高三数学《一题多解 一题多变》试题及详解答案
高三《一题多解 一题多变》题目一题多解 一题多变（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <40≤≤∴m变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911822,∈+++=x nx mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 5==n m ∴ 当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 一题多变（二）已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式qqa a s n n 一一11=，q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解 一题多变（三）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（四）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ）（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个（C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。
故选D解法二：由题知124321)(21max 21=⨯=•⨯=∆b F F S F pF ，而在椭圆中：164tan221==∆πb S F PF ，∴不可能成立,1612>故选D解法三：由题意知当p 点在短轴端点处21PF F <最大，设α221=<PF F ，∴<⇒<=,4,143tan παα此时21PF F <为锐角，与题设矛盾。
故选D解法四：设)sin 4,5(θθcon P ，由,21PF PF ⊥知02121=•⇒⊥PF PF PF PF ，而⇒-=⇒=+-=+-=•970sin 16925)sin 4,35)(sin 4,35(22221θθθθθθθcon con con con PF PF 无解，故选D解法五：设θ=∠21F PF ，假设21PF PF ⊥，则26)4sin(26sin 66||||21≤+=+=+πθθθcon PF PF ，而102||||21==+a PF PF 即：2610≤，不可能。
高考数学一题多解一题多变测试5
一题多解、一题多变考查知识点：函数的对称中心原题：函数)lg(12++=x x y 的图象关于原点对称。
解：该函数定义域为R ：且))-(-lg()()-(12++=+x x x f x f +)lg(12++x x =))(-lg(1122++++x x x x =01=lg)(-)-(x f x f =∴：∴该函数图像关于原点对称变题1：已知函数)(x f y =满足)(-)-(11+=+x f x f 则)(x f y =的图象的关于),(01对称解： )(-)-(11+=+x f x f ∴)(1+=x f y 为奇函数：即)(1+=x f y 的图象关于原点),(00对称：故)(x f y =的图象关于),(01对称。
变题2：已知函数)(x f y =满足2=+)-()(x f x f ：则函数)(x f y =的图象关于),(10对称解：由2=+)-()(x f x f 得：∴]-)([--)-(11x f x f =：)(x f y =－1为奇函数：即)(x f y =－1的图象关于（0：0）对称：∴)(x f y =的图象关于),(10对称变题3：已知函数)(x f y =满足22=++)()(x f x f ：则)(x f y =的图象关于（1：1）对称解：令1-t x =：则t x --1=：故由22=++)()(x f x f 得211=++)-()(t f t f ：即)(x f 满足211=++)-()(x f x f ：即]-)([--)-(1111+=+x f x f ：∴11-)(+=x f y 的图象关于原点（0：0）对称：故)(x f y =的图象关于（1：1）对称。
结论：若函数)(x f y =满足b x c f x a f =++)-()(：则)(x f y =的图象关于()22bc a ,+对称。
变题4：已知244+=x xx f )(求证：（1）11=+)-()(x f x f （2）指出该函数图象的对称中心并说明理由。
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高三《一题多解 一题多变》题目一题多解 一题多变（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <40≤≤∴m变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911822,∈+++=x nx mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 5==n m∴ 当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 一题多变（二）已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式q q a a s n n 一一11=，qq a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解 一题多变（三）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（四）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法2112+=+=)-()(x x x x x f ，当01=xx -时，1=x ，此时 )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ）（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个（C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。
高考数学一题多解一题多变测试5
一题多解、一题多变考查知识点：函数的对称中心原题：函数)lg(12++=x x y 的图象关于原点对称。
解：该函数定义域为R ，且))-(-lg()()-(12++=+x x x f x f +)lg(12++x x =))(-lg(1122++++x x x x =01=lg)(-)-(x f x f =∴，∴该函数图像关于原点对称变题1：已知函数)(x f y =满足)(-)-(11+=+x f x f 则)(x f y =的图象的关于),(01对称解： )(-)-(11+=+x f x f ∴)(1+=x f y 为奇函数，即)(1+=x f y 的图象关于原点),(00对称，故)(x f y =的图象关于),(01对称。
变题2：已知函数)(x f y =满足2=+)-()(x f x f ，则函数)(x f y =的图象关于),(10对称解：由2=+)-()(x f x f 得，∴]-)([--)-(11x f x f =，)(x f y =－1为奇函数，即)(x f y =－1的图象关于（0，0）对称，∴)(x f y =的图象关于),(10对称变题3：已知函数)(x f y =满足22=++)()(x f x f ，则)(x f y =的图象关于（1，1）对称解：令1-t x =，则t x --1=，故由22=++)()(x f x f 得211=++)-()(t f t f ，即)(x f 满足211=++)-()(x f x f ，即]-)([--)-(1111+=+x f x f ，∴11-)(+=x f y 的图象关于原点（0，0）对称，故)(x f y =的图象关于（1，1）对称。
结论：若函数)(x f y =满足b x c f x a f =++)-()(，则)(x f y =的图象关于()22bc a ,+对称。
变题4：已知244+=x xx f )(求证：（1）11=+)-()(x f x f （2）指出该函数图象的对称中心并说明理由。
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一题多解、一题多变（课本P 102 ）证明：222221212122121)()(≤)(,)()(;)()()(,)(x f x f x x f b ax x x f x f x f x x f b ax x f ++++=+=++=则若则）若（变题：1、如图所示，),,,)((4321=i x f i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的21x x ,，任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有（ A ）A 、 )(),(31x f x fB 、)(2x fC 、)(),(32x f x fD 、)(4x f变题2、定义在R 上的函数)(x f 满足：如果对于任意R x x ∈21,都有222121)()(≤)(x f x f x x f ++ 则称函数)(x f 是R 上的凹函数。
已知二次函数),()(02≠∈+=a R a x ax x f （1）求证：当0>a 时，函数)(x f 是凹函数；（2）如果],[10∈x 时，1≤|)(|x f ，试求实数a 的取值范围。
（1）证明：略（2）实数a 的取值范围是[2,0)-二、一题多解不查表计算：5235233lg lg lg lg ++解法一：原式=3lg2lg55)lg lg2lg5-2lg )(lg (lg 22+++52=523552222lg lg lg lg lg -lg ++ =5522222lg lg lg lg ++ =1522=+)lg (lg解法二：原式=322(lg 2lg5)3lg 2lg5-3lg 2lg 53lg 2lg5+-+=1-3lg 2lg5(lg 2lg51)+- =1解法三：原式=52352523523lg lg )lg (lg lg lg -)lg (lg +++=5235231lg lg lg lg -+ =1解法四：原式=52352352352352352222233lg lg lg lg -lg lg -lg lg lg lg lg lg ++++=)-lg (lg lg lg -)lg (lg 152523523++=1解法五：原式=15235233×++lg lg lg lg=)lg (lg lg lg lg lg 525235233+×++=352)lg (lg + =1。
高考数学一题多解一题多变测试8
一题多解、一题多变参赛题目例、2ax -021≥+ax 恒成立：求a 的取值范围 解：1、当0=a 时021> 2、 0>a20≤<⇒a2a =Δ-214×a 0≤ ∴20≤≤a变式1：已知函数()212+-=ax ax x g 的定义域为R ：求实数a 的取值范围。
解：由题意得02≥+21ax -ax 恒成立： ∴1、当0=a 时021> 2、 0>a20≤<⇒a2a =Δ-214×a 0≤ ∴20≤≤a变式2、函数()212+-=ax ax x g 的定义域为R 的充要条件是什么解：由题意得02≥+21ax -ax 恒成立： ∴1、当0=a 时021> 2、 0>a20≤<⇒a2a =Δ-214×a 0≤ ∴20≤≤a变式3、2112+-=ax ax y 的定义域为R ：求实数a 的取值范围。
解：由题意得02>+21ax -ax 恒成立： ∴1、当0=a 时021> 2、 0>a20<<a ⇒2a =Δ-214×a 0< ∴20<≤a变式4、2112+-=ax ax y 的定义域为R ：求实数a 的取值范围。
解：由题意得2ax -021=+ax 无解即20a ,<Δ-200214<<⇒<×a a 或0=a∴20<≤a变式5、=y 22ax (log -)21+ax 的定义域为R ：求a 的取值范围 解：由题意得02>+21ax -ax 恒成立： ∴1、当0=a 时021> 2、 0>a20<<a ⇒2a =Δ-214×a 0< ∴20<≤a一题多解徐晓洲 求2122++=x x y 的值域 法一：常数分离法21+=2x 1-y ∴ 021212102202222<+≤⇒≤+<⇒≥+⇒≥x x x x - 21- 即121≤-1212<+x ∴值域为[21：1)法二：反解法由0122122222≥=⇒+=+⇒++=1-2y -1y x x y yx x x y ∴函数的值域为[21：1)法三：判别式法 由⇒⇒12212222+=+++=x y yx x x y 01-1)x -(2=+y y 2 即：1、当1=y 时 01≠ 故舍去2、当1≠y 时10≤≤⇒≥=y 2101)-1)(2y -4(y -Δ 所以函数的值域为[21：1)。
高考数学一题多解一题多变测试6
一题多解、一题多变题目：已知函数[)∞∈+++=，）（122x x a x x x f 若对任意[)01）＞（，，x f x ∞+∈恒成立：试求实数a 的取值范围。
解法一：在区间[)∞+，1上：022>++=xa x x x f ）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立：设a x x y ++=22在[)∞+，1递增 ：∴当x=1时a y +=3min ：于是当且仅当03>+=a y min 时：函数恒成立：故 a>—3。
解法二：[)∞+∈++=，，）（12x xa x x f 当a 0≥的值恒为正,当a<0时,函数）（x f 为增函数故当x=1时a x f +=3）（min 于是当且仅当3+a>)时恒成立, 故 a>—3。
解法三：在区间[)∞+，1上xa x x x f ++=22）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立x x a 22——>⇔恒成立：故a 应大于[)∞+∈=，，——122x x x u 时的最大值—3：()112++>∴x a — 当x=1时：取得最大值 —3 。
—3>∴a题目： 将函数x x f 1)(-=的图象向左平移1个单位：再向上平移1个单位：求所得图象的函数表达式。
解： 将函数x x f 1)(-=中的x 换成x+1：y 换成y-1得1)(111)(111)(+=⇒+-=⇒+-=-x x x f x x f x x f 变题1：作出函数11)(+-=x x x f 的图象 解： 函数11)(+-=x x x f =121+-x ：它是由函数x x f 2)(-=的图象向左平移1个单位：再向上平移1变题2：求函数11)(+-=x x x f 的单调递增区间 解： 由图象知 函数11)(+-=x x x f 的单调递增区间为：()()+∞--∞-,1,1, 变题3：求函数11)(+-=x x x f 的单调递增区间 解： 由011≥+-x x 得11-<≥x x 或 所以函数11)(+-=x x x f 的单调递增区间为()[)+∞-∞-,1,1, 变题4： 求函数)11()(log 2+-=x x x f 的单调递增区间 解： 由11011-<>⇒>+-x x x x 或：所以函数)11()(log 2+-=x x x f 的单调递增区间 为()()1,,,1-∞-+∞变题5 函数1)(---=a x x a x f 的反函数的图象的对称中心为（-1：3）：求实数a 解： 由)1(111)(+-+-=---=a x a x x a x f 知对称中心为（（a+1：-1）：所以它的反函数的对称中心为（-1：a+1）：由题意知：a+1=3 得a=2。
高考数学一题多解一题多变测试7
高考数学一题多解一题多变测试7已知00>>>m b a ,，求证：ab m a m b >++ 变 题1、已知数列}{n a 满足2+=n n a n ，*N n ∈，试比较n a 与1+n a 的大小 2、已知00<>>m b a ,，且00>+>+m b m a ,，求证：ab m a m b <++ 3、已知00>>>m b a ,，求证：a b m a m b <++ 解： 原题：证明：作差-)()-()(bm -ab -a b -m a a b a m m a a am ab m a m b +=++=++‘ 0>>b a ，0>m 0>∴b a - 0>+∴)()-(m a a b a m 0>++a b -∴m a m b 1、 0>n a ∴1233123312221<+++=+++=+++=+n n n n n n n n n n n n a a n n))(()( 1+<∴n n a a 2、)()-()(bm -ab -a b -m a a b a m m a a am ab m a m b +=++=++- 0>>b a ，∴0>b a -，又0>+m a ∴0<+)()-(m a a b a m ， ∴a b m a m b <++- 3、作差)()-()()(-)(-m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +=+++=++ 0>>b a ，0>m 0<∴a b - 0<+∴)()-(m b b a b m ba <++∴mb m a一 题 多 解已知数列}{n a 满足2+=n n a n ，*N n ∈，试比较n a 与1+n a 的大小 方法一：作差1+n a -n a =032231>++=+++))((2n n -n n n n ，n n a a >∴+1 方法二：作商 0>n a ∴1233123312221<+++=+++=+++=+n n n n n n n n n n n n a a n n))(()( 1+<∴n n a a - 方法三：（单调性）=+=2n n a n 2n 2-2n 2- +=++12n ，n a 关于n 单调递增 1+<∴n n a a 方法四：浓度法 把2+=n n a n 看成是一杯溶液（糖）的浓度，随着n 的增大（相当于向溶液中加糖），浓度 因此增大，易得n a <1+n a。
高三数学《一题多解_一题多变》试题及详解答案
5
5
3
变
1： sin α=
4
，求 tan α
5
解： sin α=
4 >
0 ，所以
α是第一或第二象限角
5
若是第一象限角，则
3
4
cosα= , tan α=
5
3
若是第二象限角，则 cosα= 一 4 , tan α= 一 4
5
3
变 2：已知 sin α= m(m > 0) 求 tan α
解：由条件 0 < m ≤1 ，所以
x
当 y = 2 时， x2 - 2 x + 1 = 0? x = 1 ， 因此当 x = 1时，
1 f ( x) = x + ( x
0) 有最小值 2，即值域为 [2,+ ∞)
x
方法二：单调性法
1
先判断函数 f (x) = x + (x 0) 的单调性
x
任取 0 x1 x2 ，则 f ( x1 ) - f ( x2 ) = (x1 - x2 )( x1 x2 - 1)
a ≠ 0 时， a 0 且 Δ = 4 - 4a ≥ 0? 0 a ≤1
综上 0 ≤ a ≤1
一题多解 一题多变（五）
-8-
题目：椭圆 x 2 y 2 1的焦点是 F1、F2 ，椭圆上一点 P 满足 PF1 PF2 ，
25 16
下面结论正确的是—————————————————————
——（
）
（A）P 点有两个
x
当 y = 2 时， x2 - 2 x + 1 = 0? x = 1 ， 因此当 x = 1时，
1 f ( x) = x + ( x
高三数学《一题多解_一题多变》试题及详解答案
3变2：f(x)=log
解：令t=
? mx2(mx2+8x+4)的值域为R，求m的取值范围 t能取到所有大于0的实数， +8x+4，则要求当m?0时，t能取到所有大于0的实数
?0时，m>0 当m且Δ≥0?0?m≤4
?0?m?4
变3：f(x)=log3mx2+8x+n2x+1
mx2的定义域为R,值域为[0,2]，求m,n的值 ∈[1,9]，得（y-m）x-8x?y-n?02解：由题意，令y=
y?m+8x+n2x+1 时，Δ≥0
和9时y2?y-(m?n)y?mn-16?0- 2? 1-(m+n)y+mn-16=0的两个根 ? m=n=5
? 当y=m时，x=n-m
8=0 ?x?R，也符合题意
?m=n=5
一 题 多 解- 解不等式3<2x-3<5
Hale Waihona Puke 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解 - 1 -
高三《一题多解 一题多变》题目
一题多解 一题多变（一） 原题：f(x)=mx+8x+42 的定义域为R，求m的取值范围 解：由题意mx2+8x+4≥0在R上恒成立 ?m?0且Δ?0，得m?4
变1：f(x)=log3mx2+8x+4的定义域为R，求m的取值范围 解：由题意mx2+8x+4>0在R上恒成立 ?m?0且Δ<0，得m>4
一题多解 多题一解 一题多变(顶角是20度的等腰三角形问题)原创
顶角是20度的等腰三角形有关问题的解法比较在解顶角是20度的等腰三角形有关问题时不难发现，它们有共同之处，就是构造适当的等边三角形进行转化。
举例如下：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=20゜，在AB、AC上分别取点E、D，使∠CBD=60゜，∠BCE=50゜.求∠AED的度数解法（一）解：如图2，作∠CBM=20°,点M在AC上，在AB上取点N，使BN=BM，在AM上取点P，使PM=MN，∵∠A=20゜, AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=80° ,∴∠NBM=60°∴△BMN为等边三角形，∵∠CBM=20°∴∠BMC=∠BCM=80°∴BC=BM=BN=MN=PM∴∠BNM=60°, ∠NMP=180°-∠BMN-∠BMC=40°∠MNP=∠MPN=70°∴∠ANP=180°-∠MNP-∠BNM=50°连接CN，在△BMN中，∵BC=BN，∠NBC=80°∴∠BCN=50°，∴点N就是图1中的点E，连接PB，在△PBM中，∵BM=PM，∠PMB=100°∴∠PBM=40°，∵∠CBM=20°∴∠CBP=60°，∴点P就是图1中的点D，∴∠AED=50°解法二解：如图3，作∠CBM=20°,交AC于点M，连接EM，∵∠A=20°, AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=80° ,BC=BM，∠NBE=60°∵∠BCE=50°∴∠BEC=180°–80°–50°= 50°∴BE=BC=BM∴△BMN为等边三角形，∴∠BEM=60°∵∠BMC =80°∴∠BMD=100°∵∠DBC =60°，∠CBM=20°∴∠DBM=40°在等腰△MDB中∴∠BDM=180°–100°–40°=40°AB CNMP(图2)AB CDE(图1)AB CEMD(图3)∴DM =BM =EM 在等腰△MDE 中 ∵∠BMD =100°∴∠MED =∠MDE =70°∴∠AED =180°-70°-60°=50°解法三：解：如图4 作等边三角形AGD 交AE 与F∴ ∠AGD ＝∠DBC ＝60°∠GAF ＝40° ∵∠A ＝20°AB ＝AC ∴ ∠ABC=∠ACB=80°又∵∠DBC ＝60°∴∠BDC ＝40°∴∠GAF ＝∠BDC ∴∠ABD ＝∠BAC ＝ 20° ∴AG=AD=DB△ AGF ≌△DBC∴AF=DC 又∵AB ＝AC∴BF=AD =DG ………① 又∵∠ABC =80°∠BCE =50゜∴∠BEC=50゜∴BE =BC=GF …………..② 由①②得 BF-BE=DG-GF 即：EF ＝FD又∵∠EFD =∠AFG ＝80°∴∠AED =（180°－80°）÷2=50° 2、（2004年山东省实验中学招生数学试题）12、在△ABC 中,AB=BC,∠ABC=20°,在AB 边上取点M,使BM=AC,则AMC 的大小为解法一_ 图 4_ GC解：作∠FAC=20°使AF＝AB 交AC与E 连结BF CF ∠BAF=80°-20°＝60°可得△BAF为等边三角形，∴BA=BF=AF∵BM=AC ∠FAC=∠CBM=20°∴△MBC≌△ACF ∠BMC=∠ACF∠CBF=60°-20°=40°BC=BA=AF∴∠BCF=(180°-40°)÷2=70°∴∠ACF=80°+70°=150°∴∠BMC=150°∠AMC=30°解法二解：作BD⊥AC交AC与D ∴∠DBC=10°在BD上取点E 使EA=AC 连结EC可得△EAC为等边三角形，∴EC=AC=BM∠BCE=80°-60°＝20°∴∠BCE=∠CBM BC是公共边∴△BCE≌△CBM ∠BCM＝∠DBC=10°∠AMC=∠BCM+∠ABC =30°解法三解：如图作等边三角形△BCN 连结MN ∠MBN=60°＋20°＝80°＝∠BAC∵BM=AC BN=BCC∴△NBM ≌△BAC∠BNM=20° ∠BMN ＝80° ∠MNC=60°-20°=40° ∵NM=BN=NC∴ ∠NMC=(180°-40°)÷2=70° ∴∠BMC =80°+70°=150° ∴∠AMC=30°补充练习：【题1】等腰三角形ABC ，顶角∠C=20°，D 、E 分别在CA 和CB 上，∠EAB=70°，∠DBA ＝60°，求∠DEA 度数。