第三节 单纯形法点进一步讨论(第三章)

第五章 对偶问题及对偶 单纯形 法
本章主要介绍线性规划对偶问题的基本概念、 建立对偶问题的基本规则及对偶单纯形法和应用， 其基本要求为： 1. 掌握建立对偶问题的规则及方法 。 2. 了解对偶问题的基本性质。 3. 熟练掌握对偶单纯形法的迭代过程及应用。
知识结构
对偶问题的引例
对 偶 问 题
建立对偶问题的规则
第四章 线性规划模型的建立
本章通过几种实际应用问题的优化模型的建立，详细 介绍了建立线性规划模型的基本思路和一些技巧，其基本 要求是： 能分析实际问题的类型并建立相应的线性规划模型； 基本掌握可以用线性规划方法来优化的实际问题的类型。 本章主要以课本例题为主给以分析和讲解。
第四章 线性规划模型的建立
第四章 线性规划模型的建立
性，线性规划数学模型的形式也就不唯一。如在课本 56 页的例题 8 中，由于采用了两种不同形式的决策变量，就建立了两个完全不同 的规划模型。 其次，即使决策变量是一致的，但要实现的目标可以通过不同的 形式达到而使线性规划模型有所不同。如课本 54 页例题 6 建立的下 料问题的线性规划模型中，问题要实现的目标是所需圆钢最少。一 个是直接以截断的圆钢根数最少为目标构造目标函数，另一个是裁 剪过程中所剩的料头最少为目标构造目标函数，这两个目标函数的 形式显然不同，整个模型也就不同，但求解结果确是完全一致的。
第四章 线性规划模型的建立
在分析过程中， ，大家要注意以下几个问题： 1．确定合适的决策变量是建立线性规划数学模型的关键。决策变量的 设置与采取的方案和措施有关，特别要注意影响决策过程的主要因素 的种类。若包含多个种类的因素，就要采用多下标变量。 如在课本 45 页的例题 1 中，生产不同种类的汽油中要用到不同种 类的原料，决策过程包含两个因素即每种汽油各用多少不要的原料、 各生产多少，所以要采用双下标决策变量。在 55 页的例题 7 种也是这 样设置决策变量的。 在课本 51 页的例题 5 中，决策过程包含两个因素即决策人要能确 定在哪几个地方建厂、生产能力为多大，所以要采用双下标决策变量。
第四节 线性规划问题解的讨论
一．不可行性 在讲大 M 法和两阶段法时，已经给大家反复强调到，若线性规划问 题的求解已经满足最优检验，但基变量中仍然有人工变量，也就是说人 工变量不为零， 这时目标函数永远不能达到具有实际意义的最大 （最小） ， 所以该问题无可行解。产生这种情况的原因时在建立数学模型时列出了 矛盾的约束方程。 二 .退化 在单纯形表中，可以清楚的看到，基变量的个数就等于约束条件的个 数（因为基本矩阵为 m 阶方阵） ，基变量的值就是基本可行解，一般情况 下基变量不等于零，此时基本可行解中非零变量的个数就等于约束条件 的个数；若基本可行解有变量等于零，显然非零变量的个数就会小于约 束条件数，这就是退化解。请大家参考课本上 29 页的例题。
第四节 线性规划问题解的讨论
量的检验数为零，就出现检验数为零的变量的个数大于基变量的个数这种现 象，就可以将检验数为零的非基变量作为换入变量而求出问题的另外一个最 优解，由两个最优解的线性组合就可以表示出多重解。 X=α X1+(1-α )X2 (0≤α ≤1) 四、无限界解 在求目标函数值最大的线性规划问题的单纯形表中，确定换入换出变量 时， 用换出变量下的系数列向量中的非负分量作比较 （参考课本 21 页的公式， 其中a ij >0） 若线性规划单纯形表中有变量不满足最优检验 。 （检验数大于零） ，
第三节 单纯形法的进一步讨论
1．单纯形表中的检验数不是 Cj-Zj，而是 Zj-Cj。检验最优和确定 换 入变量，换出变量的方法与第二节所述相同。 关于（2）（3）两点的理解可以看下面的关系式。 、 由前面的知识可知，线性规划新旧两个解所对应的目标函数值 满足： Z（X（k+1） ）=Z（X（k） ）+λ （Cj(k)-Zj(k)） 检验数 因为λ >0，若所有的检验数大于零，则 Z（X（k+1） ）-Z（X（k） ） >0， Z（X（k+1） >Z（X（k） 说明新解的目标函数值没有原解的好 ） ） （因 为是求目标函数值最小） ，算法终止。 若所有的检验数小于零， Z （k+1） -Z （k） <0， （X（k+1） 则 （X ） （X ） Z ） <Z（X（k） ，说明新解的目标函数值比原解的好，所以算法还要继 ） 续进行迭代。
第三节 单纯形法的进一步讨论

本节主要介绍求解其它形式线性规划问题的方法
本节主要讨论求目标函数最小的问题的求解方法和用大 M 法、两 阶段法求解引入人工变量的线性规划问题。 一、 求目标函数值最小的问题 有三种处理方法，可用其中任何一种。 1．上面已说过，将求目标函数值最小的问题转化为求目标函数值最大 的问题。 2． 检查单纯形表的检验数，如全部大于等于 0，就达到最优。否则 要迭代，换入变量是检验数最小的那个变量，确定换出变量的方 法与第二节所述方法相同。
பைடு நூலகம்
第四节 线性规划问题解的讨论
3，仔细看看线性规划问题在已经出现退化解的情况下，是怎样求 得最优解的。 （退化是高等数学中的常用术语，表示一个一般不为 零的量变成零的现象，比如在求解方程时，如果只有零解，那么 就说该方程有退化解） 。 三．多重解。 在线性规划问题的图解法中，已经有关于多重解的实例（课 本第 9 页例题 5；参考文献第 11 页的图 1-4）下面结合课本 31 页表 2-15 看看多重解问题的最优单纯形表有什么特征。 首先请大家仔细看看前面例题的单纯形表中，在满足最优检 验的条件下，基变量的检验数都是零，也就是说检验数为零的变
第三节 单纯形法的进一步讨论
二、若已经满足了最优检验，但基变量中仍然有人工变量，也就是 说人工变量不为零，目标函数永远不能达到具有实际意义的最大（最 小） ，所以该问题无可行解，算法终止。 两阶段法（参看课本 25~27 页例题） 2．两阶段法：就是分两个阶段解含有人工变量的线性规划问题，算法 求解过程是，在第一阶段制造一个新的目标函数代替实际的目标函数， 用单纯形法求解，直到满足最优检验并且基变量中没有人工变量，再 转入第二阶段，恢复原来的目标函数，继续用单纯形法求解。 请大家思考一下，若第一阶段结束后，基变量中仍然含有人工变 量，这个规划问题的求解将会出现什么样的结果？
第三节 单纯形法的进一步讨论
回忆以前讲过的引入人工变量的过程和目的，注意如何用人工变量 和大 M 对目标函数进行修改。思考以下：若目标函数是 min Z 的形式， 究竟是对目标函数加上 M×（人工变量）还是减去 M×（人工变量）呢？ 二、大 M 法与两阶段法 1．大 M 法。就是将加入了人工变量后的线性规划问题用前面介绍的单纯 形法求解，整个过程和前面基本一致，就是有两点需要大家注意。 一、由于运算所得的数字中含有大 M，在计算检验数时还要求出差， 所以检验数的正负判别时要谨慎。请大家判断下面数值的正负： -M +108； （-M/108）+108 ； M-1010 ； （M/1010）-1010
目前线性规划是应用最广泛、最成功的运筹学分支。在线性规 划以及运筹学其它分支的应用中，最重要的是建立繁简适当、能反 映实际问题的主要因素、得出正确结论并能取得经济效益的数学模 型。一个经验不丰富的运筹学工作者要做到这一点，是很不容易的。 在大多数情况下，建立数学模型要经过几个阶段的精心思考。最初， 为了实际情况简化得能较容易地建立一个粗略的、可以使用的模型， 常常只考虑少数最重要的因素，而将许多次要因素省略。但这样做 必然使得模型距实际情况较远，甚至得不出正确的结论。因此，要 在此基础上加进一些被省略因素中显得比较重要的若干因素，变更 已建立的模型。
a 但变量下的系数列向量中的分量ij 全是零或负数时，就无法确定换出变量，
这时换入检验数大于零的变量将会使目标函数值随之增大而没有限界，该问 题就有无限界解，也就是无解。 产生无限界解的原因可能是建立数学模型时所列的约束条件方程不适当。
第四节 改进单纯形法

本节主要介绍改进单纯形法及其优点
前面用单纯形法求解规划问题时，每迭代一次，就要把由系数构成 的增广矩阵中的数据全部另作一遍。其实，从一个基本解转向另一个基 本解的运算中，与换出、换入计算无关的数据，基本上不起作用，而且 对增广矩阵的行作线性变换，完全可以用矩阵的左乘运算来实现。改进 单纯形法就是基于这一思路而发展起来的改进算法。请大家仔细看看课 本 34 页的例题，了解改进单纯形法的基本计算过程。
第四节 线性规划问题解的讨论

本节主要介绍在求解线性规划问题的解中出现的 几种情况；如何根据单纯形表判断解的类型。
用单纯形法求解线性规划过程中，最常见的是有唯一解，但也 有一些特殊情况，而且这些特殊情况都可以在单纯形表中反映出来。 希望大家结合课本 28—34 页的例题，掌握判定线性规划问题求解 结果的基本方法。
第四节 线性规划问题解的讨论
改进单纯形法与标准形法相比，其优点为： 1、计算量少。特别是线性规划问题的变量数比约束条件数大得多 时，计算量大大减少。 2、每次迭代，在计算机内容贮存的新数据较少，只贮存基变量、 基本矩阵的逆矩阵和常数项；而将原始系数矩阵 A 和目标函数 存放在外存中，所以同一计算机，用改进单纯形法可解算较大 的问题。 3、只对换入变量的系数列向量进行计算，所以舍入误差积累较少。 上述优点，主要是指计算机解题的情况，对于手算，因为 有大量的表格外计算，这些优点可能不太显著。
第一节 对偶问题的建立
解：设 x1 、x 2 分别表示两种产品的产量，建立线性规划模型如下： 目标函数 max Z==2x1 + 3x 2 4x1 ≤16 4x2 ≤12 x1，x2 ，≥0 现从另一角度来讨论这个问题。假设该工厂的决策者决定不生产 产品Ⅰ、Ⅱ，而将其所有资源出租或外售，这时工厂的决策者就要考 虑给每种资源如何定价的问题。设用 y1，y2 ，y3 分别表示出租单位设 备台时的租金和出让单位原材料 A、B 的附加额。他在作定价决策时， 满足约束条件 x1 + 2x2 ≤8
第四章 线性规划模型的建立
3．约束方程的建立与资源利用的限制和生产过程的管理要求有关。 在建立规划模型的过程中，必须认真分析各种约束因素，建立与约 束条件相对应的约束方程，切记不能遗忘约束，否则就不能得出正确 的结论。如果因问题比较复杂，一时很难发现是否遗忘了约束条件， 那么求解结果就可能出现无可行解、无限界解的情况。这时，再回过 头来检查是否遗忘了约束条件也是一种常用的办法。
对偶问题的基本性质 对偶问题单纯形法
第一节 对偶问题的建立
本节主要介绍对偶问题及建立对偶问题的规则
一．由引例了解对偶问题 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。已知生产单 位产品所需的设备台时及 A、B 两种原材料的消耗，如表 1—1 所 示。 表 1—1 Ⅰ Ⅱ 设备 1 2 8 台时 原材料 A 4 0 16kg 原材料 B 0 4 12kg 该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利 2 元，每生产一件产品Ⅱ可获 利 3 元，问应如何安排计划使该工厂获利最多？
第四章 线性规划模型的建立
在 57 页的例题 8 中，决策人得要确定第几次、从某地开往某地的空、 重车数，决策过程包含三个因素，所以采用三下标决策变量。 其次，要注意决策变量不一定要被确定为与产品生产或原料有关的 数量，它还可以设为进行某项已知活动的次数。如在课本 53 页的例题 6、课本 56 页的例题 8 中，就可以将决策变量设为从事某种裁减活动 的次数、采取某种运输方案的次数。 最后，还要注意变量本身的限制。如 53 页的例题 6、56 页例题 8 中所有的决策变量都限制为非负整数的。 2．同一问题的线性规划模型不是唯一的。 在建立同一问题的线性规划模型时，由于决策变量设置方法的多样
第四章 线性规划模型的建立
然后再加进一些因素，重新建立模型，重复这个过程一直到能建 立一个符合上述要求的模型为止。此时，如果再加进不重要的因素， 将使模型变得太复杂，难以求解或增加的求解费用大于所取得的追加 效益，从而使决策单位得不偿失。这一整套建立数学模型的过程，说 起来比较简单，真正做到并不是轻而易举的事。有人说，建立数学模 型，与其说是科学，不如说是艺术，这是有一定道理的。 在教材中不可能讨论实际工作中的大型问题，因此本章只能通过 几个不同类型的被简化了的例题，讲解建立线性规划的基本思路和一 些技巧，指出线性规划可以用来解决哪一类的问题，使初学者得到一 些启发。