高一(下)数学期末复习卷3
高一（下）数学期末复习卷3
直线
一、选择题
1.已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是( )
A.0
B.1
C.0或1
D.0或1-
2.已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的
斜率k 的取值范围是 （ ）
A ．34k ≥
B ．324k ≤≤
C ．324
k k ≥≤或 D ．2k ≤ 3.已知点A (-5, 4)、B (3, 2), 过点C (-1, 2), 且与点A 、B 的
距离相等的直线方程是 （ ）
A . x +4y -7=0
B . 4x -y +7=0
C . x +4y -7=0或x +1=0
D . x +4y -7=0或4x -y +7=0
4.无论m 为何实值，直线1(2)y m x +=-总过一个定点，该定点坐标为 （ ）.
A.（1，2-）
B.（1-，2）
C.（2-，1-）
D.（2，1-）
5.点P （x,y ）在函数||y x =的图像上，且x 、y 满足220x y -+≥，则点P 到坐标原点距离的取值范围是 （ ）
A ．[0,3
B ．[3
C ．[33
D ．
6.如图，已知(4,0)A ，(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 （ ）
A ．
B ．6
C ．
D ．
7.若三条直线01=++y x ，082=+-y x 和053=+-y ax 只有两个不同的交点，则实
数a 的值为 （ ）
A 、3-
B 、6
C 、3-或6
D 、3或6-
8.已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上，且AB 线段的中
点为P 10(0,
)a ，则线段AB 的长为（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11 二、填空题
9.两平行直线0643:1=++y x l ，012)1(:2=+++ay x a l 间的距离为
10.三条直线053,082,01=-+=+-=++y ax y x y x 不能围成三角形，则a 的取值集合是 _
11、平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六
部分，则实数k 的取值为__ _．(将你认为所有正确的序号都填上)
①0； ②12
； ③1； ④2；⑤3。
12.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为11(,)P x y ,22(,)Q x y 两点之
间的“折线距离”．则原点)0,0(O 与直线05=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距
离”的最小值是 ．
选择题答案：
三、解答题
13.已知点(1,4)A -，直线BC 的方程为01=+-y x ．
(1)求过点D （0，1）且与BC 垂直的直线的方程；
（2）求点A 到直线BC 的距离．
14.已知矩形ABCD 的中心与原点重合，且对角线BD 与x 轴重合，AB 所在的直线方程为0342=+-y x
，||BC =
15.已知△ABC 中，A （1，1），B （m ，m ），C （4，2），1＜m ＜4。
求m 为何值时，△ABC 的面积S 最大。
16.已知ABC ∆中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=，A ∠ 的角平分线所在的直线方程为0y =，点C 的坐标为(1,2)．
（Ⅰ）求点A 和点B 的坐标；
（Ⅱ）又过点C 作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点,M N ，求MON ∆的面积最小值及此时直线l 的方程.。
2022-2023学年福建省福州一中高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年福建省福州一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若（1﹣2i ）z ＝2i 3，则z •z =（ ） A ．2√55B ．45C ．1225D ．16252．已知不重合的平面α，β，γ和直线l ，则“α∥β”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l ⊥α且l ⊥βC ．γ⊥α且γ⊥βD ．α内的任何直线都与β平行3．平行四边形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点（靠近B ），则EF →=（ ） A ．12AB →−13AD →B ．14AB →+12AD →C ．13AB →+12AD →D ．12AB →−23AD →4．镇海植物园有两块地，从A ，B ，C ，D 四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，则A ，B 种植在同一块地的概率为（ ） A ．23B ．13C ．12D ．345．如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念．何尊的形状可近似看作是由上部分圆台和下部分圆柱的组合体，组合体的高约为40cm ，上口直径约为28cm ，圆柱的底面直径约为18cm ．取π的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为1296cm 2，则该组合体上部分圆台的体积约为（ ）A ．6448cm 3B ．6548cm 3C ．5548cm 3D ．5448cm 36．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =4，BC =AC =2√2，AA 1=1，点M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则直线BM 与CN 所成角的余弦值为（ ） A ．√155B ．√105C ．√53D ．√637．已知△ABC 的面积等于2，AB ＝1，当△ABC 三条高的乘积取最大值时，sin C 的值为（ ）A ．1665B ．6365C ．1516D ．128．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，Q 为AD 的中点，P 为正方体内部及其表面上的一动点，且PQ ⊥BD 1，则满足条件的所有点P 构成的平面图形的面积是（ ）A ．3√32B ．2√3C ．4D ．3√3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．掷一枚骰子，记事件A 为掷出的数大于4，事件B 为掷出偶数点，则下列说法正确的是（ ） A ．P(A ∪B)=56B ．P(A)=13C ．事件A 与事件B 为相互独立事件D ．事件A 与事件B 对立10．已知一组样本数据x 1，x 2，…，x n （x 1＜x 2＜…＜x n ），现有一组新的数据x 1+x 22，x 2+x 32，…，x n−1+x n2，x n +x 12，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ）A ．平均数不变B ．中位数不变C ．极差变小D ．方差变小11．已知四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED ，AB ＝ED ＝2FB ，记三棱锥E ﹣ACD ，F ﹣ABC ，F ﹣ACE 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则（ ） A ．V 3＝2V 2B ．V 1＝2V 2C ．V 3＝V 1+V 2D ．2V 3＝3V 112．在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且BC ＝6，AD ＝2，则（ ） A ．△ABC 面积最大值是6 B ．△ABC 周长可能是14C ．|AD →+BE →|不可能是5D ．BE →⋅AC →∈(112，352)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数z 1=3−i ，z 2=−3−i ，z 3=2+√6i ，z 4=a −√3i 在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数a 的值为 ．14．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段A 1B 1的中点，F 为线段AB 的中点，则直线FC 到平面AEC 1的距离为 ．15．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2﹣a 2=√2bc ，c ＝4，则边a 的取值范围是 ．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，PB ＝1，P A ＝PC ＝AB ＝BC ＝2，二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为60°，则该三棱锥的体积为 ；其外接球的表面积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14．若各家庭回答是否正确互不影响．（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，角α终边与单位圆O 的交点为E ，将向量OE →逆时针方向旋转90°，得到向量OF →，记A （1，0），B （0，﹣1）． （1）判断向量AE →与BF →的位置关系，并说明理由； （2）求|AE →+AF →|的最大值．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是平行四边形，BC 1⊥C 1C ，BC 1⊥A 1C ，且E ，F 分别是BC ，A 1B 1的中点． （1）求证：EF ∥平面A 1C 1CA ；（2）在线段AB 上是否存在点P ，使得BC 1⊥平面EFP ？若存在，求出AP AB的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；（Ⅱ）在区间[40，50）和[90，100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；（Ⅲ）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，若sin2A+3sin2B＝5sin2C．（1）求cos C的最小值；（2）若△ABC的面积为a2，求tan C的值．22．（12分）如图，已知矩形ABCD，BC＝2AB＝4，M是AD的中点，现将△ABM沿着BM翻折至△PBM．（1）若PC=2√3，求证：平面PBM⊥平面BCDM；（2）求二面角P﹣CD﹣B的正弦值的最大值．2022-2023学年福建省福州一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若（1﹣2i ）z ＝2i 3，则z •z =（ ） A ．2√55B ．45C ．1225D ．1625解：∵（1﹣2i ）z ＝2i 3，∴z =2i 31−2i =−2i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=4−2i 5=45−25i ，∴z =45+25i ， ∴z ⋅z =(45)2+(25)2=45． 故选：B ．2．已知不重合的平面α，β，γ和直线l ，则“α∥β”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l ⊥α且l ⊥βC ．γ⊥α且γ⊥βD ．α内的任何直线都与β平行解：A 无数条平行推不出α∥β，B ，垂直于用一条直线的两平面平行，成立，反之不一定成立；C ，γ⊥α且γ⊥β，推不出D 充要条件，则“α∥β”的充分不必要条件是B ， 故选：B ．3．平行四边形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点（靠近B ），则EF →=（ ） A ．12AB →−13AD →B ．14AB →+12AD →C ．13AB →+12AD →D ．12AB →−23AD →解：因为ABCD 为平行四边形，所以AB →=DC →，AD →=BC →，故EF →=EC →+CF →=12DC →+23CB →=12AB →−23AD →．故选：D ．4．镇海植物园有两块地，从A ，B ，C ，D 四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，则A ，B 种植在同一块地的概率为（ ）A ．23B ．13C ．12D ．34解：从A ，B ，C ，D 四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，基本事件总数n =C 42C 22=6，A ，B 种植在同一块地包含的基本事件个数m =C 22A 22=2，则A ，B 种植在同一块地的概率P =m n =26=13． 故选：B ．5．如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念．何尊的形状可近似看作是由上部分圆台和下部分圆柱的组合体，组合体的高约为40cm ，上口直径约为28cm ，圆柱的底面直径约为18cm ．取π的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为1296cm 2，则该组合体上部分圆台的体积约为（ ）A ．6448cm 3B ．6548cm 3C ．5548cm 3D ．5448cm 3解：由题意可知，该几何体上部分圆台的下底面半径r 1＝14cm ，上底面半径r 2＝9cm ，该几何体下部分圆柱的底面半径r 3＝9cm ，设圆台的高为hcm ，则圆柱的高为（40﹣h ）cm ， 则有2πr 3（40﹣h ）＝1296，又π的近似值为3， 所以2×3×9×（40﹣h ）＝1296，解得h ＝16，所以圆台的体积V =13π(r 12+r 22+r 1r 2)ℎ≈13×3×(142+92+14× 9）×16＝6448（cm 3）． 故选：A ．6．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =4，BC =AC =2√2，AA 1=1，点M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则直线BM 与CN 所成角的余弦值为（ ） A ．√155B ．√105C ．√53D ．√63解：如图所示，取BC 的中点E ，连接EN ， 则根据题意易得四边形MNEB 为平行四边形，∴BM ∥EN ，∴直线BM 与CN 所成角为∠CNE ，又根据题意易知BC ⊥平面ACC 1A 1，且CN ⊂平面ACC 1A 1，∴BC ⊥CN ，又EN ＝BM =√B 1M 2+B 1B 2=√5，CN =√C 1N 2+C 1C 2=√3， ∴cos ∠CNE =CN EN =√35=√155， 故选：A ．7．已知△ABC 的面积等于2，AB ＝1，当△ABC 三条高的乘积取最大值时，sin C 的值为（ ） A ．1665B ．6365C ．1516D ．12解：设△ABC 三个内角A ，B ，C 对应的边为a ，b ，c ，对应的高为m ，n ，t ， △ABC 面积为2，AB ＝1，即S ＝2，c ＝1， S =12am =12bn =12ct ＝2，S 3=18abcmnt ＝8， mnt =64abc =64ab ， 因为S =12ab sin C ＝2， 所以ab =4sinC，mnt ＝16sin C ， 因为cos C =a 2+b 2−c 22ab ≥2ab−12ab =1−12ab，当且仅当a ＝b 时取得等号，所以2ab ≤11−cosC ，即8sinC≤11−cosC ，sinC 1−cosC=2sin C 2cos C 22sin 2C2=tan C2≤18，可得sin C =2tan C 21+tan 2C 2=2tan C 2+1tan C2≤218+8=1665， 所以当△ABC 三条高的乘积取最大值时，sin C 的值为1665．故选：A ．8．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，Q 为AD 的中点，P 为正方体内部及其表面上的一动点，且PQ ⊥BD 1，则满足条件的所有点P 构成的平面图形的面积是（ ）A ．3√32B ．2√3C ．4D ．3√3解：如图，正方体中，BD 1在平面ABCD 的射影为AC ，在平面ADD 1A 1的射影为AD 1， 分别取DC 中点E ，AA 1中点F ，利用三垂线定理得，QE ⊥BD 1，QF ⊥BD 1， 所以BD 1⊥平面QEF ．所以，P 点在正方体中过Q 、E 、F 的截面上．分别取A 1B 1，B 1C 1，CC 1的中点G 、M 、N ，连接FG ，GM ，MN ，NE ，平面FGMNEQ 即为截面． 在正方体中求得FQ ＝QE ＝EN ＝NM ＝MG ＝GF =√2， 所以正六边形FGMNEQ 的面积为6×12×√2×√2×√32=3√3．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．掷一枚骰子，记事件A 为掷出的数大于4，事件B 为掷出偶数点，则下列说法正确的是（ ） A ．P(A ∪B)=56B ．P(A)=13C ．事件A 与事件B 为相互独立事件D ．事件A 与事件B 对立解：掷一枚骰子，记事件A 为掷出的数大于4，事件B 为掷出偶数点，则P （A ）=26=13，P （B ）=36=12，故B 正确； P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）=13+12−16=23，故A 错误； ∵事件AB 表示“掷出的数大于4”且“掷出偶数点”，即“掷出6”， ∴P （AB ）=16，故P （AB ）＝P （A ）P （B ）=13×12=16， 故事件A 与事件B 是为相互独立事件，故C 正确；∵P （A ）+P （B ）=13+12=56≠1，故事件A 与事件B 不是对立事件，故D 错误． 故选：BC ．10．已知一组样本数据x 1，x 2，…，x n （x 1＜x 2＜…＜x n ），现有一组新的数据x 1+x 22，x 2+x 32，…，x n−1+x n2，x n +x 12，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ）A ．平均数不变B ．中位数不变C ．极差变小D ．方差变小解：对于A 项，新数据的总数为：x 1+x 22+x 2+x 32...+x n +x 12=x 1+x 2+...+x n ，故平均数不变，A正确；对于B 项，不妨设原数据为：1，2.5，3，则新数据为：1.75，2.75，2，显然中位数变了，故B 错误； 对于C 项，原数据极差为：x n ﹣x 1，新数据极差为：x n−1+x n2−x 1+x 22，x n−1+x n 2−x 1+x 22−(x n −x 1)=x n−1−x n +x 1−x 22＜0，极差变小了，故C 正确；对于D 项，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，故方差变小，即D 项正确． 故选：ACD ．11．已知四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED ，AB ＝ED ＝2FB ，记三棱锥E ﹣ACD ，F ﹣ABC ，F ﹣ACE 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则（ ） A ．V 3＝2V 2B ．V 1＝2V 2C ．V 3＝V 1+V 2D ．2V 3＝3V 1解：如图连接BD 交AC 于O ，连接OE ，OF ． 设AB ＝ED ＝2FB ＝2， V 1=13×S △ACD ×|ED |=43， V 2=13×S △ABC ×|FB |=23，由ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥AC ． 又AC ⊥BD ，且ED ∩BD ＝D ，ED ，BD ⊂平面BDEF ， 所以AC ⊥平面BDEF ，所以AC ⊥OF ．易知BD =2√2，OB =√2，OE =√OD 2+ED 2=√6，OF =√OB 2+BF 2=√3， EF =√BD 2+(ED −FB)2=3，所以EF 2＝OF 2+OE 2，所以OF ⊥OE ，而OE ∩AC ＝O ， OE 、AC ⊂平面ACE ，所以OF ⊥平面ACE ． 又AC =AE =CE =2√2，V 3=V F−ACE =13S △ACE ⋅OF =13×√34AC 2⋅OF =2， 所以有V 3≠2V 2，V 1＝2V 2，V 3＝V 1+V 2，2V 3＝3V 1， 所以选项A 不正确，BCD 正确． 故选：BCD ．12．在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且BC ＝6，AD ＝2，则（ ） A ．△ABC 面积最大值是6 B ．△ABC 周长可能是14C ．|AD →+BE →|不可能是5 D ．BE →⋅AC →∈(112，352) 解：如图，设三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， A 到BC 的距离为h ，可得△ABC 的面积S =12aℎ=12×6ℎ≤3×2＝6， 当AD ⊥BC 时等号成立，故A 正确；在△ABD 中，由余弦定理可得：c 2＝32+22﹣2×2×3cos ∠ADB ， 在△ADC 中，由余弦定理可得：b 2＝32+22﹣2×2×3cos ∠ADC ， 而cos ∠ADB +cos ∠ADC ＝0，以上两式作和得c 2+b 2＝26， ∵b +c ＞a ＝6，∴三角形周长为a +b +c ＝b +c +6＞12，得b+c 2≤√c 2+b 22=√262，当且仅当b =c =√13时等号成立，可得c +b +6≤2√13+6，即三角形的周长的范围是(12，2√13+6]， 故三角形周长不可以取到14，故B 错误；∵AD →+BE →=AD →+BC →+CE →=−DA →+2DC →+12(DA →−DC →)=32DC →−12DA →，∴|AD →+BE →|=√(32DC →−12DA →)2=12√9DC →2+DA →2−6DC →⋅DA →=12√85−6DC →⋅DA →，而DC →⋅DA →=|DC →|⋅|DA →|cos∠ADC =6cos∠ADC ∈(−6，6)，∴|AD →+BE →|∈(72，112)，则|AD →+BE →|的值可能取到5，故C 错误；由BE →=BC →+CE →=2DC →+12(DA →−DC →)=12DA →+32DC →， 得BE →•DA →=(32DC →+12DA →)•(DC →−DA →)=32DC →2−12DA →2−DC →⋅DA →=232−DC →⋅DA →， 由推导C 可得DC →⋅DA →∈(−6，6)，得232−DC →⋅DA →∈(112，352)，故D 正确．故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数z 1=3−i ，z 2=−3−i ，z 3=2+√6i ，z 4=a −√3i 在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数a 的值为 √7． ．解：因为z 1=3−i ，z 2=−3−i ，z 3=2+√6i ，z 4=a −√3i 在复平面上对应点分别为Z 1(3，−1)，Z 2(−3，−1)，Z 3(2，√6)，Z 4(a ，−√3)， 设圆方程为(x −x 0)2+(y −y 0)2=r 2(r ＞0)，则有(3−x 0)2+(−1−y 0)2=r 2，(−3−x 0)2+(−1−y 0)2=r 2，(2−x 0)2+(√6−y 0)2=r 2，联立方程解得x 0=0，y 0=0，r =√10， 所以圆方程为x 2+y 2＝10，又Z 4(a ，−√3)在圆上，所以a 2+3＝10，又a ＞0，解得a =√7． 故答案为：√7．14．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段A 1B 1的中点，F 为线段AB 的中点，则直线FC 到平面AEC 1的距离为√66． 解：以D 1为原点，D 1A 1D 1C 1D 1D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C 1(0，1，0)，E(1，12，0)，F(1，12，1)，所以AB →=(0，1，0)，AC 1→=(−1，1，−1)，AE →=(0，12，−1)，EC 1→=(−1，12，0)，FC →=(−1，12，0)，AF →=(0，12，0)． 因为FC →=EC 1→=(−1，12，0)，所以FC ∥EC 1，所以FC ∥平面AEC 1． 所以点F 到平面AEC 1的距离为直线FC 到平面AEC 1的距离． 设平面AEC 1的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{n →⋅AE →=12y −z =0n →⋅EC 1→=−x +12y =0，取z ＝1，则x ＝1，y ＝2．所以，n →=(1，2，1)是平面AEC 1的一个法向量．又因为AF →=(0，12，0)，所以点F 到平面AEC 1的距离为|AF →⋅n →||n →|=|(0，12，0)⋅(1，2，1)|√6=√66． 即直线FC 到平面AEC 1的距离为√66． 故答案为：√66．15．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2﹣a 2=√2bc ，c ＝4，则边a 的取值范围是 （2√2，4） ． 解：因为b 2+c 2﹣a 2=√2bc ，所以由余弦定理可得cos A =b 2+c 2−a 22bc=√2bc 2bc =√22， 因为A 为锐角， 所以A =π4，因为在锐角△ABC 中，{C ∈(0，π2)3π4−C ∈(0，π2)，可得C ∈(π4，π2)， 所以sin C ∈（√22，1）， 由正弦定理asinA =csinC，可得a =c⋅sinA sinC =4×√22sinC =2√2sinC ∈（2√2，4）．故答案为：（2√2，4）．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，PB ＝1，P A ＝PC ＝AB ＝BC ＝2，二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为60°，则该三棱锥的体积为12；其外接球的表面积为52π3．解：由题意如图所示：取AC 的中点M ，连接PM ，BM ，∵P A ＝PC ＝AB ＝BC ，AC ＝AC ，则△ABC ≅△APC ，PM ⊥AC ，BM ⊥AC ， ∴二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角为∠PMB ＝60°， 故△PMB 为等边三角形，即PM ＝BM ＝PB ＝1，则AC ＝2CM ＝2√BC 2−BM 2=2√3，tan ∠BCM =BMCM =√33， ∵∠BCM ∈（0，π2），则∠BCM =π6，设△ABC 的外接圆圆心为O 1，半径为r ， 则2r =AB sin∠ACB=212=4，即r ＝2，故O 1在BM 的延长线上，同理△P AC 的外接圆圆心为O 2在PM 的延长线上，∵PM ⊥AC ，BM ⊥AC ，PM ∩BM ＝M ，PM ，BM ⊂平面PBM ， ∴AC ⊥平面PBM ，且AC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ACP ，故平面ABC ⊥平面PBM ，平面P AC ⊥平面PBM ， 则△PBM 的高即为三棱锥P ﹣ABC 的高，且△PMB 为等边三角形，边长为1， 则其高h =√32，S △ABC =12AC •CB sin ∠ACB =12×2√3×2×12=√3，所以V P ﹣ABC =13S △ABC •h =13×√3×√32=12， 设三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心为O ，连接OO 1，OO 2，则OO 1⊥平面ABC ，OO 2⊥平面ACP ， 故OO 1，OO 2⊂平面PBM ，连接O 1A ，O 1C ，O 1O 2，OA ，MO ，则MO 1＝MO 2＝1，O 1A ＝2，∠OMO 1＝30°， 可得O 1O ＝MO 1tan ∠O 1MO =√33，则三棱锥S ﹣ABC 的外接球的半径R 2＝O 1A 2+O 1O 2=133， 故三棱锥S ﹣ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×133=52π3． 故答案为：12；52π3．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14．若各家庭回答是否正确互不影响．（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．解：（1）设事件A 表示“甲家庭回答正确这道题”，事件B 表示“乙家庭回答正确这道题”， 事件C 表示“丙家庭回答正确这道题”， 由题意得：{P(A)=34[1−P(A)][1−P(C)]=112P(B)P(C)=14，解得乙家庭回答正确这道题的概率P （B ）=38， 丙家庭回答正确这道题的概率P （C ）=23．（2）甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为： P ＝P （ABC ）+P （ABC ）+P （A B C ）+P （AB C ） =34×38×23+14×38×23+34×58×23+34×38×13 =2132．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，角α终边与单位圆O 的交点为E ，将向量OE →逆时针方向旋转90°，得到向量OF →，记A （1，0），B （0，﹣1）． （1）判断向量AE →与BF →的位置关系，并说明理由； （2）求|AE →+AF →|的最大值．解：（1）向量AE →与BF →共线，理由如下：角α终边与单位圆O 的交点为E ，设E （cos α，sin α），得OE →=（cos α，sin α）， 又将向量OE →逆时针方向旋转90°得到向量OF →， 得OF →=(cos(α+π2)，sin(α+π2))=(−sinα，cosα)，已知A （1，0），B （0，﹣1），则AE →=(cosα−1，sinα)，BF →=(−sinα，cosα+1)， ∵（cos α﹣1）•（cos α+1）﹣sin α•（﹣sin α）＝cos 2α﹣1+sin 2α＝0， ∴AE →∥BF →，即向量AE →与BF →共线；（2）∵AE →=(cosα−1，sinα)，AF →=(−sinα−1，cosα)， ∴AE →+AF →=(−sinα+cosα−2，sinα+cosα)， 则|AE →+AF →|=√(−sinα+cosα−2)2+(sinα+cosα)2 =√4sinα−4cosα+6=√4√2sin(α−π4)+6，当α−π4=π2+2kπ，k ∈Z ，即α=3π4+2kπ，k ∈Z 时，sin(α−π4)有最大值1， ∴|AE →+AF →|有最大值√4√2+6=√(2+√2)2=2+√2． 即|AE →+AF →|的最大值为2+√2．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是平行四边形，BC 1⊥C 1C ，BC 1⊥A 1C ，且E ，F分别是BC ，A 1B 1的中点． （1）求证：EF ∥平面A 1C 1CA ；（2）在线段AB 上是否存在点P ，使得BC 1⊥平面EFP ？若存在，求出AP AB的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：取A 1C 1中点G ，连FG ，连GC ．在△A 1B 1C 1中，因为F ，G 分别是A 1B 1，A 1C 1中点， ∴FG ∥B 1C 1，且FG =12B 1C 1．∵E 是BC 的中点， ∴EC ∥B 1C 1，且EC =12B 1C 1．∴EC ∥FG ，且EC ＝FG ． ∴FECG 是平行四边形．∴FE ∥GC ．又∵FE ⊄平面A 1C 1CA ，GC ⊂平面A 1C 1CA ，∴EF ∥平面A 1C 1CA ； （2）解：取AB 的中点P ，连PE ，连PF ．∵BC 1⊥平面ACC 1A 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，CG ⊂平面ACC 1A 1， ∴BC 1⊥AC ，BC 1⊥CG ，在△ABC 中，因为P ，E 分别是AB ，BC 中点，∴PE ∥AC ． 又由（1）知FE ∥CG ，∴BC 1⊥PE ，BC 1⊥EF ． 由PE ∩EF ＝E ，得BC 1⊥平面EFP ．故当点P 是线段AB 的中点时，BC 1⊥平面EFP ．此时，AP AB=12．20．（12分）用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；（Ⅱ）在区间[40，50）和[90，100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；（Ⅲ）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在[40，80）内的成绩占比为70%，在[40，90）内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于[80，90）内．因为80+10×0.8−0.70.95−0.7=84，所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84．（Ⅱ）在区间[40，50）和[90，100]内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间Ω包含的样本点个数为n（Ω）＝5+4+3+2+1＝15．记事件A＝“调查对象来自不同分组”，则事件A包含的样本点个数为n（A）＝4×2＝8，所以P（A）=n(A)n(Ω)=815．（Ⅲ）设男生成绩样本数据为x1，x2，…，x40，其平均数为x=71，方差为s x2=187.75；女生成绩样本数据为y1，y2，…，y60，其平均数为y=73.5，方差为s y2=119；总样本的平均数为z，方差为s2．由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得z=40100x+60100y=72.5．因为s 2=1100 [∑ 40i=1（x i −z ）²+∑ 60j=1（y j −z ）²]=1100[∑ 40i=1（x i −x +x −z ）²+∑ 60j=1（y j −y +y −z ）²]，又∑ 40i=12（x i −x ）（x −z ）＝2（x −z ）（∑ 40i=1（x i −x ））＝2（x −z ）（∑ 40i=1x i ﹣40x ）＝0， 同理∑ 60j=12（y j −y ）（y −z ）＝0，所以 s 2=1100[∑ 40i=1（x i −x ）²+∑ 40i=1（x −z ）²+∑ 60j=1（y j −y ）²+∑ 60j=1（y −z ）²]=1100{40[s x 2+（x −z ）²]+60[s y 2+（y −z ）²]} =1100{40[187.75+（71﹣72.5）²]+60[119+（73.5﹣72.5）²]} ＝148．所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．21．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A +3sin 2B ＝5sin 2C ． （1）求cos C 的最小值；（2）若△ABC 的面积为a 2，求tan C 的值．解：（1）由sin 2A +3sin 2B ＝5sin 2C ，根据正弦定理可得a 2+3b 2＝5c 2， 由余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−a 2+3b 252ab =2a 2+b 25ab ≥2√2ab 5ab=2√25， 当且仅当b =√2a 时，等号成立，所以cos C 的最小值为2√25；（2）由△ABC 的面积为a 2，即S =12absinC =a 2，则a =12bsinC ，由（1）可知cosC =2a 2+b25ab=2(12bsinC)2+b25×12b 2sinC，即52sinCcosC =12sin 2C +1，即5sin C cos C ＝sin 2C +2（sin 2C +cos 2C ），所以5sin C cos C ＝3sin 2C +2cos 2C ，即3tan 2C ﹣5tan C +2＝0， 解得tan C ＝1或tanC =23，当tan C ＝1时，满足cosC =√22＞2√25， 当tanC =23时，满足cosC =3132√25， 所以tan C ＝1或tanC =23．22．（12分）如图，已知矩形ABCD ，BC ＝2AB ＝4，M 是AD 的中点，现将△ABM 沿着BM 翻折至△PBM ．（1）若PC =2√3，求证：平面PBM ⊥平面BCDM ； （2）求二面角P ﹣CD ﹣B 的正弦值的最大值．解：（1）证明：由题意矩形ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，M 是AD 的中点， 可知PM ＝PB ＝2，∠AMB ＝45°， 设O 为BM 中点，连接PO ，则PO ⊥BM ，又∠MBC ＝∠AMB ＝45°，BO =12BM =12√AB 2+AM 2=√2，故OC =√OB 2+BC 2−2OB ⋅BCcos∠OBC =√2+16−2×√2×4×√22=√10，又PB ⊥PM ，O 为BM 中点，故PO =12BM =√2，而PC =2√3， 故PC 2＝12＝PO 2+OC 2，故PO ⊥OC ，而OC ∩BM ＝O ，OC ，BM ⊂平面BCDM ，故PO ⊥平面BCDM ， PO ⊂平面PBM ，故平面PBM ⊥平面BCDM ；（2）由（1）可知，将△ABM 沿着BM 翻折至平面PBM ⊥平面BCDM 时， 二面角P ﹣CD ﹣B 逐渐增大，当平面PBM ⊥平面BCDM 时，作OE ⊥CD ，垂足为E ，连接PE ，因为O为BM中点，则E为CD中点，此时OE=MD+BC2=3；由于PO⊥平面BCDM，CD，OE⊂平面BCDM，故PO⊥CD，PO⊥OE PO∩OE＝O，PO，OE⊂平面POE，故CD⊥平面POE，则∠PEO为二面角P﹣CD﹣B的平面角，而PE=√PO2+OE2=√11，故sin∠PEO=POPE=√2√11=√2211；下面考虑△ABM翻折到越过平面PBM⊥平面BCDM时的位置后的情况：设Q为BC中点，连接MQ，则四边形ABQM为正方形，连接AQ，则O在AQ上，则PO⊥BM，QO⊥BM，PO∩QO，PO，QO⊂平面POQ，故BM⊥平面POQ，BM⊂平面BCDM，故平面POQ⊥平面BCDM，平面POQ∩平面BCDM＝OQ，作PF⊥OQ，垂足为F，则PF⊥平面BCDM，FG，CD⊂平面BCDM，故PF⊥CD，PF⊥FG，作FG⊥CD，垂足为G，连接PG，PF∩FG＝F，PF，FG⊂平面PFG，故CD⊥平面PFG，故∠PGF为二面角P﹣CD﹣B的平面角，设∠POF＝α，0°≤α＜90°，当α＝0°时，二面角P﹣CD﹣B的正弦值为0；当0°＜α＜90°时，PF=√2sinα，OF=√2cosα，作FH⊥OE，垂足为H，则四边形EHFG为矩形，则OH＝OF cos45°＝cosα，故FG＝EH＝3﹣cosα，故tan∠PGF=PFFG=√2sinα3−cosα=√2sinα2cosα22sin2α2+cos2α2=√2tanα22tan2α2+1=√22tanα2+1tanα2，由于tan α2＞0，故2tanα2+1tanα2≥2√2，故√22tanα2+1tanα2≤12，第21页（共21页） 当且仅当2tan α2=1tan α2，即tan α2=√22时等号成立， 即二面角P ﹣CD ﹣B 的正切值的最大值为12，此时二面角P ﹣CD ﹣B 的正弦值的最大值√55， 由于√2211＜√55，故二面角P ﹣CD ﹣B 的正弦值的最大值√55．。
2022-2023学年广东省梅州市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝（1+m ）+（2﹣m ）i （m ∈R ，i 为虚数单位）对应的点在第二象限内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜m ＜2B ．m ＜﹣1C ．m ＞2D ．m ＜﹣1或m ＞22．已知|a →|=2，|b →|=3，且a →⊥b →，则|b →−a →|=（ ） A ．1B ．√5C ．√13D ．53．某水果店老板为了了解葡萄的日销售情况，记录了过去10天葡萄的日销售量（单位：kg ），结果如下：43，35，52，65，40，54，49，38，62，57．一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的葡萄尽量新鲜，又能60%地满足顾客的需求（在100天中，大约有60天可以满足顾客的需求），每天大约应进（ ）千克葡萄． A ．49B ．51C ．53D ．554．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A ．若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c B ．a ∥α，b ∥α，则a ∥bC ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥αD ．若a ⊂α，α∥β，则a ∥β5．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆AB 和横档CD 构成，并且E 是CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A 点观察，滑动横档CD 使得A ，C 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D ，DE 的影子恰好是AE ．然后，通过测量AE 的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD （称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．若在一次测量中，AE ＝60，横档CD 的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（ ） A ．417B ．817C ．1317D ．15176．在直角坐标系xOy 中，已知a →=(1，3)，b →=(3，1)，若∀t ∈R ，|a →−λb →|≤|a →−tb →|恒成立，则λ＝（ ）A ．13B ．23C ．25D ．357．如图，三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为6的正三角形，且AA 1＝A 1C 1＝C 1C ＝3，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，则棱BB 1＝（ ）A ．3√62B ．3√3C ．3D ．3√28．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝2，C =π3，则c 的取值范围为（ ） A ．(2，2√3)B ．(2√3，+∞)C ．(√3，2√3)D ．（2，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省漯河市高级-2021-2022学年高一下学期期末数学复习题
高一数学（理）期末备战试题3一、单选题1．复数5i 2-的共轭复数是（）A ．2i+B ．2i-+C ．2i--D ．2i-2．下列说法正确的是（）A ．直四棱柱是正四棱柱B ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线C ．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥3．独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（）A ．2021年我国独角兽企业共有170家B ．京、沪、粤三地的独角兽企业共有119家C ．独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半D ．各行业独角兽企业数量的中位数为134．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量()()p a c b q b a c a =+=-- ，，，，若p q∥，则角C 的大小为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π35．在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥βA ．0B ．1C ．2D ．36．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4C D ．178．《易·系辞上》有“河出图，洛出书，圣人则之”之说，河图、洛书是中华文化、易经八卦和阴阳五行术数之源．如图所示的河图中，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（）A ．14B ．13C ．12D ．239．已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=rr r ，则|c |的可能取值有（）A ．6B ．5C ．4D ．310．已知在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别在棱PA ，PB ，PC 上，若PE ＝4，PF ＝PD ＝2，则点P 到平面DEF 的距离为（）A 2B ．42211C D ．311．我国古代数学家刘徽在其《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题及二次测望方法：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末三合.问岛高及去表各几何?这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年，其大意为：测量望海岛PQ 的高度及海岛离岸距离，在海岸边立两根等高标杆,AB CD （,,PQ AB CD 共面，均垂直于地面），使目测点E 与P 、B 共线，目测点F 与P 、D 共线，测出AE CF AC 、、，即可求出岛高PQ 和EQ 的距离（如图）.若,,,AB CD r AE a CF b EF d =====，则PQ =（）A ．drb a-B ．dr b a+C ．dr a b-D ．()d a r b a-+12．如图，在棱长为2的正四面体ABCD 中，点N ，M 分别为ABC 和ABD △的重心，P 为线段CM 上一点．（）A ．AP BP +的最小为2B ．若DP ⊥平面ABC ，则4CP CM= C ．若DP ⊥平面ABC ，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为92πD ．若F 为线段EN 的中点，且DP MF ∥，则25MP MC =二、填空题13．已知向量()2,3a =- ，()3,b m = ，且a b ⊥ ，则m =________.14．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin sin )()(sin sin )a A C b c B C -=-+，3b =，则ABC 的周长的最大值是______.15．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．16．已知在三棱锥P －ABC 中，PA ＝4，BC =PB ＝PC ＝3，PA ⊥平面PBC ，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积是________.三、解答题17．根据要求完成下列问题：(1)关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围；(2)若复数22(2)(23)i z m m m m =+-+--（R m ∈）的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．18．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2,cos n a c C =- 与(),cos m b B =共线.(1)求B ：(2)若2BD D C =，且1CD =，AD =，求ABC 的面积.19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边三角形，112AB AD CD ===，90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱上一点，且2CM MP = .(1)求证：AP ∥平面MBD ；(2)求二面角M －BD －C 的余弦值.20．第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a ，b 的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1）；(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．21．如图所示，在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB AE ==.(1)当2BC =时，求CD ；(2)当五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣时，求BC 的取值范围.22．已知梯形ABCD 中，224CD CB BA ===，90ABC BCD ∠=∠= ，E 为线段CD 上一点（不在端点），沿线段AE 将ADE 折成AD E ' ，使得平面BD E '⊥平面ABC .(1)当点E 为CD 的中点时，证明：平面AD E '⊥平面CD E '；(2)若AD '与平面BD E '求平面D AE '与平面D BC '所成的锐二面角的余弦值.高一数学（理）期末备战试题3参考答案1．B2．B3．C4．B5．D6．B7．C8．C9．D10．B11．A12．D13．24．915．22⎝⎭16．43π17．(1)1a =±(2)312（，）【解析】(1)设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax a x ⎧++=⎨+=⎩，解得1a =±；(2)由题意得22(2)(23)i z m m m m =+----，∴2220(23)0m m m m ⎧+->⎨--->⎩，即2220230m m m m ⎧+->⎨--<⎩，解得312m <<，故实数m 的集合为3(1,)2.18．(1)3π【解析】(1)解：在ABC 中，A B C π++=，因为向量n 与向量m共线，则()2cos cos a c B b C -⋅=⋅，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B C -⋅=⋅，所以，()2sin cos sin sin A B B C A ⋅=+=，A 、()0,B π∈，则sin 0A >，所以，1cos 2B =，因此，3B π=.(2)解：2BD DC =，且1CD =，AD =，2BD ∴=，3BC =，在ABD △中，由余弦定理有2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，即27422cos3AB AB π=+-⨯，即2230AB AB --=，0AB > ，解得3AB =，所以，11sin 922ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯△19．【解析】(1)连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH .由90BAD ADC ∠=∠=︒，得AB CD ∥，12AB AH CD HC ==，又12PM MC =，则AH PMHC MC=，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD ＝CD ，∴PO ⊥平面ABC D.以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为x 轴，建立空间直角坐标系，则()0,1,0D -，()0,0,3P ，1230,,33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，()0,1,0C ，1231,,33BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1,0BD =-- .设平面BDM 的法向量(),,n x y z = ，则1230330n BM x y z n BD x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=--=⎩，取x ＝1得231,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，平面BCD 的一个法向量()0,0,1m = .设二面角M －BD －C 的平面角为θ，则10cos 5m n m nθ⋅==⋅ .∴二面角M －BD －C 的余弦值为105.20．(1)0.005,0.025a b ==；(2)估计平均数为69.5，第60%分位数为71.7；(3)25.【解析】(1)()()20.0450.0201010.0450.020100.7a b a ⎧+++⨯=⎪⎨++⨯=⎪⎩，解得：0.0050.025a b =⎧⎨=⎩，所以0.005,0.025a b ==；(2)500.00510600.02510700.04510800.02010900.0051069.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；前两组志愿者的频率为()0.0050.025100.30.6+⨯=<，前三组志愿者的频率为()0.0050.0250.045100.750.6++⨯=>，所以第60%分位数落在第三组志愿者中，设第60%分位数为x ，则()650.0450.60.3x -⨯=-，解得：71.7x ≈，故第60%分位数为71.7(3)第四、第五两组志愿者的频率比为4:1，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a b c d ,,,，第五组志愿者人数为1，设为e ，这5人中选出2人，所有情况有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有()()()(),,,,,,,a e b e c e d e 共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为42105=21．(1)332；(2))3,33⎡⎣.120//901203060DEB CBE ∠=∠=︒，所以在ABE △中3AB AE ==，由余弦定理得2222cos12027BE AE AB AE AB =+-⋅︒=，∴33BE =，过C 点作CM BE ⊥于M ，可得33cos604BM BC =⋅︒=，∴3322CD BE BM =-=；(2)由193sin12024ABE S AB AE =⋅⋅⋅︒= ，又五边形ABCDE 的面积63,93S ⎡⎤∈⎣⎦，∴153273,44BCDE S ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，设BC x =，则()()1133333222BCDE S BE CD CM x x=⨯+⨯=⨯+-⨯，整理得2156327x x ≤-<，解得333x ≤<或3353x <≤，又2330DC BE BM x =-=->，即33x <，∴BC 的取值范围是)3,33⎡⎣.22．【解析】(1)当点E 为CD 的中点时，由题得AE CD ⊥，故AE ED ⊥'，AE EC ⊥， ED EC E ⋂='且都在平面CD E '中，故AE ⊥平面 CD E '.又AE ⊂平面AD E '，故平面AD E '⊥平面CD E'(2)如图过A 作AO BE ⊥交BE 于点O ，连D O '，则平面 BD E '⊥平面 ABC ，平面 BD E '⋂平面 ABC BE =，AO BE ⊥，AO ⊂平面 ABC ，故AO ⊥平面BD E'所以D O '是直线AD '在平面BD E '上的投影直线AD '与平面BD E '所成角即为直线AD '与直线D O '所成角，即为AD O∠'10sin 5AD O ∠'∴=，又22AD AD =='，∴在Rt AD O ' 中，45230,55AO D O '==，∴在Rt ABO 中，25sin 5ABO ∠=，则tan tan 2BEC ABO ∠∠==251,5CE BO ∴==5BE ∴=，355EO =352303555cos cos 3D EB D EO ∠∠''∴==2BD ∴'=，则BD BE'⊥所以平面 BD E '⊥平面ABC ，平面BD E 'I 平面ABC BE =，BD BE '⊥，BD '⊂平面BD E '，故BD '⊥平面ABC 法1：由上易证AB ⊥平面,BCD CE '⊥平面BCD '所以BCD ' 是AED '△的投影三角形设平面D AE '与平面D BC '所成的锐二面角为θ则2cos 3BCD AED S S θ''== 法2：分别取AD AB '､的中点M N ､，连接,,MN EM EN 易证平面EMN ∥平面CD B'所以平面D AE '与平面D BC '所成的锐二面角即为二面角A EM N --所成角由上可得AN ⊥平面EMN ，且可得EMN 中，1,5,2MN EM EN ===AEM △中，2,5,5AM EM AE ===过N 作NH EM ⊥交EM 于点H ，连AH 由AN ⊥平面EMN ，且NH ⊂面EMN所以AN EM ⊥又NH EM ⊥，可证EM ⊥面AHN 所以AH EM⊥所以AHN ∠为二面角A EM N --的平面角在Rt AHN 中，2535,1,55HN AN AH ===所以2cos 3HN AH θ==。
2023-2024学年安徽省六安一中高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年安徽省六安一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为纯虚数，则复数z的共轭复数为()A. B.2024i C. D.2025i2.已知向量，若，则()A. B. C.1 D.23.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A.，，B.，，C.，，D.，，4.某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同.甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为()A. B. C. D.5.已知样本数据，，，…，的平均数为x，方差为，若样本数据，，，…，的平均数为，方差为，则平均数()A.1B.C.2D.6.已知，，，则M到直线AB的距离为()A. B. C.1 D.7.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的正弦值是()A. B. C. D.8.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，其中底面ABCD，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》以下简称《宣言》承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所示：经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的倍，预计该地区()A.2030年煤的消费量相对2020年减少了B.2030年天然气的消费量是2020年的5倍C.2030年石油的消费量相对2020年不变D.2030年水、核、风能的消费量是2020年的倍10.下列对各事件发生的概率判断正确的是()A.某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是11.如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内包括边界的动点，则下列结论正确的是()A.不存在点P，使平面B.三棱锥的体积为定值C.若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为D.若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年安徽省合肥168中学高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年安徽省合肥168中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设平面向量，点，则点B的坐标为()A. B. C. D.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则()A. B. C. D.4.现有甲、乙两组数据.甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为()A. B. C. D.5.如图，三棱柱中，E，F分别为，中点，过A，E，F作三棱柱的截面交于M，且，则的值为()A.B.C.D.16.如图，设，且，当时，定义平面坐标系xOy为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设是分别与x轴，y轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是()A.设，若，则B.设，则C.，若，则D.设，若与的夹角为，则7.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论错误的是() A.B.若，则为直角三角形C.若为锐角三角形，则的取值范围为D.若为锐角三角形，的最小值为18.如图，在矩形ABCD中，，，M为AB的中点，将沿DM翻折.在翻折过程中，当二面角的平面角最大时，其正弦值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z满足，则下列结论正确的是()A. B.C.的最大值为2D.10.在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有()A.已知且B.已知且C.已知且D.已知且11.已知正方体的棱长为2，棱AB，BC的中点分别为E，F，点G在底面上，且平面平面，则下列说法正确的是()A.若存在，使得，则B.若，则平面C.三棱锥体积的最大值为3D.二面角的余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年河北省邯郸市涉县一中高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年河北省邯郸市涉县一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第四象限C.实轴上D.虚轴上2.若数据，，，的方差是2024，则数据，，，的方差为()A.2529B.506C.2023D.10123.在平行四边形ABCD中，E为BD的中点，F为BC上一点，则()A. B. C. D.4.如图，在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若直线EH，GF相交于点P，则下列结论错误的是()A.点P必在平面ABD内B.点P必在平面CBD内C.点P必在直线BD上D.直线FG与直线BD为异面直线5.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是()A. B. C. D.6.设m，n是不同的直线，，是不同的平面，且m，，则“且”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.在一次数学智力测验中，将100名参赛者的成绩进行分组整理后得到如下频率分布直方图每组为左闭右开的区间，根据此频率分布直方图，下列结论正确的是()A.这100名学生中成绩在内的频率为B.这100名学生中成绩在内的人数为14C.这100名学生的平均成绩为同一组中的数据用该组区间的中点值代表D.这100名学生成绩的中位数为758.17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足时，点P到三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点.根据以上知识，已知在中，，，，P为内一点，则的最小值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年安阳市一中高一数学(下)期末考试卷附答案解析
2023-2024学年安阳市一中高一数学（下）期末考试卷全卷满分150分．考试用时120分钟．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（）A ．3个都是正品B ．至少有一个是次品C ．3个都是次品D ．至少有一个是正品2．已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列结论中正确是（）A ．若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面有无数多个B ．若平面α//平面β，直线m ⊂α，点M ∈β，则过点M 有且只有一条直线与m 平行C ．若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行D ．若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有且只有一个4．ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量(),p a c b =+ ，(),q b a c a =+-.若//p q →→，则角C 的大小为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．2π5．已知向量,a b 不共线，且c a b λ=+ ，()21b d a λ=+- ，若c 与d同向共线，则实数λ的值为（）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-6．已知三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，AB =4，BC =3，5CD =，BD =7，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．196π3B ．244π3C ．196π5D ．244π57．从甲队30人､乙队20人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（）A ．0.8B ．0.675C ．0.82D ．0.748．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，30A =︒，则ABC 面积的最大值为（）A ．B ．C ．3D ．2+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A ：甲骰子点数为奇数，事件B ：乙骰子点数为偶数，事件C ：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（）A ．事件A 与事件B 对立B ．事件A 与事件B 相互独立C ．事件A 与事件C 相互独立D ．()()P C P AB =10．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点,P Q ，满足20PA PC += ，2QA QB =，记APQ △的面积为S ，则下列说法错误的是（）A ．PB //CQB ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =11．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且23cos 3cos b C c B a +=，则下列说法正确的是（）A ．若2BC A +=，则ABC 的外接圆的面积为3πB ．若π4A =，且ABC 有两解，则b 的取值范围为⎡⎣C ．若2C A =，且ABC 为锐角三角形，则c 的取值范围为(D ．若2A C =，且sin 2sin B C =，O 为ABC 的内心，则AOB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知a ，b 是单位向量，且12a b ⋅= ，则向量2a b -与2b a - 的夹角为．13．如图，A B C ''' 是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D ¢是B C ''的中点，且//A D y '''轴，//B C x '''轴，1A D ''=，2B C ''=，则ABC 的面积为．14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为2．以11A D 11B BCC 的交线长为．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，1PD AD ==，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：MD PN ⊥；（2）当N 为线段BC 的中点时，求三棱锥A MND -的体积．16．某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：[)[)[)[)[)[)[)65,75,75,85,85,95,95,105,105,115,115,125,125,135，[)135,145，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求第七组的频率；(2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从[)[)95,105,105,115的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率．17．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，2SA SB ==，E 、F 分别是SC 、BD 的中点.(1)求证：//EF 平面SAB ；(2)若二面角S AB D --的大小为π2，（ⅰ）求SA 与BD 所成角的余弦值；（ⅱ）求直线SD 与平面ABCD 所成角的大小.18．如图，在平面四边形ABCD 中，2DC AD ==2BAD π∠=，6BDC π∠=．(1)若cos ABD ∠=ABD △的面积；(2)若C ADC ∠=∠，求BC ．19．定义向量(),OM a b =的“伴随函数”为.()sin cos f x a x b x =+；函数.()sin cos f x a x b x =+的“伴随向量”为(),.OM a b =(1)在OAB 中，已知()()6,33,3OA OB =-=-，，点M 为边AB 上的点，且13OM OA OB λ=+ ，求出向量OM的“伴随函数”()f x ，并直接写出()f x 的最大值M ；(2)已知向量22sin ,23cos ,12sin 222x x x a b ⎛⎫⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎭ ，，函数()f x a b =⋅ ，求函数()f x 的“伴随向量”OM的坐标；(3)已知1OM ON == ，向量OM ON、的“伴随函数”分别为()f x 、()g x ，设()0,0OP OM ON λμλμ=+>> 且OP 的“伴随函数”为()h x ，其最大值为m.求证：向量OM ON = 的充要条件为.m λμ=+1．D【分析】根据随机事件、不可能事件与必然事件的概念，对选项逐一分析判断是否为必然事件即可.【详解】因为所求事件的概率是1，所以该事件为必然事件，对于A ，因为可能发生任取出来的3个产品含有次品的情况，所以事件“3个都是正品”是随机事件，故A 错误；对于B ，因为可能发生任取出来的3个产品都是正品的情况，所以事件“至少有一个是次品”是随机事件，故B 错误；对于C ，因为次品的个数只有2个，所以事件“3个都是次品”是不可能事件，故C 错误；对于D ，因为次品的个数只有2个，所以任取出来的3个产品必然至少有一个是正品，即事件“至少有一个是正品”是必然事件，故D 正确.故选：D.2．D【分析】利用复数除法求出z ，即可判断.【详解】因为()()5i 1i 5i 64i32i 1i 22z +-+-====-+，所以点()3,2-位于第四象限.故选：D.3．B【分析】A.由异面直线的定义判断；B.由面面平行的性质定理判断；C.由直线与平面的位置关系判断；D.由面面垂直的判定定理判断.【详解】A.若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面只有一个，故错误；B.因为平面α//平面β，直线m ⊂α，点M ∈β，所以由平面的基本性质得，点M 与直线m 确定一个平面γ，且,m n γαγβ⋂=⋂=，由面面平行的性质定理得//m n ，M n ∈，所以过点M 有且只有一条直线与m 平行，故正确；C.若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行或在平面α内，故错误；D.若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有无数个，故错误；故选：B 4．C【分析】因为//p q →→，所以()()()0a c c a b b a +--+=，再根据余弦定理化简即得解.【详解】因为//p q →→，所以()()()0a c c a b b a +--+=，所以2222220,c a b ab a b c ab ---=∴+-=-，所以12cos ,cos ,2ab C ab C =-∴=-0C π<< ，所以23C π=.故选：C 5．A【分析】由共线定理可知存在()0μμ>使得c d μ=，然后由平面向量基本定理可得.【详解】因为c 与d 同向共线，所以存在()0μμ>使得c d μ=，即()()2121a b a b a b λμλμμλ⎡⎤+=+-=+-⎣⎦，又向量,a b 不共线，所以()121λμμλ=⎧⎨=-⎩，解得12λ=-（舍去）或1λ=.故选：A 6．B【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出BCD △的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【详解】如图，设BCD △的外心为M ，过M 作底面的垂线MO ，使12MO BA =，则O 为三棱锥的外接球的球心，在BCD △中，由BC =3，5CD =，BD =7，得2223571cos 2352BCD +-∠==-⨯⨯，故sin 2BCD ∠=，设BCD △的外接圆的半径为r ，则r =，2OM =，∴22226123OB R =+==．∴三棱锥外接球的表面积为2612444π4ππ33R =⨯=．故选：B 7．C【分析】根据分层抽样的均值与方差公式计算即可.【详解】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取301063020⨯=+人，从乙队中抽取201043020⨯=+人，这人答对题目的平均数为()1614 1.5 1.210⨯⨯+⨯=，所以这人答对题目的方差为()][(){}221611 1.240.4 1.5 1.20.8210⎡⎤⨯⨯+-+⨯+-=⎣⎦，故选：C.8．D【分析】结合余弦定理及基本不等式，利用三角形面积公式求解即可.【详解】由余弦定理：222222cos 4a b c bc A b c =+-=+=，因为(22422b c bc bc =+≥=，当且仅当228b c ==+所以8bc ≤=+ABC面积(111sin 82244ABC S bc A bc ==≤⨯+=+ .即ABC面积的最大值为2.故选：D 9．BC【分析】对于A ，甲骰子点数为奇数，乙骰子点数为偶数，事件可以同时发生，由对立事件的概念可判断；对于B ，计算出()()()P A P B P AB ，，根据()()()P AB P A P B =可以判定两个事件是否相互独立；对于C ，计算出()()()P A P C P AC ，，根据()()()P AC P A P C =可以判定两个事件是否相互独立；对于D ，由前面可知()()P C P AB ，，即可判断是否相等.【详解】由题意，得1()2P A =，1()2P B =，61()366P C ==，对于A ，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A 与事件B 不互斥，故事件A 与事件B 不对立，故A 错误；对于B ，由题意知11331166C C 1()C C 4P AB ==，又111()()()224P A P B P AB =⨯==，故事件A 与事件B 相互独立，故B正确；对于C ，31()3612P AC ==，又111()()()2612P A P C P AC =⨯==，故事件A 与事件C 相互独立，故C 正确；对于D ，由上知，11()()64P C P AB =<=，故D 错误．故选：BC ．10．AC【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D.【详解】由20PA PC += ，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点，且B 为AQ的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点，所以PB 与CQ 不平行，故A 错误；对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+ ,故B 正确；对于C ，cos π0PA PC PA PC PA PC ⋅==-<，故C 错误；对于D ，设ABC 的高为h ，132ABC S AB h == ，即6AB h =，则APQ △的面积1212226423233APQ S AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯= ，故D 正确；故选：AC 11．ACD【分析】先由正弦定理得到3a =，选项A ，求出π3A =，进而由正弦定理得到ABC 的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到2209c b +-=，将其看做关于c 的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b 的取值范围；C 选项，由正弦定理结合3a =得到6cos c A =，再根据ABC 为锐角三角形得到ππ64A <<，从而得到c 的取值范围；D 选项，由正弦定理得到2b c =，sin 32sin C C =，结合三角恒等变换得到23cos 4C =，从而得到π6C =，π3A =，π2B =，由3a =求出b c ==角形性质得到内切圆半径，进而求出AOB 的面积.【详解】因为23cos 3cos b C c B a +=，所以由正弦定理，得3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=，即()3sin sin B C a A +=，因为πA B C ++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以3a =.选项A ：若2B C A +=，则π3A =，所以ABC的外接圆的直径2sin aR A==，所以R =所以ABC的外接圆的面积为2π3π⨯=，选项A 正确；选项B ：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得229b c =+，将此式看作关于c的二次方程2209c b +-=，由题意得此方程有两个正解，故()222900)490b b ⎧->>-->⎪⎩，解得b (∈，所以选项B 错误；选项C ：由正弦定理，得sin sin 2a cA A=，即2cos c a A =，因为3a =，所以6cos c A =，因为ABC 为锐角三角形，所以π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，所以ππ64A <<，所以(6cos c A =∈，故选项C 正确；选项D ：因为sin 2sin B C =，由正弦定理得2b c =，因为2A C =，所以()sin sin sin 3B A C C =+=，所以由正弦定理sin sin b c B C =，得2sin 3sin c cC C=，即sin 32sin C C =，所以sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=，即222sin cos 2cos sin sin 2sin C C C C C C +-=，所以222cos 2cos 3C C +=，所以23cos 4C =，又因为2A C =，所以π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π6C =，π3A =，解得π2B =，因为3a =，所以tan 30cos30ab c a ===︒=︒，即ABC 是直角三角形，所以内切圆的半径为()13322r a c b =+-=，所以AOB的面积为11332224S cr ==⨯，选项D 正确.故选：ACD.【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.12．2π3【分析】由题意，分别计算出向量2a b - 与2b a - 的模及两者的数量积，代入公式即可求得两向量夹角的余弦，从而得出两向量的夹角．【详解】|2|a b -===，同理|2|b a -= ，()()2252252222223a b b a a b a b -⋅-=⋅--=--=- ，()()32212cos 2,2222a b b a a b b a a b b a--⋅---==--⋅- ，由向量夹角的范围为[]0,π，所以向量2a b -与2b a - 的夹角为2π3.故答案为：2π313．2【分析】根据题意，结合斜二测画法的规则，得到水平放置的ABC 的直观图，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】根据斜二测画法的规则，可得水平放置的ABC 的直观图，如图所示，因为//A D y '''轴，//B C x '''轴，且1A D ''=，2B C ''=，可得22BC AD ==，，且AD BC ⊥，所以ABC 的面积为122S BC AD ==.故答案为：2.142π2【分析】根据题意，由条件可得球与侧面的交线为一段圆弧，即可得到结果.【详解】取1BB 中点E ，1CC 中点F ，11B C 中点G ，11A D 中点O ，由题意可得，21215AE D F ==+=，()2516OE OF =+=在平面11B BCC 内取一点P ，使得2GP =()22226OP +，且2GE GF =11A D 6为半径的球面与侧面11B BCC 的交线是以G 为圆心，2EPF ，且1145B GE C GF ∠=∠=︒，则90EGF ∠=︒，则圆弧EPF 的长为122π2π42⨯.故答案为：2π2.15．（1）证明见解析；（2）112．【分析】（1）通过证明MD ⊥平面PBC ，可证MD PN ⊥；（2）根据A MND M ADN V V --=，利用棱锥的体积公式可求出结果.【详解】（1）证明：PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC PD ⊥，又,BC DC PD DC D ⊥⋂=，PD 、DC ⊂平面PDC ，∴BC ⊥平面PDC ，又MD ⊂平面PDC ，∴MD BC ⊥，在Rt PDC 中，PD DC =，M 为PC 的中点，∴MD PC ⊥，∵PC BC C ⋂=，PC 、BC ⊂平面PBC ，∴MD ⊥平面PBC ，∵PN ⊂平面PBC ，∴MD PN ⊥．（2）1111111113232212A MND M ADN ADN V V S PD --==⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=△．【点睛】关键点点睛：（1）中，通过证明MD ⊥平面PBC 得到MD PN ⊥是解题关键；（2）中，转化为求M ADN V -是解题关键.16．(1)0.080(2)102分(3)35.【分析】（1）根据各组的频率和为1求解即可；（2）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解；（3）利用分层抽样的定义结合已知条件求出从[)[)95,105,105,115的所抽取的人数，然后利用列举法求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.080-++++++⨯=；（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：700.00410800.01210900.016101000.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+1100.02010⨯⨯+1200.006101300.008101400.00410102⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（分）；（3）由频率分步直方图可知[)95,105的频数为[)5000.03010150,105,115⨯⨯=的频数为5000.02010100⨯⨯=，所以两组人数比值为3:2，按照分层抽样抽取5人，则在[)[)95,105,105,115分别抽取3人和2人，记[)95,105这组三人的编号为[),,,105,115A B C 这组两人的编号为,a b ，故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C C B A a A b B a B b C a C b a b设事件M =“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”则()()()()()(){},,,,,,,,,,,M A a A b B a B b C a C b =，共6种情况．故()63105P M ==，即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为35．17．(1)证明见解析(2)28；60 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明//EF SA ，即可证明；（2）（ⅰ）根据（1）的结果，转化为求EF 与BD 所成角的余弦值，利用图形的几何性质，结合余弦定理，即可求解；（ⅱ）根据线面角的定义，构造线面角，即可求解.【详解】（1）如图，因为点F 是正方形ABCD 的对角线BD 的中点，所以,,A F C 三点共线，连结AC ，点F 是对角线,AC BD 的交点，所以F 是AC 的中点，E 是SC 的中点，所以//EF SA ，EF ⊄平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以//EF 平面SAB（2）（ⅰ）连结BE ，若二面角S AB D --的大小为π2，则平面SAB ⊥平面ABCD ，且平面SAB 平面ABCD AB =，BC AB ⊥，且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，所以BC SB ⊥，又因为2,1SB BC ==，所以SC =12BE SC ==又112EF SA ==，1222BF BD ==，异面直线SA 与BD 所成的角为EF 与BD 所成的角，为BFE ∠或其补角，BEF △中，2222cos 28BF EF BE BFE BF EF +-∠=⨯⨯，所以异面直线SA 与BD ；（ⅱ）取AB 的中点O ，连结SO ，因为SA SB =，所以SO AB ⊥，所以SO ⊥平面ABCD ，连结OD ，SDO ∠为直线SD 与底面ABCD 所成的角，因为底面边长为1，2SA SB ==，所以2SO =,OD ==tan SO SDO OD∠=,所以60SDO ∠= .所以直线SD 与平面ABCD 所成角的大小为60 .18．(1)【分析】（1）根据cosABD ∠=tan ABD ∠，再结合AD =（2）设ADB θ∠=，再在BCD △中利用正弦定理得出关于θ的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可【详解】（1）由cosABD ∠=tanABD ∠==又AD =tan AD AB ABD ==∠，故12ABD S AB AD =⋅= （2）设ADB θ∠=，则22cos BD θ=，6C πθ∠=+，在BCD △中，由正弦定理可得sin sin BD DC C DBC =∠，即42cos 2sin sin 63θππθθ=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，交叉相乘化简得2sin 2cos sin 36ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin sin cos 3πθθθθ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭，利用降幂公式有11sin 2cos 2322πθθθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，利用辅助角公式有1sin sin 2362ππθθ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故21sin sin 23322πππθθ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用诱导公式可得2211sin cos 22sin 33232πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故212sin sin 0332ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又sin 03πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，解得1sin 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin sin 63BCπθ=- ⎪⎝⎭，故sin 3BC πθ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭19．(1)()4sin 3cos f x x x =-，5M =(2)()2(3)证明见解析【分析】（1）根据题意写出伴随函数，并用辅助角公式整理成正弦型函数，求出最大值；（2）由三角恒等变换得到()2cos f x x x =+，从而求得“伴随向量”坐标；（3）设()()cos ,sin cos ,sin OM ON ααββ==，，则()()sin sin OP x x λαμβ=+++ ，先证明充分性，再证明必要性.【详解】（1）因为点M 为边AB 上的点，且13OM OA OB λ=+，则23λ=即得，()()()122,12,24,333OM OA OB =+=-+-=-由题意得，()4sin 3cos f x x x =-，因()4sin 3cos 5sin()f x x x x ϕ=-=-，其中3tan 4ϕ=，因x ∈R ，故5M =.（2）因()2cos 212sin 2cos 222x xx f x a b x x ⎛⎫=⋅=-+-=+ ⎪⎝⎭ ，故函数()f x 的“伴随向量”为()OM =.（3）设()()cos ,sin cos ,sin OM ON ααββ== ，，因为()cos cos ,sin sin OP OM ON λμλαμβλαμβ=+=++ 所以()()()cos cos sin sin sin cos h x x xλαμβλαμβ=+++()()cos sin sin cos cos sin sin cos x x x x λααμββ=+++=sin(+)+sin(+)x x λαμβ下证充分性：因()=sin(+)+sin(+)+h x x x λαμβλμ≤，当且仅当存在0x 使得：0102π2π2π2π2x k x k αβ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩时，m λμ=+成立，其中12Z k k ∈，，所以()122πk k αβ-=-，则()122πk k αβ=+-，12,Z k k ∈，于是cos cos ,sin sin αβαβ==，故有，OM ON = ；再证必要性：当OM ON = 时，2πZ k k αβ=+∈，，所以()()()()()sin sin sin h x x x x λαμβλμαλμ=+++=++≤+，当且仅当π2πZ 2x k k α+=+∈，时，等号成立，故有，m λμ=+.综上：向量OM ON = 的充要条件为.m λμ=+【点睛】关键点点睛：本题主要考查由函数新定义引出的平面向量与三角恒等变换的综合问题，属于难题.解题的关键在于，要熟练掌握向量和三角函数知识，依题设出伴随向量，()cos cos ,sin sin OP λαμβλαμβ=++ ，求出伴随函数()=sin(+)+sin(+)h x x x λαμβ，再根据函数的值域要求进行探究，先证明充分性，再证明必要性即可.。
高中数学：2022-2023学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷(含参考答案)
2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知复数z 在复平面内对应的点是（0，1），则1+iz=（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i2．（3分）某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为（ ） A ．46B ．49C ．50D ．513．（3分）已知向量a →=(2，2)，b →=(1，−1)，则（ ） A ．a →=−2b →B ．a →=2b →C ．a →∥b →D ．a →⊥b →4．（3分）已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α B ．若m ∥β，m ∥α，则α∥β C ．若m ⊥n ，n ⊂β，则m ⊥βD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β5．（3分）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：A i ＝“正面向上的硬币数为i ”，其中i ＝0，1，2，3，B ＝“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 0与B 相互独立 B ．A 3与B 对立 C ．P （A 2）＝2P （B ）D ．A 1+A 2＝B6．（3分）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P ﹣ABC 中，AB 为底面圆的直径，C 在底面圆周上且为弧AB̂的中点，则异面直线PB 与AC 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．（3分）已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，x 1，x 2是f （x ）的两个零点，若x 2＝4x 1，则下列为定值的量是（ ）A．φB．ωC．φωD．ω+φ8．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱A1D1上的一个动点，若PA=√10，PD=√2，则三棱锥P﹣ABD外接球的表面积是（）A．144πB．36πC．9πD．6π二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）（多选）9．（3分）下列等式成立的是（）A．sin26°﹣cos26°＝cos12°B．sin6°−cos6°=−√2sin39°C．4sin15°sin75°＝1D．√3−tan15°1+√3tan15°=1（多选）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐．据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”．某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图．同比第一季度，下列说法正确的是（）A．今年商品A的营收是去年的4倍B．今年商品B的营收是去年的2倍C．今年商品C的营收比去年减少D．今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变（多选）11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使点A到达点A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C为90°．若M、N分别为A′B、CD的中点，则（）A ．BE ⊥A ′NB ．MN ∥平面A ′DEC ．平面A ′BE ⊥平面A ′DED ．点C 到平面A ′DE 的距离为√303（多选）12．（3分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 满足BE →=2ED →．若∠BAE ＝∠DAE ＝20°，则（ ） A ．|AB →|=2|AD →| B ．AE →=13AB →+23AD →C ．∠ABC ＝20°D ．∠DAC ＝70°三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）函数f （x ）＝sin2x 的最小正周期为 ．14．（3分）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离．已知甲在某处静止不动，乙在点A 时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A 点走到点B ，当乙在点B 时，显示与甲之间的距离为600米，若A ，B 两点间的距离为500米，则乙从点A 走到点B 的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为 米．15．（3分）已知一组样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为5，且满足x 1+x 2+x 3+x 4＝4x 5，则样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5+5的方差为 ．16．（3分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠B =π2，AB ＝BB 1＝BC ＝1，P 、Q 分别为线段AC 1、AA 1的动点，则△B 1PQ 周长的最小值是 ．四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）记a →、b →、c →为平面单位向量，且|a →−b →|=1． （1）求〈a →，b →〉；（2）若a →⋅c →=12，求|2c →−a →|．18．（8分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为3，O 1是上底面A 1B 1C 1D 1的一个动点．（1）求三棱锥A﹣O1BC的体积；（2）当O1是上底面A1B1C1D1的中心时，求AO1与平面ABCD所成角的余弦值．19．（8分）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝1，点E为BC上一点，且AE⊥DE，过点D作DF⊥AB于点F，设∠BAE＝α，∠DAE＝β．（1）利用图中边长关系DF＝BE+CE，证明：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（2）若BE=CE=13，求sin2α+cos2β．20．（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值x，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．21．（10分）如图，在平面四边形ABCD 中，点B 与点D 分别在直线AC 的两侧，BC ＝CD ＝2． （1）已知AB ＝2，且AC ＝AD ，（i ）当cos ∠CAD =23时，求△ABC 的面积；（ii ）若∠ABC =2∠ADC ＞π2，求∠ABC ．（2）已知AD =√2AB ，且∠BAD =π4，求AC 的最大值．22．（10分）如图，在正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝2A 1B 1＝2AA 1，D ，E 分别为AA 1，B 1C 1的中点． （1）证明：DE ⊥平面BB 1C 1C ；（2）设P ，Q 分别为棱AB ，BC 上的点，且C 1，D ，P ，Q 均在平面α上，若△PBQ 与△ABC 的面积比为3：8，（i ）证明：BP =34BA ；（ii ）求α与平面ABB 1A 1所成角的正弦值．附：参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知复数z 在复平面内对应的点是（0，1），则1+iz=（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i【解答】解：∵复数z 在复平面内对应的点是（0，1），∴z ＝i ， ∴1+i z=1+i i=(1+i)(−i)i(−i)=−i−i 2−i 2=1﹣i ．故选：B ．2．（3分）某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为（ ） A ．46B ．49C ．50D ．51【解答】解：数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56共10个数， 因为10×0.8＝8，因此，该组数据的第80百分位数为49+512=50．故选：C ．3．（3分）已知向量a →=(2，2)，b →=(1，−1)，则（ ） A ．a →=−2b →B ．a →=2b →C ．a →∥b →D ．a →⊥b →【解答】解：向量a →=(2，2)，b →=(1，−1)， 对于A ，−2b →=(−2，2)，a →≠−2b →，A 错误； 对于B ，2b →=(2，−2)，a →≠2b →，B 错误；对于C ，由于2×（﹣1）≠2×1，即a →与b →不共线，C 错误； 对于D ，a →⋅b →=2×1+2×(−1)=0，因此a →⊥b →，D 正确． 故选：D ．4．（3分）已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α B ．若m ∥β，m ∥α，则α∥β C ．若m ⊥n ，n ⊂β，则m ⊥βD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α或n ⊂α，A 错误；对于B，平行于同一直线的两个平面可以平行，也可以相交，B错误；对于C，由直线与平面垂直的判断方法可得C错误；对于D，若m∥α，则平面α存在直线l，满足l∥m，由于m⊥β，则有l⊥β，必有α⊥β，故D正确．故选：D．5．（3分）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：A i＝“正面向上的硬币数为i”，其中i＝0，1，2，3，B＝“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）A．A0与B相互独立B．A3与B对立C．P（A2）＝2P（B）D．A1+A2＝B【解答】解：总的可能有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正），（反，反，反），故P(A0)=18，P(A1)=38，P(A2)=38，P(A3)=18，P(B)=34，而P（A0∪B）＝0，P(A0)⋅P(B)=332，故选项A错误；P(A3)+P(B)=78≠1，故选项B错误；2P（A2）＝P（B），故选项C错误；A1＝{（正，反，反），（反，正反），（反，反，正）}，A2＝{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}，B＝{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正）}，所以A1+A2＝B，故选项D正确．故选：D．6．（3分）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P﹣ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB̂的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：在直角圆锥P﹣ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，∠ACB＝90°， 则PA =PB =√22AB =AC =BC ，过点B 作BD ∥AC 交底面圆于点D ，连接PD ，AD ，如图，则∠PBD 是异面直线PB 与AC 所成角或其补角， 显然BD =√22AB =PB =PD ，即△PBD 是正三角形，所以∠PBD ＝60°，即异面直线PB 与AC 所成角的大小为60°． 故选：C ．7．（3分）已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，x 1，x 2是f （x ）的两个零点，若x 2＝4x 1，则下列为定值的量是（ ）A ．φB ．ωC ．φωD ．ω+φ【解答】解：函数f （x ）＝cos （ωx +φ），ω＞0的周期为2πω，令f （x ）＝0，可得ωx +φ=kπ+π2，k ∈Z ，所以x =kπ+π2−φω，即x =2kπ+π−2φ2ω，k ∈Z ， 又ω＞0，|φ|＜π2，所以0＜φ＜π2，x 1=π−2φ2ω，x 2=3π−2φ2ω，又x 2＝4x 1，所以3π−2φ2ω=4×π−2φ2ω，所以φ=π6．故选：A ．8．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱A1D1上的一个动点，若PA=√10，PD=√2，则三棱锥P﹣ABD外接球的表面积是（）A．144πB．36πC．9πD．6π【解答】解：令长方体ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，PD1＝x，于是{x2+ℎ2=2(4−x)2+ℎ2=10，解得x＝h＝1，在△P AD中，∠PDA＝∠DPD1＝45°，则△P AD外接圆半径r=12×PAsin45°=√102=√5，显然AB⊥平面P AD，因此三棱锥P﹣ABD外接球的球心O在线段AB的中垂面上，球心O到平面P AD的距离为d=12AB=2，则球半径R=√r2+d2=√5+4=3，所以三棱锥P﹣ABD外接球的表面积S＝4πR2＝36π．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）（多选）9．（3分）下列等式成立的是（）A．sin26°﹣cos26°＝cos12°B．sin6°−cos6°=−√2sin39°C．4sin15°sin75°＝1D．√3−tan15°1+√3tan15°=1【解答】解：对于A，sin26°﹣cos26°＝﹣（cos26°﹣sin26°）＝﹣cos12°，故A错误；对于B，sin6°−cos6°=√2(√22sin6°−√22cos6°)=√2(sin6°cos45°−cos6°sin45°)=√2sin(−39°)=−√2sin39°，故B正确；对于C，4sin15°sin75°＝4sin15°cos15°＝2sin30°＝1，故C正确；对于D，tan60°−tan15°1+tan60°tan15°=tan(60°−15°)=tan45°=1，故D正确．故选：BCD．（多选）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐．据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”．某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图．同比第一季度，下列说法正确的是（）A．今年商品A的营收是去年的4倍B．今年商品B的营收是去年的2倍C．今年商品C的营收比去年减少D．今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变【解答】解：设去年第一季度营收为a亿元，则今年第一季度营收为2a亿元，由扇形图可得：A款珍珠商品去年第一季度营收为0.1a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，A正确；B款珍珠商品去年第一季度营收为0.2a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，B正确；C款珍珠商品去年第一季度营收为0.5a亿元，则今年第一季度营收为0.8a亿元，C错误；因为商品B，D今年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，商品B，D去年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，所以今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，D正确．故选：ABD．（多选）11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使点A到达点A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C为90°．若M、N分别为A′B、CD的中点，则（）A．BE⊥A′NB．MN∥平面A′DEC．平面A′BE⊥平面A′DE D．点C到平面A′DE的距离为√30 3【解答】解：连接AN交BE于点O，连接A′O，取BE的中点F，连接FM、FN，对于A选项，在正方形ABCD中，因为AB＝DA，AE＝DN，∠BAE＝∠ADN＝90°，所以，Rt△ABE≌Rt△DAN，则∠ABE＝∠DAN，所以，∠DAN+∠AEB＝∠ABE+∠AEB＝90°，则∠AOE＝90°，即BE⊥AN，翻折后，则有BE⊥A′O，BE⊥ON，又因为A′O∩ON＝O，A′O、ON⊂平面A′ON，所以，BE⊥平面A′ON，因为A′N⊂平面A′ON，所以，BE⊥A′N，A对；对于B选项，因为M、F分别为A′B、BE的中点，所以，MF∥A′E，因为MF⊄平面A′DE，A′E⊂平面A′DE，所以，MF∥平面A′DE，因为DE∥BC，BC＝2DE，则四边形BCDE为梯形，又因为F、N分别为BE、CD的中点，所以，FN∥DE，因为FN⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，则FN∥平面A′DE，因为MF∩FN＝F，MF、FN⊂平面FMN，则平面FMN∥平面A′DE，因为MN⊂平面FMN，故MN∥平面A′DE，B对；对于C选项，因为AO⊥BE，且AB＝2，AE＝1，∠BAE＝90°，所以，BE =√AB 2+AE 2=√22+12=√5，所以，AO =AB⋅AE BE =2×15=2√55， 则A ′O =2√55， 在Rt △ADN 中，cos ∠DAN =ADAN =AD √AD +DN =25=2√55，所以，OD =√OA 2+AD 2−2OA ⋅ADcos∠DAN =√45+4−2×2√55×2×2√55=2√105，因为平面A ′BE ⊥平面BCDE ，平面A ′BE ∩平面BCDE ＝BE ，A ′O ⊥BE ， A ′O ⊂平面A ′BE ，所以，A ′O ⊥平面BCDE ， 因为OD ⊂平面BCDE ，所以，A ′O ⊥OD ，所以，A ′D =√A′O 2+OD 2=√45+85=2√155，且BD =√BC 2+CD 2=√4+4=2√2，翻折前，AB ⊥AE ，翻折后，A ′B ⊥A ′E ，若平面A ′BE ⊥平面A ′DE ，且平面A ′BE ∩平面A ′DE ＝A ′E ，A ′B ⊂平面A ′BE ， 所以，A ′B ⊥平面A ′DE ，因为A ′D ⊂平面A ′DE ，则A ′B ⊥A ′D ， 事实上，A ′B ＝2，A ′D =2√155，BD =2√2，则A ′B 2+A ′D 2≠BD 2， 即A ′B 、A ′D 不垂直，假设不成立，故平面A ′BE 与平面A ′DE 不垂直，C 错； 对于D 选项，因为S △CDE =12CD ⋅DE =12×2×1=1，且A ′O ⊥平面BCDE ，所以，V A′−CDE =13S △CDE ⋅A′O =13×1×2√55=2√515，在△A ′DE 中，A ′E ＝DE ＝1，A ′D =2√155， 由余弦定理可得cos ∠A ′ED =A′E 2+DE 2−A′D 22A′E⋅DE =1+1−1252×12=−15， 所以，sin ∠A ′ED =√1−cos 2∠A′ED =√1−(−15)2=2√65，所以，S △A′ED =12A′E ⋅DEsin∠A′ED =12×12×2√65=√65，设点C 到平面A ′ED 的距离为d ，由V C ﹣A ′ED ＝V A ′﹣CDE ，即13S △A′ED ⋅d =2√515，所以，d =2√55S △A′ED=2√5556=√303，D 对． 故选：ABD ．（多选）12．（3分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 满足BE →=2ED →．若∠BAE ＝∠DAE ＝20°，则（ ） A ．|AB →|=2|AD →| B ．AE →=13AB →+23AD →C ．∠ABC ＝20°D ．∠DAC ＝70°【解答】解：在△ABC 中，D 为BC 的中点，BE →=2ED →，∠BAE ＝∠DAE ＝20°，如图，对于A ，AB AD=12AB⋅AEsin∠BAE 12AD⋅AEsin∠DAE =S △ABE S △ADE=BE DE=2，有|AB →|=2|AD →|，A 正确；对于B ，AE →=AB →+BE →=AB →+23BD →=AB →+23(AD →−AB →)=13AB →+23AD →，B 正确；对于D ，过C 作CF ∥AD 交BA 的延长线于F ，由D 为BC 的中点，得AD 是△BCF 的中位线， 则CF ＝2AD ＝AB ＝AF ，于是∠DAC =∠ACF =∠CAF =12∠DAF =12(180°−40°)=70°，D 正确；对于C ，由选项D 知，∠EAC ＝90°，假定∠ABC ＝20°，则∠AEC ＝40°，AE =BE =12CE ，cos40°=cos ∠AEC =AE CE =12，与cos40°＞cos60°=12矛盾，因此∠ABC ≠20°，C 错误． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）函数f （x ）＝sin2x 的最小正周期为 π ． 【解答】解：函数f （x ）＝sin2x 的最小正周期为2π2=π，故答案为：π．14．（3分）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离．已知甲在某处静止不动，乙在点A 时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A 点走到点B ，当乙在点B 时，显示与甲之间的距离为600米，若A ，B 两点间的距离为500米，则乙从点A 走到点B 的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为 150√7 米．【解答】解：令甲的位置为点C ，如图，在△ABC 中，AC ＝400，AB ＝500，BC ＝600，由余弦定理得cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=5002+4002−60022×500×400=18，sinA=√1−cos2A=3√78，过C作CD⊥AB于D，所以所求距离的最小值为CD=ACsinA=400×3√78=150√7（米）．故答案为：150√7．15．（3分）已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为5，且满足x1+x2+x3+x4＝4x5，则样本数据x1，x2，x3，x4，x5+5的方差为9．【解答】解：由题意可得，数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为x=15(x1+x2+x3+x4+x5)=x5，方差s2=15[(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2+(x4−x)2+(x5−x)2]，又因为(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2+(x4−x)2=25，数据x1，x2，x3，x4，x5+5的平均数x′=15(x1+x2+x3+x4+x5+5)=x5+1，所以方差s′2=15[(x1−x−1)2+(x2−x−1)2+(x3−x−1)2+(x4−x−1)2+(x5−x−4)2]=15[(x1−x)2−2(x1−x)+(x2−x)2−2(x2−x)+(x3−x)2−2(x3−x)+(x4−x)2−2(x4−x)+(x5−x)2−8(x5−x)+20]=15[45−2(x1+x2+x3+x4+x5)+10x]＝9．故答案为：9．16．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B=π2，AB＝BB1＝BC＝1，P、Q分别为线段AC1、AA1的动点，则△B1PQ周长的最小值是√4+2√2．【解答】解：如下图所示：将面AB 1C 1、面AA 1C 1沿着AC 1延展为一个平面，将面AA 1B 1、面AA 1C 1沿着AA 1延展为一个平面，连接BB 1′， 此时，线段BB 1′的长即为△B 1PQ 周长的最小值，则AB 1=√AB 2+BB 12=√1+1=√2，AB ＝1，由于AB 1=AC =√2，B 1C 1＝CC 1，AC 1＝AC 1，则△AB 1C 1≌△ACC 1， 延展后，则四边形AA 1C 1B 1为矩形，因为AA 1＝A 1B 1′，AA 1⊥A 1B 1′，则△AA 1B 1′为等腰直角三角形，所以∠A 1AB 1'＝45°， 延展后，则∠B 1AB 1'＝135°，由余弦定理可得B 1B 1'=√AB 12+AB 1′2−2AB 1⋅AB 1′⋅cos135°=√2+2−2×√2×√2×(−√22)=√4+2√2．故答案为：√4+2√2．四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）记a →、b →、c →为平面单位向量，且|a →−b →|=1． （1）求〈a →，b →〉；（2）若a →⋅c →=12，求|2c →−a →|．【解答】解：（1）由已知|a →|=|b →|=1，且|a →−b →|=1，所以，|a →−b →|2=a →2−2a →⋅b →+b →2=2−2a →⋅b →=1，则a →⋅b →=12，所以，cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=12， 因为0≤〈a →，b →〉≤π，所以，〈a →，b →〉=π3；（2）由已知可得|a →|=|c →|=1，且a →⋅c →=12，所以|2c →−a →|=√(2c →−a →)2=√4c →2−4a →⋅c →+a →2=√4−4×12+1=√3．18．（8分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为3，O 1是上底面A 1B 1C 1D 1的一个动点． （1）求三棱锥A ﹣O 1BC 的体积；（2）当O 1是上底面A 1B 1C 1D 1的中心时，求AO 1与平面ABCD 所成角的余弦值．【解答】解：（1）如图所示，根据题意得： V A−O 1BC =V O 1−ABC =13⋅S △ABC ⋅ℎ=13×12×3×3×3=92．（2）如图所示，过点O 1做平面ABCD 的垂线，垂足为G ，易知G 为AC 中点， 故∠O 1AC 为AO 1与平面ABCD 所成线面角，又AG =12AC =12√AB 2+BC 2=3√22，AO 1=√AG 2+GO 12=3√62，所以AO 1与平面ABCD 所成角的余弦值为：cos ∠O 1AC =AGAO 1=3√22362=√33．19．（8分）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AD ＝1，点E 为BC 上一点，且AE ⊥DE ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，设∠BAE ＝α，∠DAE ＝β．（1）利用图中边长关系DF ＝BE +CE ，证明：sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β； （2）若BE =CE =13，求sin2α+cos2β．【解答】（1）证明：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝β，AD＝1，则DE＝sinβ，AE＝cosβ，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，∠DAF＝α+β，AD＝1，则DF＝sin（α+β），在Rt△ABE，Rt△ECD中，∠B＝∠C＝90°，∠CED＝∠BAE＝α，则BE＝sinαcosβ，CE＝cosαsinβ，依题意，四边形BCDF是矩形，则DF＝BC＝BE+CE，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．（2）解：由BE=CE=13及（1）知，sinαcosβ=cosαsinβ=13，则tanα＝tanβ，而α，β为锐角，即有α＝β，sin2α=23，又2α＝α+β＝∠BAD是锐角，于是cos2β=cos2α=√53，所以sin2α+cos2β=2+√5 3．20．（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值x，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知10（2a+0.025+0.045+0.020）＝1，解得a＝0.005，x=50×10×0.005+60×10×0.025+70×10×0.045+80×10×0.020+90×10×0.005=69.5，众数为70，因为前2组的频率和为10×0.005+10×0.025＝0.3＜0.5，前3组的频率和为10×0.005+10×0.025+10×0.045＝0.75＞0.5，所以中位数在第3组，设中位数为m，则0.3+0.045（m﹣65）＝0.5，解得m≈69.4，所以中位数为69.4．（2）记3名男生分别为A，B，C，记2名女生分别为a，b，则所有抽签的情况有：未中签AB，中签Cab；未中签AC，中签Bab；未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签BC，中签Aab；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共有10种情况，其中中签者中男生比女生多的有：未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共7种，所以中签者中男生比女生多的概率为7 10．21．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，BC＝CD＝2．（1）已知AB＝2，且AC＝AD，（i）当cos∠CAD=23时，求△ABC的面积；（ii）若∠ABC=2∠ADC＞π2，求∠ABC．（2）已知AD=√2AB，且∠BAD=π4，求AC的最大值．【解答】解：（1）（i）设AC＝x，在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD=2x2−42x2=23，解得x=√6，在△ABC中，AB＝BC＝2，则底边AC上的高ℎ=√AB2−(12AC)2=√4−32=√102，所以△ABC的面积S△ABC=12AC⋅ℎ=12×√6×√102=√152．（ii）设∠ADC＝θ，依题意，∠BAC=∠BCA=π2−12∠ABC=π2−θ，则AD＝AC＝2AB cos∠BAC＝4sinθ，CD＝2AD cos∠ADC＝8sinθcosθ＝2，即sin2θ=12，而π2＜2θ＜π，所以∠ABC=2θ=5π6．（2）连接BD，△ABD中，AD=√2AB，∠BAD=π4，由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcos π4=AB2+2AB2−2AB⋅√2AB⋅√22=AB2，则BD＝AB，∠ABD=π2，设∠CBD=α(0＜α＜π2)，在△BCD中，BC＝CD＝2，于是AB＝BD＝2BC cos∠CBD＝4cosα，在△ABC中，∠ABC=π2+α，由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC，则AC2=16cos2α+4−8cosα⋅2cos(π2+α)=16cos2α+4+16sinαcosα=8sin2α+8(cos2α+1)+4=8√2sin(2α+π4)+12≤8√2+12，当且仅当2α+π4=π2，即α=π8时取等号，所以当α=π8时，AC max=√4(1+√2)2=2+2√2，所以AC的最大值是2+2√2．22．（10分）如图，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1，D，E分别为AA1，B1C1的中点．（1）证明：DE⊥平面BB1C1C；（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且C1，D，P，Q均在平面α上，若△PBQ与△ABC的面积比为3：8，（i）证明：BP=34 BA；（ii）求α与平面ABB1A1所成角的正弦值．【解答】解：（1）延长AA1，BB1，CC1交于点S，因为AB＝2A1B1＝2AA1，所以三棱锥S﹣ABC为正四面体，连接SE并延长，分别交BC，BC1于点F，G，则G为等边△ABC的中心，连接AG，则AG⊥面SBC，所以SDSA=SESG=34，所以DE∥AG，所以DE⊥面SBC．（2）（i）证明：延长C1D，CA交于点H，若C1，D，P，Q均在平面α上，则H，P，Q共线，设AB＝2A1B1＝2AA1＝2，则AH＝1，过点A作AM∥BC，交PQ于点M，设BQ＝k，则CQ＝2﹣k，AM=2−k3，CQBC=k2，所以APBP=AMBQ=2−k3k，BPAB=3k2+2k，所以S△PBQ＝S△ABC•k2•3k2+2k，所以k2•3k2+2k=38，所以k＝1，所以点Q与点F重合，均为BC的中点，所以BPAB=3k2+2k=34，即BP=34AB．（ii）连接DP，C1Q，由题知DP∥C1Q，且DP=12，C1Q＝1，BC1＝HQ，21连接AB 1交DP 于点N ，易知B 1N ⊥DP ，且B 1N =34AB 1=3√34，DP ∥C 1Q ， V B 1−DPQ =V B ﹣DPQ ＝V Q ﹣BDP =316V Q ﹣ABS =332V S ﹣ABC =√216， HC 1＝HF =√254+34=√7， 所以d B−C 1Q =√7−14=3√32， 所以d Q ﹣DP =12d H−C 1Q =3√34， 所以S △DPQ =12•12•3√34=3√316， 所以13•3√316•d B 1−DPQ =√216， 所以d B 1−DPQ =√63，设平面α与平面ABB 1A 1所成角为θ，所以sin θ=√633√34=4√29， 所以平面α与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为4√29．。
高一下学期数学期末试卷含答案(共5套)
高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。
湖南省长沙市弘益高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学复习卷 - 副本
长沙市弘益高级中学高一期末数学复习卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设集合，，则()A. B. C. D.2.已知，则()A. B. C. D.3.已知，，，且，，则()A. B. C. D.4.已知角的终边经过点，则的值等于()A. B. C. D.5.在中，，，，则()A. B. C. D.6.幂函数的图象经过点，则函数是()A.偶函数，且在上是增函数B.偶函数，且在上是减函数C.奇函数，且在上是减函数D.非奇非偶函数，且在上是增函数7.已知，则的最小值为()A. B. C. D.8.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则()A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题有多项符合题目要求）9.为了解学生的身体状况，某校随机抽取了名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据单位：千克全部介于至之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则()A.频率分布直方图中的值为B.这名学生中体重不低于千克的人数为C.这名学生体重的众数约为D.据此可以估计概校学生体重的分位数约为10.在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有个小球，标号分别为，，，，乙盒中有个小球，标号分别为，，现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为的小球”，事件“取到标号为的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于”，则()A.事件与事件相互独立B.事件与事件互斥C. D.11.已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是()A. B.的最小正周期C. D.直线是图像的一条对称轴12.如图，为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于点，于点，则下列选项正确的是()A.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域为．14.在中，若，，，则．15.已知直线过点，并且倾斜角是直线的倾斜角的倍，则直线的方程是．16.若函数恰有个零点，则实数的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。