2016-2017学年高中数学第2章推理与证明章末综合检测苏教版选修1-2

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上) 1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f (x )，若f (x 0)＝0，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点.因为f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x ＝0是f (x )＝x 3的极值点.以上推理中________错误.【解析】 大前提是错误的，若f ′(x 0)＝0，x ＝x 0不一定是函数f (x )的极值点. 【答案】 大前提2.下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________.图1【解析】 由图形可知，着色三角形的个数依次为：1,3,9,27，…，故a n ＝3n -1. 【答案】 3n -13.(2016·日照联考)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (22)＞2，f (23)＞52，f (24)＞3，f (25)＞72，由此推测，当n ≥2时，有________.【解析】 因为f (22)＞42，f (23)＞52，f (24)＞62，f (25)＞72，所以推测，当n ≥2时，f (2n )＞n ＋22.【答案】 f (2n)＞n ＋224.已知圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)的面积为S ＝πr 2，由此类比椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积最有可能是________.【解析】 将圆看作椭圆的极端情况，即a ＝b 情形. ∴类比S 圆＝πr 2，得椭圆面积S ＝πab . 【答案】 πab5.已知a ＞0，b ＞0，m ＝lga ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m 与n 的大小关系为________.【解析】 ∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＞a ＋b ＞0，∴a ＋b ＞a ＋b ＞0，则a ＋b2＞a ＋b2.∴lga ＋b2＞lga ＋b2，则m ＞n .【答案】 m ＞n6.已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q ＞1，若a 1＝b 1，a 2 013＝b 2 013，则a 1 007与b 1 007的大小关系是________.【解析】 由2a 1 007＝a 1＋a 2 013，得a 1 007＝a 1＋a 2 0132.又b 21 007＝b 1·b2 013，得b 1 007＝b 1·b 2 013， ∵a 1＝b 1＞0，a 2 013＝b 2 013＞0，且a 1≠a 2 013， ∴a 1 007＞b 1 007. 【答案】 a 1 007＞b 1 0077.已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________.【解析】 x ，y 中至少有一个大于1，表示有一个大于1或两个都大于1，反设x ，y 两个都不大于1.【答案】 x ，y 都不大于1(或者x ≤1且y ≤1)8.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45,55，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图2所示)，则三角形数的一般表达式f (n )＝________.图2【解析】 n ＝1时，1＝1×22；n ＝2时，3＝2×32；n ＝3时，6＝3×42，…则f (n )＝nn ＋12.【答案】n n ＋129.如图3，将全体正整数排成一个三角形数阵：图3根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左到右的第三个数是________. 【解析】 前n -1行共有正整数1＋2＋3＋…＋(n -1)＝n 2-n2个，∴第n 行第3个数是n 2-n2＋3＝n 2-n ＋62.【答案】n 2-n ＋6210.(2016·东北三校二模)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________.【解析】 由题知13＝12； 13＋23＝⎝⎛⎭⎪⎫2×322；13＋23＋33＝⎝⎛⎭⎪⎫3×422；13＋23＋33＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4×522；…∴13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122.【答案】 13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋12211.已知点A (x 1,3x 1)，B (x 2,3x 2)是函数y ＝3x的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论3x 1＋3x 22＞3x 1＋x 22成立.运用类比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2＜x ＜0的图象上任意不同两点，则类似地有____________成立.【解析】 因为y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2＜x ＜0图象是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标tan x 1＋tan x 22总是小于函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2＜x ＜0图象上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22的纵坐标，即有tan x 1＋tan x 22＜tan x 1＋x 22成立.【答案】tan x 1＋tan x 22＜tan x 1＋x 2212.定义映射f ：A →B ，其中A ＝{(m ，n )|m ，n ∈R }，B ＝R ，已知对所有的有序正整数对(m ，n )满足下述条件：①f (m,1)＝1；②若n ＞m ，则f (m ，n )＝0；③f (m ＋1，n )＝nf (m ，n )＋f (m ，n -1)].则f (2,2)＝________，f (n,2)＝________.【解析】 根据定义得f (2,2)＝f (1＋1,2)＝2f (1,2)＋f (1,1)]＝2f (1,1)＝2×1＝2.f (3,2)＝f (2＋1,2)＝2f (2,2)＋f (2,1)]＝2×(2＋1)＝6＝23-2，f (4,2)＝f (3＋1,2)＝2f (3,2)＋f (3,1)]＝2×(6＋1)＝14＝24-2，f (5,2)＝f (4＋1,2)＝2f (4,2)＋f (4,1)]＝2×(14＋1)＝30＝25-2，所以根据归纳推理可知f (n,2)＝2n-2.【答案】 2 2n-213.(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：【解析】 观察表中数据，并计算F ＋V 分别为11,12,14，又其对应E 分别为9,10,12，易观察并猜想F ＋V -E ＝2.【答案】 F ＋V -E ＝214.(2016·北京顺义区统考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规则排列：12；13，23；14，24，34；15，25，35，45；…1n ，2n ，…，n -1n…. 则a 15＝______；若存在正整数k ，使S k -1＜10，S k ＞10，则a k ＝________.【解析】 从题中可看出分母n ＋1出现n 次，当分母为n ＋1时，分子依次是1,2,3，…n 共n 个，由于1＋2＋3＋4＋5＝15.因此a 15＝56.计算分母为n ＋1的各分数的和，依次为12，1，32，2，52，3，…，而12＋1＋32＋2＋52＋3＝10.5＞10，但12＋1＋32＋2＋52＝7.5＜10，再计算17＋27＋37＋47＋57＝217，而712＋217＝9914＜10，故a k ＝67. 【答案】 56 67二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)用反证法证明：如果x ＞12，那么x 2＋2x -1≠0.【证明】 假设x 2＋2x -1＝0， 则x ＝-1± 2. 容易看出-1-2＜12，下面证明-1＋2＜12.要证：-1＋2＜12，只需证：2＜32，只需证：2＜94.上式显然成立，故有-1＋2＜12.综上，x ＝-1±2＜12.而这与已知条件x ＞12相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立.16.(本小题满分14分)已知a ，b ，c 为正数，且f (n )＝lg a n ＋b n ＋c n3，求证：2f (n )≤f (2n ).【证明】 要证2f (n )≤f (2n )，只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋b n ＋c n 32≤a 2n ＋b 2n ＋c 2n 3. 即证(a n ＋b n ＋c n )2≤3(a 2n ＋b 2n ＋c 2n). 即2a n b n ＋2c n b n ＋2a n c n ≤2(a 2n ＋b 2n ＋c 2n).∵a 2n＋b 2n≥2a n b n ，a 2n ＋c 2n ≥2a n c n ，b 2n ＋c 2n ≥2b n c n. ∴2a n b n＋2c n b n＋2a n c n≤2(a 2n＋b 2n＋c 2n). ∴原不等式成立.17.(本小题满分14分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c成等差数列.(1)比较b a 与cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角. 【解】 (1)b a ＜cb.证明如下： 要证b a ＜c b ，只需证b a ＜c b. ∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ≥21ac，∴b 2≤ac .又a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac . 故所得大小关系正确.(2)法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2-b 22ac ≥2ac -b 22ac ＞ac -b 22ac＞0，这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立. 所以角B 不可能是钝角.法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c＞1b＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立.所以角B 不可能是钝角.18.(本小题满分16分)(2016·南通月考)诺贝尔奖的发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：2002年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19 800万美元.设f (x )表示为第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发奖后的基金总额(2002年记为f (1)).(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2012年度诺贝尔各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由.(参考数据：1.031 29≈1.32)【解】 (1)由题意知：f (2)＝f (1)(1＋6.24%)-12f (1)·6.24%＝f (1)(1＋3.12%)，f (3)＝f (2)(1＋6.24%)-12f (2)·6.24%＝f (1)·(1＋3.12%)2，∴f (x )＝19 800·(1＋3.12%)x -1(x ∈N *).(2)2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为f (10)＝19 800×(1＋3.12%)9＝26 136万美元，∴2012年度诺贝尔奖各项奖金额为16×12×f (10)×6.24%≈136万美元，与150万美元相比少了约14万美元.所以新闻“2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不真，是假新闻.19. (本小题满分16分)(2014·湖北高考)如图4，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点.求证：图4(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.【导学号：97220022】【证明】(1)连结AD1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连结AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.20.(本小题满分16分)(2014·湖南高考)已知函数f(x)＝x cos x-sin x＋1(x>0). (1)求f(x)的单调区间；(2)记x i为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有1x21＋1x22＋…＋1 x2n <23.【解】(1)f′(x)＝cos x-x sin x-cos x＝-x sin x.令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*).当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N*)时，sin x>0，此时f′(x)<0；当x∈(2k＋1)π，(2k＋2)π](k∈N*)时，sin x<0，此时f′(x)>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N *)，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N *).(2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x 1＝π2.当n ∈N *时，因为f (n π)f (n ＋1)π]＝(-1)n n π＋1]·(-1)n ＋1(n ＋1)π＋1]<0，且函数f (x )的图象是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点.又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故n π<x n ＋1<(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，1x 21＝4π2<23；当n ＝2时，1x 21＋1x 22<1π2(4＋1)<23；当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n<1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋122＋…＋1n -12<1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋11×2＋…＋1n -2n -1 ＝1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -2-1n -1＝1π2⎝ ⎛⎭⎪⎫6-1n -1<6π2<23. 综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <23.。