单纯形法的进一步讨论人工变量法
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单纯形法-人工变量法
θ
11 3/2 1
第一阶段求得的结果是ω = 0,最优解是（0,1,1,12,0,0,0）T 一阶段求得的结果是ω 0,最优解是 最优解是（ 12, 一阶段求得的结果是 是原线性规划问题的基可行解。 因人工变量 x6= x7=0，所以 ，所以(0,1,1,12,0)T 是原线性规划问题的基可行解。
第二阶段运算:
例:
max z=3x1+4x2 x1 +x2 ≤40 2x1+x2≤60 x1-x2 =0 x1 ,x2 ≥0
cj→ CB XB b x 3 40 0 x 4 60 0 0 -M x 5 cj - zj 0 0 3 4 0 3 x3 x4 x1 40 60 0 3 x1 1 2 [1] 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 4 x2 1 1 -1 [2] 3 -1 0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -1/3 1/3 1/3 -7/3 -M x5 0 -1 1 0
大M法 法
在目标函数中加上惩罚项。 在目标函数中加上惩罚项。
max =3x1-x2-x3-Mx6-Mx7 3 其中M为充分大的正数 为充分大的正数。 其中 为充分大的正数。 = 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 x3 + x7 = 1 − 2 x1 + x1 ,L , x7 ≥ 0 只要原问题有可行解， 只要原问题有可行解，随着目标函数向最大化方向的改善 人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， ，人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， 进而得到基最优解。 进而得到基最优解。 反之， 反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量 为基变量，便说明原问题无可行解。 的单纯形表格为： 为基变量，便说明原问题无可行解。例8的单纯形表格为： 的单纯形表格为
单纯形法人工变量法
给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
=11
-4 x1+ x2+2x3 -x5 + x6 =3
-2x1 + x3
+ x7 =1
x1，…， x7 0
第一阶段的单纯形表如下：
cj
0
CB XB b
x1
0 x4 11 1 1 x6 3 -4 1 x7 1 -2
6
0 x4 10
3
1 x6 1
0
0 x3 1 -2
0
0 x4 12
3
0 x2 1
0
0 x3 1 -2
00
0
0
00
1
x2
x3
x4
x5
x6
-2
1
1
0
0
1
2
0 -1 1
0
[1] 0 0
0
-1 -3 0 1
0
-2
0
10
0
[1]
0
0 -1 1
0
1
00
0
-1
0
01
0
0
0
1 -2 2
1
0
0 -1 1
0
1
00000 Nhomakorabea01
1
1
x7
0
用两阶段法求下面线性规划问题旳解
Max Z=2x1+ x 2+ x 3 s.t. 4x1+2x2+ 2x 3≥4
2x1+4x2 ≤20 4x1+8x2+ 2x 3≤16
x1，x2，x 3≥0
管理运筹学6 数据包络分析
Page 5
投 入 i
2 … m
x 22 ... xm 2 y12 y 22 ... ys2
... xij ... ... ... y rj ...
1
产 出 … r s
2
数据包络分析
评价决策单元DEA有效性的C2R数学模型
Page 6
min E n j yrj yrj0 (r 1,..., s ) j 1 n s.t. j xij Exi j0 (i 1,..., m) j 1 n j 1, j 0( j 1,..., n) j 1
经济学核心课程
运筹学
( Operations Research )
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法
单纯形法
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
数据包络分析
数据包络分析
Page 3
(Data Envelopment Analysis, DEA),
求解结果为E=1，说明分理处1的运行为DEA有效。
Page 8
数据包络分析
Page 9
同理计算其他三个分理处的E值，结果为分理处3和分理 处4，E=1；
对于分理处2，有E=0.966； 此时λ1=0.28, λ3=0.72, λ2=λ4=0, 即分理处2运行非DEA有 效。理由为：若将28%的分理处1同72%分理处3组合， 其各项产出不低于分理处2的各项产出，但其投入只有 分理处2的96.6%。
数据包络分析是一种对具有相同类型决策单元（DMU） 进行绩效评价的方法。这里相同类型是指这类决策单元具 有相同性质的投入和产出。衡量一个单位的绩效，通常用 投入产出比这个指标，当投入和产出指标均分别可以折算 成同一单位时，容易根据投入产出比大小对要评定的决策 单元进行绩效排序，但大多数情况下做不到这一点。
02大M法和两阶段法
X* = (4，1，9，0，0)T, z* = 2
M-1 3M-1* 0 -M 0 0 -2 0 1 0 0 -1 [1] 0 0 -1 1 -2 0 1 0 0 0 1 M-1* 0 0 -M 0 -3M+1 0 0 1 -2 2 -5 1 0 0 -1 1 -2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 -1 1-M -M-1 0 0 1/3 -2/3 2/3 -5/3 1 0 0 -1 1 -2 0 1 2/3 -4/3 4/3 -7/3 0 0 -1/3 -1/3 -M+1/3 -M+2/3
-1 x3 0 0 1 0 0 0 1 0
0 x4 1 0 0 0 1/3 0 2/3 -1/3
0 x5 -2 -1 0 -1 - 2/3 -1 - 4/3 -1/3
XB x4 x2 x3 x1 x2 x3
4 — —
X* = (4，1，9，0，0)T,
z* = 2
5. 2 线性规划问题解的讨论
线性规划解除有唯一最优解的情况外，还 有如下几种情况
§ 6 应用举例
• P38
迭代运算 .用非基变量xk替换换出变量 .对主元素行(第l行) 令 bl/alk→bl;alj/alk→ajl 对主元素列(第k列)令1→alk;0→其它元 素表中其它行列元素 令 aij-ali/alk· aik→aij bi-bl/alk· aik→bi б j- alj/alk·б k → б j
z =3x1-x2-x3
’
在第一阶段的最优单纯形表中删除人工变量列， 并把目标函数系数替换为原问题的目标函数系数， 计算出检验数，用单纯形法求解。
cj CB 0 -1 -1 σ 3 -1 -1 σ
j j
1-5 单纯形法的进一步讨论
B 1b B 1NX N
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，则得到
基本可行解
X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
Z
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB X B
CN X N
CB (B1b B1NX N ) CN X N
CBB1b (CN CBB1N )) X N
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
MaxW=-x6-x7
x1+ x2+ x3+x4
=4
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
z zσ
XB … 0T …
xj cj - zj
… RHS … z0
XB xB I …
Yj
…b
基变量在目标函数中的系数等于0， 基变量在约束条件中的系数是一个单位矩阵
单纯形表的结构
注意： Z行中有m 个0，它们与基变量相对应。一般情况下，这m 个0分散在Z行的各列中，并与基变量相对应。
其余m行中有一个m阶单位矩阵I，其各列与基变量相对应。 一般情况下，组成I的各列分散在表的各列中，它们与基变 量相对应。
X1 1
0
a1
0
a2 a6
X2 0
1
1
0
-2
单纯形法
-M X6 0 1 0 0 0 1
-M X7 0 0 1 0 -1 -2 1 θ 11 3/2 1
-1
X3 cj-zj
1
-2 -1
0 -1+M
0 1 0 0
1 0
0 0 1 0
0 0
1 0 0 0
0 -M
-2 -1 0 -1
0 0
2 1 0 -M+1
1 1-3M
-5 -2 1 -M-1
-
0 -1 -1
人工变量
第2页
cj CB 0 -M -M XB X4 X6 X7 cj-zj b 11 3 1
3 X1 1 -4 -2 3-6M
-1 X2 -2 1 0 -1+M
-1 X3 1 2 1 -1+3M
0 X4 1 0 0 0
0 X5 0 -1 0 -M
-M X6 0 1 0 0
-M X7 0 0 1 0 θ
2 1 0 -M+1
1 1-3M
-5 -2 1 -M-1
-
0 -1 -1
X4 X2 X3 cj-zj
12 1 1
3 0 -2 1
4 -
第14页
cj CB 0 -1 -1 XB X4 X2 X3 cj-zj 3 X1 4 b 12 1 1
3 X1 3 0 -2 1 1
-1 X2 0 1 0 0 0
-1 X3 0 0 1 0 0
-1 X3 1 2 1 -1+3M 0 0 1 0 0 0
0 X4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 X5 0 -1 0 -M 0 -1 0 -M -2 -1
-M X6 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1
3线性规划人工变量法解析
1
0 0 0 1 0 0 2 5/3 2/3 -25/3
0
0 0
8/3
—— —— 31/3 ——
j
x2 x5 x3 x2 x1 x3
x3
→
j
j
单纯形法的进一步讨论－两阶段法
用计算机处理数据时，只能用很大的数代替M,可能造成 计算机上的错误，故多采用两阶段法。 第一阶段： 在原线性规划问题中加入人工变量，构造如下模型：
-M
-M Z 0
x6
x7
3
1 -4M
-4
-2 3-6M 3
1
0 -1+M -2
2
1 -1+3M 0
0
0 0 1
-1
0 -M 0
1
0 0 0
0
1 0 -1
3/2
1
→ →
x4
10
－
-M
-1 Z
x6
x3
1
1 -M-1
0
-2 1
1
0 -1+M
0
1 0
0
0 0
-1
0 -M
1
0 0
-2
1 -3M+1
1
－
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
故人为地添加两个单位向量x6和x7 ，得到含人工变量的单纯形 法数学模型：
max Z 3x1 x2 x3 +0x4 +0x5－Mx6 Mx7
3 x1 x2 x3 x4 4x x 2 x 1 2 3 x3 2 x1 x j 0, j 1, 2, L , 7
－
第三章3 单纯形法的进一步讨论
第三节 单纯形法的进一步讨论
改进单纯形法与标准形法相比，其优点为： 1、 计算量少。特别是线性规划问题的变量数比约束条件数大得多 时，计算量大大减少。 2、 每次迭代，在计算机内容贮存的新数据较少，只贮存基变量、基 本矩阵的逆矩阵和常数项； 而将原始系数矩阵 A 和目标函数存放
在外存中， 所以同一计算机， 用改进单纯形法可解算较大的问题。 上述优点，主要是指计算机解题的情况，对于手算，因为有 大量的表格外计算，这些优点可能不太显著。
8 8 8 10 10 10
第三节 单纯形法的进一步讨论
（2） 、若已经满足了最优检验，但基变量中仍然有人工变量，也 就是说人工变量不为零， 目标函数永远不能达到具有实际意义的最大 （最小） ，所以该问题无可行解，算法终止。 2．两阶段法：就是分两个阶段解含有人工变量的线性规划问题，算 法求解过程是， 在第一阶段制造一个新的目标函数代替实际的目标函 数， 用单纯形法求解， 直到满足最优检验并且基变量中没有人工变量， 再转入第二阶段，恢复原来的目标函数，继续用单纯形法求解。 请大家思考一下，若第一阶段结束后，基变量中仍然含有人工 变量，这个规划问题的求解将会出现什么样的结果？
第三节 单纯形法的进一步讨论
回忆以前讲过的引入人工变量的过程和目的， 注意如何用人工变量和 大 M 对目标函数进行修改。思考以下：若目标函数是 min Z 的形式，究竟 是对目标函数加上 M×（人工变量）还是减去 M×（人工变量）呢？ 一、大 M 法与两阶段法 1．大 M 法。就是将加入了人工变量后的线性规划问题用前面介绍的单纯 形法求解，整个过程和前面基本一致，就是有两点需要大家注意。 （1） 、 由于运算所得的数字中含有大 M， 在计算检验数时还要求出差， 所以检验数的正负判别时要谨慎。请大家判断下面数值的正负： -M +10 ； （-M/10 ）+10 ； M-10 ； （M/10 ）-10
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面上，且该平面与目标函数等值面平行 最优单纯型表中有非基变量的检验数为0 最优解的线性组合仍是最优解，即 X=aX1+bX2，
（a+b=1）
12
例3 的单纯型表及其迭代过程
13
4. 关于无可行解问题 约束条件互相矛盾，无可行域 单纯型表达到最优解检验条件时，人工变量仍在基
变量中
14
例4 第一阶段的单纯型表
15
◆ 修正单纯型法（了解）
v 原单纯型法迭代所需存储量大 v 原单纯型法有不必要的计算量
1. 修正单纯型的原理
16
1. 修正单纯型的原理
v 关键是求新基的逆矩阵 B1
仍然可以采用四角算法 混合算法
v 当前基的逆矩阵 B1 在原单纯型表的什么位置上？ 在初始可行基向量位置上 ( AN | I ) ( I | AN1 )
1. 关于无界解问题 可行区域不闭合(约束条件有问题) 单纯型表中入变量 xj* 对应的列中所有
10
2. 关于退化问题 退化问题的原因很复杂，当原问题存在平衡约束时
当单纯型表中同时有多个基变量可选作出变量时
退化的严重性在于可能导致死循环，克服死循环的 方法有“字典序”法
11
3. 关于多重解问题 多个基础可行解都是最优解，这些解在同一个超平
大M法的求解过程 例 p46-1.1(a)
解：
1
p46-1.1(a)的单纯形法迭代过程
x5
[]
x6
x5 x1
2
[]
x5
x1
x2 x1
最优解为：x1=3/4，x2=1/2，x3=x4=x5=x6=0
最优值为 3
有无穷多最优解
3
大M法的一些说明
大M法实质上与原单纯型法一样，M 可看成一个很大的常 数
x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 X6+X1≥60
非负性约束：xj ≥0,j=1,2,…6
21
营养要求 700 30
200
18
配方问题建模
❖ 设抓取饲料I x1kg;饲料II x2kg;饲料III x3kg…… ❖ 目标函数：最省钱 minZ=2x1+7x2+4x3+9x4+5x5
约束条件 ❖ 营养要求： 3x2+2x2+x3+6x4+18x5 ≥700
x1+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5 ≥30 0.5x1+x2+0.2x3+2x4+0.8x5 =200 ❖ 用量要求：x1 ≤50,x2 ≤60,x3 ≤50,x4 ≤70,x5 ≤40 ❖ 非负性要求：x1 ≥0,x2 ≥0,x3 ≥0,x4 ≥0,x5 ≥0
19
应用举例2 ——人员安排问题
❖ 医院护士24小时值班，每次值班8小时。不同 时段需要的护士人数不等。据统计：
序号
时段
最少人数 安排人数
1
06—10 60
X1
2
10—14 70
X2
3
14—18 60
X3
4
18—22 50
X4
5
22—02 20
X5
6
02—06 30
x6
20
人员安排问题建模
❖ 目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 ❖ 约束条件： x1+x2 ≥70
17
应用举例1——配方问题
❖ 养海狸鼠 饲料中营养要求：VA每天至少700克，VB每 天至少30克，VC每天刚好200克。现有五种饲料，搭配 使用，饲料成分如下表：
饲料
I II III IV V
Va Vb Vc 价格元/kg
3
1
0.5 2
2
0.5 1
7
1
0.2 0.2 4
6
2
若第一阶段结束时，人工变量仍在基变量中，则原问
题无解 v 为了简化计算，在第一阶段重新定义价值系数如下：
5
用二阶段法求解p46-1.1(d) ,第一阶段
[]
x5
x4
6
[]
x5
x4
x1 x4
7
第二阶段 []
x1 x4
x1 x2
8
x1 x2 无最优解（无界解）。这是因为
9
◆ 单纯型法的一些具体问题
人工变量被迭代出去后一般就不会再成为基变量 当检验数都满足最优条件，但基变量中仍有人工变量，
说明原线性规划问题无可行解 大M法手算很不方便 因此提出了二阶段法
❖计算机中常用大M法 ❖二阶段法手算可能容易
4
5-2 两阶段法 v 第一阶段的任务是将人工变量尽快迭代出去，从而找
到一个没有人工变量的基础可行解 v 第二阶段以第一阶段得到的基础可行解为初始解，采
（a+b=1）
12
例3 的单纯型表及其迭代过程
13
4. 关于无可行解问题 约束条件互相矛盾，无可行域 单纯型表达到最优解检验条件时，人工变量仍在基
变量中
14
例4 第一阶段的单纯型表
15
◆ 修正单纯型法（了解）
v 原单纯型法迭代所需存储量大 v 原单纯型法有不必要的计算量
1. 修正单纯型的原理
16
1. 修正单纯型的原理
v 关键是求新基的逆矩阵 B1
仍然可以采用四角算法 混合算法
v 当前基的逆矩阵 B1 在原单纯型表的什么位置上？ 在初始可行基向量位置上 ( AN | I ) ( I | AN1 )
1. 关于无界解问题 可行区域不闭合(约束条件有问题) 单纯型表中入变量 xj* 对应的列中所有
10
2. 关于退化问题 退化问题的原因很复杂，当原问题存在平衡约束时
当单纯型表中同时有多个基变量可选作出变量时
退化的严重性在于可能导致死循环，克服死循环的 方法有“字典序”法
11
3. 关于多重解问题 多个基础可行解都是最优解，这些解在同一个超平
大M法的求解过程 例 p46-1.1(a)
解：
1
p46-1.1(a)的单纯形法迭代过程
x5
[]
x6
x5 x1
2
[]
x5
x1
x2 x1
最优解为：x1=3/4，x2=1/2，x3=x4=x5=x6=0
最优值为 3
有无穷多最优解
3
大M法的一些说明
大M法实质上与原单纯型法一样，M 可看成一个很大的常 数
x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 X6+X1≥60
非负性约束：xj ≥0,j=1,2,…6
21
营养要求 700 30
200
18
配方问题建模
❖ 设抓取饲料I x1kg;饲料II x2kg;饲料III x3kg…… ❖ 目标函数：最省钱 minZ=2x1+7x2+4x3+9x4+5x5
约束条件 ❖ 营养要求： 3x2+2x2+x3+6x4+18x5 ≥700
x1+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5 ≥30 0.5x1+x2+0.2x3+2x4+0.8x5 =200 ❖ 用量要求：x1 ≤50,x2 ≤60,x3 ≤50,x4 ≤70,x5 ≤40 ❖ 非负性要求：x1 ≥0,x2 ≥0,x3 ≥0,x4 ≥0,x5 ≥0
19
应用举例2 ——人员安排问题
❖ 医院护士24小时值班，每次值班8小时。不同 时段需要的护士人数不等。据统计：
序号
时段
最少人数 安排人数
1
06—10 60
X1
2
10—14 70
X2
3
14—18 60
X3
4
18—22 50
X4
5
22—02 20
X5
6
02—06 30
x6
20
人员安排问题建模
❖ 目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 ❖ 约束条件： x1+x2 ≥70
17
应用举例1——配方问题
❖ 养海狸鼠 饲料中营养要求：VA每天至少700克，VB每 天至少30克，VC每天刚好200克。现有五种饲料，搭配 使用，饲料成分如下表：
饲料
I II III IV V
Va Vb Vc 价格元/kg
3
1
0.5 2
2
0.5 1
7
1
0.2 0.2 4
6
2
若第一阶段结束时，人工变量仍在基变量中，则原问
题无解 v 为了简化计算，在第一阶段重新定义价值系数如下：
5
用二阶段法求解p46-1.1(d) ,第一阶段
[]
x5
x4
6
[]
x5
x4
x1 x4
7
第二阶段 []
x1 x4
x1 x2
8
x1 x2 无最优解（无界解）。这是因为
9
◆ 单纯型法的一些具体问题
人工变量被迭代出去后一般就不会再成为基变量 当检验数都满足最优条件，但基变量中仍有人工变量，
说明原线性规划问题无可行解 大M法手算很不方便 因此提出了二阶段法
❖计算机中常用大M法 ❖二阶段法手算可能容易
4
5-2 两阶段法 v 第一阶段的任务是将人工变量尽快迭代出去，从而找
到一个没有人工变量的基础可行解 v 第二阶段以第一阶段得到的基础可行解为初始解，采