锐角三角函数的认识
解读锐角三角函数
解读锐角三角函数锐角三角函数是介于0到90度之间的角的三角函数。
它们包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan），在数学和物理学等领域中有广泛的应用。
锐角三角函数的定义如下：- 正弦函数（sin）：在直角三角形中，其中一锐角的对边除以斜边得到的比值。
- 余弦函数（cos）：在直角三角形中，其中一锐角的邻边除以斜边得到的比值。
- 正切函数（tan）：在直角三角形中，其中一锐角的对边除以邻边得到的比值。
正弦函数的值在0到1之间变化，其中sin(0) = 0，sin(90) = 1、余弦函数的值也在0到1之间变化，其中cos(0) = 1，cos(90) = 0。
正切函数的值在负无穷到正无穷之间变化，其中tan(0) = 0，tan(90) = 无穷。
锐角三角函数在几何学中的应用非常广泛。
它们可以用来计算三角形的边长和角度，求解直角三角形以及一般三角形的问题。
例如，知道一个直角三角形的一条边和一个锐角，可以利用锐角三角函数来计算其他边的长度。
此外，锐角三角函数还可以用来计算三角形的面积和高度等问题。
锐角三角函数在物理学中也有重要的应用。
例如，在力学中，可以利用正弦函数和余弦函数来分解复杂的力或速度矢量，并求解它们的分量。
在电工学中，正弦函数和余弦函数可以用来表示交流电的电压和电流。
在波动学中，正弦函数可以描述声波和光波的传播过程。
此外，锐角三角函数还出现在信号处理、图像处理和计算机图形学中。
它们可以用来模拟和处理信号、图像和曲线，从而实现音频和视频的压缩、滤波和变换等技术。
总之，锐角三角函数在数学和物理学等领域中是非常重要的。
它们的应用范围广泛，不仅可以用来解决数学和几何学问题，还可以用来研究自然科学和工程领域的现象和问题。
熟练掌握和理解锐角三角函数的特性和应用，对于学习和研究这些领域都具有重要意义。
《锐角三角函数》 讲义
《锐角三角函数》讲义一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比值叫做正弦（sin），锐角的邻边与斜边的比值叫做余弦（cos），锐角的对边与邻边的比值叫做正切（tan）。
以一个锐角为 A 的直角三角形为例，假设其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。
那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b 。
需要注意的是，锐角三角函数的值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。
二、特殊角的三角函数值我们要牢记一些特殊角的三角函数值，这在解题中会经常用到。
30°角：sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3 。
45°角：sin 45°＝√2 ／ 2，cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1 。
60°角：sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3 。
三、锐角三角函数的应用锐角三角函数在实际生活中有广泛的应用。
比如，测量物体的高度。
如果我们知道一个物体与我们的水平距离，以及我们观测物体顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算物体的高度。
假设我们站在水平地面上，距离一个建筑物为 d 米，观测建筑物顶部的仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过tanα ＝ h ／ d 来计算，即 h ＝d × tanα 。
再比如，测量河流的宽度。
我们可以在河的一岸选择一个点，然后测出对岸一个目标点与这个点的连线和河岸的夹角，以及这个点到河岸的垂直距离，从而计算出河流的宽度。
四、锐角三角函数的性质1、取值范围正弦和余弦的值域都在-1, 1之间，而正切的值域是全体实数。
2、增减性在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，余弦函数值随着角度的增大而减小，正切函数值随着角度的增大而增大。
《锐角三角函数》教学设计
《锐角三角函数》教学设计一、教学目标：1.了解什么是锐角三角函数；2.掌握正弦、余弦、正切的定义和计算方法；3.掌握锐角三角函数的性质和图像特点；4.能够应用锐角三角函数求解实际问题。
二、教学重点：1.正弦、余弦、正切的定义和计算方法；2.锐角三角函数的性质和图像特点。
三、教学难点：1.锐角三角函数的性质和图像特点。
四、教学过程：1.导入新知识向学生提问：“你们知道什么是三角函数吗？”接着引导学生回忆正弦、余弦、正切的定义和计算方法。
2.学习正弦、余弦、正切的定义和计算方法首先，给出锐角的定义：“锐角是指小于90°的角”。
然后，给出三角函数的定义：正弦（sin）：在锐角∠A中，它的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA。
余弦（cos）：在锐角∠A中，它的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦，记作cosA。
正切（tan）：在锐角∠A中，它的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA。
接着，通过例题进行讲解，让学生掌握如何计算正弦、余弦、正切。
3.学习锐角三角函数的性质和图像特点介绍锐角三角函数的性质：正弦函数的性质：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递增。
余弦函数的性质：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递减。
正切函数的性质：定义域是全体非零实数，值域是全体实数，在每个周期内都是振荡的。
然后，通过绘制锐角的基本函数图像，让学生观察锐角三角函数的图像特点。
4.练习运用锐角三角函数设计练习题，让学生运用锐角三角函数求解实际问题，如航空导弹的打击角度、建筑物的高度等。
五、教学总结对本节课的内容进行总结，强调重点。
六、板书设计锐角三角函数正弦：sinA = 对边/斜边余弦：cosA = 邻边/斜边正切：tanA = 对边/邻边锐角三角函数的性质：正弦函数：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递增。
余弦函数：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递减。
正切函数：定义域是全体非零实数，值域是全体实数，振荡。
锐角三角函数
初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。
“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（ ） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（ ）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（ ） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。
锐角三角函数知识点
锐角三角函数知识点锐角三角函数：一、基本概念：1、什么是锐角三角函数：锐角三角函数是一类特殊的函数，涉及到角度和角度对应的三角函数值，用于计算平面向量在多边形中和求解三角形的面积。
2、锐角三角函数的定义：锐角三角函数是基于角度θ，从而定义的三角函数值。
一般情况下，它用半圆线直叙指函数如下所示：sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ。
3、锐角三角函数的基本关系：cosθ= sin (π/2-θ)；sinθ= cos (π/2-θ)；tanθ=cot (π/2-θ)；cotθ=tan (π/2-θ)；secθ=csc(π/2-θ)；cscθ=sec (π/2-θ)。
二、圆周角：1、什么是圆周角：圆周角是指以圆等分线在a轴上的量度，即由圆心和两个点确定的弧的长度。
圆周角定义在一个圆的周围，与半径的长度有关，可以用角度μ来表示。
2、单位：圆周角的单位是弧度rad，又称为radian，表示当一个圆的半径为1时，圆周角的长度。
三、锐角的余弦定理：1、锐角余弦定理是用弦和角定义的三角形问题，可以求解共有三角形A、B、C三个锐角所对应边长a、b、c满足关系：a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC。
2、此外，锐角余弦定理也可以利用三角形所有边长求解A、B、C三个锐角所对应的角度值，记为A=cos-1[(b²+c²-a²)/2bc]；B=cos-1[(a²+c²-b²)/2ac]；C=cos-1[(a²+b²-c²)/2ab]。
四、锐角的正弦定理：1、锐角正弦定理是求解三角形的已知一边和两个对边角的问题，满足条件如下：a=b sinA/sinB；b=a sinB/sinA；c=a sinC/sinA，c=bsinC/sinB。
锐角的三角函数PPT
余弦函数的符号为cos，表示为cos(θ)， 其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦 曲线，表示在直角三角形中，邻边的长 度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周 期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域：(0, π/2)
余弦函数的值域：[-1, 1]
余弦函数的图像：一个周期为2π的周 期函数，图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性：偶函数，f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性：在[0, π/2]上是 增函数，在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域：正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性：正弦函数是奇函数， 即f(x) = -f(-x)
周期性：正弦函数的周期是 2π，即f(x + 2π) = f(x)
最值：正弦函数的最大值是1， 最小值是-1
图像：正弦函数的图像是一 条正弦曲线，关于原点对称
余弦函数的性质
定义：余弦函数是直角三角形中的一 个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域：(0, ∞)
04
正切函数的图像：在平 面直角坐标系中，正切 函数的图像是一条以原 点为中心的对称曲线， 在y轴右侧的部分为单调 递增，在y轴左侧的部分 为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性 质
正弦函数的性质
定义：正弦函数是直角三角 形中的一个角（锐角）的正 弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐 角三角函数中 的一种，表示 在一个直角三 角形中，对边 （opposite） 的长度与邻边 （adjacent） 的长度之比。
锐角三角函数(正切)
正切函数的单调性
总结词
正切函数在开区间(-π/2, π/2)上是 单调递增的。
详细描述
在区间(-π/2, π/2)内，随着角度的 增加，正切函数的值也会增加。这 意味着在这个区间内，正切函数是 单调递增的。
03
正切函数的应用
在几何学中的应用
计算直角三角形中的边长
通过已知的直角三角形中的两个边长， 使用正切函数可以计算出未知的边长。
总结词
30度角的正切值是三角函数中一个重要的基础值。
详细描述
在直角三角形中，当锐角为30度时，对边与邻边的比值即为正切值。具体地，30度角的正切值等于对边长度除以 邻边长度，结果为$tan 30^circ = frac{sqrt{3}}{3}$。这个值在三角函数计算中经常用到，是三角函数的基础之 一。
05
练习与思考
练习题一：求正切值
总结词
掌握计算方法
详细描述
通过观察锐角三角形的边长关系，理解正切函数的定义，掌握利用已知边长求正切值的方法。
练习题二：判断正切函数的奇偶性
总结词
理解奇偶性
详细描述
通过分析正切函数的定义域和值域， 理解正切函数的奇偶性，掌握判断正 切函数奇偶性的方法。
练习题三：应用正切函数解决实际问题
45度角的正切值
总结词
45度角的正切值是另一个重要的基础值，具有特殊的数学意 义。
详细描述
在直角三角形中，当锐角为45度时，对边与邻边的比值即为 正切值。具体地，45度角的正切值等于对边长度除以邻边长 度，结果为$tan 45^circ = 1$。这个值在三角函数计算中经 常用到，特别是在等腰直角三角形中。
锐角三角函数（正切）
目录
• 引言 • 正切函数的性质 • 正切函数的应用 • 特殊角的正切值 • 练习与思考
锐角三角函数讲义
锐⾓三⾓函数讲义锐⾓三⾓函数讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1锐⾓三⾓函数第⼀课时:三⾓函数定义与特殊三⾓函数值知识点⼀：锐⾓三⾓函数的定义：⼀、锐⾓三⾓函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表⽰为：sinA= ，∠A 的余弦可表⽰为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐⾓三⾓函数例1．如图所⽰，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______，斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=______．例2. 锐⾓三⾓函数求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sin A＝______，cos A＝______，tan A＝______，sin B＝______，cos B＝______，tan B＝______．例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN 于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．对应练习:1、在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA．2、如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA的值．25247C BA3、已知α是锐⾓，且cos α=34，求sin α、tan α的值．4、在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =，4BC =，则tan A = ．5、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=53，那么tanA 的值等于（）.A ．35B. 45C. 34D. 436、在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA4，c ＝4，则a ＝_______．7、如图，P 是∠α的边OA 上⼀点，且P 点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ _．知识点⼆：特殊⾓的三⾓函数值当时，正弦和正切值随着⾓度的增⼤⽽余弦值随着⾓度的增⼤⽽例1．求下列各式的值．（1）.计算：?-?+?60tan 45sin 230cos 2．（2）计算：?-?+?30cos 245sin 60tan 2.例2．求适合下列条件的锐⾓．(1)21cos =α(2)33tan =α（3）已知为锐⾓，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值例3.三⾓函数的增减性1．已知∠A为锐⾓，且sin A <21，那么∠A的取值范围是A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°2.已知A为锐⾓，且030sincos<A，则（）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型⼀特殊三⾓函数值与计算1、（1）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°（2）计算：30tan2345sin60cos221-++．（3）计算： tan 45sin 301cos 60?+?-?；(4)222sin =α (5)33)16cos(6=- α（）在ABC ?中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐⾓，求C ∠类型⼆：利⽤⽹格构造直⾓三⾓形1、如图所⽰，△ABC 的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinACBA2、如图，△ABC 的顶点都在⽅格纸的格点上，则sin A =_______.3、如图，A 、B 、C 三点在正⽅形⽹络线的交点处，若将ABC ?绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ?，则'tan B 的值为A.41 B. 31 C.21D. 14、正⽅形⽹格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（）A ． 5 5B. 2 5 5C.12 D. 2类型三：直⾓三⾓形求值1、已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2、如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠43sin AOC 求AB 及OC 的长．ABO3、已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦⼼距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4、已知A ∠是锐⾓，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值类型四. 利⽤⾓度转化求值：1、已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上⼀点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2、如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上⼀点，则cos ∠OBC 的值为（） A ．12B．32C ．35D ．45D C B A Oy x第8题图3、如图，⾓α的顶点为O ，它的⼀边在x 轴的正半轴上，另⼀边OA 上有⼀点P （3，4），则 sin α= ．4、如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的⾯积= cm 2．5、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．23B ．32C ．34D ．436、如图，沿AE 折叠矩形纸⽚ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECBF7、如图，在等腰直⾓三⾓形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上⼀点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．228、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.DABC类型五. 化斜三⾓形为直⾓三⾓形1、如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．2、已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC ＝5．求：sin∠ABC的值．3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三⾓形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）4、已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的⾯积等于9，求sin B．5、ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的⾯积是A.23 cm 2 .43 cm 2 C.63 cm 2 cm 2第⼆课时：解直⾓三⾓形知识点三：解直⾓三⾓形1．在解直⾓三⾓形的过程中，⼀般要⽤的主要关系如下：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐⾓之间的关系：__________________________________．③边与⾓之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直⾓三⾓形中成⽐例的线段．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型⼀例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． (1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的⾯积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC ＝10cm．求AB及BC的长．例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．知识点四：三⾓函数应⽤类型⼀：三⾓函数在⼏何中的应⽤1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，?=1312sin A求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．DCBA5.如图，△ABC 中，∠A=30°，tan 2B =，AC =AB 的长.ACB第三课时，解直⾓三⾓形应⽤类型⼆：解直⾓三⾓形的实际应⽤。
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星火教育一对一辅导教案学生姓名性别年级9年级学科数学授课教师李碧瑶上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：课时教学课题锐角三角函数的认识教学目标1.掌握锐角三角函数(sin A，cos A，tan A）的定义；2.记牢30°、45°、60°角的三角函数值；3.能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4. 运用三角函数的关系化简或求值。
教学重点与难点1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比.2.添加辅助线解直角三角形课后作业详见教案提交时间 2014 年 12 月 12 日学科组长检查签名：（注意咯，下面可是黄金部分！）知识点1 正切定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tan A ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan .①tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tan A 没有单位，它表示一个比值，其大小只与锐角A 的大小有关，与所在直角三角形的大小无关； ③tan A 不表示“tan ”乘以“A ”；④任意锐角A ，都有tanA>0，且锐角的正切值随着角的度数的增大而增大； ⑤tan A 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tan A 的值越大． 【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90º,AC=5,AB=13,求tanA 和tanB.【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90º,BC=3,tanA=125，求AC.★坡度（或坡比）定义：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），用字母i 表示，即i =lh 坡度即为坡角α的正切值tan α，即i =tan α=lh （1）坡角与坡度是两个不同的概念，坡角是坡面与水平面的夹角，是个角度，单位是度. （2）坡度描述的是坡面的陡峭程度，当tan α的值越大时，坡度越大，坡面也就越陡. （3）坡度一般写成1:m 的形式（比例的前项为1），后项可以是小数.锐角三角函数的认识典例【例】1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α= ．2、斜坡的坡角是600，则坡比是 ． 3、斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是 ．4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路程为 米．5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，则斜坡高为 米．【变式】 如图所示，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜坡AB 的坡度为1:3，坝高BE=4m ，斜坡CD=5m.试比较斜坡AB 和CD 哪个更陡？知识点2 正弦、余弦正弦定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sin A ，即斜边的对边A A ∠=sin余弦定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦， 记作cos A ，即斜边的邻边A A ∠=cos（1）三角函数正切、正弦、余弦的定义是直角三角形中定义的，七本质是两条线段的长度之比，结果是一个数值，且没有单位，其大小只与角的大小有关，而与所在三角形的大小和位置无关. （2）因为直角边小于斜边，所以0<siaA<1,0<cosA<1.（3）正弦值越大，∠A 越大，梯子越陡；余弦值越小，∠A 反而越大，梯子越陡.【例2-1】在Rt △ABC 中，∠ACB=90º,∠A,∠B,∠C 所对的边分别是a,b,c.若a=12,b=5，分别求出∠A,∠B 的三角函数.【变式】 在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5,BC=6，求sinB,cosB,tanB.【例2-2】 在△ABC 中，∠C=90º，如果tanA=125，那么sinB 的值等于（ B ） A.135 B.1312 C.125 D.512 【变式】 如果α是锐角，且cos α=54，那么sin α的值是（ C ）A.259B.54C.53D.22知识点3 30°，45°，60°角的三角函数值 度数 sin αcos αtan α30°2123 33 45°22 22 160°23 21 3【例3-1】 如果在△ABC 中，sinA=cosB=22则下列最确切的结论是（ ）A.△ABC 是直角三角形B.△ABC 是等腰三角形C.△ABC 是等腰直角三角形D.△ABC 是锐角三角形【变式】 在△ABC 中，∠C=90º，若∠B=2∠A ，则tanA 等于（ ） A.3 B.33 C.23D.21【例3-2】 计算 （1）︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos （2）︒-︒+︒45tan 45cos 60sin 22（3） 45sin 22460tan 460tan 2-+-（4）先化简，再求代数式1221122+-+÷--+a a a a a a 的值，其中a=6tan30º-1【变式】 计算（1）60sin 260cos 30sin |130tan |3+-- （2）(1＋sin30°－cos45°)(1＋sin30°＋cos45°)（3）先化简，再求其值，)232(212++-÷-++x x x x x 其中x=tan45º－cos30°知识点4 解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
（一）已知直角三角形的两边解直角三角形已知条件解法已知 两边两直角边（如a,b ） A B b aA b a c ∠-=∠=+= 90,tan ,22 斜边和一直角边（如c,a ）A B caA a c b ∠-=∠=-= 90,sin ,22【例4-1】 在Rt △ABC 中，∠C=90º,c=32,a=3，解这个直角三角形【变式】 在Rt △ABC 中，∠C=90º,a=20,b=320,解这个直角三角形.（二）已知直角三角形的一边和一只锐角解直角三角形已知条件解法已知一条边和一个锐角一直角边和一锐角（如a,∠A）AacAabABsin,tan,90==∠-=∠斜边和一锐角（如c,∠A）AcbAcaAB cos,sin,90⋅=⋅=∠-=∠【例4-2】在Rt△ABC中，∠C=90º,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，解下列直角三角形. （1）已知b=10,∠B=60º；（2）已知c=38,∠A=60º.【变式】已知在Rt△ABC中，∠C=90º,∠A=30º,b=32，解这个直角三角形.（三）解非直角三角形方法：添加辅助线，转化为两个具有公共边特征的直角三角形，常见的两种形式如下：【例4-3】 如图所示，在△ABC 中，∠A=30º,∠B=45º,AC=32,求AB 的长.【变式】 如图，在△ABC 中，∠B=45º,∠ACB=120º,AC=6，求BC 的长. 课后作业1、在Rt △ABC 中，∠C=90º,sinA=54，则tanA 的值为（ ） A.34 B.43 C.53 D.54 1、在△ABC 中，∠C=90º，AB=13,BC=5，则cosB 的值是（ ） A.135 B.1312 C.125 D.513 2、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A 的余弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化3、如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点P 的坐标为(3,4)，则sin α= .4、计算002(1)2sin 30tan 453tan 302+- 00020002cos603tan 30tan 45(2)2cos 45tan 60sin 60+++∙（3）0)12(60tan 45tan 30cos 2-+-+5、如图，在Rt △ABC 中，∠B = 90°，AC = 200，6.0sin =A ，求BC 的长。
6、如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，1312cos =A ，求AB 的长及sinB 。
7、如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪ABCABC能力，现将背水坡改造成坡比为1:1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)8、已知，四边形ABCD 中，∠ABC = ∠ADB =090，AB = 5，AD = 3，BC = 32,求四边形ABCD 的面积 S 四边形ABCD .。