初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 含答案 共30讲 改好278页

初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手第一讲 走进追问求根公式形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足的整数n 有 个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，。

【例3】 解关于的方程。

思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。

【例4】 设方程，求满足该方程的所有根之和。

思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。

【例5】 已知实数、、、互不相等，且， 试求的值。

思路点拨：运用连等式，通过迭代把、、用的代数式表示，由解方程求得的值。

注：一元二次方程常见的变形形式有：(1)把方程（）直接作零值多项式代换；(2)把方程（）变形为，代换后降次；(3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去。

02=++c bx ax 0≠a aac b b x 2422,1-±-=1)1(22=--+n n n 1x 2x 032=-+x x 1942231+-x x 1x 2x 1213x x -=2223x x -=x 02)1(2=+--a ax x a 01=-a 01≠-a 04122=---x x a b c d x ad d c c b b a =+=+=+=+1111x b c d a x 02=++c bx ax 0≠a 02=++c bx ax 0≠a c bx ax --=202=++c bx ax 0≠a c bx ax -=+2bx c ax -=+2x解合字母系数方程时，在未指明方程类型时，应分及两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如。

02=++c bx ax 0=a 0≠a 222x x x ==走进追问求根公式学历训练1、已知、是实数，且，那么关于的方程的根为 。

2、已知，那么代数式的值是 。

3、若，，则的值为 。

4、若两个方程和只有一个公共根，则( )A 、B 、C 、D 、5、当分式有意义时，的取值范围是( )A 、B 、C 、D 、且6、方程的实根的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、37、解下列关于的方程：(1)； (2)； (3)。

8、已知，求代数式的值。

9、是否存在某个实数m ，使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。

注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口。

a b 0262=-++b a x 1)2(22-=++a x b x a 0232=--x x 11)1(23-+--x x x 142=++y xy x 282=++x xy y y x +02=++b ax x 02=++a bx x b a =0=+b a 1=+b a 1-=+b a 4312++-x x x 1-<x 4>x 41<<-x 1-≠x 4≠x 011)1(=+-++x x x x x 03)12()1(2=-+-+-m x m x m 012=--x x x x x 26542-=-+0222=--x x )1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 022=++mx x 022=++m x x10、若，则＝ 。

11、已知、是有理数，方程有一个根是，则的值为 。

12、已知是方程的一个正根。

则代数式的值为 。

13、对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )A 、1B 、2C 、D 、2．514、自然数满足，这样的的个数是( )A 、2B 、1C 、3D 、415、已知、都是负实数，且，那么的值是( ) A 、 B 、 C 、 D 、 16、已知，求的值。

17、已知m 、n 是一元二次方程的两个根，求的值。

18、在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为，求的值。

0152=+-x x 1539222+++-x x x m n 02=++n mx x 25-n m +a 020002=--x x a200012000120003+++m x x =+-2223n 16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n n a b 0111=--+b a b a a b 215+251-251+-251--3819-=x 1582318262234+-++--x x x x x x 0720012=++x x )82002)(62000(22++++n m m m n 32811n19、已知方程的两根、也是方程的根，求、的值。

20、如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =S 矩形PQRS ，其中为不小于3的自然数．求证：需为无理数。

0132=+-x x αβ024=+-q px x p q n n ABBS参考答案第二讲 判别式——二次方程根的检测器为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。

我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。

【例题求解】【例1】 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 。

(广西中考题)思路点拨：利用判别式建立关于的不等式组，注意、的隐含制约。

注：运用判别式解题，需要注意的是：(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识。

【例2】 已知三个关于的方程：，和，若其中至少有两个方程有实根，则实数的取值范围是( ) （山东省竞赛题）A 、B 、或C 、D 、 思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于的不等式组，综合判断选择。

【例3】 已知关于的方程，(1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形△ABC 的一边长＝1，另两边长、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长。

(湖北省荆门市中考题)思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分或、中有一个与c 相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出、的值。

x 0112)21(2=-+--x k x k k k k 21-1+k y 02=+-a y y 012)1(2=++-y y a 012)2(2=-+-y y a a 2≤a 41≤a 21≤≤x 1≥a 141≤≤a a x 02)2(2=++-k x k x k a b c b =b c b c注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。

（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。

【例4】 设方程，只有3个不相等的实数根，求的值和相应的3个根。

(重庆市竞赛题)思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零。

【例5】已知：如图，矩形ABCD 中，AD ＝，DC ＝，在 AB 上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE ＝，问：这样的点E 是否存在?若存在，这样的点E 有几个?请说明理由。

(云南省中考题)思路点拨：要使Rt △ADE 、Rt △BEC 、Rt △ECD 彼此相似，点E 必须满足∠AED+∠BEC ＝90°，为此，可设在AE 上存在满足条件的点E 使得Rt △ADE ∽Rt △BEC ，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E 的存在与否及存在的个数。

注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有：(1)利用根的定义构造；(2)利用根与系数关系构造；(3)确定主元构造。

42=+ax x a a b x判别式——二次方程根的检测器学力训练1、已知，若方程有两个相等的实数根，则= 。

2、若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。

(辽宁省中考题)3、已知关于方程有两个不相等的实数解，化简= 。

4、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )A 、B 、C 、且D 、且 (山西省中考题) 5、已知一直角三角形的三边为、、，∠B ＝90°，那么关于的方程的根的情况为( ) A 、有两个相等的实数根 B 、没有实数根C 、有两个不相等的实数根D 、无法确定 (河南省中考题)6、如果关于的方程只有一个实数根，那么方程的根的情况是( )A 、没有实数根B 、有两个不相等的实数根C 、有两个相等的实数根D 、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)7、在等腰三角形ABC 中，∠ A 、∠B 、∠C 的对边分别为、、，已知，和是 关于的方程的两个实数根，求△ABC 的周长。