高中数学北师大版必修二 1.4.1公理1、公理2、公理3及应用 课件(39张)
方法二：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α， 又∵A∈a，B∈b，∴AB Ø α，即l Ø α. ∵c∥b，∴c，b确定一个平面β， 而B∈b，C∈c，∴BC Ø β，即l Ø β. ∴b，l Ø α，b，l Ø β，而b∩l＝B， ∴α与β重合，∴a，b，c，l共面．
方法归纳 解决点线共面问题的基本方法
类型三 [例3]
多线共点和多点共线问题
已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于 P，Q，R(如图)．求证：P，Q，R三点共线．
【证明】 方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又AB Ø 平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上． 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线． 方法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR， ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC Ø 平面APR，又∵Q∈直线BC， ∴Q∈平面APR.又Q∈α， ∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．
类型二 点、线共面问题 [例2] 已知一条直线与另三条互相平行的直线都相交，求 证：这四条直线共面．
【思路点拨】 可运用已有的平行或相交条件，先确定一个 平面，然后证明剩余元素也在这个平面内，或者由两组元素分别 确定平面，然后证明两平面重合．
【解析】 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c，l共面． 证明：方法一：如图，∵a∥b， ∴a，b确定一个平面α. 又∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴l上有两点A，B在α内，即直线l Ø α， ∴a，b，l共面． 即若a，l确定平面α，过l上一点B作b∥a，则b Ø α. 同理，过l上一点C作c∥a，则c也在a，l确定的平面内． ∴a，b，c，l共面．
跟踪训练 2 (1)下列表述中正确的是( ) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平 面β重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 (2)若点M在直线a上，a在平面α内，则M，α间的关系为 ________．
解析：(1)A，C，D不正确，B正确． (2)∵M∈a，a Ø α，∴M∈α. 答案：(1)B (2)M∈α
跟踪训练 1 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的 中点分别是E，F，各棱所在的直线中与直线EF异面的条数是 ( )
A．4
B．6
C．8
D．10
解析：方法一：与EF异面的直线有AD，A1D1，AA1，DD1， AB，CD，A1B1，D1C1，共8条． 方法二：正方体的12条棱中有BB1，BC，CC1，B1C1与EF共 面，其余8条棱都与EF异面． 答案：C
如果两个不重合的平 面有一个公共点，那 公理3 么它们有且只有一条 过该点的公共直线
若A∈α，A∈β，且α 与β不重合，则α∩β ＝l，且A∈l
3.公理1的推论 (1)一条直线和直线外一点确定一个平面． (2)两条相交直线确定一个平面． (3)两条平行直线确定一个平面．
4．′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线 与直线BC′是异面直线．
方法归纳 (1)判断空间直线、平面之间的位置关系要善于根据题意画出 示意图；充分发挥空间想象能力，再对位置关系作出判断． (2)对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，也指永 远不具备确定平面的条件．“分别位于两个平面内的直线”不一 定是异面直线，它们可能平行，也可能相交．
课堂探究 互动讲练 类型一 空间点、线、面的位置关系 [例1]
(1)如果a Ø α，b Ø α，l∩a＝A，l∩b＝B，l Ø β，那么α与β的位 α∩β＝l ； 置关系是________
(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，哪几条棱所在 的直线与直线BC′是异面直线？
【解析】 (1)如图，l上有两点A，B在α内，根据公理2， l Ø α，又l Ø β，则α∩β＝l.
位置关系 直线在平面 直线与 内(也称平面 平面的 经过直线) 位置关 系 相交 直线与 平面的 位置关 系 类型 公共点情况 有无数个公共点(这些公 共点的集合是该直线) 有且只有一个公共点 图形表示 符号表示 aØ α
a∩α＝A
平行
无公共点
a∥α
平面与 平面的 位置关 系
平行
无公共点
α∥β
相交
解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D. 答案：D
4．下面空间图形画法错误的是(
)
解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画． 答案：D
5．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线 上，这四点能确定________个平面．
解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果 这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个． 答案：1或4
有无数个公共点
α ∩β ＝ l
|自我尝试| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)四边形一定是平面图形．( × ) (2)两条相交直线确定一个平面．( √ ) (3)若直线l上有无数个点在平面α外，则直线l∥α.( × ) (4)若两个平面平行，则在两个平面内的直线一定没有公共 点．( √ )
2.空间图形的公理 文字语言 过不在一条直线上的 三点，有且只有一个 公理1 平面(即可以确定一个 平面) 如果一条直线上的两 点在一个平面内，那 公理2 么这条直线在此平面 内(即直线在平面内)
图形语言
符号语言 若A、B、C三点不共 线，则存在唯一一个 平面α使A∈α， B∈α，C∈α 若A∈l，B∈l， A∈α，B∈α，则lα
【课标要求】 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间 的位置关系，并能用图形语言和符号语言表示. 2.理解空间图形的三个公理，并能用符号表示. 3.能应用公理进行简单的证明．
自主学习 |新知预习|
基础认识
1．空间中点与直线、平面的位置关系 位置关系 符号语言 点A在直线a上 A∈a 点A在直线a外 A∉a 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α
2．如果a Ø α，b Ø α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的 是( ) A ．l Ø α B．l∉α C．l∩α＝A D．l∩α＝B
解析：∵l∩a＝A又a B∈α.∴l Ø α. 答案：A
Ø
α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且
(
3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是 ) A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面
1.4.1-2《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(1、2、3)》课件(北师大版必修2)
3.平面α ∩平面β =l,点A∈α ,B∈α ,C∈β ,且Cl,AB∩l=R,
过A、B、C三点确定平面γ ,则β ∩γ =(
(A)直线AC (C)直线CR (B)直线BC (D)以上∈AB,R∈l,又α∩β=l, ∴lβ,∴R∈β,R∈γ. 又C∈β,C∈γ,∴β∩γ=CR.
示平面， l表示直线，A、B、C表示点）
（1）若A∈l,A∈α ,B∈l,B∈α ，则l α ; （2）A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ,则α ∩β =AB； （3）若l α ,A∈l,则Aα ; （4）若A、B、C∈α ,A、B、C∈β ,且A、B、C不共线，则α
与β 重合.
则上述说法中正确的个数是__________.
将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这
四条线段所在直线是异面直线的有哪几对？ 【解析】还原为正方体如图所示，可判断AB 与CD异面，AB与GH异面，EF与GH异面.
4.（2010·湛江高一检测）正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别
是棱AA1与CC1的中点,则经过P、B、Q三点的截面是(
(A)邻边不相等的平行四边形 (B)菱形但不是正方形 (C)矩形 (D)正方形
)
【解题提示】画截面的关键在于画面与面的交线，交线只 要有两个公共点就能画出.画出截面后可计算边长判断其形状.
一、选择题（每题4分，共16分） 1.（2010·深圳高一检测）下列说法正确的是( (A)三点确定一个面 (B)四边形一定是平面图形 )
(C)梯形一定是平面图形
(D)两个平面有不在同一条直线上的三个交点 【解析】选C.由公理2知A错，B错.
3
8.如图所示，在正方体
ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是
2019-2020高中北师版数学必修2 第1章 §4 4.1 4.2 第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)课件PPT
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法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2 β，∴A∈β. 同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
点A在平面α内 点B在平面α外
图形表示
符号表示 A∉a B∈a A∈α B∉α
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直线与直线的 位置关系
直线与平面的 位置关系
平行 相交 平行 线在面内 线面相交
线面平行
a∥b _a_∩_b_＝__O__ a 与 b 异面
_a___α_ a_∩__α_＝__A__
_a_∥__α_
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[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝ B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉ AB，如图．
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三种语言的转换方法 1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语 言表示，再用符号语言表示. 2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚 线的区别.
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证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法 有：
1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平 面内，即用“纳入法”；
2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基 2．通过学习空间图
高中数学北师大版必修2配套课件：1.4空间图形的基本关系与公理
A在b上
D．任意两条直线不能确定一个平面 [答案] D
[解析]
由公理3得，两个不重合的平面有一个公共点，则
它们相交于过这一点的一条直线，因此有无数个公共点；若两 个平面重合，亦知也有无数个公共点，A正确；如果任意三点 共线，则四点共面，因此B正确；C满足公理3，正确；两条平
行或相交直线，可以确定一个平面，D是错误的．
[答案] ② [解析] 由已知得a与α相交，
空间点、线、面的位置关系
已知长方体 ABCD－A1B1C1D1， 如图所示， AC 与 BD 相交于点 M，则下列说法中正确的是( )
①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；
②直线AC与BD相交，直线AC与A1D1相交； ③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行； ④直线AC与平面A1B1C1D1异面； ⑤直线BC与A1B1异面．
作异面直线．
2．空间直线与平面的位置关系
无数个公共点 ，我们称这条直线在这个 (1)直线与平面有______________ 平面内；
一个公共点 ，称这条直线与这个平 (2)直线和平面只有______________
面相交． 没有公共点 ，称这条直线和这个平面平 (3) 直线和平面 ____________ 行．
要学习的内容．
1．空间两条直线的位置关系 没有公共点 ，这样的两 (1) 直线 a与b 在同一平面内，但 _____________ 条直线叫作平行直线； 只有一个公共点 ，这样的两条直线叫作相交 (2)直线a与b________________ 直线； 不同在任何一个平面内 ，这样的两条直线叫 (3)直线a与b______________________
[答案] (1)A∈a，B∈a (2)a α C∈α (3)D∉α b α
高中数学北师大版必修二：1.4 空间图形的基本关系与公理 课件
基本题型
证明点共线：证明这些 点同时在两相交平面内 证明线共点：先确定两 条直线交点，再证交点 在第三条直线上。 证明点共面或线共面： 先由一些元素确定一个 平面，再证另一些元素 也在这个平面内。
(2)
AB B
B A
l
l , A l A
l
思考2:请你用尺子做实验并回答以下 问题（分组讨论）
1、过一点有几个平面？ 2、过两点有几个平面？ 3、过三点有几个平面？
不共线三点确定一个平面
公理2 经过不在同一条直线上的三点,
有且只有一个平面。
O
D
M A B
C
平面的基本性质
公理1: 如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线上的 所有点都在这个平面内。 公理3:如果两个不重合的平面有 一个公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线 公理2:经过不在同一条直线上 的三点有且只有一个平面。 推论1:经过一条直线和这条直线 外的一点有且只有一个平面。 推论2: 经过两条相交直线有且 只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线有且 只有一个平面。
点评：证明线共点——先确定两条直线交点， 再证交点在第三条直线上。
探讨2：3个平面可将空间分成几部分？
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
• 例8、正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平 面BDC1交于O，AC、BD交于点M． • 求证：点C1、O、M共线．
D1 C1 B1
A1
B A
王新敞
奎屯 新疆
C
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
A
B
C
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
北师大版高中数学必修二4.2 空间图形的公理(一).docx
4．2空间图形的公理(一)【课时目标】掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．符号：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒lα．2．公理2：经过________________________的三点，____________一个平面(即可以确定一个平面)．3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________通过这个点的公共直线．符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l．4．用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面α内但在平面β外：________________________________________________________________________．(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________．(3)直线l在面α内也在面β内：____________．(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：________________________________________________________________________．一、选择题1．两平面重合的条件是()A．有两个公共点B．有无数个公共点C．有不共线的三个公共点D．有一条公共直线2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈bβC．M bβ D．M b∈β3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合5．空间中可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有() A．2个或3个B．4个或3个C．1个或3个D．1个或4个二、填空题7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)A∉α，．(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________．(3)a⊆α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．三、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．若空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，求证此三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．4．2空间图形的公理(一) 答案知识梳理1．两点2．不在同一条直线上有且只有3．一个一条4．(1)A∈α，A∉β(2)A∈α，B∉α且A∈l，B∈l(3)lα且lβ(4)mα，nα且m∩n＝A作业设计1．C[根据公理2，不共线的三点确定一个平面，若两个平面同过不共线的三点，则两平面必重合．]2．B3．D4．C[∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．]5．C6．D[四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．]7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解由题意知，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1β，l2β，l1P l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1β，P∈l2γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B＝12D1C．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F平面ADD1A1，P∈CE平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．。
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高中数学北师大版目录北师大版《数学 (必修 1)》§ 5 平行关系全书目录：§ 6 垂直关系第一章集合§ 7 简单几何体的面积和体积§ 1 集合的含义与表示§ 8 面积公式和体积公式的简单应用§ 2 集合的基本关系阅读材料蜜蜂是对的§ 3 集合的基本运算课题学习正方体截面的形状阅读材料康托与集合论第二章解析几何初步第二章函数§ 1 直线与直线的方程§ 1 生活中的变量关系§ 2 圆与圆的方程§ 2 对函数的进一步认识§ 3 空间直角坐标系§ 3 函数的单调性阅读材料笛卡儿与解析几何§ 4 二次函数性质的再研究探究活动 1 打包问题§ 5 简单的幂函数探究活动 2 追及问题阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算必修 3全书目录第三章指数函数和对数函数第一章统计§ 1 正整数指数函数§ 1 统计活动：随机选取数字§ 2 指数概念的扩充§ 2 从普查到抽样§ 3 指数函数§ 3 抽样方法§ 4 对数§ 4 统计图表§ 5 对数函数§ 5 数据的数字特征§ 6 指数函数、幂函数、对数函数增长§ 6 用样本估计总体的比较§ 7 统计活动：结婚年龄的变化阅读材料历史上数学计算方面的三大§ 8 相关性发明§ 9 最小二乘法阅读材料统计小史第四章函数应用课题学习调查通俗歌曲的流行趋势§ 1 函数与方程§ 2 实际问题的函数建模第二章算法初步阅读材料函数与中学数学§ 1 算法的基本思想探究活动同种商品不同型号的价格问§ 2 算法的基本结构及设计题§ 3 排序问题§ 4 几种基本语句必修 2 课题学习确定线段 n 等分点的算法全书目录：第一章立体几何初步第三章概率§ 1 简单几何体§ 1 随机事件的概率§ 2 三视图§ 2 古典概型§ 3 直观图§ 3 模拟方法――概率的应用§ 4 空间图形的基本关系与公理探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值 1.2 数列的函数特性§ 2 等差数列必修 4 全书目录： 2.1 等差数列2.2 等差数列的前ｎ项和第一章三角函数§ 3 等比数列§ 1 周期现象与周期函数 3.1 等比数列§ 2 角的概念的推广 3.2 等比数列的前ｎ项和§ 3 弧度制§ 4 书雷在日常经济生活中的应§ 4 正弦函数用§ 5 余弦函数本章小节建议§ 6 正切函数复习题一§ 7 函数的图像课题学习教育储蓄§ 8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐第二章解三角形课题学习利用现代信息技术探究的图§ 1 正弦定理与余弦定理像 1.1 正弦定理1.2 余弦定理第二章平面向量§ 2 三角形中的几何计算§ 1 从位移、速度、力到向量§ 3 解三角形的实际应用举例§ 2 从位移的合成到向量的加法本章小结建议§ 3 从速度的倍数到数乘向量复习题二§ 4 平面向量的坐标§ 5 从力做的功到向量的数量积第三章不等式§ 6 平面向量数量积的坐标表示§ 1 不等关系§ 7 向量应用举例 1.1 不等关系阅读材料向量与中学数学 1.2 比较大小§ 2 一元二次不等式第三章三角恒等变形 2.1 一元二次不等式的解法§ 1 两角和与差的三角函数 2.2 一元二次不等式的应用§ 2 二倍角的正弦、余弦和正切§ 3 基本不等式§ 3 半角的三角函数 3.1 基本不等式§ 4 三角函数的和差化积与积化和差 3.2 基本不等式与最大（小）§ 5 三角函数的简单应用值课题学习摩天轮中的数学问题§ 4 简单线性规划探究活动升旗中的数学问题 4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划必修 5 4.3 简单线性规划的应用全书共三章：数列、解三角形、不等式。
北师大版高中数学必修二课件4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(公理1,2,3)
Ï 如图①，B∈b,Ba.
（2）空间点与平面的位置关系有两种: 点在平面内和点在平面外.
B 蝍 ,A 蟖 . 如图①，
思考交流 1.观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、 线、面的位置关系的例子. 2.观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面 的位置关系.
探究点2：空间图形的公理 思考1：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？ 提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么
这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的 基础．
B
A l ,B l ,A ,B l
作用： 判定直线是否在平关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
§4空间图形的基本关系与公理
4.1空间图形基本关系的认识
4.2空间图形的公理（公理1,2,3）
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、 面组成,认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间 图形是很重要的，今天我们就来学习这些关系！
1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的 基本构成----点、线、面的基本位置关系.（难点） 2.掌握空间图形的三个基本公理.（重点）
确定一个平面呢？
用三角架支撑照相机．
高中数学第一章立体几何初步142空间图形的公理课件北师大版必修2
2．空间两个角α，β的两边分别对应平行且方向相同，若α＝ 50°，则β等于( )
A．50° B．130° C．40° D．50°或130°
解析：由等角定理知β与α相等，故选A. 答案：A
3．垂直于同一条直线的两条直线( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
解析：可借助正方体来分析，可知平行、相交及异面都有可 能，故选D.
结论
这两条相交直线所成的锐角(或直角)即 为异面直线a，b所成的角
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°
特殊 情况
当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则 a∥d.( √ ) (2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线．( × ) (3)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a α，b β，则 a，b是异面直线．( × )
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．公理4 (1)内容：平行于同一条直线的两条直线平行． (2)符号表述： ba∥∥cb⇒a∥c.
2．两条直线的位置关系
平 直行 线特 记征 法 记： ：作在 直m∥同 线n一m. 与平直面线内n没平有行公，共点.
共面
(1)直线相 直交 线特 记征 公 法： 共 ：点 直在同 .线一m与平直面线内n有相且交只于有点一A，个
跟踪训练 2 空间中角A的两边和角B的两边分别平行，若∠A ＝70°，则∠B＝________.
解析：由于角A的两边和角B的两边分别平行，所以有∠A＝ ∠B或∠A＋∠B＝180°.
因为∠A＝70°， 所以∠B＝70°或∠B＝110°. 故填70°或110°. 答案：70°或110°
2018学年北师大版高中数学必修2课件：1.4 第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3 精品
4．用符号语言表示下列语句，并画成图形． (1)直线 l 经过平面 α 内两点 A、B； (2)直线 l 在平面 α 外，且过平面 α 内一点 P； (3)直线 l 在平面 α 内，又在平面 β 内； (4)直线 l 是平面 α 与 β 的交线，平面 α 内有一条直线 m 与 l 平行．
解析： (1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l. (2)l α，P∈l，P∈α.
3．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，记 B1D 与平面 A1BCD1 交于 点 Q，证明：B，Q，D1 三点必共线．
证明：连接 B1D1，BD. ∵B1D1∥BD，∴B1D1，BD 确定平面 B1BDD1，交平面 A1BCD1 于 BD1. ∵Q∈B1D，∴Q∈平面 B1BDD1. 又∵Q∈平面 A1BCD1，而平面 A1BCD1∩平面 B1BDD1＝BD1， ∴点 Q 必在 BD1 上，∴B，Q，D1 三点必共线．
2．(1)下列表述中正确的是( ) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 (2)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内，则 M，α 间的关系为________．
[提示] 4个相交的，1个平行的．
1．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系． 2．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作 用． 3．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示． 4．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言 表示．
[规律方法] (1)证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点， 再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线．