运筹学一般单纯形法
运筹学单纯形法
运筹学单纯形法
运筹学单纯形法，又称单纯性法，是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它在运筹学中发挥着重要作用。
它主要应用于决策及资源分配问题，可以帮助决策者更好地把握资源的优化配置，并寻求最优解。
单纯性法是以线性规划问题作为理论基础，它是将该问题转化为一系列形如Ax=b的线性方程组的运筹学方法。
在这个方程组通过调整方程中的系数和右面常数而变换为形如Cx≤d的不等式形式，而这种不等式系统称为单纯性约束条件。
单纯性法从不等式中寻找一系列基向量，并通过改变基向量来实现改变不等式的求解方程之间的关系，从而求出最优解的问题。
传统的单纯性法分为有界单纯性和无界单纯性两种情形。
无界单纯性以简单费用曲线方法、扩展的简单费用曲线方法和增广次数法三大类。
有界单纯性主要是对对角单纯性和非对角单纯性这两类单纯性系统分别使用不同的方法进行求解。
单纯性求解方法在线性规划问题求解中具有重要应用，它能通过求解线性规划问题中的一系列互不相关的子问题来求出最优解。
使用该方法，可以以最少的成本达到最优的收益，它包括费用最低优化、网络流优化、全格研究和数学优化模型等。
运筹学单纯形法的计算步骤
b2
0… 0
a2,m+1
…
a2n
2
…
…
…
…
cm xm
bm
0… 1
am,m+1
…
amn
m
-z -z 值 0 … 0
m+1
…
n
XB 列——基变量， CB 列——基变量的价值系数(目标函数系数) cj 行——价值系数，b 列——方程组右侧常数 列——确定换入变量时的比率计算值
下面一行——检验数， 中间主要部分——约束方程系数
(4).根据max(j > 0) =k，拟定xk为换入变量，按 规则计算 =min{bi/aik\aik>0}
可拟定第l行旳基变量为换出变量。转入下一步。
(5).以 alk 为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转变 换)，把 xk 所对应的列向量变换为(0，0，…，1，…，0)T，将
XB 列中的第 l 个基变量换为 xk，得到新的单纯形表，返回(2)。
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 2 0 x4 8 3 x2 3
1
0
1
0 -1/2 -
0 0 -4 1 (2 ) 4
0 1 0 0 1/4 12
-z
-13
0
0 -2
0 1/4
X(2)=(2，3，0，8，0)T， z2 =13
cj
2 30 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 0 x5 4 3 x2 2
量，给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
运筹学-第一章-单纯形法基本原理
X ( 0) ( x1 , x2 ,, xm ,0,0,...,0)T (b1 , b2 ,......,bm ,0,0,...,0)T
0
0
0
单纯形法基本原理
2、基变换 定义：两个基可行解称为相邻的，如果它们之间变换 且仅变换一个基变量。 初始基可行解的前m个为基变量，
X
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1，X2，使X 成为这两个点连线上的一个点
单纯形法基本原理
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）
的左边变成一个单位矩阵，
b (b1 a1 j ,.,bl 1 al 1 j , , bl 1 al 1 j ,.,bm am1 j , ) ( x1 , x2 ,..., xl 1 , x j , xl 1 ,..., xm )
X
(1)
T
与X
( 0)
是相邻的基可行解。
M M bm 0 L
M M
M M
L 1 am,m1 L L 00
M , M amn m
bi 其中： i a kj 0 a kj
j c j ci aij c j z j
单纯形法的计算步骤
例1.12 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
xi0 aij 0, aij 0,取值无限，
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
运筹学5-单纯形法
保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个 列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0， 所以有6个基阵和 6个基本解。
运筹学单纯形法
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
运筹学单纯形法各个步骤详解
运筹学单纯形法各个步骤详解1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个听起来有点高深莫测，但其实特别有意思的东西——运筹学的单纯形法。
别看它名字复杂，其实它就是解决线性规划问题的绝招，像一把钥匙，打开了优化的宝藏。
想象一下，如果你有一大堆资源，要把它们分配到不同的地方，听起来就像玩拼图一样。
好了，废话不多说，咱们直接进入正题！2. 单纯形法的基本概念2.1 线性规划的起源首先，线性规划是啥？简单来说，它就是在一系列限制条件下，想要最大化或最小化某个目标函数。
这听起来像是在做一场抉择，你得在各种选择中找到最优解。
有点像在超市里，看到一堆零食，犹豫不决，最后只能选那包最爱吃的，既美味又划算。
2.2 单纯形法的基本思路而单纯形法就是解决这个问题的武器。
它的核心思想很简单，跟追求完美一样，咱们要一步步地朝着最优解迈进。
想象你在爬山，每一步都在找那个最容易走的路，直到你站在山顶，俯瞰整个美景，啊，真是太棒了！3. 单纯形法的步骤3.1 初始化那么，怎么开始呢？首先，咱们得把问题转化为标准形式。
这就像把一个繁杂的图案简化成几何图形，让它看起来更清晰。
要把不等式转换为等式，添加松弛变量，这样就可以把问题整理得干干净净。
3.2 构建初始单纯形表接下来，咱们构建初始单纯形表。
这个表就像一本菜单，上面列出了所有可能的选择和它们的成本。
每个变量都有自己的“价格”，而咱们的目标就是尽量少花钱，最大化收益。
想想你逛街时，总是想着要花最少的钱买到最好的东西，嘿，这就是单纯形法的精神！3.3 寻找基变量和入基变量然后，咱们得找出“基变量”和“入基变量”。
基变量就像在舞台上表演的演员，而入基变量就是准备加入的“新人”。
在这个过程中，咱们得判断哪个新人能让整个表演更精彩。
如果找对了，舞台瞬间就能变得熠熠生辉，若是找错了，哎呀，那可就尴尬了。
3.4 更新单纯形表一旦找到了合适的入基变量，咱们就得更新单纯形表。
这一步就像在调味，添加新的元素，让整体味道更加丰富。
运筹学单纯形法例题求解过程
运筹学单纯形法例题求解过程（原创版）目录一、运筹学单纯形法的基本概念二、运筹学单纯形法的求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解2.编制初始单纯形表3.判断基本可行解是否为最优解4.迭代求解下一个使目标函数更优的基本可行解5.重新计算机会费用和检验数三、运筹学单纯形法的应用实例正文一、运筹学单纯形法的基本概念运筹学单纯形法是一种求解线性规划问题的方法，它是基于数学和统计学的理论基础，通过逐步优化算法，寻找线性规划问题中最优解的一种方法。
线性规划问题是指在一定约束条件下，寻求目标函数的最小值或最大值的问题。
而单纯形法是线性规划问题中最常用的求解方法之一，它通过迭代计算，不断优化基变量，从而得到问题的最优解。
二、运筹学单纯形法的求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解在求解线性规划问题时，首先需要确定问题的基变量，即在所有变量中选择若干个变量作为基变量。
基变量的选取可以通过寻找单位矩阵的方法来确定。
确定基变量后，可以求出初始基本可行解，即满足所有约束条件的变量值组合。
2.编制初始单纯形表根据初始基本可行解和线性规划模型提供的信息，可以编制初始单纯形表。
单纯形表是一个包含基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件常数项和检验数等元素的矩阵表。
3.判断基本可行解是否为最优解在求解过程中，需要判断基本可行解是否为最优解。
这可以通过检验数来进行。
检验数是指非基变量与对应约束条件的乘积，如果所有非基变量的检验数都小于等于 0，说明已经达到最优解。
否则，需要继续迭代求解。
4.迭代求解下一个使目标函数更优的基本可行解如果基本可行解不是最优解，需要通过迭代求解来寻找下一个使目标函数更优的基本可行解。
迭代过程中，需要确定换入变量和换出变量，然后根据换入变量和换出变量生成新的单纯形表，并重新计算机会费用和检验数。
5.重新计算机会费用和检验数在迭代过程中，需要重新计算机会费用和检验数，以便判断新的基本可行解是否更优。
如果新的基本可行解的检验数满足条件，说明已经找到最优解，可以结束迭代求解过程。
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Cj → 0 3 10 0
0
段↓基 b
P1 P2 P3
P4
Qi 注
1
0
x3 24 3
4
1
0
6
0 x4 15 -1 (5) 0
1
3 调出
Cj-Zj →
3 10 0
0
2
0
x3 12 (19/5) 0
10 x2 3 -1/5 1
P4
θi 注
1
cj-zj →
例
cj → 0 3 10 0 段 ↓ 基 b P1 P2 P3
0 P4
θi 注
1 0 x3 24 3 4 1 0 0 x4 15 -1 5 0 1
cj-zj →
步骤4.1
c j z j c j cB p j
▪ 计算检验数Ｃｊ－Ｚｊ：其中Ｚｊ等于Ｐｊ中各分 量与相应的左边各Ｃｊ的乘积之和，Ｃｊ－Ｚｊ等 于Ｐｊ上面对应的Ｃｊ减去Ｚｊ；
步骤1
▪ 引入松弛变量等，将问题化成标准形式；
max F 3x1 10x2 0x3 0x4 s.t. 3x1 4x2 x3 24 x1 5x2 x4 15 x j 0, j 1,2,3,4
步骤2
▪ 具体写出各系数矩阵Ａ，B，Ｐj和Ｃ; ▪ 特别注意：A矩阵中有否完全单位向量组。
第三章 单纯形法
▪ 单纯形法适用于任何线性规划问题的求解。
▪ 单纯形法的一般解法 ▪ 大M法和两阶段法 ▪ 修正单纯形法 ▪ 单纯形法的数学原理
第一节 单纯形法的一般解法
▪ 例：
max F 3x1 10x2 s.t. 3x1 4x2 24 x1 5x2 15 x1 0, x2 0
pi* j*
将原主元行上的元素，分别除以主元素，使主元素
为“1”。即：
Cj → 0
3 10 0
0
段↓基
b
P1
P2
P3
P4
θi 注
1
0
x3 24
3
Байду номын сангаас
4
1
0
6
0
x4 15
-1 (5)
0
1
3 调出
Cj-Zj →
3 10 0
0
2
0
x3
10 x2
Cj-Zj →
例：
Cj → 0 3 10 0
0
段↓基
b
P1 P2
cj → 0 3 10 0
0
段 ↓ 基 b P1 P2 P3
P4
θi 注
1
0 x3 24 3
4
1
0
0 x4 15 -1 5 0
1
cj-zj
→
cj → 0 3 10 0
0
段 ↓ 基 b P1 P2 P3
P4
θi 注
1
0 x3 24 3
4
1
0
0 x4 15 -1 5 0
1
cj-zj
→
3 10 0 0
步骤4.2：判断
其余均为0。
Cj
→
0
3
10
0
0
段
↓基
b
P1
P2
P3
P4
θi
注
1
0
x3
24
3
4
1
0
6
0
x4
15
-1
(5)
0
1
3 调出
Cj-Zj
→
3
10
0
0
2
0
x3
0
10
x2
3 -1/5 1
0
1/5
Cj-Zj
→
则：A=-4
Cj → 0 3 10 0
0
段↓基
b
P1
P2
P3
P4
θi 注
1
0 x3 24 3
4
1
0
6
0 x4 15 -1 (5) 0
▪ 5.1决定主元素 ▪ 5.2换基迭代 ▪ 5.3计算新元素
5.1 决定主元素：
▪ 当表中出现正检验数时，找出其中绝对值最大的一个所在的列作为主元 列，记为Pj*，然后用主元列中各正分量去除b列中相应的分量，得到θ i，接 着取θ i中最小的分量所在的行为主元行，记为Pi*；主元行与主元列相交处 的元素即主元素，记为Pi*j*；找到主元素后，打上一个圈以示区别。
主元素
6 主元行
3
5.2：换基
▪ 把主元行对应的变量（出基变量/调出变量）从基底调出，
用主元列对应的变量（入基变量/调入变量）代替之，进入
下一段。
例中：x4调出，x2调入。
Cj → 0 3 10 0 0
段 ↓基 b
P1 P2 P3
P4
θi 注
1
0 x3 24 3
4
1
0
6
0 x4 15 -1 (5) 0
P3
P4
θi 注
1
0
x3 24 3
4
1
0
6
0 x4 15 -1 (5) 0
1
3 调出
Cj-Zj →
3 10 0
0
2
0
x3
10 x2 3 -1/5 1 0 1/5
Cj-Zj →
5.3 计算新元素
▪ 5.3.2 原非主元行上元素的计算：
先将原主元行上的新元素乘以某一数A后，分别加上原非主
元行上的元素，使原主元列上各元素除了原主元素为“1”外，
计算检验数，判断检验数
Cj → 0 3 10 0
0
段↓基 b
P1 P2 P3
P4
Qi 注
1
0
x3 24 3
4
1
0
6
0 x4 15 -1 (5) 0
1
3 调出
Cj-Zj →
3 10 0
0
2
0
x3 12 19/5 0
10 x2 3 -1/5 1
Cj-Zj →
1 -4/5 0 1/5
计算检验数，判断检验数
1
3 调出
Cj-Zj →
3 10 0
0
2
0
x3 12 19/5 0
1
-4/5
10 x2 3 -1/5 1 0 1/5
Cj-Zj →
步骤6：回到第4步
▪ 步骤4：计算检验数、判断检验数
➢ 计算检验数Ｃｊ-Ｚｊ：
（１）若所有检验数均≤０时，即得到最优解和最优值； （２）若检验数存在正值，继续下一步。
▪ （１）若所有检验数均≤０时，即得到最优解和 最优值；
▪ （２）若检验数存在正值，继续下一步。
Cj → 0 3 10 0
0
段↓基 b
P1 P2 P3
P4
θi 注
1
0 x3 24 3
4
1
0
0 x4 15 -1 5 0
1
cj-zj
→
3 10 0 0
▪ 本例中：c1-z1>0，c2-z2>0
步骤5：换基迭代
1
3
Cj-Zj →
3 10 0 0
换基后
Cj → 0 3 10 0
0
段
↓基 b
P1 P2 P3
P4
1
0 x3 24 3
4
1
0
0 x4 15 -1 (5) 0
1
Cj-Zj →
3 10 0
0
2
0 x3
10 x2
Cj-Zj →
θi 注
6 3
5.3：计算新元素
5.3.1 原主元行上元素的计算：
pi*t p i*t '
A
3 1
4 5
1 0
0 1
B 1254
3
4
1
0
P1 1 P2 5 P3 0 P4 1
C 3 10 0 0
步骤3
▪ 形成初始表如下，表中基变量为Ａ矩阵中完 全单位向量组对应的变量。
段 cj → ↓基
C
b
p1 p2 … pn
θi
注
基变 基 1 量对 变
应的 量
cj
例
cj → 段 ↓ 基 b P1 P2 P3
Cj → 0 3 10 0 0
段↓基
b
P1 P2 P3
P4
θi 注
1
0 x3 24 3
4
1
0
0 x4 15 -1 5 0
1
Cj-Zj →
3 10 0 0
例： 主元列
Cj → 0 3 10 0
0
段↓基
b
P1
P2
P3
P4
θi 注
0 1
0 Cj-Zj
x3 24 3 4
x4 15 -1 (5)
→
3 10
10 01 00