追及与相遇问题(详解)

追及与相遇问题刘玉平

课时安排：3课时

三维目标：

1、掌握匀变速直线运动的速度、位移公式以及速度－位移公式；

2、能灵活选用合适的公式解决实际问题；

3、通过解决实际问题，培养学生运用物理规律对实际生活中进行合理分析、解决问题的能力；

4、通过教学活动使学生获得成功的愉悦，培养学生参与物理学习活动的兴趣，提高学习自信心。教学重点：灵活选用合适的公式解决实际问题；

教学难点：灵活选用合适的公式解决实际问题。

教学方法：启发式、讨论式。

教学过程

两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系求解。

一、追及问题

1、追及问题的特征及处理方法：

“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：

⑴初速度比较小（包括为零）的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定

能追上。

a、追上前，当两者速度相等时有最大距离；

b、当两者位移相等时，即后者追上前者。

⑵匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。

判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。

解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。

a、当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者，则永远追不上，此时两者间有最

小距离；

b、若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界

条件；

c、若两者速度相等时，追者位移大于被追者，说明在两者速度相等前就已经追上；

在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个

值都有意义。即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，被追者还

有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值。

⑶匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟⑵类似。

匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟⑴类似；被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。

2、分析追及问题的注意点：

⑴要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、

最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。

⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。

⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v t 图象的应用。

二、相遇

⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。

⑵ 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

【典型例题】

【例1】 在十字路口，汽车以0.5m/s 2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s 的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：

（1） 汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？

（2） 在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？

解：①汽车追上自行车之前，两车速度相等时相距最远，设所用时间为t

v 汽＝at ＝v 自 t ＝10s 最远距离x ＝x 自－x 汽＝v 自t －

21at 2＝25m ②设汽车追上自行车所用时间为t ／ 此时x 自＝x 汽 v 自t ／＝2

1a t ／2 t ／＝20s 此时距停车线距离 x ＝v 自t ／

＝100m 此时汽车速度 v 汽＝a t ／＝10m/s

【例2】 客车以30m/s 的速度行驶,突然发现前方72 m 处有一自行车正以6m/s 的速度同向匀速行驶,于是客车紧急刹车,若以3m/s 2的加速度匀减速前进,问：

（1） 客车是否会撞上自行车?若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上？

（2） 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时距离自行车至少多远？

（3） 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？ 1） 速度相等时用时t ，则30-3t=6m/s 解得t=8s ，此时自行车行驶6*8=48m ，客车行驶30*8-1/2*3*8*8=144,72+48=120m<144m,所以会撞上。假设t 时刻撞上，则有30*t-1/2*3t2=72+6*t 解得t1=4s ，t2=12s （舍去）

2）不会撞上则速度相同时刚好不会撞上。由（1）中得144=48+S ，所以至少相差96m

【例3】 在一条平直的公路上，乙车以10m/s 的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s ，加速度大小为0.5m/s 2的匀减速运动，则两车初始距离L 满足什么条件时可以使：

（1）两车不相遇；

（2）两车只相遇一次；

（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。 a=-0.5 v1=10 v2=15

当甲车减速为v=10时，两车速度相同。即之后甲车速度小于乙车。

设甲车v=10时，辆车正好相遇。t=(v1-v2)/a=10.

s 甲=v2*t+at^2/2=15*10-0.5*10*10/2=125

s 乙=v1*t=100

L=s 甲-s 乙=25（m ）

即当L<25时为①两车相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）

当L=25时为②两车只相遇一次

当L>25时为③两车不相遇

【例4】 如图,A 、B 两物体相距S=7米,A 正以V 1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动,而

物体B 此时速度V 2=10米/秒,方向向右,做匀减速直线运动(不能返回),加速度大小a=2米/秒2,

从图示位置开始计时,经多少时间A 追上B.

解: 物体B 的运动时间为 52

10===

a V t A B 秒 在此时间内B 前进了 255210=?=?=B B t V S 米 这时A 前进了 2054 =?==B A A t V S 米

可见在此时间内A 没有追上B,必须在B 停止后,A 才能追上B.

故A 追上B 的时间为: 84

257=+=+=A B V S S t 秒 【例5】 一辆摩托车行驶的最大速度为30m/s 。现让该摩托车从静止出发，要在4分钟内追上它前方相距1千米、正以25m/s 的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度？

解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。则：

=22

1at V 0t+S 0 ……（1） a =24.0240

10002240252222200=?+??=+t S t V （m/s 2） ……（2） 摩托车追上汽车时的速度： V = at = 0.24?240 = 58 (m/s) （3）

因为摩托车的最大速度为30m/s ，所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。

应先匀加速到最大速度再匀速追赶。 ()t V S t t V at m 001212

1+=-+ ......（4） V m ≥at 1 (5)

由（4）（5）得：t 1=40/3（秒） a===40

903/4030 2.25 (m/s) 【例6】汽车以1m/s 2的加速度起动，同时车后60m 远处有一人以一定速度V 0匀速追赶要车

停下．已知人在离车小于20m ，且持续时间为2s 喊停车，方能把停车信息传达给司机，问V 0至少要多大？如果以V 0=10m/s 的速度追车，人车距离最小值应为多少？

解：

方法一、 设经过时间T 人和车相距20m ，则根据位移关系可得 60 m ＋1/2aT 2－V 0T ＝20m

将a ＝1m/ s 2代入上式并整理得 T 2－2V 0T ＋80＝0

设为该方程的两个根，由韦达定理有 T 1＋T 2＝2V 0 ① T 1·T 2＝80 ② 又因为人车相距20 m 以内的时间至少持续2s ，所以有 T 1－T 2＝2 ③ 解①②③可得的最小速度为9m/s 。

当V0＝10m/s 时经过一段时间t 后人车之间距离为

d ＝1/2aT 2＋60－V 0T ＝1/2T 2－10T ＋60＝1/2(T －10) 2＋10

∴当T ＝10s 时,d 取得最小，即人与车的最小距离为10m 。

点评本题可以有多种解法，相比较而言用韦达定理和配方法求解更为简便一些，这种简便不仅体现在求解运算上，更体现在解题思路上。

方法二、已知人在离车小于20m，且保持时间为2s喊停车方能把停车信息转达到司机，那么题意就是当距离为20m后，再经过2s，距离仍然不超过这个范围。相当于人追赶了车40m.

所以有，vt-1/2a t2=40 ①同时v(t+2）-1/2a (t+2)2=40 ②

②-①得t=v/a+1③将③代入①得最小速度v = 9m/s.

如果10m/s，当然是车的速度也是10m/s的时候，距离最小。

所以最小距离=60-10*10-1/2*102=10m

方法三、因为人在离车距离小于20m.持续时间为2s喊停车.才能把信息传给司机.经过时间t后人与车相距为20m 即1/2at2+60-v o t=20

此时车速为at ，接下来2s内保持20m距离即2＊v o=at＊2+1/2a＊22.

解得t=8s. v o=9m/s

方法四、根据题意，要在汽车的速度达到V之前，人与车的距离小于20m，因为如果在汽车速度达到V的时候人车的距离还大于20m，那汽车在加速，速度变得比人快，人车的距离就在变大了，永远超都追不上了，同时也不能等于，因为人在叫的时候要2秒，那会儿，汽车还在行进，我们的目标是要使人在叫的过程中人车的距离都要小于20m,既然这样那就分析当人叫完两秒的时候的情况。人距车的距离关于t=v/a对称，也就是说t=v/a+1也就是t=v+1（因为a=1）时，人距车必须小于20米，有60+1/2*(v+1)^2-v*(v+1)<=20,解出v就o了

方法五、根据判别式等于零来求解。

作业：

1．一辆值勤的警车停在公路边。当警员发现从他旁边以v=8m／s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶。经2.5s，警车发动起来，以加速度a=2m／s2做匀加速运动，试问：（1）警车要多长时间才能追上违章的货车?

（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大?

解析：方法1、利用速度相等这一临界条件求解，警车和货车速度相等时相距最远。

v警=at，v货=v0，由v警=v货得at1=v0

即相距最远时警车所用的时间为t1===4s

此时货车和警车前进的距离分别为x货=v0（t0+t1）=8m／s×（2.5s+4s）=52m

s警==×2m／s2×（4s）2=16m

两车的最大距离为Δx max=x货－x警=52m－16m=36m

两车的位移分别为x警=，x货=v0（t+t0）

追上时两车位移相等x警=x货，即= v0（t+t0）

解得追上时所用时间t2=10s。

方法2、利用二次函数的知识求解。

货车和警车的位移分别为x 警

= ，x 货=v 0（t+t 0），两车的位移之差为

Δx=x 货－x 警=v 0（t+t 0）－=－t 2+8t+20=－（t －4）2+36

当t=4s 时，Δx 有最大值36m ，即追上之前相距最大为36m 。

当t=l0s 时，Δx=0，即相遇。

2．客车以20m/s 的速度行驶,突然发现同轨道前方120处有一货车正以5m/s 的速度同向匀速行驶,于是客车紧急刹车,若以0.9m/s2的加速度匀减速前进, 问：

（1） 客车是否会撞上货车?若会撞上货车，将会在匀减速前进多久时撞上？

（2） 若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时距离货车至少多远？

（3） 若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时的加速度至少多大？

3．甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以v 1=10m/s 的速度做匀速运动，经过车站A 时关闭油门以a 1=4m/s 2的加速度匀减速前进。2s 后乙车与甲车同方向以a 2=1m/s 2的加速度从同一车站A 出发，由静止开始做匀加速直线运动。问乙车出发后经多长时间追上甲车？

解析： 解法一（公式法）：

甲、乙两车自同一地点于不同时刻开始运动，乙车出发时甲车具有的速度为

100111=-=t a v v t m/s 42?-m/s=2 m/s ，

此时离甲车停止运动的时间 4

211=='a v t t s=0.5s 。 根据题设条件，乙车在0.5s 内追不上甲车，也就是说乙车追上甲车时，甲车已经停止了运动。

甲车停止时离车站A 的距离4

21022

121?==a v x 甲m=12.5m ， 设乙走完这段路程所需的时间为t ，由甲乙x t a x ==2221得1

5.12222?==a x t 甲

s=5s 。 故乙车出发后经过5s 追上甲车。

联想 求解本题最易犯的错误是：根据追上的条件

乙甲x x =，有 22201012

1)(21)(t a t t a t t v =+-+， 代入数据可得t =2.6s 。错误的原因在于对汽车等运输工具做减速运动的实际规律理解不深。本题中甲车在被乙车追上前已停止运动。上述计算的实质是认为甲车速度减为0后又反向加速运动，所以计算出与乙车相遇的时间就短了。

4．在水平直轨道上有两列火车A 和B 相距s 。A 车在

后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动；而B 车同时做初速度为0、加速度大小为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A

车的初图2－37

速度v 0应满足的条件。

解析： 要使两车不相撞，A 车追上B 车时其速度最多只能与B 车速度相等。设A 、B 两从相距s 到A 车追上B 车时，A 车的位移为x A ，末速度为v A ，所用时间为t ；B 车的位移为x B ，末速度为v B ，运动过程如图2－37所示。

现用四种方法求解。

解法一（利用位移公式和速度公式求解）：

对A 车有 20)2(21t a t v x A -+

=，t a v v a )2(0-+=。 对B 车有 22

1at x B =，at v B =。 两车有 B A s s s -=，追上时，两车刚好不相撞的条件是 B A v v =，

由以上各式联立解得 as v 60=。

故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是 v 0≤as 6。

解法二（利用速度公式和速度—位移关系式求解）：

两车刚好不相撞的临界条件是：即将追上时两车速度相等。设此速度为v ，A 车追上B 车前，A 车运动的时间为 a

v v a v v a v v t A A A 22000-=--=-=， B 车运动的时间为 a v a v t B B ==, 因为B A t t =，所以 a v a v v =-20，即 3

0v v = ① A 车的位移 a

v v a v v x A A A 42220202-=--=， B 车的位移 a v a v x B B 222

2==， 因为B A x s x +=，所以 a v s a v v 242

220+=-。 即 a

v v s 43220-= ② ①②两式联立解得 as v 60=。

故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是 v 0≤as 6。

解法三（利用判别式解）：

由解法一可知B A x s x +=，即 22021)2(21at s t a t v +=-+

， 整理得 02302=+-as t v at 。

这是一个关于时间t 的一元二次方程，当根的判别式s a v 234)2(2

0??-=?＜0时，t 无实

数解，即两车不相撞。

故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是 v 0≤as 6。

解法四（用速度图象解）：

如图2－38所示，先作A 、B 两车的速度图象。设经过时间t 两车刚好不相撞，则

对A 车有 at v v v A 20-==，对B 车有 at v v B ==，

由以上两式联立解得 a

v t 30=。 经时间t 两车的位移之差，即为原来两车间的距离s ，它可用 速度图象中阴影部分的面积表示，由速度图象可知 a

v a v v t v s 63212120000===。 故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是 v 0≤as 6。

联想 分析解决两物体的追及、相遇类问题，应首先在理解题意的基础上，认清两物体在位移、速度、时间等方面的关联，必要时须画出运动关联的示意图。这类问题的特殊之处是常与极值条件或临界条件相联系。分析解决这类问题的方法有多种，无论哪一种方法，分析临界条件、解决相关的临界条件方程或用数学方法找出相关的临界值，是解决这类问题的关键和突破口。

5．甲、乙两车相距为s ，同时同向运动，乙在前面做加速度为a 1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a 2、初速度为v 0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。

解析 解法一（物理方法）：

由于两车同时同向运动，故有 v 甲= v 0+ a 2t ，v 乙= a 1t 。

（1）当a 1 v 乙.。由于原来甲车在后，乙车在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然追上乙车。由于甲车追上乙车时v 甲> v 乙，所以甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次。

（2）当a 1= a 2时，a 1t = a 2t ，v 甲> v 乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次。

（3）当a 1>a 2时，a 1t >a 2t ，v 甲和v 乙的大小关系会随着运动时间的增大而发生变化.。刚开始a 1t 和a 2t 相差不大且甲有初速度v 0，所以v 甲> v 乙.。随着时间的推移，a 1t 和a 2t 相差越来越大，当a 1t -a 2t = v 0时，v 甲= v 乙，接下来a 1t -a 2t > v 0，则有v 甲

若在v 甲= v 乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v 甲

若在v 甲= v 乙时，两车刚好相遇，随后由于v 甲

若在v 甲= v 乙之前，甲车已超过乙车，即已相遇一次，随后由于v 甲

方法二(数学方法）：

设经过时间t 两车能够相遇，由于

图2－38

22021t a t v s +＝甲， 212

1t a s ＝乙， 相遇时有s s s =-乙甲，则 022)(0221=+--s t v t a a ，

所以 2121200)(2a a s

a a v v t ---±=。

（1）当a 1

（2）当a 1= a 2时，s t v t a t a t v s s ==-+

=-021*******乙甲，所以0

v s t =.。t 只有一个解，则相遇一次。

（3）当a 1>a 2时，若s a a v )(22120-<，t 无解，即不相遇；

若s a a v )(22120-=，t 只有一个解，即相遇一次；

若s a a v )(22120->，t 有两个正解，即相遇两次。 联想 以上两种解法，正好体现了解答物理问题的两种典型思路。方法一从比较两车的速度关系和位移关系出发，经过仔细而严密的逻辑推理，得出了不同条件下的不同结果。这种解法注重物理过程的分析，物理情景比较清楚。方法二先假设两车相遇，由两车位移之间的关系列出求解相遇时间的方程，然后再对方程解的个数展开讨论。这种解法的特点是将物理问题转化为数学问题，充分运用数学规律和技巧使问题得以解决，论述简洁明了。

6． 羚羊从静止开始奔跑，经过s 1=50m 的距离能加速到最大速度v 1=25m/s ，并能维持一段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过s 2=60m 的距离能加速到最大速度v 2=30m/s ，以后只能维持这个速度4.0s 。设猎豹距离羚羊x 时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s 开始奔跑，假设羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，问：

(1) 猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x 值应在什么范围？

(2) 猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x 值应在什么范围？

解析： (1) 猎豹在达最大速度且尚未减速前追到羚羊，即猎豹的运动只能是先匀加速运动后匀速运动。设猎豹在维持最大速度的时间t 内追到羚羊，由题意知t ≤4.0s 。

现在我们首先探索的问题是：当猎豹追上羚羊时，羚羊的运动情况如何？为此，我们可先分别求出羚羊和猎豹做加速运动的加速度和时间。

羚羊做加速运动的加速度为 50

22522

1211?==s v a m/s 2=6.25m/s 2， 羚羊做加速运动的时间为 25

.625111==a v t s=4.0s ；

而猎豹做加速运动的加速度为 60

23022

2222?==s v a m/s 2=7.5m/s 2， 猎豹做加速运动的时间为 5

.730222==a v t s=4.0s 。 ①若猎豹刚达到最大速度时追上羚羊，则羚羊只加速了t ’=3s ，有 60212121='-=t a s x m 2325.62

1??-m=32m ； ②若猎豹刚要减速时追上羚羊，则有

60)(112221='+-+=t v s t v s x m 430?+m )32550(?+-m=55m 。

由此可知，猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x 值应为 32m ≤x ≤55m 。

(2) 羚羊刚要开始奔跑时，猎豹已前进的距离

2202315.72

121??==t a x m=3.75m 。 由此可知。猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x 值应为 3.75m ≤x ≤32m 。

联想： 本题的求解告诉我们，研究物体的运动，首先要分析清楚物体的运动过程。特别是当物体有多个运动阶段时，必须明确问题所研究的是运动的哪一个阶段。当问题涉及多个物体的运动时，应先分别独立研究各个物体的运动，然后找出它们之间的联系。

7．甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v 1=16m/s 的初速度，a 1=-2m/s 2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v 2=4m ／s 的速度，a 2=1m ／s 2的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。

解法一：

两车同时同向出发，开始一段由于甲车速度大于乙车速度，将使两车距离拉开，由于甲车作匀减速运动，乙车作加速运动，总有某一时刻两车速度相同，此时两车相距最远，随着甲车进一步减速，乙车进一步加速，动车速度大于甲车速度，使两车距离变小，当乙车追上甲车时．两车运动位移相同。

当两车速度相同时，两车相距最远，此时两车运动时间为t 1，两车速度为v

对甲车： v=v 1+a 1t 1 对乙车： v=v 2+a 2t 1

两式联立得 t 1=(v 1-v 2)/(a 1-a 2)=4s

此时两车相距 △s=s 1-s 2=(v 1t 1+a 1t 12/2)- (v 2t 1+a 2t 12/2)=24m

当乙车追上甲车时，两车位移均为s ，运动时间为t ．则： v 1t+a 1t 2/2=v 2t 2+a 2t 2/2

得 t=8s 或t=0 (出发时刻，舍去。)

解法二：

甲车位移 s 1= v 1t+a 1t 2/2 乙车位移 s 2= v 2t 2+a 2t 2/2

某一时刻两车相距为△s △s=s 1-s 2= (v 1t+a 1t 2/2)-(v 2t 2+a 2t 2/2) =12t-3t 2/2

当t=-b/2a 时，即t=4s 时，两车相距最远 △s=12×4-3×42/2=24m

当两车相遇时，△s=0，即12t-3t 2/2=0 ∴ t=8s 或t=0(舍去)

8． 火车甲以速度V 1向前行驶，发现前方S 米处另一辆火车乙正以速度V 2（V 2＜V 1）做匀

减速运动，加速度的大小为2α，火车甲为了避免与火车乙相撞，也开始做减速运动，则加速度1α的大小至少为多少？

解：因为二者均作匀减速运动，所以它们的V-t 图都是直线，根据题意可作图五，图中阴影部分的面积即是甲、乙两车停下时它们的位移差S 1。

222112121t V t V S -=

2212t V V -=

2

22αV t =

22

2112V V V S α-=∴ 当S ＜S 1 S ＜

22212)(αV V V -时 它们相遇有共同的速度。如图中的点。此时的解

是（由图可知） 121)(21t V V S -= 2

21αV V t -= 1

11αV V t -= 22

2112)(αα+-=S V V 当S ≥S 2，既S ≥22

212)(V V V α-时，此时的解由图可知 22/112121t V t V S -= 2

22αV t = 111αV t = 22

222112V S V +=ααα 由此可见，利用图象不但物理过程清楚。还可以避免漏解。