高中数学第二章概率单元检测北师大版选修2-3讲义

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高中数学第二章概率单元检测北师大版选修2-3(2021年最新整理)

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第二章概率单元检测(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分）1．已知随机变量X 满足DX ＝2,则D (3X ＋2)＝（）．A ．2B ．8C ．18D ．202．离散型随机变量X则c 等于（）．A ．0。

1B ．0。

24C ．0。

01D ．0。

763．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和454，则n ,p 的值分别是（ )．A ．50，14B ．60，14C ．50，34D ．60，344．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是110,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该随机变量的方差等于（ )．A ．10B ．100C ．2πD 5．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23,P （X ＝x 2）＝13，且x 1＜x 2.又已知EX ＝43，DX ＝29，则x 1＋x 2的值为( )． A ．53 B ．73 C ．3 D ．1136．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0。

4,0.5,则恰有一人击中敌机的概率为( )．A ．0。

9B ．0。

2C ．0。

7D ．0。

57．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为（ )．A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的8．某计算机网络有n 个终端，每个终端在一天中使用的概率为p ，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为( ）．A ．np （1－p )B ．npC ．nD ．p （1－p )二、填空题（每小题6分，共18分）9．将一颗骰子连掷100次，则6点出现次数X 的均值EX ＝______。

高中数学第二章概率本章整合课件北师大版选修23

2
=3×
2 3
×
1 3
2
= 29.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题二相互独立事件及其应用
事件的独立性是对两个事件而言的,如果事件 A 与事件 B 满足 P(AB)=P(A)·P(B),则称 A 与 B 相互独立,且 A 与��, ��与 B,��与��也相互独立.另外,若有 A1,A2,…,An 相互独立,则有 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
4
×
2 3
=
214.
故随机变量 ξ 的分布列为
ξ0
12
34
5
1
1
7
1
3
1
P
48 8 24 3 16
24
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题三条件概率及其应用公式 P(B|A)=��(��(��)��) 是求条件概率的公式.在计算条件概率时,必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率,从而选择合适的条件概率公式,分别求出相应事件的概率进行计算.
(1)记事件 A 为“打完 3 局甲队获胜”,记事件 B 为“打完 4 局甲队
获胜”,记事件 C 为“打完 5 局甲队获胜”.
①打完 3 局甲队获胜,相当于进行 3 次相互独立的重复试验,且
每局比赛甲队均获胜,
所以打完 3 局甲队获胜的概率为 P(A)=C33 ×
1 2
3 = 18.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用1实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定5局3胜

2021-2022高二数学北师大版选修2-3单元测评：第二章概率 A Word版含解析

其次章测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.离散型随机变量X则c 等于( )A.0.1B.0.24C.0.01D.0.76 解析:c=1-(0.2+0.3+0.4)=0.1. 答案:A2.已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3,…,n ,若P (1≤X ≤3)=15,则n 的值为( )A .3B .5C .10D .15 解析:由于X 等可能取值1,2,3,…,n ,∴P (1≤X ≤3)=P (X=1)+P (X=2)+P (X=3)=1n +1n +1n =3n =15.∴n=15. 答案:D3.正态分布N 1(μ1,σ12),N 2(μ2,σ22),N 3(μ3,σ32)(其中σ1,σ2,σ3均大于0)所对应的密度函数图像如图所示,则下列说法正确的是( )A .μ1最大,σ1最大B .μ3最大,σ3最大C .μ1最大.σ3最大D .μ3最大,σ1最大解析:在正态曲线N (μ,σ2)中,x=μ为正态曲线的对称轴,结合图像可知,μ3最大;又参数σ确定了曲线的外形:σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”.故由图像知σ1最大.故选D .答案:D4.设听从二项分布X~B (n ,p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和454,则n ,p 的值分别是( )A.50,14 B.60,14C.50,34D.60,34解析:由(np =15,np (1-p )=454,得(p =14,n =60.答案:B5.若X 是离散型随机变量,P (X=x 1)=23,P (X=x 2)=13,且x 1<x 2.又已知EX=43,DX=29,则x 1+x 2的值为( ) A.53 B.73C.3D.113解析:∵EX=23x 1+13x 2=43,∴x 2=4-2x 1.DX=(43-x 1)2×23+(43-x 2)2×13=29.∵x 1<x 2, ∴{x 1=1,x 2=2. ∴x 1+x 2=3. 答案:C6.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击,设击中的概率分别为0.4,0.5,则恰有一人击中敌机的概率为( )A.0.9B.0.2C.0.7D.0.5解析:设大事A ,B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机,则P (A )=0.4,P (B )=0.5,大事恰有一人击中敌机的概率为P (A B +A B )=P (A )·(1-P (B ))+(1-P (A ))·P (B )=0.5.答案:D7.将三颗骰子各掷一次,设大事A 为“三个点数都不相同”,大事B 为“至少消灭一个6点”,则概率P (A|B )等于( )A .6091B .12C .518D .91216解析:由于P (B )=1-125216=91216,P (AB )=C 52A 33216=60216,所以P (A|B )=P (AB )P (B )=6091.答案:A8.假设每一架飞机的引擎在飞行中消灭故障的概率为1-p ,且各引擎是否有故障是独立的,已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机更平安,则p 的取值范围是( )A .(23,1) B .(13,1) C .(0,23)D .(0,13)解析:4引擎飞机正常运行的概率为C 43p 3(1-p )+p 4,2引擎飞机正常运行的概率为C 22p 2,由题意得C 43p 3(1-p )+p 4>C 22p 2,解得13<p<1.答案:B9.如图,三行三列的方阵中有9个数a ij (i ,j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个位于同行或同列的概率是( )(a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33) A .37 B .47 C .114 D .1314解析:从题图所示的9个数中任取三个数,取法有C 93=84种,这三个数中没有任何两个数同行或同列的取法有6种,故至少有两个位于同行或同列的概率为1-684=1314.答案:D10.一个盒子装有6张卡片,上面分别写着如下6个定义域为R 的函数:f 1(x )=x ,f 2(x )=x 2,f 3(x )=x 3,f 4(x )=sin x ,f 5(x )=cos x ,f 6(x )=2.现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片,则停止抽取,否则连续进行,则抽取次数ξ的均值为()A .74B .7720C .34D .73解析:由于f 2(x ),f 5(x ),f 6(x )为偶函数,所以随机变量ξ可取1,2,3,4. P (ξ=1)=C 31C 61=12,P (ξ=2)=C 31C 31C 61C 51=310, P (ξ=3)=C 31C 21C 31C 61C 51C 41=320,P (ξ=4)=C 31C 21C 11C 31C 61C 51C 41C 31=120.所以ξ的分布列为4故E ξ=1×12+2×310+3×320+4×120=74.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.如图,A ,B ,C 表示3种开关,设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9,0.8,0.7,则系统中至少有1个开关能正常工作的概率是 .解析:∵系统中3个开关都不能正常工作的概率为(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=0.006, ∴系统中至少有1个开关能正常工作的概率为1-0.006=0.994. 答案:0.99412.将一颗骰子连掷100次,则6点消灭次数X 的均值EX= .解析:这是100次独立重复试验,X 符合二项分布,即X~B (100,16),故EX=100×16=503.答案:50313.某离散型随机变量X且EX=1.5,则a-b= .解析:∵{a +b =0.8,a +2b +0.3=1.5,∴{a =0.4,b =0.4. ∴a-b=0. 答案:014.某班有50名同学,一次考试后数学成果ξ(ξ∈N )近似听从正态分布N (100,102),已知P (90≤ξ≤100)=0.3,估量该班同学数学成果在110分以上的人数为 .解析:由题意知,P (ξ>110)=1-2P (90≤ξ≤100)2=0.2,所以估量该班同学数学成果在110分以上的人数为0.2×50=10.答案:1015.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则E ξ= (结果用最简分数表示).解析:由题意,ξ的可能取值为0,1,2,则P (ξ=0)=C 52C 72=1021,P (ξ=1)=C 51C 21C 72=1021,P (ξ=2)=C 22C 72=121. ∴ξ的分布列为2∴E ξ=0×1021+1×1021+2×121=1221=47.答案:47三、解答题(本大题共4小题,共25分)16.(6分)袋中有5个大小相同的小球,其中1个白球和4个黑球,每次从中任取一球,每次取出的黑球不再放回去,直到取出白球为止.求取球次数X 的分布列.解:取球次数X 是一个随机变量,X 的全部可能值是1,2,3,4,5.P (X=1)=15=0.2,P (X=2)=45×14=0.2,P (X=3)=45×34×13=0.2, P (X=4)=45×34×23×12=0.2, P (X=5)=45×34×23×12×11=0.2. 于是,我们得到随机变量X17.(6分):请小牛同学计算ξ的均值,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,求小牛给出的正确答案E ξ.解:设P (ξ=1)=P (ξ=3)=a ,P (ξ=2)=b ,则2a+b=1. 于是,E ξ=a+2b+3a=2(2a+b )=2.18.(6分)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:(1)至少有1株成活的概率; (2)两种大树各成活1株的概率.解:设A k 表示第k 株甲种大树成活,k=1,2;设B l 表示第l 株乙种大树成活,l=1,2,则A 1,A 2,B 1,B 2相互独立,且P (A 1)=P (A 2)=56,P (B 1)=P (B 2)=45.(1)至少有1株成活的概率为1-P (A 1A 2B 1B 2)=1-P (A 1)·P (A 2)·P (B 1)·P (B 2)=1-(16)2×(15)2=899900.(2)由独立重复试验中大事发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为p=C 21×56×16×C 21×45×15=1036×825=445.19.(7分)A ,B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.依据市场分析,X 1和X 2的分布列分别为X511 % 0%P 0.80.2(1)在A ,B 两个项目上各投资100万元,Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润,求方差DY 1,DY 2; (2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目,(100-x )万元投资B 项目,f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和.求f (x )的最小值,并指出x 为何值时,f (x )取到最小值.〔注:D (aX+b )=a 2DX 〕解:(1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为Y15 10 P 0.8.2EY 1=5×0.8+10×0.2=6,DY 1=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4; EY 2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,DY 2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.(2)f (x )=D (x 100Y 1)+D (100-x100Y 2) =(x100)2DY 1+(100-x 100)2DY 2=41002[x 2+3(100-x )2] =41002(4x 2-600x+3×1002). 当x=6002×4=75时,f (x )=3为最小值.。

高中数学第二章概率综合检测北师大版选修23

第二章概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个袋中有5个白球和3个红球，从中任取3个，则下列叙述中是离散型随机变量的是( )A ．所取球的个数B ．其中所含白球的个数C ．所取白球和红球的总数D ．袋中球的总数【解析】 A 、C 选项中所取球的个数是常数3；D 选项中球的总数是常数8；只有B 选项中所取3球中所含白球的个数是可以一一列举的变量，故应选B.【答案】 B2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p 1等于( )A.0B.15C.115D ．1【解析】由分布列性质得15＋23＋p 1＝1，解得p 1＝215.【答案】 B3．投掷3枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面向上的概率是( ) A.38 B.12 C.58D.78【解析】至少有一枚正面向上的对立事件为“三枚均为反面向上”其概率为(12)3＝18，∴所求概率为1－18＝78.【答案】 D4．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是23，假设每次比赛互不影响，那么在五次比赛中运动员A 恰有三次获胜的概率是( )A.40243B.80243C.110243D.20243【解析】所求概率为C 35×(23)3×(1－23)2＝80243.【答案】 B5．一个口袋装有2个白球和3个黑球，第一次摸出1个白球后放回，则再摸出1个白球的概率是( )A.23 B.14 C.25D.15【解析】由于是有放回摸球，所以第二次摸出1个白球，与第一次摸出白球无关，即相互独立，所以第二次摸出白球的概率为25.【答案】 C6．已知P (B |A )＝13，P (A )＝35，则P (AB )＝( )A.1415B.710C.25D.15【解析】 P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝35×13＝15.【答案】 D7．某校高考数学成绩近似地服从正态分布N (100,102)，则该校数学成绩不低于120分的考生占总人数的百分比为( )A ．46%B ．23%C ．2.3%D ．4.6%【解析】 ∵P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.4%， ∴即P (80<X <120)＝95.4%，2P (X ≥120)＝1－P (80<X <120)＝4.6%， ∴P (X ≥120)＝2.3%.【答案】 C8．将1枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面向上的概率等于出现k ＋1次正面向上的概率，则k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】设正面向上的次数为X ，则X ～B (5，12)．由题意知C k 5(12)5＝C k ＋15(12)5，∴k ＋k ＋1＝5.∴k ＝2. 【答案】 C9．设随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ≤c )＝P (ξ>c )＝p ，则p 的值( ) A ．等于0 B ．等于0.5 C ．等于1D ．不确定【解析】由P (ξ≤c )＋P (ξ>c )＝2p ＝1，得p ＝0.5. 【答案】 B10．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为35，丙及格的概率为710，三人各答一次，则三人中只有1人及格的概率为( )A.320B.42135C.47250D ．以上都不对【解析】利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为：45×(1－35)×(1－710)＋(1－45)×35×(1－710)＋(1－45)×(1－35)×710＝47250.【答案】 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上) 11．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取到次品的件数，则EX 等于________．【解析】 ∵随机变量X 服从参数N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，∴EX ＝nM N ＝2×310＝35. 【答案】 3512．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若EX ＝0，DX ＝1，则a ＝________，b ＝________.X －112 Pa b c112【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112－a ＋c ＋16＝0a ＋c ＋13＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512，b ＝14，c ＝14.【答案】512 1413．袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为________．【解析】设第三次取出红球为事件A ，前两次取出白球为事件B ， ∵P (B )＝A 26A 210＝12，P (AB )＝A 26·A 14A 310＝16.∴P (A |B )＝P ABP B ＝1613＝12.【答案】 1214．已知随机变量X 服从正态分布，且方程x 2＋2x ＋X ＝0有实数解的概率为12，若P (X ≤2)＝0.8，则P (0≤X ≤2)＝________.【解析】由方程x 2＋2x ＋X ＝0有实数解得Δ＝4－4X ≥0， ∴X ≤1. 即P (X ≤1)＝12，∴正态曲线的对称轴为x ＝1. ∴P (X ≤0)＝P (X ≥2)＝1－P (X ≤2) ＝1－0.8＝0.2.∴P (0≤X ≤2)＝1－P (X ≤0)－P (X ≥2)＝1－0.2－0.2＝0.6. 【答案】 0.615．10根大小形状完全相同的签中有3根彩签，若甲先抽一签，然后由乙再抽一签，则甲抽中彩签的概率为________；甲、乙都抽中彩签的概率为________；乙抽中彩签的概率为________．【解析】设事件A 为“甲抽中彩签”，事件B 为“乙抽中彩签”，事件C 为“甲、乙都抽中彩签”，且C ＝AB ，则P (A )＝310，P (C )＝P (AB )＝310×29＝115，P (B )＝P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )＝115＋710×39＝310.【答案】310 115 310三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)船队要对下个月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可收益5 000元；若出海后天气变坏，将要损失2 000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1 000元的损失费．据预测，下月是好天气的概率是0.6，是坏天气的概率是0.4，问：应如何作出决策？【解】设船队下个月出海的收益为随机变量X (单位：元)，则其分布列为EX ＝5 000×0.6＋(即出海的平均收益为2 200元，而不出海的收益为－1 000元，故应选择出海．17．(本小题满分12分)(2013·天津高考)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．【解】 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67.所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是故随机变量X 的数学期望EX ＝1×35＋2×35＋3×7＋4×7＝175.18．(本小题满分12分)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【解】 (1)记预报一次准确为事件A ，则P (A )＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99. (3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P ＝C 14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.19．(本小题满分13分)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．【解】 (1)由题设知，X 的可能取值为10,5,2，－3，且P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72， P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08， P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.由此得X 的分布列为：(2)设生产的4则二等品有(4－n )件．由题设知4n －(4－n )≥10，解得n ≥145.又n ∈N ，得n ＝3，或n ＝4.所以P ＝C 34×0.83×0.2＋C 44×0.84＝0.819 2. 故所求概率为0.819 2.20．(2013·课标全国卷Ⅱ)(本小题满分13分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．图1(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)．求T 的数学期望．【解】 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000.当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X ＜130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120, 150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为所以ET 59 400. 21．(2013·湖北高考)(本小题满分13分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？【解】 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.977 2.(2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y ，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y .依题意，x ，y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0.由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．。

高中数学第二章概率教案北师大版选修2-3

第二章概率§1离散型随机变量及其分布列第1课时随机变量(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解随机变量的含义．(2)会用随机变量描述随机现象．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中大量随机现象存在着的数量关系，经历概念的形成过程，从而体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点难点重点：随机变量的概念．难点：用随机变量描述随机现象．教学时从具体实例出发，引导学生观察、分析、掌握随机变量的概念，通过例题与练习让学生在应用中更深入理解其概念以强化重点，引导学生通过对用随机变量表示随机试验的结果的理解来化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“随机变量”为基本探究内容，以掷骰子试验为突破口，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过各种尝试活动，充分认识理解“随机变量”的概念及应用．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解随机变量的概念．⇒通过例1及变式训练，使学生加深对随机变量概念的理解．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握用随机变量描述随机现象．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫.正【问题导思】(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？(2)在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X取什么数字？【提示】(1)可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．(2)X＝0,1,2，…10.随机变量的概念及其表示(1)随机变量的定义：将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．(2)随机变量通常用大写的英文字母如X，Y来表示.判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2013年5月1日的旅客数量；(2)2013年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2013年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．【思路探究】判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．【自主解答】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．1．解答本题主要是运用随机变量的定义，透彻理解定义是解此类题的关键．2．随机变量X满足三个特征：(1)可以用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值．下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天新坐标书业公司信息台接到咨询电话的个数；(2)标准大气压下，水沸腾的温度；(3)在将要举行的绘画作品评比中，设一、二、三等奖，某同学的一件作品获得的奖次；【解】(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)标准大气压下，水沸腾的温度100℃是定值，所以不是随机变量．(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．【思路探究】分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果【自主解答】(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示取出标有1,2的两张卡片；X＝4，表示取出标有1,3的两张卡片；X＝5，表示取出标有2,3或标有1,4的两张卡片；……X＝11，表示取出标有5,6的两张卡片．1．解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1,2，…，11所表示的结果不需要分别列出来，只写出X＝i即可．2．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．【解】(1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间.忽视变量的实际意义致误在含有3件次品的100件产品中任意抽取2件，其中次品件数x是一个随机变量，写出x的可能的值，并说明随机变量的取值表示的事件．【错解】随机变量x的可能取值为1,2.x＝1表示抽到1件次品，x＝2表示抽到2件次品．【错因分析】忽视了x的实际意义即遗漏了x＝0的情况．【防范措施】解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义．【正解】随机变量x的可能取值为0,1,2.x＝0表示抽到0件次品即抽到的都是正品，x＝1表示抽到1件次品，x＝2表示抽到2件次品．2．随机变量与函数的异同点：1．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( ) A．2颗都是4点B．1颗1点，另一颗3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另1颗是3点；或者2颗都是2点【解析】由于抛掷1颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一，而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2表示的随机试验结果是：1颗是1点，另一颗是3点；或者2颗都是2点．【答案】 D2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率【解析】取到次品的件数可能为0,1,2是随机的，可作为随机变量．【答案】 C3．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数ξ的最大可能取值为________．【解析】因为只有5把钥匙，最多只需试验4次，故ξ≤4.【答案】 44．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．【解】根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．一、选择题1．下列不是随机变量的是( )A．从编号为1～10号的小球中随意取一个小球的编号B．从早晨7∶00到中午12∶00某人上班的时间C．A、B两地相距a km，以v km/h的速度从A到达B的时间D．某十字路口一天中经过的轿车辆数【解析】选项C中“时间”为确定的值，故不是随机变量．【答案】 C2．抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是( )A．出现正面向上的次数B．出现正面或反面向上的次数C．掷硬币的次数D．出现正、反面向上的次数之和【解析】掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量X，X的取值是0,1，故选A.而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，都不是随机变量，D中对应的事件是必然事件．故选A.【答案】 A3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( ) A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7 C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5【解析】由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1,2,3，…，7，故选B.【答案】 B4．下列变量不是随机变量的是( )A．掷一枚骰子，所得的点数B．一射手射击一次，击中的环数C．某网站一天的点击量D．标准状态下，水在100 ℃时会沸腾【解析】D对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量，故选D.【答案】 D5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标【解析】ξ＝5表示前4次均未击中目标．【答案】 C二、填空题6．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X，则X＝5表示的随机试验的结果是________．【解析】两颗骰子的点数之和为5，则共有两种情况，1,4或2,3.【答案】一颗骰子是1点，另一颗是4点，或一颗骰子是2点，另一颗是3点．7．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量x描述1次试验的成功次数，则x的值可以是________．【解析】这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故x可能取值有两种，即0,1.【答案】0,18．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．【解析】因为答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.【答案】－300，－100,100,300三、解答题9．连续向一目标射击，直到命中目标为止，所需要的射击次数为X，写出X＝6所表示的试验结果．【解】X＝6表示的试验结果是“射击了6次，前5次都未击中目标，第6次击中目标”．10．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.(1)写出ξ的所有可能取值；(2)写出{ξ＝1}个所表示的事件．【解】(1)ξ可能取的值为0,1,2,3.(2){ξ＝1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．11．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．【解】ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.“ξ＝0”表示第一盏信号灯就停下；“ξ＝1”表示通过了一盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；“ξ＝2”表示通过了两盏信号灯，在第3盏信号灯前停下；“ξ＝3”表示通过了三盏信号灯，在第4盏信号灯前停下；“ξ＝4”表示通过了四盏信号灯，在第5盏信号灯前停下；“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地.(教师用书独具)指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．①广州国际机场候机室中一天的旅客数量；②某人射击一次命中的环数；③每天游览济南大明湖的人数；④从装有3个红球，2个白球的袋子中随机摸取2球，所得红球的个数；⑤某人的性别随年龄的变化．【思路探究】解答本题可利用随机变量的定义去分析相应的实例．【自主解答】①候机室的旅客数量可能是：0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．②某人射击一次，可能命中的环数是0,1,2，…，10，这11个结果中出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．③每天游览大明湖的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．④从袋子中取球，所得红球的数量可能是0个，1个，2个，其中究竟出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．⑤某人的性别是与生俱来的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．写出下列随机变量的可能取值，并说明相应取值所对应的随机试验结果．(1)袋中装有10个红球、5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(2)从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡号数之和为X.【解】(1)X的可能取值为0,1,2,3,4，X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(2)X的可能取值为3,4,5,6,7.其中，X＝3表示取出分别标有1,2的2张卡片；X＝4表示取出分别标有1,3的2张卡片；X＝5表示取出分别标有1,4或2,3的2张卡片；X＝6表示取出分别标有2,4的2张卡片；X＝7表示取出分别标有3,4的2张卡片．第2课时离散型随机变量及其分布列(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．(2)掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中的数学原型，经历概念的形成过程，体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点难点重点：离散型随机变量分布列及其性质的应用．难点：求离散型随机变量的分布列．教学时引导学生结合学习过的概率，来理解离散型随机变量分布列的概念及性质，通过例题与练习加深对其理解，通过观察、比较、分析找出分布列的特点及求法，以强化重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议教材通过掷骰子试验的例子概括出离散型随机变量分布列的概念，教学时可通过引导启发学生类比函数的表示法来探究分布列的表示方法，通过例题让学生归纳分布列的性质特点，通过独立自主和合作交流进一步理解分布列．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒通过引导学生回答问题，让学生掌握离散型随机变量及其分布列．⇒通过例1及变式训练，掌握离散型随机变量的判定．⇒通过例2及互动探究掌握如何求离散型随机变量的分布列．⇒通过例3及变式训练掌握离散型随机变量的性质及应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.掷一枚骰子，所得点数为x ，x 是离散型随机变量吗？x 可取哪些数字？x 取不同的值时，其概率分别是多少？【提示】是，x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.1．离散型随机变量随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量X的分布列(1)定义：设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)，①或把①式列成如下表格：如果随机变量X的分布列为上述表格或①式，我们称随机变量X服从这一分布(列)，并记为a1a2p1p2….X～[](2)性质：在离散型随机变量X的分布列中，①p i>0；②p1＋p2＋ (1)(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【思路探究】随机变量的实际背景→判断取值是否具有可列性→得出结论【自主解答】 (1)车辆数X 的取值可以一一列出，故X 为离散型随机变量． (2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． (3)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．1．解答此类问题的关键在于明确随机变量的取值是否都能“一一列出”． 2．判断一个变量是否是离散型随机变量的步骤 (1)分析变量是否是随机变量； (2)考察随机变量的值域；(3)判断这些取值能否按一定顺序列举出来，若能则是离散型随机变量．判断下列变量是否为离散型随机变量： (1)下节课外语老师提问学生的次数η； (2)同时掷两枚硬币得到硬币反面向上的个数X ； (3)汽车的使用寿命Y ； (4)小麦的单位面积产量X .【解】 (1)(2)中的随机变量的取值均能一一列出，故为离散型随机变量． (3)(4)中的随机变量取值不能一一列出，故不是离散型随机变量．分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用X 表示得分数，求X 的分布列．【思路探究】确定X 的可能取值―→ 求X 取每一个值的概率―→列表【自主解答】由题意知，X 的可能取值是0,1,2,3,4， P (X ＝0)＝C 24C 29＝4×39×8＝16.P (X ＝1)＝C 14·C 13C 29＝13.P (X ＝2)＝C 14·C 12＋C 23C 29＝4×2＋39×82＝1136. P (X ＝3)＝C 13·C 12C 29＝3×29×82＝16.P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为1．解答本题首先要明确X 指的是什么，能取哪些值． 2．解答此类题目，要注意解题格式．本例中，若每取到一个黑球得0分，每取到一个白球也得0分，每取到一个红球得2分，其它条件不变，求X 的分布列．【解】由题意知，X 的可能取值是0,2,4. P (X ＝0)＝C 27C 29＝712，P (X ＝2)＝C 17C 12C 9＝718，P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为设随机变量X 的分布列P (X ＝5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110<X <710)．【思路探究】 (1)先求出X 的分布列，再根据分布列的性质确定a .(2)、(3)中的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解即可．【自主解答】依题意，随机变量X 的分布列为(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝55)＝315＋415＋515＝45，或P (X ≥35)＝1－P (X ≤25)＝1－(115＋215)＝45.(3)因为110<X <710，所以X ＝15，25，35.故P (110<X <710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)．＝115＋215＋315＝25.1．随机变量的取值不一定是整数，它的取值一般来源于实际问题，并有特定的含义． 2．随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个值的概率之和．已知随机变量X 的概率分布列，求随机变量Y ＝X 2的分布列.【解】 4与1，即Y 取4这个值的概率为X 取－2与2的概率112与212合并的结果，Y 取1这个值的概率为X 取－1与1的概率312与112合并的结果，故Y 的分布列为离散型随机变量分布列的应用(12分)袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的概率分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率．【思路点拨】解答本题(1)利用古典概型公式求解即可；解答本题(2)的关键在于确定X 的所有可能取值；解答本题(3)由题意知计算介于20分到40分之间的概率等于X ＝3与X ＝4的概率之和，由(2)易得其概率．【规范解答】 (1)法一 “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.4分法二 “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是对立事件，2分因为P (B )＝C 15C 22C 18C 10＝13，3分所以P (A )＝1－P (B )＝1－13＝23.4分(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5.5分 P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130；6分 P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215；7分 P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310；8分P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815.9分所以随机变量X 的概率分布列为10分(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.12分离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合，古典概型、互斥事件、对立事件的概率等知识，是较强的综合应用．1．离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．2．求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确.1．如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A ．ξ取每一个可能值的概率都是非负实数 B ．ξ取所有可能值的概率之和为1C ．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D ．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和【解析】根据离散型随机变量的特点易知D 是假命题．【答案】 D2．若随机变量X 的分布列如下，则m 的值是( )A.13B.12C.6D.4【解析】由分布列的性质得m >0，且13＋16＋m ＝1，故m ＝12.【答案】 B3．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则n 的值为________．【解析】由条件知，ξ取1,2,3，…，n 时的概率均为1n.又∵ξ<4时，n ＝1,2,3，且P (ξ<4)＝0.3，∴3n＝0.3即n ＝10.【答案】 104．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球.求X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．【解】 (1)X 的分布列如下表：(2)X 的分布列如下表：一、选择题1．设随机变量X的分布列如下，则下列各式中正确的是( )A.P(X＝1)＝0.1 B．P(X＞－1)＝1C．P(X＜3)＝1 D．P(X＜0)＝0【解析】根据分布列知只有A正确．【答案】 A2．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量．其中是离散型随机变量的为( )A．①②B．③④C．①③D．②④【解析】①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量．【答案】 C3．(2013·东营高二检测)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2<ξ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.15【解析】2<ξ≤4时，ξ＝3,4.∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝123＋124＝316.【答案】 A4．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积记为X，则X所有可能值的个数是( ) A．6 B．7 C．10 D．25 【解析】X的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5，共计10个．【答案】 C5．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( )A ．P (X ＝0)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)【解析】 C 18C 16表示从甲袋中取出的是白球，从乙袋中取出的是红球的方法数，C 14C 16表示从甲袋中取出的是红球，从乙袋中取出的是白球的方法数，恰好对应X ＝1.【答案】 C 二、填空题6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X ＜10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X ＞30)等于________．【解析】根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X ＜10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X ＞30)＝1，故P (X ＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.【答案】 0.37．(2013·岳阳高二检测)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为，则q 等于________．【解析】由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22. 【答案】 1－228．由于电脑故障，随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下：【解析】由概率和为1知，最后一位数字和必为零， ∴P (X ＝5)＝0.15，从而P (X ＝3)＝0.25.∴P (X 为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 【答案】 0.6 三、解答题9．(2013·阜阳高二检测)某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与他们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分为X .(1)求该选手得分不少于6分的概率； (2)求X 的分布列.【解】 (1)P (X ＝6)＝C 24A 44＝14，P (X ＝12)＝1A 44＝124，该选手得分不少于6分的概率为P ＝P (X ＝6)＋P (X ＝12)＝724.(2)X 的可能取值是0,3,6,12.P (X ＝3)＝C 14×2A 44＝13，P (X ＝0)＝1－724－13＝924＝38.X 的分布列为10．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X 的分布列为期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y 表示经销一件该商品的利润．求Y 的分布列．【解】 Y 的可能取值为200元，250元，300元．P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P (Y ＝300)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.故Y 的分布列为图2－1－111．(2013·江西高考改编)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列．【解】(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为(教师用书独具)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，。

北师大版高中数学选修2-3第二章《概率》离散型随机变量

北师大版高中数学选修2 北师大版高中数学选修2-3 第二章《概率》第二章《概率》 §1 离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量
法门高中姚连省制作
一、教学目标：1、知识目标：⑴理解随机变量的意义；⑵学教学目标：知识目标：理解随机变量的意义；会区分离散型与非离散型随机变量，会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；理解随机变量所表示试验结果的含义，量的例子；⑶理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量。能力目标：发展抽象、概括能力，地定义随机变量。2、能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力。情感目标：学会合作探讨，实际解决问题的能力。3、情感目标：学会合作探讨，体验成提高学习数学的兴趣. 功，提高学习数学的兴趣. 教学重点：随机变量、离散型随机变量、二、教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量、教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学方法：讨论交流，三、教学方法：讨论交流，探析归纳内容分析：本章是在初中“统计初步”和高中必修课“ 四、内容分析：本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题五、教学过程
Y=
{
0,掷出奇数点掷出奇数点 1,掷出偶数点掷出偶数点
3、任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？、任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系。本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系。
2、离散型随机变量、
在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变在上面的射击、产品检验等例子中，量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。散型随机变量。如果随机变量可能取的值是某个区间的一切这样的随机变量叫做连续型随机变量连续型随机变量. 值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.

高中数学第二章概率模块复习课课件北师大版选修2_3

专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一条件概率和相互独立事件的概率【例1】一个盒子装有4个产品,其中有3个一等品、1个二等品, 从中取产品两次,每次任取一个,做不放回抽样,设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A). 解将产品编号1,2,3号为一等品,4号为二等品,以(i,j)表示第一次, 第二次分别取到第i号、第j号产品,则试验的样本空间为: Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),…,(4,1),(4,2),(4,3)}, A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}, AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},
第2章概率
知识网络
要点梳理
①超几何分布;②二项分布;③均值;④方差;⑤正态分布;⑥3σ原则.
知识网络
要点梳理
1.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表
��(��) P(B|A)= ��(��) 2 = . 3
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
【例 2】甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件, 甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为4, 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为12 , 甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为9.

高中数学第二章概率正态分布学案含解析北师大版选修2_3

新人教A版选修1_2高中数学学案含解析：§6正态分布知识点一连续型随机变量[填一填]在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X 的分布密度函数，记为f(x)．正态分布的密度函数为f(x)＝－∞<x<＋∞.它有两个重要的参数：均值μ和方差σ2(σ>0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．[答一答]1．正态分布的密度函数曲线，当μ一定时，σ变化与曲线的影响怎样？提示：曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．知识点二正态分布密度函数的性质[填一填](1)函数图像关于直线x＝μ对称；(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.[答一答]2．若X～N(μ，σ2)，则P(μ－a<X<μ＋a)的几何意义是什么？提示：表示X取值的概率等于正态曲线与X＝μ－a，X＝μ＋a以及X轴所围成的图形的面积．1．对正态分布的理解(1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计．它在正态曲线中的作用是决定了其对称轴的位置，并且正态曲线在x＝μ处达到峰值(即最大值)．(2)参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．它在正态曲线中的作用是当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．如何理解正态曲线？正态曲线指的是一个函数的图像，这个函数就是总体的概率密度函数，其解析式是，对于这个函数解析式，要注意以下几点：(1)函数的自变量是x ，定义域是R ；(2)解析式中含有两个常数：π和e ，这是两个无理数，其中π是圆周率，e 是自然对数； (3)解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ>0，在不同的正态分布中，μ，σ的取值是不同的，这是正态分布的两个特征数．(4)解析式中前面有一个系数1σ2π，后面是一个以e 为底数的指数函数的形式，幂指数为－(x －μ)22σ2，其中σ这个参数在解析式中的两个位置上出现，注意两者的一致性．3．求一个服从正态分布的随机变量在某个区间的概率应考虑的内容 (1)曲线位于x 轴上方，且与x 轴之间的面积为1； (2)曲线关于直线x ＝μ对称； (3)P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.3%， P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.4%， P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝99.7%.题型一正态分布密度曲线及其性质 [例1] 关于正态曲线性质有下列叙述：(1)曲线关于直线x ＝μ对称，这条曲线在x 轴的上方；(2)曲线关于直线x ＝0对称，这条曲线只有当x ∈(－3σ，3σ)时，才在x 轴的上方； (3)曲线关于y 轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x ＝μ时位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； (5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；(6)当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是( ) A ．只有(1)(4)(5)(6) B ．只有(2)(4)(5) C ．只有(3)(4)(5)(6) D ．只有(1)(5)(6)[思路探究] 正态曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ时处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸时，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x 轴的上方，曲线的形状由σ确定，而且当μ一定时，比较若干不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．[答案] A右图是一个正态曲线．试根据该图像写出其正态分布的密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．解：从给出的正态分布密度曲线可知，该曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，∴μ＝20，12π·σ＝12π，得σ＝ 2.∴正态分布的分布密度函数的解析式为均值μ＝20，方差σ2＝(2)2＝2.题型二正态变量在三个常用区间上的概率的应用[例2]在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)内的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)之间的考生大约有多少人？[思路探究]正态分布―→确定μ，σ的值―→正态分布在三个特殊区间上的概率―→求解[解]∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)P(70<X<110)＝P(90－2×10<X<90＋2×10)＝0.954，即成绩X位于区间(70,110)内的概率为0.954.(2)P(80<X<100)＝P(90－10<X<90＋10)＝0.683，∴2 000×0.683＝1 366(人)．即考试成绩在(80,100)之间的考生大约有1 366人．规律方法解答此类问题的关键有两个：(1)熟记随机变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值；(2)根据已知条件确定问题所在的区间，并结合三个特殊区间上的概率值求解．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的学生占多少？ (2)成绩在80～90之间的学生占多少？解：(1)设学生的得分为随机变量X ，X ～N (70,102)，如图所示，则μ＝70，σ＝10，P (70－10<X <70＋10)＝0.683，∴不及格的学生的比为12×(1－0.683)＝0.158 5，即成绩不及格的学生占15.85%.(2)成绩在80～90之间的学生的比为12[P (50<X <90)－P (60<X <80)]＝12×(0.954－0.683)＝0.135 5，即成绩在80～90之间的学生占13.55%.题型三正态分布的实际应用[例3] 设在一次数学考试中，某班学生的分数X ～N (110,202)，且知满分是150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．[思路探究] 要求及格的人数，需求出P (90≤X ≤150)，而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解．[解] 因为X ～N (110,202)，所以μ＝110，σ＝20， P (110－20≤X ≤110＋20)＝0.682 6.于是X >130的概率为12×(1－0.682 6)＝0.158 7，X ≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.故及格的人数为54×0.841 3≈45(人)，130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人)．规律方法本题是利用正态曲线的对称性结合三个特殊概率的值求概率，要体会应用方法．一个工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布N (4，19)，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？解：∵X ～N (4，19)，∴μ＝4，σ＝13.∴不属于区间(3,5)的概率为 P (X ≤3)＋P (X ≥5)＝1－P (3<X <5)＝1－P (4－1<X <4＋1)＝1－P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝1－0.997＝0.003， ∴1 000×0.003＝3(个)，即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个．——误区警示系列—— 错用正态曲线的对称性[例4] 若随机变量X 服从正态分布N (0,1)，且P (X ≤1)＝0.841 3，求P (－1<X ≤0)． [解] 因为P (X ≤1)＝0.841 3，所以P (X >1)＝1－0.841 3＝0.158 7，所以P (X ≤－1)＝0.158 7，所以P (－1<X ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.[易错警示] (1)求解时，错解为P (－1<X ≤0)＝1－P (X ≤1)＝0.158 7. (2)针对μ＝0的正态分布，求某区间上的取值概率时常利用如下两个公式： ①P (X <－x 0)＝1－P (X ≤x 0)； ②P (a <X <b )＝P (X <b )－P (X ≤a )．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3时的三种正态曲线N (0，σ2)的图像，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是( D )A ．σ1>1>σ2>σ3>0B ．0<σ1<σ2<1<σ3C ．σ1>σ2>1>σ3>0D ．0<σ1<σ2＝1<σ3解析：当μ＝0，σ＝1时，正态分布密度函数f (x )＝在x ＝0时取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之曲线越“矮胖”，故选D.1．对于正态分布N (0,1)的分布密度函数f (x )＝，下列说法不正确的是( D )A ．f (x )为偶函数B ．f (x )的最大值是12πC ．f (x )在x >0时是减函数，在x <0时是增函数D ．f (x )是关于x ＝1对称的解析：f (x )的对称轴是x ＝μ＝0，不是x ＝1.2．正态分布密度函数f (x )＝，x ∈R ，其中μ<0的图像是( A )解析：直线x ＝μ是函数图像的对称轴，又图像总在x 轴上方，∴选A.3．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c 等于( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由正态分布密度曲线的对称性，知 2＝(c ＋1)＋(c －1)2，∴c ＝2.4．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ<3)＝1,2.解析：由正态分布图像知，μ＝3为该图像的对称轴，P (ξ<3)＝P (ξ>3)＝12.5．若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则下列命题正确的是①③(写出所有正确命题的序号)．①正态分布密度曲线关于直线x ＝μ对称；②σ越小，正态分布密度曲线越“矮胖”；σ越大，正态分布密度曲线越“瘦高”； ③若P (ξ≤μ＋2)＝0.8，则P (ξ≤μ－2)＝0.2.解析：依据正态分布密度曲线的性质和对称性可解．6．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是多少？解：正态曲线关于直线x ＝μ对称，μ是随机变量的期望，而(－3，－1)和(3,5)关于直线x ＝1对称，由上面分析知正态分布的数学期望为1.。

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第二章概率单元检测
(时间：45分钟满分：100分)
一、选择题(每小题6分，共48分)
1．已知随机变量X 满足DX ＝2，则D (3X ＋2)＝( )．
A ．2
B ．8
C ．18
D ．20
2．离散型随机变量X
则c 等于( )．
A ．0.1
B ．0.24
C ．0.01
D ．0.76
3．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和45
4
，则n ，p 的值分别是( )．
A ．50，
14
B ．60，
14
C ．50，
34
D ．60，
34
4．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是110,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则该随机变量的方差等于( )．
A ．10
B ．100
C ．
2
π
D 5．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝
23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知EX ＝4
3
，DX ＝
2
9，则x 1＋x 2的值为( )． A ．53 B ．73
C ．3
D ．
11
3
6．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )．
A ．0.9
B ．0.2
C ．0.7
D ．0.5
7．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是
3
10
的事件为( )．
A ．恰有1只是坏的
B ．4只全是好的
C ．恰有2只是好的
D ．至多有2只是坏的 8．某计算机网络有n 个终端，每个终端在一天中使用的概率为p ，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为( )．
A ．np (1－p )
B ．np
C ．n
D ．p (1－p ) 二、填空题(每小题6分，共18分)
9．将一颗骰子连掷100次，则6点出现次数X 的均值EX ＝______. 10．一离散型随机变量
且EX ＝1.5，则a －b ＝11．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望(均值)E ξ＝______.(结果用最简分数表示)
三、解答题(共34分)
12．(10分)袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差．13．(12分)9粒种子种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．
(1)求甲坑不需要补种的概率；
(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
(3)求有坑需要补种的概率．(精确到0.001)
14．(12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5,0.75.
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的均值．
参考答案1.答案：C
解析：D(3X＋2)＝9DX＝18.
2．答案：A
解析：c＝1－(0.2＋0.3＋0.4)＝0.1.
3.答案：B
解析：由
15,
45
(1),
4
np
np p
=
⎛
-=
⎝
得
1
,
4
60.
p
n
⎛
=
=
⎝
4.答案：C
解析：由正态分布密度曲线上的最高点
1
10,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
1
2
=，∴DX＝σ2＝
2
π
.
5.答案：C
解析：∵EX＝2
3
x1＋
1
3
x2＝
4
3
，
∴x2＝4－2x1.
DX＝
22
12
42412 33339 x x
⎛⎫⎛⎫
-⨯+-⨯=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
.
∵x1＜x2，∴1
21, 2.
x x =
⎧
⎨
=
⎩
∴x1＋x2＝3.
6.答案：D
解析：设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为P(A B＋A B)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.
7.答案：C
解析：设X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，
则P(X＝k)＝
4
73
4
10
C C
C
k k-
(k＝1,2,3,4)．
∴P(X＝1)＝1
30
，P(X＝2)＝
1
30
，P(X＝3)＝
1
2
，P(X＝4)＝
1
6
.
8.答案：B
解析：每天平均使用的终端个数X～B(n，p)，每天平均使用的终端个数值即EX＝np，故答案选B．
9.答案：50 3
解析：这是100次独立重复试验，X～B
1 100,
6
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∴EX＝100×150 63 =.
10.答案：0
解析：∵
0.8,
20.3 1.5,
a b
a b
+=
⎧
⎨
++=
⎩
∴
0.4,
0.4.
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
∴a－b＝0.
11.答案：4 7
解析：由题意，ξ的可能取值为0,1,2，则
P (ξ＝0)＝2527C 10
C 21
=，
P (ξ＝1)＝115227C C 10C 21=，P (ξ＝2)＝22
2
7C 1C 21
=. ∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望E ξ＝0×21＋1×21＋2×21＝
124
217
=. 12. 解：取球次数X 是一个随机变量，X 的所有可能值是1,2,3,4,5.为了求X 的均值和
方差，可先求X 的分布列．
P (X ＝1)＝15＝0.2，
P (X ＝2)＝41
54⨯＝0.2，
P (X ＝3)＝431
543⨯⨯＝0.2，
P (X ＝4)＝4321
5432⨯⨯⨯＝0.2，
P (X ＝5)＝43211
54321
⨯⨯⨯⨯＝0.2.
EX ＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2 ＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
DX ＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22
)＝2.
13. 解：(1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3
＝18
，所以甲坑不需要补种的概率为 1－
17
88
=＝0.875. (2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为
2
13
71C 88⎛⎫
⨯⨯ ⎪⎝⎭
≈0.041.
(3)因为3个坑都不需要补种的概率为378⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以有坑需要补种的概率为1－3
78⎛⎫
⎪⎝⎭
≈0.330.
14. 解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1，A 2，A 3. (1)设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
P (E )＝P (A 123A A )＋P (1A A 23A )＋P (12A A A 3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋
0.5×0.4×0.4＝0.38.
(2)解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p＝0.3，所以X～B(3,0.3)，故EX＝np＝3×0.3＝0.9.
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A，B，C，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3，
所以P(X＝0)＝(1－0.3)3＝0.343，
P(X＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441，
P(X＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189，
P(X＝3)＝0.33＝0.027.
于是，EX＝1×0.441＋2×0.189＋3×0.027＝0.9.。