2003年普通高等学校春季招生考试
2003年普通高等学校春季招生(北京数学文)试卷及答案
2003年普通高等学校春季招生考试数 学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分..共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设d c b a R d c b a >>∈,.,,,且，且下列结论中正确的是( )A ．d b c a +>+B ．d b c a ->-C ．bd ac >D ．cb da >2．设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M+m 等于( )A ．32B ．32-C ．34-D ．－2 3．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是 ( )正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长l 表示斜高或母线长球体的体积公式334R V π=球 其中R 表示球的半径A ．－2B ．2C ．－21 D ．214．若集合=-====P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{( )A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y5．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是( ) A ．tgC tgA < B ．ctgC ctgA <C．CA sin sin < D ． C A cos cos <6．在等差数列}{n a 中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 7．设复数=+=+-=2121arg,2321,1z z i z i z 则( )A ．－π125 B ．π125 C ．π127D ． π12138．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是( )A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞9．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a byax by ax 与的曲线大致是( )D10．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为( )A ．6B ．12C ．15D ．30A C11．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为( ) A ．90° B ．60° C ．45°D ．0°12．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形 ( ) A ．是锐角三角形 B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在绝密★启用前2003年普通高等学校春季招生考试数 学（文史类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．函数12sin +=x y 的最小正周期为14．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水（1）（2）面高度恰好升高r ，则=rR15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内16．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by ax 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则 b 2的值是三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）解不等式：).22(log )2(log 222->--x x x18．（本小题满分12分） 已知函数)(,2cos 1cos 5cos6)(24x f xx x x f 求+-=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.（Ⅰ）求三棱锥D1—DBC的体积.；（Ⅱ）证明BD1∥平面C1DE；（Ⅲ）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.20．（本小题满分12分）AC1A1设)0cBcA为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为(>-c0,0,)(),(定值)0a，求P点的轨迹.a(>21．（本小题满分13分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费200元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？22．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.A2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.A 10.D 11.B 12.B二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．π14．33215．（140）（85）16．32.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式330,203,01,0)1)(2(22201,02222>⇔⎩⎨⎧><>⇔⎪⎩⎪⎨⎧>->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧->-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x x 或.故原不等式的解集是}3|{>x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得.所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(1)(cos 5)(cos 6)(24x x x x f -+---=-)(),(2cos 1cos 5cos624x f x f x x x 所以=+-=是偶函数.又当xx x x f Z k k x 2cos 1cos 5cos6)(,,4224+-=∈+≠时ππ1c o s 32c o s )1c o s 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）解：3212221311=⋅⋅⋅⋅=-DBCDV . （Ⅱ）证明：记D 1C 与DC 1的交点为O ，连结OE. ∵O 是CD 1的中点，E 是BC 的中点，∴EO ∥BD 1.∵BD 1⊄平面C 1DE ，EO ⊂平面C 1DE ， ∴BD 1∥平面C 1DE.（Ⅲ）解：过C 作CH ⊥DE 于H ，连结C 1H.在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， C 1C ⊥平面ABCD ，∴∠C 1H ⊥DE ， ∴∠C 1HC 是面C 1DE 与面CDE 所成二面角的平面角. ∵DC=2，CC 1=1，CE=1， ∴52121222=+⨯=⋅=DECE CD CH ，AC 1A 1大毛毛虫★倾情搜集★精品资料∴2552111===∠CHC C HC C tg 即面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值为2520．本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.满分12分.解：设动点P 的坐标为（x ，y ）. 由a yc x y c x a a PB PA =+-++>=2222)()()0(||||，得.化简得.0)1()1()1(2)1(2222222=-+-+++-y a a c x a c xa当01)1(2,122222=++-++≠yc x aa c x a 得时，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac yc a ax .当a =1时，化简得x =0.所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，|12|2-a ac 为半径的圆；当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.21．本小题主要考查二次函数的基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为)200)(503000100()(---=x x x f ，整理得3)4100(50132********1)200)(8000(501)(22+--=-+-=--=x x x x x x f .所以，当x =4100时，)(x f 最大，最大值为304200)4100(=f ， 即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元.22．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分.（Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，AC大毛毛虫★倾情搜集★精品资料则,633021l tg l r =︒=.2130sin 11=︒=+---nn n n r r r r所以,12),2(3122111lra n r r n n ππ==≥=-于是91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列.（Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→。
2003年普通高等学校春季招生考试 (北京卷)
绝密★启用前2003年普通高等学校春季招生考试英语（北京卷）National Matriculation English Test (NMET 2003)本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。
第一卷1至12页。
第二卷13至14页。
共150分。
考试时间120分钟。
第一卷（三部分，共115分）注意事项：1．答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
3．考试结束，考生将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A．￡19.15. B．￡9.15. C．￡9.18答案是B。
1．When will the speakers meet?A．At 8 o’clock.B．At 7 o’clock.C．At 7:30.2．Where is the man going to plant the tree?A．By the front door.B．At the back of the garage.C．At the other end of the garden.3．What do we learn about the woman?A．She has to attend a meeting.B．She is going to see a doctor.C．She does not like sports.4．What are they going to buy?A．Bread. B．Cheese C．Eggs.5．To Whom is the woman speaking?A．Her boss. B．Her husband. C．A policeman.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
2003年上海普通高等学校春季招生考试综合能力测试试卷
2003年上海普通高等学校春季招生考试综合能力测试试卷佚名
【期刊名称】《化学教学》
【年(卷),期】2003(000)003
【摘要】@@ 一、2002年11月8日,党的十六大在北京召开,大会总结了过去五年的工作和十三年的基本经验,提出了本世纪头二十年的奋斗目标.下表中的数据从若干方面印证了我国十多年来经济发展所取得的巨大成就.
【总页数】7页(P39-44,17)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.479
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2003年普通高等学校春季招生考试 数 学(理工农医类)(北京卷)及答案
绝密★启用前2003年普通高等学校春季招生考试数 学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合=-====-P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{（ ）A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y 2．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是 （ ）A ．21 B ．－21 C ．2D ．－23．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则 （ ）A ．π1213 B ．π127C ．π125 D ．－π125 4．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是（ ）A ．54 B ．45 C ．43 D ．34 22222正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径6．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是（ ）A ．C A sin sin <B ．C A cos cos <C ．tgC tgA <D ．ctgC ctgA <7．椭圆ϕϕϕ(sin 3,cos 54⎩⎨⎧=+=y x 为参数）的焦点坐标为（ ）A ．（0，0），（0，－8）B ．（0，0），（－8，0）C ．（0，0），（0，8）D ．（0，0），（8，0） 8．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度 数为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两 个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 （ ） A ．42 B ．30 C ．20 D ．12 10．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在 11．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于（ ）A ．8B ．2C ．－4D ．－812．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为3032,0,0=+==y x y x ， 则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是 （ ）A ．95B ．91C ．88D ．75绝密★启用前2003年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水 面高度恰好升高r ，则=rR. 14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内. 15．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角 形，则b 2的值是 .16．若存在常数0>p ，使得函数=)()(px f x f 满足)(),)(2(x f R x ppx f 则∈-的一个正周期为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 解不等式：.1)1(log )2(log 21221-->--x x x（1） （2）18．（本小题满分12分） 已知函数)(,2cos 4sin 5cos 6)(24x f xx x x f 求-+=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分） 如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD=G.（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； （Ⅱ）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （Ⅲ）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V.20．（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.22．（本小题满分13分）已知动圆过定点P （1，0），且与定直线1:-=x l 相切，点C 在l 上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（Ⅱ）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A ，B 两点.（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.绝密★启用前2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．332 14．（140）（85） 15．32 16．2p 注：填2p的正整数倍中的任何一个都正确.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式变形为)22(log )2(log 21221->--x x x .所以，原不等式3230,203,01,0)1)(2(22201,02222<<⇔⎩⎨⎧<<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x .故原不等式的解集为}32|{<<x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得. 所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin 5)(cos6)(24x x x x f ---+-=-)(),(2cos 4sin 5cos 624x f x f xx x 所以=-+=是偶函数.当xx x x f Z k k x 2cos 4sin 5cos 6)(,,4224-+=∈+≠时ππ1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或 19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）证法一： 连结AC.∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形， ∴AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，故EF ∥AC ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 证法二：∵BE=BF ，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF ⊥BD. 又 EF ⊥D 1D∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. （Ⅱ）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H.∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ，∴点D 1到平面B 1EF 的距离d=D 1H. 解法一：在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H. ∵422221111=⋅==B A B D ，,174144sin sin 2211111=+==∠=∠GB B B GB B H B D∴.17171617441=⋅==H D d解法二：∵△D 1HB 1～△B 1BG ， ∴G B B D B B H D 11111=， ∴.1717161442221211=+===G B B B H D d解法三：连结D 1G ，则三角形D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1面积的一半，即21112121B B H D G B =⋅⋅， .1717161211===∴G B B B H D d （Ⅲ）EF B EF B D EFD B S d V V V 1111131∆--⋅⋅=== .31617221171631=⋅⋅⋅⋅=20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为50503000)150)(503000100()(⨯-----=x x x x f ， 整理得307050)4050(5012100016250)(22+--=-+-=x x x x f .所以，当x =4050时，)(x f 最大，最大值为307050)4050(=f ， 即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分. （Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，则,633021l tg l r =︒=.2130sin 11=︒=+---n n n n r r r r所以,12),2(3122111l r a n r r n n ππ==≥=-于是91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列. （Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为x y 42=. （Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=xy x y x y 4)1(3)1(32由消y 得.3,31,03103212===+-x x x x 解得所以A 点坐标为)332,31(，B 点坐标为（3，32-），.3162||21=++=x x AB假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131(,)316()32()13(y y 由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y .9314-=y 解得 但9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形， 由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得， ① ②32-(3，32-)332x y 42=即当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，故32≠y . 又2222334928)332()311(||y y y AC +-=-+--=， 22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB . 当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ， 即CAB y ∠>,392时为钝角. 当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ， 即CBA y ∠-<时3310为钝角. 又222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y ++++->， 即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角. 因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二：以AB 为直径的圆的方程为222)38()332()35(=++-y x . 圆心)332,35(-到直线1:-=x l 的距离为38， 所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G )332,1(--. 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G点不重合，且A ，B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.过点A 且与AB 垂直的直线方程为9321).31(33332=-=-=-y x x y 得令. 过点B 且与AB 垂直的直线方程为)3(3332-=+x y . 令33101-=-=y x 得. 又由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 解得，所以，当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是).32(9323310≠>-<y y y 或。
23546_2003年全国春季高考题集景
2003年普通高等学校春季招生考试题一、选择题1．改革开放以来我国不断改革和完善所有制结构，确立了(2003年北京春季高考题) A．以公有制为主体，多种所有制经济共同发展的基本经济制度B．以公有制经济为主体，个体和私营经济为补充的基本经济制度C．社会主义市场经济体制 D．以间接管理为主、宏观调控的管理体制2002年10月，江泽民主席访美期间在布什图书馆发表了重要讲话，阐述了“和而不同”的重要观点。
回答2--4题。
(2003年北京春季高考题)2．江主席说：“两千多年前，中国先秦思想家孔子就提出了‘君子和而不同’的思想。
和谐而又不千篇一律，不同而又不相互冲突。
和谐以共生共长，不同以相辅相成。
和而不同，是社会事物和社会关系发展的一条重要规律，也是人们处世行事应该遵循的准则，是人类各种文明协调发展的真谛”。
在这里，“和而不同”体现着A．矛盾在一定条件下会向相反方向转化 B．内因是事物发展的决定性因素C．矛盾的同一性在事物发展中起决定作用D．矛盾是普遍存在的，但我们应采取正确的态度面对矛盾3、中国先秦思想家孔子提出“君子和而不同”的思想，“君子和而不同”指的是，和谐而又不千篇一律，不同而又不相互冲突。
和谐以共生共长，不同以相辅相成。
所体现的辩证法的正确思想是：A.有修养的人在任何问题上都要追求思想上的一致性B.由于事物矛盾的特殊性，从而构成了事物的多样性C.事物自身包含着既对立又统一的关系D、统一是矛盾的根本属性4．江主席接着说："事物之间、国家之间、民族之间、地区之间，存在这样那样的不同和差别是正常的，也可以说是必然的。
我们主张，世界各种文明、社会制度和发展模式应相互交流和相互借鉴，在和平竞争中取长补短，在求同存异中共同发展。
这表明在当代国际社会中(2003年北京春季高考题)A．国际关系的基本形式是竞争与合作、冲突和对抗第1页---- 共8页B．国际关系的基本内存涉及政治、经济、文化和军事等多个方面C．国家之间既有共同的利益，也有相悖的利益D．国家之间必然存在着分离聚合、亲疏冷热的复杂关系5．在过去20多年间，中美贸易年均增长18％以上，2002年上半年即达到419．7亿美元。
春季招生(北京数学文)试卷及答案
2003年普通高等学 校春季招生考试数 学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分..共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设d c b a R d c b a >>∈,.,,,且，且下列结论中正确的是( )A ．d b c a +>+B ．d b c a ->-C ．bd ac >D ．cb d a > 2．设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M+m 等于( )A ．32 B ．32- C ．34- D ．－23．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是 ( )正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径A ．－2B ．2C ．－21 D ．21 4．若集合=-====P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{( )A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y5．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是( ) A ．tgC tgA < B ．ctgC ctgA <C．CA sin sin < D ． C A cos cos <6．在等差数列}{n a 中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 7．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则( )A ．－π125B ．π125 C ．π127 D ． π1213 8．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是( )A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞9．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是( )D10．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为( )A ．6B ．12C ．15D ．30A BC11．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 12．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形 ( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在绝密★启用前2003年普通高等学校春季招生考试数 学（文史类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．函数12sin +=x y 的最小正周期为14．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水（1）（2）面高度恰好升高r ，则=rR15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内16．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则 b 2的值是三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）解不等式：).22(log )2(log 222->--x x x18．（本小题满分12分）已知函数)(,2cos 1cos 5cos 6)(24x f xx x x f 求+-=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.（Ⅰ）求三棱锥D1—DBC的体积.；（Ⅱ）证明BD1∥平面C1DE；（Ⅲ）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.20．（本小题满分12分）AC1A1设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.21．（本小题满分13分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费200元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？22．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.A2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.A 10.D 11.B 12.B二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．π14．33215．（140）（85）16．32.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式330,203,01,0)1)(2(22201,02222>⇔⎩⎨⎧><>⇔⎪⎩⎪⎨⎧>->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧->-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x x 或.故原不等式的解集是}3|{>x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得. 所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(1)(cos 5)(cos 6)(24x x x x f -+---=-)(),(2cos 1cos 5cos 624x f x f xx x 所以=+-=是偶函数.又当xx x x f Z k k x 2cos 1cos 5cos 6)(,,4224+-=∈+≠时ππ1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或 19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）解：3212221311=⋅⋅⋅⋅=-DBC D V . （Ⅱ）证明：记D 1C 与DC 1的交点为O ，连结OE. ∵O 是CD 1的中点，E 是BC 的中点，∴EO ∥BD 1.∵BD 1⊄平面C 1DE ，EO ⊂平面C 1DE ， ∴BD 1∥平面C 1DE.（Ⅲ）解：过C 作CH ⊥DE 于H ，连结C 1H.在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， C 1C ⊥平面ABCD ，∴∠C 1H ⊥DE ， ∴∠C 1HC 是面C 1DE 与面CDE 所成二面角的平面角. ∵DC=2，CC 1=1，CE=1， ∴52121222=+⨯=⋅=DECE CD CH ，AC 1A 1∴2552111===∠CHC C HC C tg 即面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值为2520．本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.满分12分.解：设动点P 的坐标为（x ，y ）. 由a yc x yc x a a PB PA =+-++>=2222)()()0(||||，得.化简得.0)1()1()1(2)1(2222222=-+-+++-y a a c x a c x a当01)1(2,122222=++-++≠y c x a a c x a 得时，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x .当a =1时，化简得x =0.所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，|12|2-a ac 为半径的圆； 当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.21．本小题主要考查二次函数的基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为)200)(503000100()(---=x x x f ， 整理得3)41(50132000164501)200)(8000(501)(22+--=-+-=--=x x x x x x f .所以，当x =4100时，)(x f 最大，最大值为304200)4100(=f ，即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元.22．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分.（Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，AC则,633021l tg l r =︒= .2130sin 11=︒=+---n n nn r r r r 所以,12),2(3122111l r a n r r n n ππ==≥=-于是91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列. （Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→。
2003年普通高等学校春季招生全国统一考试数学试卷北京卷文
2003年普通高等学校春季招生考试（文史类）（北京卷）数学（文史类）（北京卷）第Ⅰ卷参考公式：三角函数的积化和差公式：)]cos()[cos(21sin sin )]cos()[cos(21cos cos )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=正棱台、圆台的侧面积公式lc c S )(21+'=台侧其中分别c ˊ，c 表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，则下列结论中正确的是（A ）a ＋c ＞b ＋d （B ）a －c ＞b －d （C ）ac ＞bd（D ）c b d a >（2）设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M ＋m 等于（A ）32（B ）32-（C ）34-（D ）－2（3）若x x x f 1)(-=，则方程f （4x ）＝x 的根是（A ）－2 （B ）2（C ）21-（D ）21（4）若集合{}{}1,2-====x y y P y y M x ，则MP ＝（A ）{}1>y y （B ）{}1≥y y（C ）{}0>y y（D ）{}0≥y y（5）若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且A ＜B ＜C )2(π≠C ，则下列结论中正确的是 （A ）t a n A ＜t a n C （B ）c t a n A ＜c t a n C（C ）sin A ＜sin C（D ）c os A ＜c os C（6）在等差数列{}n a 中，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等于（A ）4（B ）5（C ）6（D ）7（7）设复数iz i z 2321,121+=+-=，则=21arg z z（A ）π125-（B ）π125（C ）π127（D ）π1213（8）函数f （x ）＝∣x ∣和g （x ）＝x （2－x ）的递增区间依次是 （A ）(](]10，，，∞-∞- （B ）(][)∞+∞-，，，10（C ）[)(]10，，，∞-∞+ （D ）[)[)∞+∞+，，，10 （9）在同一坐标系中，方程12222=+b y a x 与ax ＋by 2＝0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（10）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（A ）6（B ）12（C ）15（D ）30（11）如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成的角的度数为（A ）90° （B ）60° （C ）45° （D ）0°（12）已知直线ax ＋by ＋c ＝0（abc ≠0）与圆x 2＋y 2＝1相切，则三条边长分别为∣a ∣， ∣b ∣，∣c ∣的三角形 （A ）是锐角三角形 （B ）是直角三角形（C ）是钝角三角形（D ）不存在 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. （13）函数y ＝sin2x ＋1的最小正周期为 .（14）如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则r R＝ .（15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内.（16）如图，F1，F2分别为椭圆12222=+byax的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2的值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）解不等式：log2（x2－x－2）＞log2（2x－2）（18）（本小题满分12分）已知函数x xxxf2cos 1cos5cos6)(24+-，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域. （19）（本小题满分12分）如图，ABC D－A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.（Ⅰ）求三棱锥D1－DBC的体积;（Ⅱ）证明BD1∥平面C1DE（Ⅲ）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.（20）（本小题满分12分）设A（－c，0），B（c，0）（c＞0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a＞0），求P点的轨迹.（21）（本小题满分13分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费200元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？（22）（本小题满分13分）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆O n＋1与O n圆外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去，记圆O n的面积为a n（n∈N）（Ⅰ）证明{}na是等比数列.（Ⅱ）求)(21lim nnaaa+++∞→的值.。
2003年安徽春季高考卷
2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（安徽卷）（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在x 轴和y 轴上的截距分别为2-，3的直线方程是（ ） A.2360x y --= B.3260x y --= C.3260x y -+= D.2360x y -+=2.集合{},,,,S a b c d e =包含{},a b 的S 的子集共有（ ） A.2个 B.3个 C.5个 D.8个3.圆22460x y x y +-+=截x 轴所得的弦与截y 轴所得的弦的长度之比为( ) A.23 B. 32 C. 49 D.944.下列函数中,周期为π,图像关于直线3x π=对称的函数是( )A.2sin()23x y π=+B. 2sin()23x y π=- C. 2sin(2)6y x π=+D. 2sin(2)6y x π=-5.不等式2112x x ++<的解集是( ) A.{}10x x -<< B. 302x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C. 504x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D. {}20x x -<<6.已知123sin ,(,)132x x ππ=-∈,则x 等于( ) A.12arcsin()13-B. 12arcsin 13π-C. 12arcsin 13π+D.312arcsin 213π- 7.21lim (32)n n n n →∞-=+( ) A.3 B.13 C. 16D.6 8.已知斜三棱柱的长为6cm ,两个侧面面积分别为224824cm cm 和,且这两侧面所成的角为060,那么,这个棱柱的体积为( )A.3B. 396cm C. 3 D. 39.某校刊设有9门文化课专栏,由甲,乙,丙三位同学每人负责3个专栏,其中数学专栏由甲负责,则不同的分工方法有( )A.1680种B.560种C.280种D.140种10.一个二面角的大小为23π,其棱为AB ,正三角形ABC 和正三角形ABD 分别在二面角的两个面上,则cos CAD ∠=( )A.58-B. 18-C. 18D. 5811.等差数列{}n a 中,若101910,100a a ==,前n 项和0n S =,则n =( ) A.7 B.9 C.17 D.19 12.设函数() ()f x x N ∈表示x 除以3的余数,对,x y N ∈都有( ) A.(3)()f x f x += B. ()()()f x y f x f y +=+C.3((3)f x f x =）D.()()()f x f y f xy =请将选择题答案填入下面表格内第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上 13.若复数z 满足12z z z i -=-=-,则z = 14.221(14x x++6）的展开式中常数项为 (用数字作答) 15.椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>在第一象限部分的一点P ,以P 点横坐标作为长轴长,纵坐标作为短轴长作椭圆2C ,如果2C 的离心率等于1C 的离心率,则P 的坐标为16.一个半径为 r cm 的实心钢球放在倒圆锥形 的容器中(轴截面如图),再往容器中注水,使水 面恰好淹没钢球,如果容器轴截面的顶角为060,那么,将球取出后,水面的高度为 cm三.解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知3sin 32sin 1(),sin ,cos 2πθθθπθθ+=<<求18. (本小题满分12分)已知双曲线经过点35(,)42P,渐近线方程是2y x=±,求其焦点坐标和离心率.19. (本小题满分12分)如图,设三棱锥P ABC -各侧面与底面所成 的角都相等,且AB AC =. (1) 证明:PA BC ⊥(2) 若0120,2P ABC BAC BC V -∠===,求PA 与底面所成的角.20. (本小题满分12分)设,a b R ∈,且2a ≠,定义在区间(,)b b -内的函数1()lg 12axf x x+=+是奇函数. (1) 求b 的取值范围; (2) 讨论函数()f x 的单调性.21. (本小题满分12分)已知抛物线2212::2(0)C y ax bx C y px p =+=>与关于直线1x y +=对称. (1) 求,,a b p(2) 求12C C 与焦点间距离.22. (本小题满分14分)设210x x αβ--=，为的根,且αβ>,令()n n n c n N αβ=-∈. (1) 求123,,c c c ; (2) 证明:2122121111n nn nc c αα--+>+; (3) 证明:11nk kc α=<∑.。
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2003年普通高等学校春季招生考试理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至12页，满分300分。
考试时间150分钟。
第Ⅰ卷（选择题共20题120分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选择出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
本卷共20题，每题6分，共120分。
在下列各题的四个选项中，只能一个选项是符合题目要求的。
可能用到的原子量 H 1 C 12 N 14 O 16 Cu 161．叶绿体是植物进行光合作用的细胞器，光能的吸收发生在叶绿体的A．内膜上B．基质中C．片层膜上D．各部位上2．在某一时刻测定一器官的动脉和静脉中血液内三种物质的含量，其相对数值如图所示，该器官是A．肺B．脑C．肌肉D．小肠3．蛋白质代谢地在多种酶的参与下完成的，使肽键断裂的酶是A．呼吸酶B．蛋白酶C．转氨酶D．脱氨基酶4．关于人类红绿色盲的遗传，正确的预测是A．父亲色盲，则女儿一定是色盲B．母亲色盲，则儿子一定是色盲C．祖父母都色盲，则孙子一定是色盲D．外祖父母都色盲，则外孙女一定是色盲5．以单位面积计，热带雨林中残枝落叶较温带森林的多，土壤中有机物的积累量一般是A．热带雨林小于温带森林B．热带雨林大于温带森林C．热带雨林等于温带森林D．热带雨林与温带森林无法比较6．从石油分馏得到的固体石蜡，用氯气漂白后，燃烧时会产生含氯元素的气体，这是由于石蜡在漂白时与氯气发生过A．加成反应B．取代反应C．聚合反应D．催化裂化反应7．某些不合格的建筑装饰材料，会缓慢释放出浓度过高、影响健康的气体，这些气体最常见的是A．二氧化氮B．二氧化硫C．一氧化碳D．甲苯等有机物蒸气和甲醛8．下列说法正确的是A．非金属元素R所形成的含氧酸盐（）中的R元素必定呈现正价B．只有非金属能形成含氧酸或含氧酸盐C．除稀有气体外的非金属元素都能生成不同价态的含氧酸D．非金属的最高价含氧酸都具有强氧化性9．家用炒菜铁锅用水清洗放置后，出现红棕色的锈斑，在此变化过程中不发生的化学的反应是A．B．C．D．10．以下是几种酸碱指示剂变色的pH范围：①甲基橙3.1~4.4 ②甲基红4.4~6.2 ③酚酞8.2~10，现用溶液滴定浓度相近的甲酸时，上述指示剂A．都可以用B．只能用③C．可以用①或②D．可以用②或③11．短周期的三种元素分别为X、Y和Z，已知X元素的原子最外层只有一个电子，Y元素原子的M电子层上的电子数是它的K层和L层电子总数的一半，Z元素原子的L电子层上的电子数比Y元素原子的L 电子层上的电子数少2个。
则这三种元素所组成的化合物的分子式不可能是A．B．C．D．12．反应：达平衡后，将气体混和物的温度降低，下列叙述中正确的是A．正反应速率加大，逆反应速率变小，平衡向正反应方向移动B．正反应速率变小，逆反应速率加大，平衡向逆反应方向移动C．正反应速率和逆反应速率都变小，平衡向正反应方向移动D．正反应速率和逆反应速率都变小，平衡向逆反应方向移动13．下列各组物质中各有两组份，两组份各取1摩尔，在足量氧气中燃烧，两者耗氧量不相同的是A．乙烯和乙醇B．乙炔和乙醛C．乙烷和乙酸甲酯D．乙醇和乙酸14．有机物甲的分子式为，在酸性条件下甲水解为乙和丙两种有机物，在相同的温度和压强下，同质量的乙和丙的蒸气所占体积相同，则甲的可能结构有A．8种B．14种C．16种D．18种15．右图表示一简谐横波波源的振动图象。
根据图象可确定该波的A．波长，波速B．周期，波速C．波长，振幅D．周期，振幅16．在滑冰场上，甲、乙两小孩分别坐在滑冰板上，原来静止不动，在相互猛推一下后分别向相反方向运动。
假定两板与冰面的磨擦因数相同。
已知甲在冰上滑行的距离比乙远，这是由于A．在推的过程中，甲推乙的力小于乙推甲的力B．在推的过程中，甲推乙的时间小于乙推甲的时间C．在刚分开时，甲的初速度大于乙的初速度D．在分开后，甲的加速度的大小小于乙的加速度的大小17．下面是一核反应方程用c表示光速，则A．X是质子，核反应放出的能量等于质子质量乘B．X是中子，核反应放出的能量等于中子质量科C．X是质子，核反应放出的能量等于氘核与氚核的质量和减去氦核与质子的质量和，再乘D．X是中子，核反应放出的能量等于氘核与氚核的质量和减去核与中子的质量和，再乘18．一根粗细均匀长1.0m的直玻璃管，上端封闭，下端开口，将它竖直地缓慢插入深水池中，直到管内水面距管上端0.50m为止。
已知水的密度为，重力加速度为，大气压强为，则这时管内、外水面的高度差为A．9m B．9．5m C．10m D．10．5m19．如图所示，一玻璃棱镜的横截面是等腰△abc，其中ac面是镀银的。
现有一光线垂直于ab面入射，在棱镜内经过两次反射后垂直于bc面射出。
则A．∠a=30°，∠b=75°B．∠a=32°，∠b=74°C．∠a=34°，∠b=73°D．∠a=36°，∠b=72°20．在地球（看作质量均匀分布在球体）上空有许多同步卫星，下面的说法中正确的是A．它们的质量可能不同B．它们的速度可能不同C．它们的内心加速度可能不同D．它们离地心的距离可能不同第Ⅱ卷（非选择题共10题180分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中（除题目有特殊规定外）2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
本卷共10道题可能用到的原子量 H 1 C 12 N 14 O 16 Cu 6421．（10分）现有一种植物的种子，已经知道它的萌发受水分、温度和氧气的影响，但不了解其萌发与光是否有关。
为探究光的有无对该种子萌发的影响，请你依据所给材料和用品设计出实验方法步骤，预测可能的实验结果，并分别得出相应的结论。
材料和用品：数量充足的铺有滤纸的培养皿、无菌水、表面消毒过和种子等。
方法步骤：①____________________________________________________________②____________________________________________________________可能的实验结果及相应的结论：①____________________________________________________________②____________________________________________________________③____________________________________________________________22．（10分）假设水稻抗病（R）对感病（r）为显性，高秆（T）对矮秆（t）为显性。
现有纯合的抗病高秆水稻和感病矮秆水稻。
为了在较短的年限内培育出稳定遗传的抗病矮秆水稻，可采限以下步骤：（1）将纯合的抗病高秆水稻和感病矮秆水稻杂交，得到杂交种子。
播种这些种子，长出的植株可产生基因型为___________________________________的花粉。
（2）采用_______________________________的方法得到单倍体幼苗。
（3）用_____________________________处理单倍幼苗，使染色体加倍。
（4）采用___________________________的方法，鉴定出其中的抗病植株。
（5）从中选择表现抗病的矮秆植株，其基因型应是______________。
23．（23分）生活污水中含有大量的有机和无机含氮化合物，这些过量的含氮化合物造成水体污染，危害水生生物生存和人类的健康。
脱氮是污水处理的重要内容之一。
下面是生物脱氮工艺流程示意图。
Ⅰ．（10分）（1）在1级反应池内，有机物在细菌、原生动物等作用下会大量减少。
从同化和异化方式看，这些生物的代谢类型主要是___________________________，这些生物在自然生态系统中属于___________者。
（2）在2级反应池内，pH值为8.0~8.4时，硝化细菌大量繁殖，它们能将氧化成和，并利用这一硝化过程所释放的___________合成___________，用于自身的生长发育和繁殖。
（3）实践发现，当2级反应池中有机物含量过多时，硝化细菌难以大量繁殖起来，原因是____________________________________________________________。
（4）在3级反应池内加入适量的有机物（如甲醇），并在低氧或无氧条件下，反硝化细菌繁殖起来，通过无氧呼吸把和还成，无氧呼吸除释放能量外，还为还原反应提供了________________________。
Ⅱ．（13分）（1）2级反应池中，发生“生物硝化过程”，如果不考虑过程中硝化细菌的增殖，其净反应如下式所示：①配平上面化学方程式，将系数填入方框中。
②将铵态氮中的1mg氮转化成硝酸根中的氮，需氧气多少毫克？③为什么在反应中需要不断添加碱？（2）3级反应池中发生的“生物反硝化过程”，通常需要外加甲醇，净反应如下所示：配平上面化学方程式，将系数填入方框中。
24．（12分）下图中A至F是化合物，G是单质写出A、B、E、F的化学式A______________ B______________ E______________ F______________25．（16分）取标准状况下和过量的混合气体840mL，点燃，将燃烧后的气体用过量碱石灰吸收，碱石灰增重0.600g。
计算：（1）碱石灰吸收后所剩气体的体积（标准状况下）（2）原混和气体中跟的体积比26．（16分）为了检验热分解的产物，有人用示意图中的装置进行实验。
（图中铁架台、铁夹和加热设备均略去）实验时在试管中放入研细的晶体；实验结束后，试管中得到黄色粉末（PbO）U型管下部有少量液体X，集气瓶中收集到无色气体Y。
（如图）回答下面问题：（1）在装置中试管和U型管上的橡皮塞最好用锡箔包住，用橡皮管连接的两玻璃管口要相互紧靠，原因是______________________。
（2）液体X可能是______________________；气体Y可能是______________________。
（3）导管口不再有气泡冒出时，停止反应，这时在操作上应注意______________，理由是______________________。
（4）用简单的实验证实（2）中的判断①对X的判断②对Y的判断（要求：怎样从水槽中取出集气瓶、实验方法、现象、结论）27．（18分）根据试题要求填空或作图。