概率论与数理统计第二章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初
概率论与数理统计第二章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初
第二章1．解：X 的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。
X =2对应于一种情形：（1，1），则{}1126636P X；X =3对应于两种情形：（1，2）、（2，1），则{}2136618P X ； X =4对应于三种情形：（1，3）、（2，2）、（3，1），则{}3146612P X； X =5对应于四种情形：（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1），则{}415669P X ； X =6对应于5种情形：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1），则{}5566636P X ； X =7对应于6种情形：（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），则{}617666P X； 类似地，可以算得{}5586636P X ，{}419669P X ，{}31106612P X， {}21116618P X，{}11126636P X 。
因此，X 的分布律为[()](),,,{}[()](),,,||,,,,,166167 , 23736363666167 , 8912363667234111236i i i i P X i i i i i i2．解：设随机变量X 表示产品质量的等级，X 的可能取值为1，2，3。
由题可知，一级品数量：二级品数量：三级品数量=2 ：1 ：0.5= 4 ：2 ：1， 因此可求得X 的分布律为123421777kX P 3．解：X 的可能取值为0，1，2，3，4，其取值概率为{}.007P X ，{}...10307021P X ，{}....20303070063P X， {}.....30303030700189P X，{} (403030303)00081P X 。
即X 的分布律为.....012340702100630018900081k X P 。
6．解：X 的可能取值为1，2，3，其取值概率为24353{1}5C P X C ，23353{2}10C P X C ，22351{3}10C P X C ； 即X 的分布律为12333151010kX P 。
《概率论与数理统计》第二章习题解答
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 的分布律为：2、一袋中有5只乒乓球，编号为X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1)（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45 k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
概率论与数理统计第二章课后习题答案
概率论与数理统计第二章课后习题答案概率论与数理统计课后习题答案第二章1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2）当x <0时， F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时， F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x(3)3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x=≤≥??(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑g故e a λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为,,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，）,Y~b (3,(1)(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2)=6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==?=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑B 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 1,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000， 001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X = 1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（ 2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1 ）32(0)e P X -== (2) 52(1)1(0)1e P X P X -≥=-==-11.设P { X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mm m p p --44)1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -= 即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,.利用泊松近似计算,20000.0012np λ==?=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =L L113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+L L321131313()()444444k -=++++g L L 213141451()4==-g 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e |x |, ∞<+∞,<="" bdsfid="286" p="">求：（1）A 值；（2）P {0<="">()d 1f x x ∞-∞=?得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===??故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-?(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==?当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+11e 2x -=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -?-≥??16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=<≥.100,0,100,1002x x x求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==?33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=100100()d ()d x f t t f t t -∞=+?2100100100d 1xt t x==-? 故 1001,100()0,0x F x xx ?-≥?=??中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a≤≤?=其他故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====?当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ?≤≤?=其他 5312(3)d 33P X x >==?故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+=19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -?>?=??≤?x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==?2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些【解】（1）若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--??<=<==若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--??<=<== ++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--??<=<==若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--??<=<=-1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22），（1）求P{2<x≤5}，p{4< bdsfid="429" p=""></x≤5}，p{4<> 【解】（1）23353(25)222XP X P---<≤=<≤11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ=--=-+=-+= 433103 (410)222XP X P-----<≤=<≤770.999622ΦΦ=--=(||2)(2)(2) P X P X P X >=>+<- 323323 2222 15151122220.691510.99380.6977X XP PΦΦΦΦ-----=>+<=--+-=+-=+-=333(3)()1(0)0.522XP X PΦ->=>=-=-(2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（,）,规定长度在±内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06XP X P-?->=>1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}≥，允许σ最大不超过多少【解】120160160200160 (120200)XP X Pσσσ---<≤=<≤404040210.8ΦΦΦσσσ-=-=-≥故4031.251.29σ≤=24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-?+≥>?（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）. 【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-==??得11A B =??=-?（2） 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-?≥'==?25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=??<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+?20d 2xx t t ==?当1≤x<2时()()d x F x f t t -∞=?111122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-?当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==?故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x26.设随机变量X 的密度函数为（1）f (x )=a e |x |,λ>0;(2) f (x )=?<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=?知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-?>??=??≤??当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===?当x >0时0()()d e d e d 22xxx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+?11e 2xλ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-?->??=??≤??(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+?得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<=≤当x ≤0时F （x ）=0 当0<1时0<="" bdsfid="679" p=""> ()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+?2d 2xx x x ==?当1≤x <2时01211()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x -∞-∞==++?312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤<27.求标准正态分布的上α分位点，（1）α=，求z α; （2）α=，求z α，/2z α. 【解】（1）()0.01P X z α>=即1()0.01z αΦ-= 即()0.09z αΦ= 故2.33z α= （2）由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即()0.997z αΦ= 查表得2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即/2()0.9985z αΦ= 查表得/2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ?=?-?当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+L L242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=L L2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1）求Y =e X 的概率密度；（2）求Y =2X 2+1的概率密度；（3）求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1）当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=故 2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ?-??=≤=≤≤ ? ???()d X f x x =故 d ()()d Y Y XX f y F y f f y ?==+? ???(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d y X yf x x -=故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/2y y -=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数；（2） Z =2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<=""Y F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==?当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤??=<故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ?<其他（2）由P （0(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z z P X P X -=≤-=≥ /21d 1e z z x --==-?即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤?=?>?0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -?>?=??≤?032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ?<试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<= 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤< arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x xx x -=+?? 222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ?<其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案
于是
P ( X k ) p (1 p ) k 1 ，
所以 X 的分布律为 P ( X k ) p (1 p ) k 1 ， k 1,2, ． (2) Y 的所有可能取值为 0，1，2，…， k ，…，于是
Y 的分布律为 P (Y k ) p (1 p ) k 1 ， k 0,1,2, ．
2
P ( X 0) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.36 ， X 的分布律为 X P
1000000 0.16
60000 0.24
40000 0.24
0 0.36
5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为 p ，直到射中为止，求： (1) 射击次数 X 的分布律；(2) 脱靶次数 Y 的分布律． 解：(1) 由题设， X 所有可能的取值为 1，2，…， k ，…， 设 Ak {射击时在第 k 次命中目标}，则
由题知， { X k} A B ， AB ，则
P ( A) p k 1 (1 p ) ， P ( B ) (1 p ) k 1 p ， P ( X k ) P ( A B ) P ( A) P ( B ) p k 1 (1 p ) (1 p ) k 1 p ，
x 0, 0, 2 2x x F ( x ) 2 ,0 x a , ． a a x a． 1, a a 1 1 (3) P ( X a ) F (a ) F ( ) 1 (1 ) ． 2 2 4 4
12．设随机变量 X 在 [2,6] 上服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观察，试求至 少有两次观测值大于 3 的概率． 解：由题意知
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率论与数理统计(经管类)第二章课后习题答案
(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率为:
习题2.4
1.设X的分布律为
X
-2
0
2
3
P
0.2
0.2
0.3
0.3
求(1) 的分布律.
解: (1) 的可能取值为5,1,-3,-5.
由于
从而 的分布律为:
X
-5
-3
1
5
0.3
0.3
0.2
0.2
(2) 的可能取值为0,2,3.
由于
从而 的分布律为:
X
0
P(X=5)=4*(1/36）＝1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2))
P(X=6)=5*(1/36＝5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3))
P(X=7)=6*(1/36)＝1/6(这里就不写了,应该明白吧)
P(X=8)=5*(1/36)＝5/36
P(X=9)=4*(1/36)＝1/9
求
解: 注:
习题2.3
1.设随机变量X的概率密度为:
求: (1)常数a; (2) ; (3)X的分布函数F(x).
解:
(1)由概率密度的性质
A=
(2)
一些常用特殊角的三角函数值
正弦
余弦
正切
余切
0
0
1
0
不存在
π/6
1/2
√3/2
√3/3
√3
π/4
√2/2
√2/2
1
1
π/3
√3/2
1/2
√3
√3/3
π/2
(1)Y=2X+1; (2) (3)
解: (1)Y=g(x)=2X+1,
数理统计第二章课后习题参考答案
第二章 参数估计2.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数()1f x ββ=；，0x β<<的总体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β. 解： 1.30.6 1.7 2.20.3 1.1 1.26X μ+++++===.()()()()()()()22222222111 1.3 1.20.6 1.2 1.7 1.2 2.2 1.20.3 1.2 1.1 1.26ni i X X n σ=⎡⎤=-=-+-+-+-+-+-⎣⎦∑ ()222222210.10.60.510.90.10.4076σ=+++++==. ()()0112E X x f x dx xdx ββββ+∞-∞===⎰⎰；.令()E X X =，则12X β=，即2X β=.参数β的矩估计量为ˆ22 1.2 2.4X β==⨯=.2.6 设总体X 的密度函数为()f x θ；，1X ，2X ，…，n X 为其样本，求下列情况下θ的MLE.（iii ）()()100x x e x f x ααθθαα--⎧>⎪=⎨⎪⎩，；，其它α已知解：当0i X >()12i n = ，，，时，似然函数为： ()()()()111111ni i i n n n x n x i i i i i i L f x x e x eαααθθαθθθαθα=----===∑⎛⎫=== ⎪⎝⎭∏∏∏；.()()11ln ln ln 1ln n ni i i i L n n x x αθθααθ===++--∑∑.由()1ln 0ni i L nx αθθθ=∂=-=∂∑，得θ的MLEˆθ，即1ˆnii nxαθ==∑.2.7 设总体X 的密度函数为()()1f x x ββ=+，01x <<，1X ，2X ，…，n X 为其子样，求参数β的MLE 及矩法估计。
今得子样观察值为0.3，0.8，0.27，0.35，0.62及0.55，求参数β的估计值。
《概率论与数理统计》第02章习题解答.docx
P{ X = 1} = P[人(瓦U瓦)U孔A ] = 0.8(0.2 + 0.2-0.04) + 0.2 x (0.8)2
= 0.416
P{X=2} =P( £%為)=(0.8)3=0.512
3、据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查12个美国人，以X表示15人无 任何健康保险的人数(设各人是否有健康保险是相互独立的)，问X服从什么分布，写出X的分布律，并求下列情况下无任何健康保险的概率
解:(1)P{X>1}=f(x)dx=j"-(4-x2)dr = (-X- — X3)
"9927
（2）―叫刃’叩沟心］刃
22
27
10-R
£二0丄2,…，10
27■■
592
(3)P{y=2}=C^(—)2x(—)8=0.2998
s99s9?
p{r>2}= 1- p{r=0} - p{y=1}= 1-(—)° x(―)10- ^0(—)J(—)9= 0.5778
J；(0.2 + 1.2y)dy
—oo
y v _1
-1 < y < 0
0<y<\
0
0.2y + 0.2
0.6/+0.2j + 0.2
1
y <-1
0<y<l
沖1
P{0<Y<0.5} = F(0.5)-F(0) = 0.2+0.2x0.5 + 0.6x(0.5)2-0.2 = 0.25
P{y > 0.1} = 1-F(0」)=1一0.2-0.2x0」一0.6x0= 0.774
概率论第二章课后习题答案
概率论与数理统计第二章习题[]）（）（）（）（）式，有利用（显然）（）（则若））（（）（）（从而）（）（）（）（的可加性，有：互不相容，因此由概率与而）（则解：AB P A P AB A P B A P A AB AB A P B A P A B B P A P B A P B A P B P B A B P A P B A B C A B A A B -=-=-⊂-=-⊄-=--+=-=--=⊂**.132)(1)()()(1)()()()|()4(2.05.01.0)()()|()3(25.04.01.0|)2(8.0)1(.2=--=--=========-+=B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P A P AB P A B P B P AB P B A P AB P B P A P B A P ）（）（）（）（）（）（）（解：7.0)(1)|(1)|()4(4.0)(1)|(1)|()3(72.0)()()()()()()()()2(3.0)()()()()()()|(1.3=-=-==-=-==⋅-+=-+===⋅==A PB A P B A P B P A B P A B P B P A P B P A P AB P B P A P B A P B P B P B P A P B P AB P B A P ）解：（）（）（）（）（）（”成立时“或当）（）（”成立时“）（当）（）（）（）（）（）（）（解：B P A P B A P A P AB P A AB B A B AB P A P B A A AB P B A P B P A P AB P B P A P B A P +≤≤≤∴⊆=∅==≤∴⊆==≥+∴-+= 0.4）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）解：（C P B A P C P B A P C P B P A P C B A P C B A P C P AB P C P B P A P ABC P C AB P B A P C P AB P B P A P C P B P A P B P A P C P C P B P A P C P B P C P A P ABC P BC P AC P BC AC P C B A P ⋅-=⋅=⋅⋅==-⋅=⋅⋅===-+=-+=-+=-+==][][3][2][][][1.7832.04.03.06.03.04.03.06.04.06.03.04.06.0)()()()()()()()()(3.04.0200150)(4.06.0150100)(6.020*******.8=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=+---++===⨯==⨯======ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P C P B P A P D C B A ）（“击中目标”米处射击”“相距米处射击”“相距米处射击”“相距解：设2112632112|31812|6)2(3.0185|8)1(.9222222222222111111111=++++============ ）（）（）（）（）（）（）（”“点数和大于“点数和为奇数”）（）（）（）（）（”“点数和为“点数和为偶数”解：B P B A P B A P A P B A P A B P B A A P B P A P B A P A B P B A5360160126047514131413141513151413151413151.10=+-=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=+---++=======）（）（）（）（）（）（）（）（）（，）（，）（“丙破译密码”“乙破译密码”“甲破译密码”解：ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C P B P A P C B A61|1011|.11110=====）（）（）（）（）（）（解：B P AB P B A P C A P AB P A B P1025515510530520|12C C C C C A B P A P AB P B A ⋅⋅=⋅===）（）（）（球各半”“第二次取出的黄、白球”“第一次取出的全是黄。
概率论与数理统计同济大学第2章
2.2 试确定常数c ,使得下列函数成为概率函数:(1)(),1,...,P X k ck k n ===;(2)()P X k ==/!,k c k λ1,k =2,...,∞,其中0λ>.2.3 把一个表面涂有红色的立方体等分成1000个小立方体.从这些小立方体中随机地取一个,它有X 个面涂有红色,试求X 的概率函数.2.4 已知随机变量X 的概率函数如下.试求一元二次方程232(1)0t Xt X +++=有实数根的概率.2.6 设随机变量(,)X B n p ,已知(1)(1)P X P X n ===-.试求p 与(2)P X =的值.2.9 已知某商店每周销售的电视机台数X 服从参数为6的泊松分布.试问,周初至少应进货多少才能保证该周不脱销的概率不小于0.99.假定上周没有库存,且本周不再进货.2.10 某地有3000个人参加了人寿保险,每人交纳保险金10元,一年内死亡时家属可以从保险公司领取2000元,假定该地一年内人口死亡率为0.1％,且死亡是相互独立的.试求保险公司一年内赢利不少于1万元的概率.2.13 某台仪器由三只不太可靠的元件组成,第i 个元件出故障的概率1,1,(2)i p i i ==+2,3.假定各元件是否出故障是相互独立的.设X 表示该仪器中出故障的元件数.试求X 的概率函数.2.14 把一颗骰子独立地上抛两次,设X 表示第一次出现的点数,Y 表示两次出现点数的最大值.试求:(1)X 与Y 的联合概率函数;(2)()P X Y =与22(10)P X Y +<;(3)X ,Y 的边缘概率函数；(4)已知事件{4}Y =发生时X 的条件概率函数；(5)已知事件{4}X =发生时Y 的条件概率函数.假定没有和棋,且每盘结果是相互独立的.试求(1)X 与Y 的联合概率函数;(2)X ,Y 的边缘概率函数.2.16 一个箱子中装有100件同类产品,其中一、二、三等品分别有70,20,10件．现从中随机地抽取一件.试求1X 与2X 的联合概率函数.其中1,0,i X ⎧=⎨⎩如果抽到如果抽到非i i等品等品,i =1,2,3.2.18 已知随机变量X ,Y 的联合概率函数如下.当α,β取何值时X 与Y 相互独立?2.19 已知随机变量X ,Y 的概率函数如下.已知(0)1P XY ==.(1)试求X 与Y 的联合概率函数；(2)X 与Y 是否相互独立?为什么?2.24 已知随机变量X 服从集合{2,1,0,1,2}--上的均匀分布.试求2Y X =与Z X =的概率函数.2.26 已知X 与Y 的联合概率函数如下.（1）分别求max{,}U X Y =,min{,}V X Y =的概率函数；（2）试求U 与V 的联合概率函数.2.27 设随机变量X 与Y 独立向分布,它们都服从0-1分布(1,)B p ．记随机变量Z 如下(1)试求Z 的概率函数;(2)试求X 与Z 的联合概率函数;(3)当p 取何值时,X 与Z 相互独立？1,0,Z ⎧=⎨⎩如果如果X Y X Y ++为零或偶数;为奇数.。
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第二章1．解：X 的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。
X =2对应于一种情形：（1，1），则{}1126636P X；X =3对应于两种情形：（1，2）、（2，1），则{}2136618P X ； X =4对应于三种情形：（1，3）、（2，2）、（3，1），则{}3146612P X； X =5对应于四种情形：（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1），则{}415669P X ； X =6对应于5种情形：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1），则{}5566636P X ； X =7对应于6种情形：（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），则{}617666P X； 类似地，可以算得{}5586636P X ，{}419669P X ，{}31106612P X， {}21116618P X，{}11126636P X 。
因此，X 的分布律为[()](),,,{}[()](),,,||,,,,,166167 , 23736363666167 , 8912363667234111236i i i i P X i i i i i i2．解：设随机变量X 表示产品质量的等级，X 的可能取值为1，2，3。
由题可知，一级品数量：二级品数量：三级品数量=2 ：1 ：0.5= 4 ：2 ：1， 因此可求得X 的分布律为123421777kX P 3．解：X 的可能取值为0，1，2，3，4，其取值概率为{}.007P X ，{}...10307021P X ，{}....20303070063P X， {}.....30303030700189P X，{} (403030303)00081P X 。
即X 的分布律为.....012340702100630018900081k X P 。
6．解：X 的可能取值为1，2，3，其取值概率为24353{1}5C P X C ，23353{2}10C P X C ，22351{3}10C P X C ； 即X 的分布律为12333151010kX P 。
8．解：设X 表示发生交通事故的次数，则(1000 , 0.0001)X B 。
由于1000n比较大，0.0001p比较小，所以X 近似服从泊松分布，且0.1np。
那么{2}1{0}{1}10.90480.09050.0047P X P X P X 。
9．解：（1）0.50.50.52{0.5}()20.25P X f x dxxdxx ；（2）由课本31页的性质2，可知{0.5}0P X ；（3）当0x 时，()()00xxF x f t dt dt ；当01x 时，0220()()02xx x F x f t dtdttdtt x ； 当1x时，011201()()0201xx F x f t dt dt tdt dtt；所以X 的分布函数为20 , 0(), 011 , 1xF x x x x。
10．解：元件使用1500h 后失效（即元件的寿命不超过1500h ）的概率为：150015001500210001000100010001{1500}()3P X f x dxdx xx ； 设Y 表示5个元件在使用1500h 后失效的个数，则1(5 , )3Y B ，因此恰有2个元件失效的概率为：23251280{2}33243P Y C 。
11．解：（1）因为连续型随机变量的分布函数是连续函数，所以有2111lim ()lim ()lim (1)xxxF x F x Ax F ，即有A=1；（2）由分布函数的性质1，有22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F ；（3）由课本38页的（2-14）式，有2 , 01()()0 , x x f x F x 其他。
12．解：（1）由课本31页的性质1，有()22[]21xx x f x dxAe dxAe dxA e A ，即有12A； （2）由于X 的概率密度函数是分段函数1 , 02()1 , 02xxe xf x e x ，因此当0x 时，111()()222xxxt t xF x f t dte dt e e ， 当0x时，11111()()122222x xx t t t t xF x f t dte dt e dt e e e ；所以X 的分布函数为1 , 02()11 , 02xx e x F x e x。
13．解：（1）由课本37分布函数的性质2，可得到()lim ()lim (arctan )()lim ()lim (arctan )0212x x x x F F x A B x A B F F x A B x A B ππ→-∞→-∞→+∞→+∞⎧-∞==+=-=⎪⎪⎨⎪+∞==+=+=⎪⎩ ， 因此，可求得,11 2A B π== ，即()arctan 112F x x π=+ ； （2）由分布函数的性质1，有{}{}()()1111112P x P x F F <=-<<=--=； （3）由课本38页的（2-14）式，有()()(arctan )2111121f x F x x xππ''==+=+ 。
14．解：对于实系数一元二次方程()20 0ax bx c a ++=≠，其有实根的充分必要条件为240b ac -≥。
因此，方程2230x Tx ++=有实根的充要条件是()22430T -⨯≥，也就是要求随机变量T 满足23T ≥，亦即 T T ≤≥或[,]2 4T U -，所以方程有实根的概率为{}{{{2423 1 16P T P T T P T P T dx dx -≥=≤≥=≤+≥=+=-⎰或 。
15．解：依题意，可知()1200XE ，其中,(),2001 02000 xe xf x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他； （1）{}10011002002002011001200x x P X e dx ee ---≤==-=-⎰；（2）{}320020023003001300200x xP X e dx e e+∞+∞--->==-=⎰ 。
17．解：(,)3 4X N ，可知,3 2μσ==；（2）{}()()()()().ΦΦΦΦΦ933339332310997422P X ----<<=-=--=-= ； （3）{}{}{}[()()][(.)(.)][(.)(.)].ΦΦΦΦΦΦ212122232312210525 1250506977P X P X P X >=-≤=--≤≤---=--=----=--= 。
18．解：钢材的强度(,)2200 18XN ，其中,200 18μσ==；（1）{}()(.)(.).ΦΦΦ180200180111111110866518P X -≥=-=--== ； （2）由于{}()(.).%ΦΦ1502001501278099739918P X -≥=-==>，因此这批钢材合格。
19．解：先计算如下表格sin 111 442022001k P X Y X Y Xπππππ=--= 因此，可求得随机变量函数的分布为：2 0 111442kY X P πππ=-- ，sin 0 1 3144kY XP = 。
20．解：设Y 的分布函数为()Y F y ，由于(,)23 4XN，其概率密度函数表达式为()()22324x X f x --⨯=，可先求得Y 的分布函数：(){}{}{}()343434Y X X F y P Y y P y P X y F y -=≤=≤=≤+=+； 则有()()()()()222433242434434y y X Y Y X dF y f y F y f y dy +---⨯+'===+==， 这显然是标准正态分布的概率密度函数，也就是说(,)0 1YN 。
一般来说，若(,)2 XN μσ，则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布，并且(,)22 YN a b a μσ+，特别地，(,)0 1X Y N μσ-=。
21．解：设Y 的分布函数为()Y F y ，则(){}{ln }{}()y y Y X F y P Y y P X y P X e F e =≤=≤=≤=，因此，Y 的概率密度函数为()()()(),(,)()22 1y yy y XY Y X y dF e e f y F y e f e y dy e π'====∈-∞+∞+。
（注意：0 , (,)ye y ）。