高考数学复习-分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习课三种题型及提高练习

高考数学

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

自测：

1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有__种．32

解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32(种)．

2．有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．12

解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法．

3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_____种．答案24

解析分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)．

4．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)答案14

解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：

“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4(个)四位数．

“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6(个)四位数．

“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4(个)四位数．

综上所述，共可组成14个这样的四位数.

题型一分类加法计数原理的应用

例1一班有学生50人，男生30人，女生20人；二班有学生60人，男生30人，女生30人；三班有学生55人，男生35人，女生20人．

(1)从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？

(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？

思维启迪用分类加法计数原理．

解(1)完成这件事有三类方法

第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；

第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；

第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，

根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)选法．

(2)完成这件事有三类方法

第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；

第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；

第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．

综上知，共有30＋30＋20＝80(种)选法．

思维升华 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．

(1)在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

(2)方程x 2m ＋y 2n

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，其中m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？

解 (1)分析个位数字，可分以下几类：

个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个；

个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个；

同理，个位是7的有6个；

个位是6的有5个；

…

个位是2的只有1个．

由分类加法计数原理，满足条件的两位数有

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．

(2)以m 的值为标准分类，分为五类．

第一类：m ＝1时，使n >m ，n 有6种选择；

第二类：m ＝2时，使n >m ，n 有5种选择；

第三类：m ＝3时，使n >m ，n 有4种选择；

第四类：m ＝4时，使n >m ，n 有3种选择；

第五类：m ＝5时，使n >m ，n 有2种选择．

∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20(种)方法，

即有20个符合题意的椭圆．

题型二 分步乘法计数原理的应用

例2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)

(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；

(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．

思维启迪可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理．

解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项

目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．

(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数

原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．

思维升华利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：

(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；

(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．

解(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．

(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y

＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的二次函数．

题型三两个原理的综合应用

例3如图所示，将一个四棱锥的每

一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．

思维启迪染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．

解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．

当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，