高等数学(上册)知识点汇总
高等数学上册知识点
高等数学上册知识点文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）高等数学上册第一章 函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续)()(00x f x f x=→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 2） 函数极限左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= 2、 极限存在准则1） 夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lima x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ）a) x e x ~1- （a x a xln ~1-） b) x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~)1(log +）第二章 导数与微分（一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
高等数学(上册)重点总结
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 000㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
高数上册知识点总结
高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。
例如：||x y =连续但不可导。
6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df ∙= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ∙∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），x y 1=（x=0是函数的无穷间断点）12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。
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高等数学上册知识点第一章 函数与极限、、、函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数在连续)(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
、、、极限1、定义1、数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2、函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00、、、左极限： 右极限：)(lim )(00x f x f xx -→-=)(lim )(00x f x f xx +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 、、2、极限存在准则1、夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ax n n =∞→lim 2、单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、无穷小（大）量1、定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量。
0lim =α∞=αlim2、无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小k Th1;)(~ααββαo +=⇔Th2 （无穷小代换）αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~、、、、4、求极限的方法1、单调有界准则；2、夹逼准则；3、极限运算准则及函数连续性；4、两个重要极限：a) b)1sin lim 0=→xxx e xx xx xx =+=++∞→→11(lim )1(lim 105、无穷小代换：（）0→x a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b)221~cos 1x x -c)（）x e x ~1-a x axln ~1-d)（）x x ~)1ln(+axx a ln ~)1(log +e)xx αα~1)1(-+第二章 导数与微分、、、导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数在点可导)(x f 0x )()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率。
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高等数学上册第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
(完整版)高等数学(上)重要知识点归纳
高等数学（上)重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1） )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。
（2)（保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。
（3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ （2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 （1） ＊夹逼准则 （2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较＊ 高阶、同阶、等价1、连续的定义＊)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章 导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义＊a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义＊k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系： 连续，反之不然。
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永不改变年轻时的梦想
10 页 共 19 页 3、 凹凸性及其判断，拐点 1）)(xf在区间I上连续，若2)()()2( ,,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2( ,,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I 上的图形是凸的。 2）判定定理：)(xf在],[ba上连续，在),(ba上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(xfbax,则)(xf在],[ba上的图形是凹的； b) 若0)(),,(xfbax,则)(xf在],[ba上的图形是凸的。 3）拐点：设)(xfy在区间I上连续，0x是)(xf的内点，如果曲线)(xfy经过点))(,(00xfx时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00xfx为曲线的拐点。 （五） 不等式证明 1、 利用微分中值定理； 2、 利用函数单调性； 3、 利用极值（最值）。 （六） 方程根的讨论
永不改变年轻时的梦想
7 页 共 19 页 （三） Taylor公式 n阶Taylor公式： 10)1(00)(200000)()!1()()(!)( )(!2)())(()()(nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf 在0x与x之间. 当00x时，成为n阶麦克劳林公式： 1)1()(2)!1()(!)0(!2)0(!1)0()0()(nnnnxnfxnfxfxffxf 在0与x之间. 常见函数的麦克劳林公式： 1）12)!1(!1!211nnxxnexnxxe
永不改变年轻时的梦想
1 页 共 19 页 高等数学上册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(xf在0x连续 )()(lim00xfxfxx 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限
高数(上)期末复习重点
高数〔上册〕期末复习要点第一章：1、极限〔夹逼准则〕2、连续〔学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型〕第二章：1、导数〔学会用定义证明一个函数是否可导〕注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则〔背〕3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理〔一定要熟悉并灵活运用--第一节〕2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值〔高中学过，不需要过多复习〕5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法〔变dx/变前面〕2、分部积分法〔注意加C 〕〔最好都自己推导一遍，好记〕定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线〔两直线的夹角、线面夹角、求直线方程〕 3、空间平面4、空间旋转面〔柱面〕高数解题技巧。
〔高等数学、考研数学通用〕高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
●第四句话：对定限或变限积分，假设被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。
●第二句话：假设涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
●第三句话：假设题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE 再说。
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三角函数公式等比数列的求和公式：x x=x1−x x x1−x=x1(1−x x)1−x等差数列求和公式：x x=x(x1−x x)2=xx1+x(x−1)2x立方和差公式：x3−x3=(x−x)(x2+xx+x2)x3+x3=(x+x)(x2−xx+x2)x x−x x=(x−x)[x x−1+xx x−2+⋯+xx x−2+x x−1]对数的概念：如果x（x>0，且x≠1）的x次幂等于x，即x x=x，那么数x叫做以x为底x的对数，记作：logxx=x.由定义知：（1）负数和零没有对数；（2）x>0，且x≠1，x>0；（3）logx 1=0，logxx=1，logxx x=x，x log x x=x.对数函数的运算法则：（）logx (x∙x)=logxx+logxx（）logx (x÷x)=logxx−logxx（）logxx x=x log x x（）logx x=log x xlog x x（）logx x x x=xxlogxx三角函数值导数公式：（1）(x)′=0（2）(x x)′=xx x−1（3）(sin x)′=cos x（4）(cos x)′=−sin x （5）(tan x)′=sec2x（6）(cot x)′=−csc2x （7）(sec x)′=sec x tan x（8）(csc x)′=−csc x cot x（9）(x x)′=x x ln x（10）(x x)′=x x（11）(logx x)′=1x ln x（12）(ln x)′=1x（13）(xxx sin x)′=√1−x2（14）(xxx cos x)′=√1−x2（15）(xxx tan x)′=11+x2（16）(xxx cot x)′=−11+x2基本积分表：（1）∫x d x=xx+x（x是常数），（2）∫x x d x=x x+1x+1+x(x≠1)（3）∫d xx=ln|x|+x（4）∫d x1+x2=xxx tan x+x （5）∫tan x d x=−ln|cos x|+x （6）∫cot x d x=ln|sin x|+x（7）∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+x （8）∫csc x d x=ln|csc x−cot x|+x（9）∫d xx2+x2=1xarctan xx+x（10）∫d xx2−x2=12xln|x−xx+x|+x（11）∫√x2−x2=arcsin xx+x（12）∫d x√x2+x2=ln(x+√x2+x2)+x（13）∫d x√x2−x2=ln|x+√x2−x2|+x第一章函数与极限第一节映射与函数一、集合如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a ∈ A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a ∉ A.全体非负整数即自然数的集合记作N，即N={0，1，2，…，n，…}；全体正整数的集合为x+={1，2，…，n，…}；全体整数的集合记作Z，即Z={…，−n，…，−2，−1，0，1，2，…，n，…}；全体有理数的集合记作Q，即Q={xx| x∈x，q∈x+且p与q互质}；全体实数的集合记作R.如果集合A与集合B互为子集，即A ⊂ B且B ⊂ A，则称集合A与集合B相等，记作A= B.例如，设A={1，2}，B={x | x2−3x+2=0}.则A=B若A ⊂ B且A ≠ B，则称A是B的真子集，记作A⊊ B.不含任何元素的集合称为空集，规定空集Φ是任何集合A的子集，即Φ ⊂ A.设A、D、C为任意三个集合，则有下列法则成立:（1）交换律A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A;（2）结合律(x∪x)∪x=x∪(x∪x)，(x∩x)∩x=x∩(x∩x)（3）分配律(x∪x)∩x=(x∩x)∪(x∩x)，(x∩x)∪x=(x∪x)∩(x∪x)（4）对偶律(x∪x)x=x x∩x x，(x∩x)x=x x∪x x二、映射定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：X → Y其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作了f(x)，即y=f(x)而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作x x，即x x=x；X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作x x或f(x)，即x x=x(x)={x(x)|x∈x}三、函数定义设数集D⊂R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=x(x)，x∈D其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作x x，即x x=x.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.在自变量的不同变化围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数.函数的几种特性：（1）函数的有界性如果存在正数M，使得|x(x)|≤x对任一x∈x都成立，则称函数x(x)在x上有界·如果这样的x不存在，就称函数x(x)在x上无界;这就是说，如果对于任何正数x，总存在x1∈x，使|x(x1)|>x，那么函数x(x)在x上无界.容易证明，函数x(x)在x上有界的充分必要条件是它在x上既有上界又有下界.（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性设函数x(x)的定义域D关于原点对称.如果对干任一x∈D，x(−x)=x(x)恒成立，则称x(x)为偶函数. 如果对干任一x∈D，x(−x)=−x(x)恒成立，则称x(x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴是对称的，奇函数的图形关于原点是对称的，反函数的图形关于y = x对称.函数y=sin x是奇函数.函数y=cos x是偶函数.函数y=sin x+cos x既非奇函数，也非偶函数.（4）函数的周期性设函数x(x)的定义域为D.如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x±x)∈x且x(x+x)=x(x)恒成立，则称x(x)为周期函数,x称为x(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期. 初等函数：幂函数：y=x x（μ∈R是常数）指数函数：y=x x(x>0且a≠1)x(x>0且a≠1，特别当a=e时，记为y=ln x)对数函数：y=logx三角函数：y=sin x反三角函数：y=arcsin x以上这五类函数统称为基本初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.对数函数与指数函数当x>0且x≠1，N=x x等价于x=log x x，对数函数是指数函数的反函数.第二节数列的极限定义设{x x}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ϵ（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，不等式|x−x|<xx都成立，那么就称常数a是数列{x x}的极限，或者称数列{x x}收敛于a，，记为x x=xlimx→∞x x 如果不存在这样的常数a，就说数列{x x}没有极限，或者说数列{x x}是发散的，习惯上也说limx→∞不存在.定理1（极限的唯一性）如果数列{x x}收效，那么它的极限唯一.定理2（收敛数列的有界性）如果数列{x x}收效，那么数列{x x}一定有界.根据上述定理，如果数列{x x}无界，那么数列{x x}一定发散，但是，如果数列{x x}有界。
却不能断定数列{x x}一定收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.x x=x，且a>0(或a<0)，那么存在正整数N > 0，当定理3（收敛数列的保号性）如果limx→∞n > N时，都要x x>0(或x x<0).定理4（收效数列与其子数列间的关系）如果数列{x x}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节函数的极限定义1 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x−x0|<x时，对应的函数值x(x)都满足不等式|x(x)−x|<x那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作x(x)=x或f(x)→x(当x→x0)limx→x0我们指出，定义中0<|x−x0|表示x≠x0，所以x→x0时x(x)有没有极限，与x(x)在点x0是否有定义并无关系.定义2 设函数f(x)在当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|>x时，对应的函数值x(x)都满足不等式|x(x)−x|<x那么常数A就叫做函数x(x)当x→∞时的极限，记作limx→∞x(x)=x或f(x)→x(当x→∞)定理1（函数极限的唯一性）如果limx→x0x(x)存在，那么这极限唯一.定理2（函数极限的局部有界性）如果limx→x0x(x)=x，那么存在常数M > 0和δ > 0，使得当0<|x−x0|<δ时，有|x(x)|≤x.定理3（函数极限的局部保号性）如果limx→x0x(x)=x，且A > 0（或A < 0），,那么存在常数δ> 0，使得当0<|x−x0|<x时，有x(x)>0（或x(x)<0）.第四节无穷小与无穷大定义1如果函数x(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零，那么称函数x(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷小特别地，以零为极限的数列{x x}称为n→∞时的无穷小.定理1在自变量的同一变化过程x→x0（或x→∞）中，函数x(x)具有极限A的充分必要条件是了x(x)=x+x，其中x是无穷小.定义2设函数x(x)在x0的某一去心邻域有定义（或|x|大于某一正数时有定义），如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数x），只要x适合不等式0<|x−x0|<x（或|x|>x），对应的函数值x(x)总满足不等式|x(x)|>x则称函数x(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大.定理2在自变量的同一变化过程中，如果x(x)为无穷大，则1x(x)为无穷小;反之，如果x(x)为无穷小，且x(x)≠0，则1x(x)为无穷大.第五节极限运算法则定理1有限个无穷小的和也是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理3如果lim x(x)=x，lim x(x)=x，那么（1）lim[x(x)±x(x)]=lim x(x)±lim x(x)=x±x （2）lim[x(x)∙x(x)]=lim x(x)∙lim x(x)=x∙x （3）若又有B ≠ 0，则xxx x(x)x(x)=xxxx(x)xxxx(x)=xx推论1如果lim x(x)存在，而c为常数，则lim[xx(x)]=x lim x(x).推论2如果lim x(x)存在，而n是正整数，则lim[x(x)]x=[xxxx(x)]x定理6（复合函数的极限运算法则）设函数x=x[x(x)]是由函数x=x(x)与函数x=x(x)复合而成，x[x(x)]在点x0的某去心邻域有定义，若limx→x0x(x)=x0，limx→x0x(x)=x，且存在x0>0，当x∈x(x0，x0)时，有x(x)≠x0，则limx→x0x[x(x)]=limx→x0x(x)=x第六节极限存在准则两个重要极限两个重要极限：lim x→0sin x=1lim x→∞(1+1x)x=x准则Ⅰ如果数列{x x}、{x x}及{x x}满足下列条件：（1）从某项起，即∃x0∈x，当x>x0时，有x x≤x x≤x x（2）limx→∞x x=x，limx→∞x x=x那么数列{x x}的极限存在，且limx→∞x x=x（称为：夹逼准则）准则Ⅱ单调有界数列必有极限柯西极限存在准则数列{x x}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当x>N，x>x时，就有|xx−x x|<x这准则的几何意义表示，数列{x x}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大的点x x中，任意两点间的距离小于ε.柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理.第七节无穷小的比较定义:如果lim xx=0，就说β是比α高阶的无穷小，记作β = o（α）如果lim xx=∞，就说β是比α低阶的无穷小.如果lim xx=x≠0，就说β是比α同阶的无穷小.如果lim xx=x≠0，x>0，就说β是关于α的x阶无穷小.如果lim xx=1，就说β与α是等价的无穷小，记作α ~ β.等价无穷小：(1+x)1x−1~1x x，x~sin x，x~tan x，x~arc sin x，1−cos x~12x2，ln(x+1)~x，x x~1+x定理1β与α是等价无穷小的充分必要条件为：β=α+o(x)定理2 设α ~ x′，β ~ x′，且lim x ′x存在，则lim xx=limx′x′第八节函数的连续性与间断点定义设函数x=x(x)在点x0的某一领域有定义，如果lim ∆x→0∆x=lim∆x→0[x(x0+∆x)−x(x0)]=0那么就称函数x=x(x)在点x0连续.所以，函数x=x(x)在点x0连续的定义又可叙述如下：设函数x=x(x)在点x0的某一领域有定义，如果：limx→x0x(x)=x(x0)那么就称函数x(x)在点x0连续.设函数x(x)在点x0的某去心邻域有定义.在此前提下，如果函数x(x)有下列三种情形之一：（1）在x=x0没有定义；（2）虽在x=x0有定义，但limx→x0x(x)不存在；（3）虽在x=x0有定义，且limx→x0x(x)存在，但limx→x0x(x)≠x(x0)，则函数x(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数x(x)的不连续点或间断点.函数间断点的几种常见类型：（1）无穷间断点（2）震荡间断点（3）可去间断点（4）跳跃间断点通常把间断点分成两类：如果x0是函数x(x)的间断点，但左极限x(x0−)及右极限x(x0+)都存在，那么x0称为函数x(x)的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.可去间断点和跳跃间断点为第一类间断点.无穷间断点和震荡间断点显然是第二类间断点.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性定理1设函数x(x)和x(x)在点x0连续，则它们的和（差）、积及商都在点x0连续.定理2如果函数x=x(x)在区间x x上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数x= x−1(x)也在对应的区间x x={x | x=x(x)，x∈x x}上单调增加（或单调减少）且连续.一般的，对于形如x(x)x(x)（x(x)>0，x(x)≢1）的函数（通常称为幂指函数），如果lim x(x)=x>0，lim x(x)=x那么lim x(x)x(x)=x x第十节闭区间上连续函数的性质定理1（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.定理2（零点定理）设函数x(x)在闭区间[ x，b ]上连续，且x(x)与x(x)异号，那么在开区间(x，b)至少有一点ξ，使x(x)=0定理3（介值定理）设函数x(x)在闭区间[ x，b ]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值x(x)=x及x(x)=x那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(x，b)至少有一点ξ，使得x(x)=x(x<x<x)推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.第二章导数与微分第一节导数概念定义设函数x=x(x)在点x0的某个邻域有定义，当自变量x在x0处取得增量∆x（点x0+∆x仍在该邻域）时，相应的函数取得增量∆x=x(x0+∆x)−x(x0)；如果∆x与∆x之比当∆x→0时的极限存在，则称函数x=x(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数x=x(x)在点x0处的导数，记为x′(x0)，即x′(x0)=lim∆x→0∆x∆x=lim∆x→0x(x0+∆x)−x(x0)∆xx′(x0)=limx→0x(x0+x)−x(x0)xx′(x0)=limx→x0x(x)−x(x0)x−x0也可记作x ′ | x = x 0，xx xx | x = x 0，xx (x )xx | x = x 0常数和基本初等函数的导数公式： （1）(x )′=0（2）(x x )′=xxx −1（3）(sin x )′=cos x（4）(cos x )′=−sin x （5）(tan x )′=sec 2x（6）(cot x )′=−csc 2x （7）(sec x )′=sec x tan x （8）(csc x )′=−csc x cot x （9）(x x )′=x xln x（10）(x x )′=x x（11）(log x x )′=1x ln x（12）(ln x )′=1x（13）(xxx sin x )′=√1−x2（14）(xxx cos x )′=√1−x 2（15）(xxx tan x )′=11+x2（16）(xxx cot x )′=−11+x2函数的和、差、积、商的求导法则： (x ±x )′=x ′±x ′ (xx )′=xx ′(xx )′=x ′x +xx ′(x x )′=x ′x −xx′x2 极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。