运筹学(单纯形法的进一步讨论)

不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。
单纯形法的计算步骤
cj
cB
0
1
b
15
2
x2
-3
1
x3
2
0
x4
1
0
x5
0
θi
0 j x5
2 0 1
基变 量 x4
x1
2
－ 20 25 60
j
x2 x4
x1
20 1/3 75 3 1 20 1/3 1/3
25 35/3
1 0 2 1 0 0 1
处理方法二 两阶段法
max Z xn1 xn2 xnm
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n 1 b1 a x a x a x x b 21 1 22 2 2n n n2 2 s.t. a x a x a x x m2 2 mn n n m bm m1 1 x1 ~ x n 0, x n 1 ~ x n m 0
① 确定换入基的变量。选择 j 0 ，对应的变量xj作为换入变
量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检 验数，即： k max{ j | j 0} ，其对应的xk作为换入变 量。 变量作为换出变量。 bi L min a ik 0 a ik
② 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基
单纯形法的计算步骤
③ 用换入变量 xk 替换基变量中的换出变量，得 到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的 基可行解，并相应地可以画出一个新的单纯形 表。
5）重复3）、4）步直到计算结束为止。
单纯形法的计算步骤
换入列
将3化为1
bi /ai2，ai2>0 4 0 0 θi 换 出 行
例3 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 2 x2 x3 4 x1 3 x2 x3 4 x x 2 x 10 1 2 3 2 x1 2 x2 x3 1 x1 , x2 , x3 0
解：首先将数学模型化为标准形式
θi
0
j
x4
30
1 3
3 4
0 0
1 0
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
单纯形法的计算步骤 3）进行最优性检验
如果表中所有检验数 j 0 ，则表中的基可行解就是问题 的最优解，计算停止。否则继续下一步。
4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可 行解，列出新的单纯形表
bm 0 1 am,m1 amn m
j
00 j c j ci aij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
• 例1 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 x 3 40 x1 3 x 2 x 4 30 x , x , x , x 0 1 2 3 4
单纯形法的计算步骤 2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。 cj cB 0 基 x3 b 40 3 x1 2 4 x2 1 0 x3 1 0 x4 0
0
5 17 1 5
－9
0 1 0 0 0
1 3 0 1
－2
j
1 0
0
17/3 1/3 1 28/9 -1/9 2/3
-98/9 -1/9 -7/3
2
x2
§5 单 纯 形 法 进 一 步 讨 论
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 人造基 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 添加人工变量造成基 s.t. 去掉人工变量 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,, xn 0
第一阶段最优解中:
如果Z<0, 则原问题没有基本可行解;
如果Z=0, 则若人工变量全为非基变量,则得到 原问题的基本可行解. 否则基本可行解退化,继续 迭代就可以得到基本可行解.
两 阶 段 单 纯 形 法
max Z 3 x1 2 x 2 x 3 4 x1 3 x 2 x 3 x 4 4 x1 x 2 2 x 3 x 5 10 2 x1 2 x 2 x 3 1 x j 0, j 1,2, ,5
系数矩阵中不存在 单位矩阵，无法建 立初始单纯形表。
人 工 变 量
§5 单 纯 形 法 进 一 步 讨 论
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn Mxn1 Mxn2 Mxnm
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n 1 b1 a x a x a x x b 21 1 22 2 2n n n2 2 s.t. a x a x a x x m1 1 m2 2 mn n n m bm x1 ~ x n 0, x n 1 ~ x n m 0
原问题的可行解
( 0) ( 0) ( 0) X (0) ( x1 , x2 ,, xn )
( 0) ( 0) ( 0) X (1) ( x1 , x2 ,, xn ,0,,0)
新问题的可行解
目标值
( 0) ( 0) Z 0 c1 x1 , cn xn
结论：新问题的最优解中，如果人工变量均为零， 则得到的解也是原问题的最优解，否则原问题无可 行解
0 x4 -1 0 0 -M -1 0 0 -M －1/5 3/5 －2/5 0 1 1 0 -5
0 x5 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 5/3 2/3 -25/3
-M x6 1 0 0 1 0 0 0
-M x7 0 0 1
θi 4 5 1
3/5 8/3 —— —— 31/3 ——
单纯形法的计算步骤
• 单纯形法的思路
找出一个初始可行解
是否最优 循 环 否
是
最优解 结束
转移到另一个基本可行解 （找出更大的目标函数值） 核心是：变量迭代
单纯形法的计算步骤
cj
cB
XB
c1 cm
x1 xm
• 单纯形 c1 cm cm 1 cn i 表 b x1 xm xm1 xn b1 1 0 a1,m1 a1n 1
j
j
j
3 b x1 4 -4 10 1 1 2 3-2M 3 -6 8 -3 1 2 5-6M 3/5 －6/5 31/5 3/5 11/5 －2/5 5↑ 13 0 31/3 1 19/3 0 0
2 x2 3 -1 -2 2+M 5 3 -2 5M↑ 1 0 0 0 1 0 0 0
-1 x3 1 2 1 -1+2M↑ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
人 工 变 量
两 阶 段 法
第一阶段
max Z xn1 xn2 xnm
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n 1 b1 a x a x a x x b 21 1 22 2 2n n n2 2 s.t. a x a x a x x m1 1 m2 2 mn n n m bm x1 ~ x n 0, x n 1 ~ x n m 0
• 故人为添加两个单位向量，得到人工变量单 纯形法数学模型：
max Z 3 x1 2 x 2 x 3－Mx 6 Mx 7 4 x1 3 x 2 x 3 x 4 x 6 4 x1 x 2 2 x 3 x 5 10 2 x1 2 x 2 x 3 x 7 1 x j 0, j 1,2, ,7
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
CB -M 0 -M
0 -M -1 2 -M -1 2 3 -1
cj XB x6 x5 x7 x6 x5 x3 x2 x5
单纯形法的计算步骤
例2. 用单纯形法求解
max Z x1 2 x 2 x 3 2 x1 3 x 2 2 x 3 15 1 s .t x1 x 2 5 x 3 20 3 x1、x 2、x 3 0
解：将数学模型化为标准形式：
max Z x1 2 x 2 x 3 2 x1 3 x 2 2 x 3 x 4 15 1 s .t x1 x 2 5 x 3 x 5 20 3 x j 0, j 1,2, ,5
→ →
→
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
解的判别：
1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线性规划具有唯一最优解。
2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零, 则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。
3）无界解判别：某个 k 0 且aik≤０（i=1，2,…,m）则线 性规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大 M单纯形法计算得到最优解并 且存在xiN>0时，则表明原线性规划无可行解。
5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。