＝2＝21，a2＝43，a3＝87，a4＝1615，猜想得a n＝2n2n－1.16．[导学号99450095]【解】(1)由递推关系式知a1＝1，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n，当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2a n－1＝n－1，两式相减得：3n－1a n＝n－(n－1)＝1，故a n＝13n－1，当n＝1时a1＝1也符合此式．所以a n＝13n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，数列{a n}为递减数列，0＜a n≤a1＝1，即0＜2λ－1≤1，解得12＜λ≤1，即λ的取值范围为(12，1]．17．[导学号99450096]【解】(1)依题意⎩⎨⎧S12＝12a1＋12×112d＞0，S13＝13a1＋13×122d＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a1＋11d＞0，a1＋6d＜0.①②由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③把③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，解得－247＜d ＜－3，即公差d 的取值范围是(－247，－3)． (2)法一：由d ＜0可知{a n }是递减数列， 因此若在1≤n ≤12中， 使a n ＞0且a n ＋1＜0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 7＜0， 可得a 6＞－a 7＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． 法二：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (12－2d )＋n （n －1）2d ＝d 2⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2－d 2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫5－24d 2， 因为d ＜0，所以⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小时，S n 最大． 因为－247＜d ＜－3，6＜12⎝⎛⎭⎫5－24d ＜132， 所以当n ＝6时，⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小，S 6最大． 18．[导学号99450097] 【解】(1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(ab ≠0)， 得f (x )(ax －1)＝b ，若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意， 故ax －1≠0，∴f (x )＝bax －1. f (1)＝ba －1＝2，得2a －2＝b .① 由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域上任意x 都成立， 得b a （x ＋2）－1＝－ba （2－x ）－1，解得a ＝12，②把②代入①，可得b ＝－1，∴f (x )＝－112x －1＝22－x (x ≠2)．(2)证明：由(1)得f (a n )＝22－a n， 又S n ＝14[3－2f （a n ）]2，∴S n ＝14(a n ＋1)2，∴a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1.当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n－a 2n －1＋2a n －2a n －1)，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n－1－2)＝0.∵a n ＞0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2，∴数列{a n }是等差数列． 19．[导学号99450098] 【解】∵t 2－2a n －1t ＋a n －1a n ＝0， ∴(t 2－a n －1t )－(a n －1t －a n －1a n )＝0，∴t (a n －1－t )＝a n －1(a n －t )． 由a 1－t ≠0知a n －t ≠0， ∴1a n －t ＝a n －1t （a n －1－t ）＝a n －1－t ＋t t （a n －1－t ）＝1t ＋1a n －1－t， 即1a n －t －1a n －1－t ＝1t ，n ＝2，3，4，…，t ≠0.∴数列{1a n －t }为等差数列，公差为1t ，∴1a n －t＝1a 1－t ＋1t(n －1)＝n t ，∴a n ＝t ＋t n ＝（n ＋1）tn .20．[导学号99450099] 【解】(1)由题意得，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧500（1≤n ≤12，n ∈N *）500＋（n －12）x （13≤n ≤36，n ∈N *）. (2)由已知，每个月的还款额为a n ，从第13个月开始，还款额构成等差数列，其中a 13＝500＋x ，公差为x .从而，到第36个月， 王某共还款12×500＋24a 13＋24×（24－1）2x .令12×500＋(500＋x )×24＋24×（24－1）2x ＝24 000，解得x ＝20(元)，即要在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．。
高中数学 3.2 均值不等式教案 新人教B版必修5
3．2 均值不等式整体设计教学分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．三维目标1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b 2≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a ＋b 2≥ab 等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．思路 2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．推进新课新知探究提出问题均值定理的内容是什么？怎样进行证明？你能证明a 2＋b 2≥2ab吗？你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？均值不等式有哪些变形式？活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a 、b 的a ＋b 2叫做数a 、b 的算术平均值，数ab 叫做a 、b 的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0.当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图1(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD ＝ab.或由射影定理也可得到CD＝ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a＋b表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示2为：a＋b≥ab.2显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．。
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描述：例题：高中数学必修5(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 不等式 3.5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
一、学习任务
1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域
表示二元一次不等式组．
2. 能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
二、知识清单
平面区域的表示 线性规划 非线性规划
三、知识讲解
1.平面区域的表示
二元一次不等式表示的平面区域
已知直线 ：，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面
与 的并集叫做闭半平面．以不等式解 为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的
区域或不等式的图象．
对于直线 ： 同一侧的所有点 ，代数式 的符号相同，所
以只需在直线某一侧任取一点 代入 ，由 符号即可判断
出 （或）表示的是直线哪一侧的点集．直线 叫做这
两个区域的边界（boundary）．
二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组所表示区域的确定方法：①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的
平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域．
（1） ；（2）．
解：（1）① 画出直线 ，因为这条直线上的点不满足 ，所以画
成虚线．
② 取原点 ，代入 ，所以原点在不等式 所表示的平
面区域内，不等式表示的区域如图．
3x +2y +6>0y ⩾3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y
+6=6>03x +2y +6>0
描述：2.线性规划
线性规划的有关概念
若约束条件是关于变量的一次不等式（方程），则称为线性约束条件（objective function）．一般地，满足线性约束条件的解 叫做可行解（feasible solution），由所有可行解组成的集合叫做可行域（feasible region）．
要求最大（小）值所涉及的关于变量 ， 的一次解析式叫做线性目标函数（linear
objectives）．
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题叫做线性规划问题（linear
program）
．
（2）① 画出直线 ，画成实线．
② 取点 ，代入 ，所以 不在不等式 表示的平面区域内，
不等式表示的区域如图．
y =3x (1,0)y −3x =−3<0(1,0)y ⩾3x 画出不等式组 表示的平面区域．解：不等式 表示直线 及右下方的平面区域； 表示直线
及右上方的平面区域； 表示直线 及左方的平面区域；所以不等式组表示
的平面区域如图中阴影部分．
⎧⎩⎨x −y +5⩾0x +y ⩾0x ⩽3x −y +5⩾0x −y +5=0x +y ⩾0x +y =0x ⩽3x =3(x ,y )x
y
⎩⎨4x+y+10⩾0作出可行域如图中阴影部分所示：
可知，图可知，
k
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解析：
不等式 对应的平面区域如图所示．当目标函数 过点 ， 时，分别取最小值和最大值，所以 的最大值和最小值分别为 ．
|x |+|y |⩽1z =x +2y (0,−1)(0,1)z =x +2y 2、−
2。