【精品】2015-2016年上海市徐汇区高二上学期数学期末试卷与答案
上海市徐汇区 高二上期末数学试卷(有答案)-推荐
2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分. 1．直线3x ﹣4y ﹣5=0的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）2．若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是 ．3．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b= ．4．行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k= ．5．以点P （3，4）和点Q （﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是 ． 6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x 2+y 2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为 ．7．在△ABC 中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是 ．8．已知双曲线kx 2﹣y 2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k= ．9．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB=3，BD=1，则= ．10．已知F 1、F 2是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，且⊥，若△PF 1F 2的面积为16，则b= ．11．若点O 和点F 分别为椭圆+y 2=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为 ．12．在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A （1，0）且与直线l ：x=﹣1相切，圆心分别为C 1、C 2，若动点M 满足2=+，则M 的轨迹方程为 ．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．“”是“方程组有唯一解”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．715．已知集合P={（x ，y ）||x|+2|y|=5}，Q={（x ，y ）|x 2+y 2=5}，则集合P∩Q 中元素的个数是（ ） A ．0 B ．2C ．4D ．816．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x （a ＞0，b ＞0），若双曲线上有一点M （x 0，y 0），使b|x 0|＜a|y 0|，则该双曲线的焦点（ ） A ．在x 轴上 B ．在y 轴上C ．当a ＞b 时，在x 轴上D ．当a ＞b 时，在y 轴上三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．18．已知直线l 经过点P （﹣2，），并且与直线l 0：x ﹣y+2=0的夹角为，求直线l 的方程．19．如图所示，A （2，0）、B 、C 是椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）上的三点，BC 过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形． （1）求椭圆E 的方程； （2）求△ABC 的面积．20．如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x 轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．21．对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．直线3x ﹣4y ﹣5=0的倾斜角的大小为 arctan （结果用反三角函数值表示） 【考点】直线的倾斜角．【分析】根据所给的直线3x ﹣4y ﹣5=0，得到直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，得到tanα=，α∈[0，π]，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果． 【解答】解：∵直线3x ﹣4y ﹣5=0，∴直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，∴tanα=，α∈[0，π]，∴α=arctan ，故答案为：arctan ．2．若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是 （，） ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据坐标运算求出向量，再求与同向的单位向量即可．【解答】解：∵=（﹣5，4），=（7，9），∴=（12，5），||==13；∴与同向的单位向量的坐标为=（，）．故答案为：（，）．3．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b= 2 ．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：2．4．行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k= 3 ．【考点】三阶矩阵．【分析】由题意可知求得A=﹣=k+4，代入即可求得k的值．12【解答】解：由题意可知：设A=，=﹣=k+4，元素﹣3的代数余子式A12∴k+4=7，∴k=3，故答案为：3．5．以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是（x+1）2+（y﹣5）2=17 ．【考点】圆的标准方程．【分析】由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：∵点P（3，4）和点Q（﹣5，6），∴以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（﹣1，5），圆的半径r===．∴圆的方程为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．故答案为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2 ．【考点】抛物线的标准方程；圆的一般方程．【分析】由已知得抛物线的焦点F（2，0），由此能求出该抛物线的准线方程．【解答】解：∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，∴抛物线的焦点F（2，0），∴该抛物线的准线方程为x=﹣2．故答案为：x=﹣2．7．在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用余弦定理求出A，则与的夹角为π﹣A．【解答】解：cosA===﹣．∴在方向上的投影是||•cos（π﹣A）=3×=．故答案为．8．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题设条件知求出渐近线的斜率，建立方程求出k．【解答】解：∵双曲线kx2﹣y2=1的渐近线的一条渐近线的方向向量=（2，﹣1），∴渐近线的斜率为=，∴k=．故答案为：．9．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB=3，BD=1，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加法法则化，展开后利用数量积运算得答案．【解答】解：如图，∵AB=3，BD=1，∠B=60°，∴===．故答案为：．10．已知F 1、F 2是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，且⊥，若△PF 1F 2的面积为16，则b= 4 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】Rt △PF 1F 2中，由勾股定理及双曲线的定义，△PF 1F 2面积为16，即可求出b ． 【解答】解：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，⊥，得∠F 1PF 2=90°，∴m 2+n 2=4c 2，△PF 1F 2的面积为16，∴mn=32 ∴4a 2=（m ﹣n ）2=4c 2﹣64， ∴b 2=c 2﹣a 2=16， ∴b=4．故答案为：4．11．若点O 和点F 分别为椭圆+y 2=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为 2 ． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出左焦点坐标F ，设P （x ，y ），根据P （x ，y ）在椭圆上可得到x 、y 的关系式，表示出|OP|2+|PF|2，再将x 、y 的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F （﹣1，0），设点P （x ，y ），则有+y 2=1，解得y 2=1﹣，因为|OP|2+|PF|2=x 2+y 2+（x+1）2+y 2=x 2+（x+1）2+2﹣x 2=（x+1）2+2， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1， |OP|2+|PF|2的最小值为2． 故答案为：2．12．在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A （1，0）且与直线l ：x=﹣1相切，圆心分别为C 1、C 2，若动点M 满足2=+，则M 的轨迹方程为 y 2=2x ﹣1 ．【考点】轨迹方程．【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y 2=4x ，利用2=+，确定坐标之间的关系，即可求出M 的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y 2=4x ， 设C 1（a ，b ），C 2（m ，n ），M （x ，y ），则∵2=+，∴2（x ﹣m ，y ﹣n ）=（a ﹣m ，b ﹣n ）+（1﹣m ，﹣n ）， ∴2x=a+1，2y=b ， ∴a=2x ﹣1，b=2y ， ∵b 2=4a ，∴（2y ）2=4（2x ﹣1），即y 2=2x ﹣1． 故答案为：y 2=2x ﹣1．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据两直线间的位置关系，从而得到答案．【解答】解：由⇔a1 b2≠a2 b1，⇔直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，⇔方程组有唯一解，故选：C．14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A15．已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．8【考点】交集及其运算．【分析】做出P与Q中表示的图象，确定出两集合的交集，即可做出判断．【解答】解：对于P中|x|+2|y|=5，当x＞0，y＞0时，化简得：x+2y=5；当x＞0，y＜0时，化简得：x﹣2y=5；当x＜0，y＞0时，化简得：﹣x+2y=5；当x＜0，y＜0时，化简得：﹣x﹣2y=5，对于Q中，x2+y2=5，表示圆心为原点，半径为的圆，做出图形，如图所示，则集合P∩Q=∅，即P∩Q中元素的个数是0个，故选：A．16．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y），使b|x|＜a|y|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设不等式，令二者平方，整理求得﹣＞0，即可判断出焦点的位置．【解答】解：∵a|y0|＞b|x|≥0∴平方a2y02＞b2x2∴﹣＞0∴焦点在y轴故选：B．三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）设，由||=2，且∥，知，由此能求出的坐标．（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…解得或，…故或．…（2）∵，∴，即，…∴，整理得，…∴，…又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的18．已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l方程．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】根据条件求出直线l的倾斜角，可得直线l的斜率，再用点斜式求得直线l的方程．【解答】解：由于直线l：x﹣y+2=0的斜率为，故它的倾斜角为，：x﹣y+2=0的夹角为，故直线l的倾斜角为或，由于直线l和直线l故直线l的斜率不存在或斜率为﹣．再根据直线l经过点P（﹣2，），可得直线l的方程为x=﹣2，或y﹣=﹣（x+2），即 x=﹣2，或 x+y﹣1=0．如图：19．如图所示，A （2，0）、B 、C 是椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）上的三点，BC 过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形． （1）求椭圆E 的方程； （2）求△ABC 的面积．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可得a=2，再由正三角形的条件可得a=b ，解得b ，进而得到椭圆方程；（2）由题意写出A 点坐标，直线CB 方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点C 、B 的纵坐标，S △ABC =|OA|•|y B ﹣y C |，代入数值即可求得面积．【解答】解：（1）A 的坐标为（2，0），即有a=2，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，可得a=b ，解得b=2，则椭圆E 的方程为，（2）直线BC 的方程为y=x ，代入椭圆方程x 2+3y 2=12，得y=x=±，∴S △ABC =|OA|•|y B ﹣y C |=×2=6，△ABC 的面积为6．20．如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x 轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x 2+y 2﹣4y ﹣4=0，双曲线的左右顶点A 、B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x 轴的一条直径的两个端点． （1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F 1、F 2，试在封闭区域的边界上求点P ，使得∠F 1PF 2是直角．【考点】圆锥曲线的实际背景及作用；双曲线的标准方程．【分析】（1）根据上半个圆所在圆的方程得出两圆的圆心与半径，再求出双曲线的顶点坐标与标准方程；（2）设点P 的坐标，根据∠F 1PF 2是直角得出方程x 2+y 2=8，分别与双曲线和圆的方程联立，即可求出点P 的坐标，注意检验，排除不合题意的坐标．【解答】解：（1）上半个圆所在圆的方程为x 2+y 2﹣4y ﹣4=0，圆心为（0，2），半径为2；则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2；双曲线的左、右顶点A 、B 是该圆与x 轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±2，即有交点为（±2，2）；设双曲线的方程为﹣=1（a ＞0，b ＞0），则﹣=1，且a=2，解得b=2；所以双曲线的方程为﹣=1；（2）双曲线的左、右焦点为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），若∠F 1PF 2是直角，设点P （x ，y ），则有x 2+y 2=8，由，解得x 2=6，y 2=2；由，解得y=±1（不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P 的坐标为（±，）和（±，﹣）．21．对于曲线C ：f （x ，y ）=0，若存在非负实常数M 和m ，使得曲线C 上任意一点P （x ，y ）有m ≤|OP|≤M 成立（其中O 为坐标原点），则称曲线C 为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M 0成为曲线C 的外确界，最大的内界m 0成为曲线C 的内确界． （1）曲线y 2=4x 与曲线（x ﹣1）2+y 2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C 上任意一点P （x ，y ）到定点F 1（﹣1，0），F 2（1，0）的距离之积为常数a （a ＞0），求曲线C 的外确界与内确界． 【考点】曲线与方程．【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；（2）由题意求出曲线C 的方程，进一步得到x 的范围，把x 2+y 2转化为含有x 的代数式，分类讨论得答案．【解答】解：（1）y 2=4x 的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，∴曲线y 2=4x 不是“有界曲线”；∵曲线（x ﹣1）2+y 2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线（x ﹣1）2+y 2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x ﹣1）2+y 2=4是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）由已知得：，整理得：（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，∴，∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，则=，∵1﹣a≤x2≤a+1，∴（a﹣2）2≤4x2+a2≤（a+2）2，即，当0＜a＜1时，2﹣a，则，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为；当1≤a≤2时，2﹣a，则，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当2＜a≤3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当a＞3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为，．2016年9月6日。
上海市位育中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题 含答案 精品
【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ．2、直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是 ．3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=⋅+的倾斜角的取值范围是 ．5、已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ．7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ．8、已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ．9、已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．10、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11、在复平面内，复数2334ii-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）A ．B ． 4C ．D ．13、设,mn R∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ）A ． 1⎡-+⎣B ． (),113,⎡-∞++∞⎣C ． 22⎡-+⎣D ． (),2222,⎡-∞-++∞⎣14、直线143x y+=，与椭圆221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3．这样的点P 共有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．） 15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4z R z+∈，求z ．16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交P 于点C 和D ，且CD =P 的方程．17、（本题12分）已知椭圆22:14x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．18、（本题12分）过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ． （1）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥； （2）记1111,,AMM AM N ANN ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的0a >，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．四、附加题19设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，O 为坐标原点．是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ． 【答案：1 】2、直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是 ． 【答案：220x y +-= 】3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．解析：直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=的普通方程为21x =和22(1)1x y -+=，圆心到直线的距离为11122-=，所以弦长为=】4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=⋅+的倾斜角的取值范围是 ． 【答案：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭】 5、已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．【答案：221205x y -= 解析：设双曲线2222:1x y C a b-=的半焦距为c ，则210,5c c ==．又∵C 的渐近线为b y x a =±，点(2,1)P 在渐近线上，∴12ba=⋅，即2a b =．又222c a b =+，∴a b ==C 的方程为221205x y -=． 】6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ． 【答案：2 】7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ． 【答案：32】 8、已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ． 【答案：6解析：∵12(6,0),(6,0)F F -，由角平分线的性质得1122824AF MF AF MF ===， 又122236,6AF AF AF -=⨯=∴=． 】9、已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ． 【答案：[]3,6解析：设(,9)A a a -，则圆心M 到直线AC 的距离sin45d AM =︒，由直线AC 与圆M有公共点，则d r ≤，即2d ≤36a ≤≤．】 10、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案：22222a b a b+ 解析：设()cos ,sin P OP OP θθ，cos ,sin 22Q OQ OQ ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于,P Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ①，222221sin cos a b OQ θθ=+ ②， ①＋②得22221111a bOPOQ+=+，于是当OP OQ ==OP OQ ⋅达到最小值22222a b a b +． 】 二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11、在复平面内，复数2334ii-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限【答案：B 】12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）A ．B ． 4C ．D ．【答案：C解析：设抛物线方程为22y px =，焦点F ，则23,22pMF p =+=∴=，∴24y x =，OM ===】13、设,mn R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ） A ．1⎡⎣B ．(),113,⎡-∞++∞⎣C ．22⎡-+⎣D ． (),2222,⎡-∞-++∞⎣【答案：D圆心为(1,1)，半径为1．直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1=，即212m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，设m n z+=，即21104z z --≥，解得2z ≤-2z ≥+】 14、直线143x y +=，与椭圆221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3．这样的点P 共有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【答案：B解析：直线与椭圆的交线长为5．直线方程34120x y +-=．设点(4cos ,3sin )P θθ．点P 与直线的距离12cos sin 15d θθ+-=，当02πθ≤≤时，121)5d ≤，1)3PAB S ∆≤<，即此时没有三角形面积为3；当22πθπ<≤时，121)5d ≤，1)PAB S ∆≤，即此时有2个三角形面积为3．选B ．】三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．） 15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4z R z+∈，求z ． 【解：设,(,)z x yi x y R =+∈，则222222444()44z x yi x y z z x yi x y i z x y x y x y zz ⎛⎫-+=+=++=++- ⎪+++⎝⎭∵4z R z +∈，∴2240y y x y-=+，又22z -=，∴22(2)4x y -+=， 联立解得，当0y =时，4x =或0x =（舍去0x =，因此时0z =），当0y ≠时，11x z y =⎧⎪=±⎨=⎪⎩，综上所得1234,1,1z z z ===．】16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交P 于点C 和D，且CD =P 的方程． 【解：直线AB 的斜率为1k =，AB 中点坐标为(1,2)， 所以直线CD 的方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=． 设圆心(,)P a b ，则由P 在CD 上得30a b +-= ①．又由直径CD =22(1)40PA a b =∴++= ②．由①②解得36a b =-⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=-⎩，∴圆心(3,6)P -或(5,2)P -，∴圆P 的方程为22(3)(6)40x y ++-=或22(5)(2)40x y -++=．】17、（本题12分）已知椭圆22:14x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值． 【解：（1）由已知得2,1a b ==，∴c ==，∴椭圆G 的焦点坐标为(．（2）由题意知，1m ≥．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点,A B的坐标分别为,1,⎛⎛⎝⎭⎝⎭，此时AB当1m =-时，同理可得AB 当1m >时，设切线方程为()y k x m =-，由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=． 设,A B 两点两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则222121222844,1414k m k m x x x x k k-+==++， 又由l 于圆221x y +=1=，即2221m k k =+．所以AB === 由于当1m =±时，AB =所以(][),11,AB m =∈-∞-+∞．因为2AB m m==≤+，当且仅当m =2AB =，所以AB 的最大值为2．】18、（本题12分）过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ． （1）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥； （2）记1111,,AMM AM N ANN ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的0a >，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解：依题意，可设直线MN 方程为1122,(,),(,)x m y a M x y N x y=+，则有1112(,),(,)M a y N a y --．由22x my a y px =+⎧⎨=⎩消去x 可得2220y mpy ap --=，从而有121222y y mp y y ap +=⎧⎨=-⎩ ①于是21212()22()x x m y y a m p a +=++=+ ②又由2211222,2y px y px ==可得()()221221222244y y ap x x a p p -=== ③（1）如图1，当2p a =时，点,02p A ⎛⎫⎪⎝⎭即为抛物线的焦点，l 为其准线2p x =-， 此时1112,,,22p p M y N y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并由①可得212y y p =-． 证法1：1112(,),(,)AM p y AN p y =-=-，∴22211120AM AN p y y p p ⋅=+=-=，即11AM AN ⊥． 证法2：∵1112,AM AN y y k k p p =-=-，∴11212221AM AN y y p k k p p==-=-，即11AM AN ⊥．（2）存在4λ=，使得对任意的0a >，都有22134S S S =成立，证明如下：证明：记直线l 与x 轴的交点为1A ，则1OA OA a ==．于是有11111121111231112211(),221,211(),22S MM A M x a y S M N AA a y y S NN A N x a y =⋅=+=⋅=-=⋅=+ ()222221212122213121212121244()()()4a y y y y a y y S S S x x a x x a y y x a x a y y ⎡⎤+--⎣⎦==⎡⎤+++⎣⎦++， 由①、②、③代入上式化简可得22134S S S =，所以对任意的0a >，都有22134S S S =恒成立．】 四、附加题19设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，O 为坐标原点．是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且O A O B ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．【解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，所以有 2222421611a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆E 的方程为22184x y +=． （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且O A O B ⊥，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4280k x kmx m +++-=，则222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22840k m -+>，12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++．要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k--+=++，所以223880m k --=，所以223808m k -=≥，又22840k m -+>，所以22238m m ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，所以283m ≥，即m ≥或3m ≤-． 因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r =，222228,3813318m m r r m k ====-++，所求的圆为2283x y +=，此时圆的切线方程y kx m =+都满足3m ≥3m ≤-；而当切线斜率不存在时，切线为3x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为,33⎛± ⎝⎭或⎛ ⎝⎭满足OA OB ⊥． 综上，存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥．AB ===①当0k≠时，AB = 因为221448k k ++≥，所以221101844kk <≤++AB <≤，当且仅当2k =±“=”；②当0k =或k 不存在时，3AB =；综上，AB 的取值范围是,3⎡⎢⎣．。
2015年上海市徐汇区高二上学期数学期末考试试卷
2015年上海市徐汇区高二上学期数学期末考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 直线3x−4y−5=0的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）．2. 若OA=−5,4，OB=7,9，则与AB同向的单位向量的坐标是．3. 若线性方程组的增广矩阵为a0201b，解为x=2,y=1,，则a+b=．4. 行列式6−3125k14−2中元素−3的代数余子式的值为7，则k=．5. 以点P3,4和点Q−5,6为一条直径的两个端点的圆的方程是．6. 若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2−4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为．7. 在△ABC中， AB =3， BC =7， CA =5，则BA在AC方向上的投影是．8. 已知双曲线kx2−y2=1的一条渐近线的方向向量d=2,−1，则k=．9. 在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则AB⋅AD=．10. 已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两个焦点，P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为16，则b=．11. 若点O和点F分别为椭圆x22+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP2+PF2的最小值为．12. 在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A1,0且与直线l：x=−1相切，圆心分别为C1，C2，若动点M满足2C2M=C2C1+C2A，则M的轨迹方程为．二、选择题（共4小题；共20分）13. “D=a1b1a2b2≠0”是“方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2有唯一解”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是 A. 4B. 5C. 6D. 715. 已知集合P=x,y x+2y=5，Q=x,y x2+y2=5，则集合P∩Q中元素的个数是 A. 0B. 2C. 4D. 816. 已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=±bax（a>0，b>0），若双曲线上有一点M x0,y0，使b x0<a y0，则该双曲线的焦点 A. 在x轴上B. 在y轴上C. 当a>b时，在x轴上D. 当a>b时，在y轴上三、解答题（共5小题；共65分）17. 已知a=1,b=1,a与b的夹角为60∘，向量x=2a−b,y=3b−a，求x与y的夹角的余弦值．18. 已知直线l经过点P −2,3，并且与直线l0：x−3y+2=0的夹角为π3，求直线l的方程．19. 如图所示，A 23,0，B，C是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．20. 如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2−4y−4=0，双曲线的左右顶点A，B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1，F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．21. 对于曲线C:f x,y=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P x,y有m≤ OP ≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0称为曲线C的外确界，最大的内界m0称为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线x−12+y2=4是否为“有界曲线”?若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P x,y到定点F1−1,0，F21,0的距离之积为常数a a>0，求曲线C的外确界与内确界．答案第一部分1. arctan34【解析】因为直线为3x−4y−5=0，所以直线的斜率是34，直线的斜率是倾斜角α的正切值，所以tanα=34，α∈0,π，所以α=arctan34．2. 1213,5 13【解析】因为OA=−5,4，OB=7,9，所以AB=12,5，AB=122+52=13；所以与AB同向的单位向量的坐标为ABAB =1213,513．3. 2【解析】由题意知x=2,y=1是方程组ax=2,y=b的解，即2a=2, 1=b.则a+b=1+1=2．4. 3【解析】由题意可知：设A=6−3125k14−2，元素−3的代数余子式A12=−2k1−2=k+4，所以k+4=7，所以k=3．5. x+12+y−52=17【解析】因为点P3,4和点Q−5,6，所以以点P3,4和点Q−5,6为一条直径的两个端点的圆的圆心为−1,5，圆的半径r=12PQ =1222=17．所以圆的方程为：x+12+y−52=17．6. x=−2【解析】因为顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2−4x=0的圆心重合，所以抛物线的焦点为F2,0，所以该抛物线的准线方程为x=−2．7. 32【解析】cos A=b 2+c2−a22bc=52+32−722×5×3=−12，所以BA在AC方向上的投影是BA⋅cosπ−A=3×12=32．8. 14【解析】因为双曲线kx2−y2=1的一条渐近线的方向向量d=2,−1，所以k=12，所以k=14．9. 152【解析】如图：在△ABD中，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD cos B=9+1−2×3×1×12=7，所以AD=7．cos∠BAD=2×37=5714．AB⋅AD=AB⋅AD cos∠BAD=3×7×5714=152．10. 4【解析】设PF1=m，PF2=n，由PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90∘，所以m2+n2=4c2，△PF1F2的面积为16，所以mn=32，所以4a2=m−n2=4c2−64，所以b2=c2−a2=16，所以b=4．11. 2【解析】由题意，F−1,0，设点P x,y，则有x 22+y2=1，解得y2=1−x22，因为OP2+PF2=x2+y2+x+12+y2=x2+x+12+2−x2=x+12+2,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=−1，OP2+PF2的最小值为2．12. y2=2x−1【解析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，设C1a,b，C2m,n，M x,y，则：因为2C2M=C2C1+C2A，所以2x−m,y−n=a−m,b−n+1−m,−n，所以2x=a+1，2y=b，所以a=2x−1，b=2y，因为b2=4a，所以2y2=42x−1，即y2=2x−1．第二部分13. C 【解析】D=a1b1a2b2≠0，⇔a1b2≠a2b1，⇔直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，⇔方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2有唯一解．14. A 【解析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环S K循环前/00第一圈是11第二圈是32第三圈是113第四圈是20594第五圈否所以最终输出结果k=4．15. A【解析】对于P中x+2y=5，当x>0，y>0时，化简得：x+2y=5；当x>0，y<0时，化简得：x−2y=5；当x<0，y>0时，化简得：−x+2y=5；当x<0，y<0时，化简得：−x−2y=5，对于Q中，x2+y2=5，表示圆心为原点，半径为5的圆，作出图形，如图所示，则集合P∩Q=∅，即P∩Q中元素的个数是0个．16. B 【解析】因为a y0>b x0 ≥0，所以平方a2y02>b2x02，所以 y 02b2−x 02a 2>0，所以焦点在 y 轴上．第三部分17. 由已知 a = b =1,a 与 b 的夹角 α 为 60∘, 得 a ⋅b = a bcos α=12． 因为 x 2=x 2= 2a −b 2=4−4×12+1=3． y 2=y 2= 3b −a 2=9−6×12+1=7．x ⋅y = 2a −b ⋅ 3b −a =−32．所以 cos θ=x⋅y xy=− 2114． 18. 由于直线 l 0：x − 3y +2=0 的斜率为 33，故它的倾斜角为 π6，由于直线 l 和直线 l 0：x − 3y +2=0 的夹角为 π3，故直线 l 的倾斜角为 π2 或 5π6，故直线 l 的斜率不存在或斜率为 − 33，再根据直线 l 经过点 P −2, 3 ，可得直线 l 的方程为 x =−2 或 y − 3=− 33x +2 ，即 x =−2 或 x + 3y −1=0． 如图：19. （1） A 的坐标为 2 3,0 ，即有 a =2 3，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，可得 a = b ，解得 b =2， 则椭圆 E 的方程为x 212+y 24=1．（2） 直线 BC 的方程为 y =x ，代入椭圆方程 x 2+3y 2=12，得 y =x =± 3， 所以 S △ABC =12 OA ⋅ y B −y C = 3×2 3=6， △ABC 的面积为 6．20. （1） 上半圆所在圆的方程为 x 2+y 2−4y −4=0，圆心为 0,2 ，半径为 2 2； 则下半圆所在圆的圆心为 0,−2 ，半径为 2 ；双曲线的左、右顶点 A ，B 是该圆与 x 轴的交点，即为 −2,0 ， 2,0 ，即 a =2， 由于双曲线与半圆相交于与 x 轴平行的直径的两端点， 则令 y =2，解得 x =±2 ，即有交点为 ±2 2 ； 设双曲线的方程为 x 2a −y 2b =1 a >0,b >0 ， 则 8a −4b =1，且 a =2，解得 b =2；所以双曲线的方程为x 24−y24=1；（2）双曲线的左、右焦点为F1 −22,0，F222,0，若∠F1PF2是直角，设点P x,y，则有x2+y2=8，由x2+y2=8,x2−y2=4,解得x2=6，y2=2；由x2+y2=8,x2+y±22=8,解得y=±1（不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为±6,2和±6,−2．21. （1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，所以曲线y2=4x不是“有界曲线”；因为曲线x−12+y2=4的轨迹为以1,0为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线x−12+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线x−12+y2=4是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1．（2）由已知得：x−12+y2⋅x+12+y2=a，整理得：x2+y2+12−4x2=a2，所以y2=4x2+a2−x2+1，因为y2≥0，所以4x2+a2≥x2+1，所以x2+12≤4x2+a2，所以x2−12≤a2，所以1−a≤x2≤a+1，则x2+y2=x2+4x2+a2−x2+1=4x2+a2−1，因为1−a≤x2≤a+1，所以a−22≤4x2+a2≤a+22，即a−2 ≤2+a2≤ a+2，当0<a<1时，2−a≤4x2+a2≤a+2，则1−a≤4x2+a2−1≤a+1，所以1−a≤ x2+y2≤a+1，则曲线C的外确界与内确界分别为a+1，1−a；当1≤a≤2时，2−a≤2+a2≤a+2，则1−a≤4x2+a2−1≤a+1，所以0≤ x2+y2≤a+1，则曲线C的外确界与内确界分别为a+1，0；当2<a≤3时，a−2≤2+a2≤a+2，则a−3≤4x2+a2−1≤a+1，所以0≤ x2+y2≤a+1，则曲线C的外确界与内确界分别为a+1，0；当a>3时，a−2≤4x2+a2≤a+2，则a−3≤4x2+a2−1≤a+1，所以≤ x2+y2≤a+1，则曲线C的外确界与内确界分别为a+1，a−3．。
2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二(上)数学期中试卷带解析答案
2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共42分）1．（3分）若=（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为．2．（3分）若=（3，4），则的负向量的单位向量的坐标是．3．（3分）已知矩阵A=，矩阵B=，则AB=．4．（3分）三阶行列式中，5的余子式的值是．5．（3分）已知A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，则点P的坐标为．6．（3分）直线l1：x﹣y+2=0与直线l2：x﹣y+3=0的夹角的大小是．7．（3分）已知点P为直线x+y﹣4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是．8．（3分）若a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点的坐标是．9．（3分）若直线l1：a2x﹣2y+4=0与直线l2：6x﹣3y+a+4=0平行，则实数a=．10．（3分）已知=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=．11．（3分）垂直于直线3x﹣4y﹣7=0，且与两坐标轴所构成的三角形的周长为10的直线l的方程为．12．（3分）设P、Q为△ABC内的两点，且=+，=+，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为．13．（3分）已知O为△ABC的外心，且||=6，||=2，则•的值为．14．（3分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2+2x+=，有下列命题：①﹣≥0；②﹣＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．则正确的命题是．（写出所有正确命题的编号）二、选择题（每题3分，共12分）15．（3分）平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，D．存在不全为零的实数λ1，λ2，16．（3分）有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）17．（3分）在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45°的直线（）A．不存在B．有且只有一条C．有多于一条的有限条D．有无穷多条18．（3分）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=14三、解答题（共46分）19．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵是，若该线性方程组有无穷多组解，求λ的值．20．（8分）已知A（﹣1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；（2）已知实数m∈[﹣﹣1，0]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．21．（10分）如图所示，△ABC中，已知顶点A（3，﹣1），∠B的内角平分线方程是x﹣4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y﹣59=0．求顶点B的坐标和直线BC 的方程．22．（10分）已知、是两个不共线的非零向量，（1）设=，=t（t∈R），=（+），当A，B，C三点共线时，求t的值；（2）如图，若=，=，、的夹角为120°，且||=||=1，点P是以O 为圆心的圆弧上的一个动点，设=x+2y（x，y∈R），求x+y的最大值．23．（10分）对于一个向量组，，，…，（n≥3，n∈N*），令=+++…+，如果存在（p∈N*），使得||≥|﹣|，那么称是该向量组的“长向量”（1）若是向量组，，的“长向量”，且=（n，x+n），求实数x的取值范围；（2）已知，，均是向量组，，的“长向量”，试探究，，的等量关系并加以证明．2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共42分）1．（3分）若=（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为．【解答】解：∵=（﹣1，）是直线l的一个法向量，∴可知直线l的一个方向向量为（，1），直线l的倾斜角为α得，tanα=∴α=故答案为：．2．（3分）若=（3，4），则的负向量的单位向量的坐标是．【解答】解：=（3，4），可得=5，则的负向量的单位向量的坐标是：．故答案为：．3．（3分）已知矩阵A=，矩阵B=，则AB=．【解答】解：∵矩阵A=，矩阵B=，∴AB==．故答案为：．4．（3分）三阶行列式中，5的余子式的值是﹣12．【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：=﹣12故答案为﹣12．5．（3分）已知A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，则点P的坐标为．【解答】解：设P（x，y），A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，可得（x﹣1，y﹣2）=2（2﹣x，3﹣y），，解得x=，y=，P的坐标：．故答案为：．6．（3分）直线l1：x﹣y+2=0与直线l2：x﹣y+3=0的夹角的大小是．【解答】解法一：由直线l1：x﹣y+2=0，设斜率为k1，夹角为θ1那么：k1==tanθ1=直线l2：x﹣y+3=0，设斜率为k2，夹角为θ2那么：k2==tanθ2=1设两直线的夹角为θ由tanθ=tan（θ1﹣θ2）=2故θ=．解法二：解：由直线l1：x﹣y+2=0，设夹角为θ1那么：tanθ1=故：θ1=直线l2：x﹣y+3=0，设斜率为θ2，那么：故：θ2=所以：两条直线的夹角为：θ1﹣θ2==．故答案为：．7．（3分）已知点P为直线x+y﹣4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是．【解答】解：∵原点O（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离为：，∴直线x+y﹣4=0上一动点P到坐标原点的距离的最小值为：．故答案为：：．8．（3分）若a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点的坐标是（，﹣）．【解答】解：∵a+2b=1，∴a=1﹣2b，∴（1﹣2b）x+3y+b=0，即（1﹣2x）b+x+3y=0，依题意知，，解得：，故答案为：（，﹣）．9．（3分）若直线l1：a2x﹣2y+4=0与直线l2：6x﹣3y+a+4=0平行，则实数a=﹣2．【解答】解：∵直线l1：a2x﹣2y+4=0与直线l2：6x﹣3y+a+4=0平行，∴∴a=﹣2．故答案为：﹣2．10．（3分）已知=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=2．【解答】解：=（m+4，2m+2）.=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．||=，||==2，∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，解得m=2．故答案为：2．11．（3分）垂直于直线3x﹣4y﹣7=0，且与两坐标轴所构成的三角形的周长为10的直线l的方程为4x+3y±10=0．【解答】解：设要求的直线方程为：4x+3y+m=0，可得与坐标轴的交点，．∴++=10，解得m=±10．故答案为：4x+3y±10=0．12．（3分）设P、Q为△ABC内的两点，且=+，=+，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为．【解答】解：设则由平行四边形法则知NP∥AB所以同理故故答案为：13．（3分）已知O为△ABC的外心，且||=6，||=2，则•的值为﹣16．【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：OD⊥AB，OE⊥AC；∴====2﹣18=﹣16．故答案为：﹣16．14．（3分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2+2x+=，有下列命题：①﹣≥0；②﹣＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．则正确的命题是①③⑤．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：①因为存在实数x满足关系式x2+2x+=，，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，∴，∴﹣==≥0，正确；②由①可知：②不正确；③由x2+2x+=，变形为，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，因此③正确；④由③可知：④不正确；⑤由③可知：，∴点B是线段AC的中点．正确．综上可知：只有①③⑤正确．故答案为：①③⑤．二、选择题（每题3分，共12分）15．（3分）平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，D．存在不全为零的实数λ1，λ2，【解答】解：若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1，λ2，使得；若，则由两向量共线知，存在λ≠0，使得，即，符合题意，故选：D．16．（3分）有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）【解答】解：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数或相等，不正确；（2）根据代数余子式的意义，可知三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和正确；（3）根据代数余子式与该行的元素值无关，可得如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，正确．故选：C．17．（3分）在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45°的直线（）A．不存在B．有且只有一条C．有多于一条的有限条D．有无穷多条【解答】解：在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45°的直线有且只有一条：y=x．故选：B．18．（3分）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=14【解答】解：∵与在方向上的投影相同，∴∴4a+5=8+5b，∴4a﹣5b=3故选：A．三、解答题（共46分）19．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵是，若该线性方程组有无穷多组解，求λ的值．【解答】解：由线性方程组有无穷多组解，得：D=D x=D y=0由，得：λ=1或λ=2当λ=2时，D x≠0，D y≠0，不合题意当λ=1时，D=D x=D y=0，符合题意故：λ=1．20．（8分）已知A（﹣1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；（2）已知实数m∈[﹣﹣1，0]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．【解答】解：（1）当m=﹣1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为；当m≠﹣1时，，若m＞﹣1，则；若m＜﹣1，则（2）当m=﹣1时，直线AB的倾斜角为；当m≠﹣1时，，，综合得直线AB的倾斜角α的取值范围为．21．（10分）如图所示，△ABC中，已知顶点A（3，﹣1），∠B的内角平分线方程是x﹣4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y﹣59=0．求顶点B的坐标和直线BC 的方程．【解答】解：设B（a，b），由过点B的角平分线方程x﹣4y+10=0得a﹣4b+10=0，①…（2分）又AB中点（）在过点C的中线上，6×（）+10×=59，②由①②可得a=10，b=5，∴B点坐标为（10，5）…（5分）则直线AB的斜率K AB==又∠B的内角平分线的斜率k=…（6分）所以得⇒=解得K BC=﹣…（10分）∴直线BC的方程为y﹣5=﹣（x﹣10）⇒2x+9y﹣65=0综上，所求点B的坐标为（10，5），直线BC的方程为2x+9y﹣65=0…（12分）22．（10分）已知、是两个不共线的非零向量，（1）设=，=t（t∈R），=（+），当A，B，C三点共线时，求t的值；（2）如图，若=，=，、的夹角为120°，且||=||=1，点P是以O 为圆心的圆弧上的一个动点，设=x+2y（x，y∈R），求x+y的最大值．【解答】解：（1）由题意，A、B、C三点共线，可设，（2分）∵，（t∈R），，∴，，∴=∴k=﹣3，t=．（6分）（2）以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则D（1，0），E（﹣，）．设∠POD=α（0≤α），则P（cosα，sinα），由，得cosα=x﹣y，sinα=，于是y=，x=cosα+，（10分）于是x+y=cosα+=2sin（α+），故当α=时，x+y的最大值为2．（14分）23．（10分）对于一个向量组，，，…，（n≥3，n∈N*），令=+++…+，如果存在（p∈N*），使得||≥|﹣|，那么称是该向量组的“长向量”（1）若是向量组，，的“长向量”，且=（n，x+n），求实数x的取值范围；（2）已知，，均是向量组，，的“长向量”，试探究，，的等量关系并加以证明．【解答】解：（1）由题意，得：，且；∴；∴解得：﹣2≤x≤0；∴实数x的取值范围为[﹣2，0]；（2）由题意，得：，，即；即，同理，；三式相加并化简，得：；即，；∴．。
2015-2016学年高二数学期末试卷及答案
2015—2016学年第一学期期末测试高二理科数学复习题必修3,选修2-3,选修2-1简易逻辑、圆锥曲线参考公式：用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+的系数公式：121()()()niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 是数据的平均数．第♊卷（本卷共 分）一、选择题：（本大题共 题，每小题 分，共 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．从一副扑克牌☎ 张✆中抽取一张牌，抽到牌❽❾的概率是☎ ✆✌ 154 127 118 227．设随机变量~(0,1)N ξ，若()1P pξ>=，则()10P ξ-<<= ☎ ✆✌ 2p 1p - 12p - 12p -．如图 所示的程序框图的功能是求♊、♋两处应分别填写图✌．5?i <，2S S =+．5?i ≤，2S S =．5?i <，2S S =+ ．5?i ≤，2S S =．将参加夏令营的 名学生编号为： ，⑤， ，采用系统抽样方法抽取一个容量为 的样本，且随机抽得的号码为 这 名学生分住在三个营区，从 到 在第♊营区，从 到 在第♋营区，从 到 在第♌营区．三个营区被抽中的人数依次为 ☎ ✆✌． ． ． ． ．如图 ，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ☎ ✆✌24π- 22-π 44π- 42-π(82x 展开式中不含．．4x 项的系数的和为 ☎ ✆✌． ． ． ．．学校体育组新买2颗同样篮球，3颗同样排球，从中取出 颗发放给高一 个班，每班1颗，则不同的发放方法共☎ ✆✌． 种 ． 种 ． 种． 种．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：第三组的频数和频率分别是☎ ✆✌．14和0.14 ．0.14和14 ．141和0.14 ． 31和141．“2012”含有数字0, 1, 2，且恰有两个数字 ．则含有数字0, 1, 2，且恰有两个相同数字的四位数的个数为☎ ✆✌．18 ．24 ．27 ．36一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为 ，现有 颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为☎ ✆✌ 经回归分析可得⍓与⌧线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为ˆ 1.1y x a =+，则♋＝ ☎ ✆✌、 、 、 、 设随机变量ξ～ ☎☐✆η～ ☎☐✆若95)1(=≥ξp ，则)2(≥ηp 的值为 ☎ ✆☎✌✆8132 ☎✆ 2711 ☎✆ 8165 ☎✆ 8116第♋卷（本卷共计 分）二、填空题：（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．甲从学校乘车回家，途中有 个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52，则甲回家途中遇红灯次数的期望为 。
上海市上海中学高二第一学期期末数学试卷
上海中学2015学年第一学期期终考试高二年级数学试卷一. 填空题1. 若不同的两点A 和B 都在参数方程式1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的曲线上，则A 与B 的距离的最大值是 ； 2. z 是z 的共轭复数，若2z z +=，()2z z i -=（i 为虚数单位），则||z = ；3. 将圆22:36C x y +=上任意一点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，从而得到椭圆E ， 则椭圆E 的焦点坐标是 ；4. 若双曲线Γ的两个焦点1F 和2F 都在x 轴上且关于y 轴对称，Γ的两个顶点是线段12F F的两个三等分点，则此双曲线的渐近线方程是 ；5. 若双曲线H 的两个焦点和都在y 轴上，且关于x 轴对称，焦距为10，实轴长与虚轴长相等，则双曲线H 的方程是 ；6. 二次函数238y x =的图像的准线方程是 ； 7. 以方程22||||0x y x y +--=的曲线为边界的封闭区域的面积是 ；8. 已知直线y m =与方程y =（[21,21]x k k ∈-+，k Z ∈）的曲线相交，相邻交点间的距离皆相等，则m = ；9. 设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是 ；10. 已知动圆过定点(4,0)A ，它与y 轴相交所得的弦MN 的长为8，则满足要求的动圆其半径的最小值是 ；11. 设点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=（0y ≥）上，使得2OP PQ =（O 为坐标系原点），坐标表示与PQ 同方向的单位向量，其结果是 ；12. 设抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则p 的值为 ；二. 选择题13. 已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）A. 22x t y t =⎧⎨=-⎩B. 22x t y t =+⎧⎨=-⎩C. 22x t y t =⎧⎨=-⎩D. 22x t y t =+⎧⎨=-⎩14. 集合{|(1)(1)()}M z z t t i t R ==-++∈，下列命题中不正确的是（ ）A. M R =∅B. 0M ∉C. 若z M ∈，则z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D. 若z M ∈，||2z =，则z 一定是纯虚数15. 已知动圆C 的圆心00(,)x y 在抛物线212y x =上，且圆C 与直线2x =-相切，则圆C 与圆22(3)1x y -+=（ ）A. 总是相离B. 总是外切C. 一定有两个不同的公共点D. 可以有公共点，也可以没有公共点16. 已知点35(,)22-和点都在一条既关于x 轴对称，又关于y 轴对称的二次曲线上，则这条二次曲线（ ）A. 一定是圆B. 一定是椭圆C. 一定是双曲线D. 可以是椭圆，也可以是双曲线17. 设集合{,}A a b =，其中a 和b 都是复数，且使得22{,}{,}a b a b =成立，则满足要求的集合A 的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4 18.设集合{(,)|1}A x y ==，{(,)|x B x y y ⎧=⎪=⎨=⎪⎩(t 为参数)}，则有（ ）A. A B =∅B. B A ⊂C. A B =D. 22{(,)|1}AB x y x y =+=三. 解答题19. 把曲线P 的参数方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩化成普通方程，并在平面直角坐标系中画出相 应的曲线；20. 已知z 是纯虚数并使得21z R i+∈-，求z ；21. 对于有限集P ，我们以()f P 记该集合中元素的个数，若集合{(,)|(0}A x y x x ==，集合{(,)|}B x y y x k ==+，其 中k 是常数，求()f A B ；22. 已知椭圆E 的方程是2214y x +=，圆O 的方程是221x y +=，直线l 与圆O 相切，与 椭圆E 相交于不同的两点A 和B ，求||AB 的最大值；23. 在如图所示的等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB CD >，以点A 和点B 为焦点，过 点C 和点D 的椭圆的长轴长是2E a ，以点C 和点D 为焦点，过点A 和点B 的双曲线的实轴 长是2H a ，试用两种方法证明：(2)(2)E H a a AB CD ⋅=⋅；24. 设(,)M M M x y 是抛物线2:2P x py =（0p >）上的动点，也是直线l 与抛物线P 唯一 的公共点，直线l 与抛物线P 的对称轴相交，点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，求 动点F '的轨迹方程；。
2015-2016年上海市徐汇区位育中学高二上学期期末数学试卷与解析
2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．（4分）若直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m=．2．（4分）直线关于直线x=1对称的直线方程是．3．（4分）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．4．（4分）若θ∈R，则直线y=sinθ•x+2的倾斜角的取值范围是．5．（4分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．6．（4分）若|z1|=|z2|=2，且|z1+z2|=2，则|z1﹣z2|=．7．（4分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在x轴上，则a等于．8．（4分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．9．（4分）已知直线L：x+y﹣9=0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，点A在直线L 上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为．10．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）11．（4分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．（4分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4 D．13．（4分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）14．（4分）直线L：+=1与椭圆E：+=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．）15．（10分）已知复数z满足|z﹣2|=2，z+∈R，求z．16．（10分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．17．（12分）已知椭圆G：=1，过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线L交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）求m的取值范围；（3）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．18．（12分）过抛物线y2=2Px（P＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1，N1．（1）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（2）记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．四、附加题19．设椭圆E：=1（a，b＞0）经过点M（2，），N（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A、B且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．（4分）若直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m=1．【解答】解：直线x﹣2y+5=0的斜率为直线2x+my﹣6=0的斜率为∵两直线垂直∴解得m=1故答案为：12．（4分）直线关于直线x=1对称的直线方程是x+2y﹣2=0．【解答】解：直线关于直线x=1对称，可知对称直线的斜率为，且过（2，0）点，所求直线方程为：x+2y﹣2=0．故答案为：x+2y﹣2=0．3．（4分）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．【解答】解：由2ρcosθ=1，可得直线方程为x=，由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，化为标准方程得（x﹣1）2+y2=1．如图，∴弦AB的长为．故答案为：．4．（4分）若θ∈R，则直线y=sinθ•x+2的倾斜角的取值范围是[0，]∪[，π）．【解答】解：直线y=sinθ•x+2的斜率为sinθ，设直线的倾斜角为α，则tanα=sinθ∈[﹣1，1]∴α∈[0，]∪[，π）；故答案为：[0，]∪[，π）．5．（4分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：6．（4分）若|z1|=|z2|=2，且|z1+z2|=2，则|z1﹣z2|=2．【解答】解：由|z1+z2|=2，得，即2z1z2=4，∴，∴|z1﹣z2|=2．故答案为：2．7．（4分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在x轴上，则a等于．【解答】解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴∴a=故答案为：8．（4分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为69．（4分）已知直线L：x+y﹣9=0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，点A在直线L 上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为[3，6] ．【解答】解：圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0方程可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，设A点的横坐标为a．则纵坐标为9﹣a；①当a≠2时，k AB=，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得k=，直线AC的方程为y﹣（9﹣a）=（x﹣a）即5x﹣（2a﹣9）y﹣2a2+22a﹣81=0，又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即≤，化简得a2﹣9a+18≤0，解得3≤a≤6；②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y﹣7=x﹣2即x﹣y+5=0，M到它的距离d==＞，这样点C不在圆M上，还有x+y﹣9=0，显然也不满足条件，综上：A点的横坐标范围为[3，6]．故答案为：[3，6]．10．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．【解答】解：题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（θ±，|OQ|sin （θ±），由P、Q在椭圆上，得：=+，①=+，②①+②，得+=+，∴当|OP|=|OQ|=时，乘积|OP|•|OQ|最小值为．故答案为：．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）11．（4分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵==．∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．12．（4分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4 D．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选：B．13．（4分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．14．（4分）直线L：+=1与椭圆E：+=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：设P1（4cosα，3sinα）（0＜α＜），即点P1在第一象限的椭圆上，考虑四边形P1AOB面积S，S=S△OAP1+S△OBP1=×4（3sinα）+×3（4cosα）=6（sinα+cosα）=6sin（α+），∴S max=6．∵S=×4×3=6为定值，△OAB的最大值为6﹣6．∴S△P1AB∵6﹣6＜3，∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选：B．三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．）15．（10分）已知复数z满足|z﹣2|=2，z+∈R，求z．【解答】解：设z=x+yi，x，y∈R，则z+=z+，∵z+∈R，∴=0，又|z﹣2|=2，∴（x﹣2）2+y2=4，联立解得，当y=0时，x=4或x=0 （舍去x=0，因此时z=0），当y≠0时，，z=1±，∴综上所得z1=4，z2=1+i，z3=1﹣i．16．（10分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．【解答】解：（1）直线AB的斜率k AB=1，AB中点坐标为（1，2），…（3分）由题意可知直线AB与CD垂直，故k AD•k AB=﹣1．所以k CD=﹣1．∴直线CD方程为y﹣2=﹣（x﹣1）即x+y﹣3=0 …（6分）（2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得：a+b﹣3=0 ①…（8分）又CD的长是圆P的直径，所以直径|CD|=4，∵以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）∴|PA|=2．∵P（a，b），A（﹣1，0）∴|PA|2=（a+1）2+b2=（2）2②…（10分）由①②解得或∴圆心P（﹣3，6）或P（5，﹣2）…（12分）∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40 或（x﹣5）2+（y+2）2=40…（14分）17．（12分）已知椭圆G：=1，过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线L交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）求m的取值范围；（3）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．【解答】解：（1）由椭圆G：=1，可得a2=4，b2=1，∴=，∴椭圆的焦点坐标为，．（2）由题意可知：|m|≥1．当m≠±1时，设切线L的方程为：y=k（x﹣m）．∵直线L与圆x2+y2=1相切，∴圆心（0，0）到直线的距离d=r，∴，化为k2m2=1+k2．（*）直线L的方程与椭圆的方程联立，化为（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0，∵直线L与椭圆由两个不同的交点，∴△＞0，即64k4m2﹣16（1+4k2）（k2m2﹣1）＞0，化为1+4k2＞k2m2，把（*）代入上式可得，化为m2﹣1＞0．解得m＞1或m＜﹣1．当m=±1时，直接验证满足题意．综上可知：m的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．（3）当m=1时，切线L的方程为x=1，联立，解得，|AB|=．同理m=﹣1时，|AB|=．当m≠±1时，由（2）可得x1+x2=，．∴|AB|====≤2．由基本不等式可知当且仅当m=时取等号．综上可知：|AB|的最大值为2．18．（12分）过抛物线y2=2Px（P＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1，N1．（1）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（2）记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当a=时，如图所示，设M，N．则，，．则=（﹣p，y1）•（﹣p，y2）=p2+y1y2．（*）设直线MN的方程为my+=x，联立，化为y2﹣2pmx﹣p2=0．∴．代入（*）可得=p2﹣p2=0．∴AM1⊥AN1；（2）假设存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立．设M，N．则M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2），不妨设y1＞0．设直线MN：my+a=x，联立，化为y2﹣2pmy﹣2pa=0．∵△＞0成立，∴y1+y2=2pm，y1y2=﹣2pa．S1==，同理S3=，．∴S1S3====pa2（pm2+2a）．==a2（4p2m2+8pa）=4pa2（pm2+2a），∴4pa2（pm2+2a）=λpa2（pm2+2a），解得λ=4．故存在λ=4，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立．四、附加题19．设椭圆E：=1（a，b＞0）经过点M（2，），N（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A、B且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，∵，解得：，∴，椭圆E的方程为…（2分）（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为y=kx+m，解方程组，得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即8k2﹣m2+4＞0，…．（4分），要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以，又8k2﹣m2+4＞0，∴，∴，即或，∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，∴圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，…（7分）而当切线的斜率不存在时切线为，与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且…..（8分）∵，∴，=，…（10分）①当k≠0时∵，∴，∴，∴，当且仅当时取”=”…（11分）②当k=0时，…．（12分）③当AB 的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时，…（13分）综上，|AB |的取值范围为，即：…（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 yxo()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
【精品】2015-2016学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷
即可求得 |
| =（ ）n﹣1．
【解答】 解：由
=
，
∴
，
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当 n=1， =（ cosα，sin α）， | | =cos2α+sin2α =1（= ）0，
∴
，
=（ cosx﹣sinx， cosx+sinx），
| |=
=
=（ ），
=2（﹣ sinx，cosx），
| |=
=2=（ ）2，
述中正确的个数有（
）
① S7 是所有 Sn（ n∈ N* ）中的最大值；
② a7 是所有 an（ n∈ N* ）中的最大值；
③公差 d 一定小于 0；
④ S9 一定小于 S6．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
第 2 页（共 17 页）
三、解答题
17．（ 8 分）已知， x，y 的方程组
9．（3 分）关于 x 的方程
=0 的解为 x=2 或 x=3 ．
【分析】 将行列式
展开，整理得
=x2﹣5x+6，由 x2﹣5x+6=0，即
可求得 x 的值． 【解答】 解： × 4=x2﹣5x+6，
=1× 2× 9+x× 4×1+1×3×x2﹣ 2× 1× x2﹣1×9× x﹣1× 3
第 7 页（共 17 页）
）
A．1+a+a2 B．1+a+a2+a3 C．1+a D．1
14．（ 3 分）下列命题正确的是（
）
A．若
（ an?bn）=a≠ 0，则
an≠0 且
bn≠ 0
”时，在
B．若
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2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．（3分）直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2．（3分）若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是．3．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=．4．（3分）行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=．5．（3分）以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是．6．（3分）若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为．7．（3分）在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．8．（3分）已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．9．（3分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．10．（3分）已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P 是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=．11．（3分）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为．12．（3分）在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．（4分）“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．715．（4分）已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．816．（4分）已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（8分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．18．（8分）已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．19．（10分）如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．20．（10分）如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．21．（12分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C 为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C 的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．（3分）直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣5=0，∴直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，∴tanα=，α∈[0，π]，∴α=ar ctan，故答案为：arctan．2．（3分）若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是（，）．【解答】解：∵=（﹣5，4），=（7，9），∴=（12，5），||==13；∴与同向的单位向量的坐标为=（，）．故答案为：（，）．3．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=2．【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：2．4．（3分）行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=3．【解答】解：由题意可知：设A=，元素﹣3的代数余子式A12=﹣=k+4，∴k+4=7，∴k=3，故答案为：3．5．（3分）以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是（x+1）2+（y﹣5）2=17．【解答】解：∵点P（3，4）和点Q（﹣5，6），∴以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（﹣1，5），圆的半径r===．∴圆的方程为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．故答案为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．6．（3分）若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．【解答】解：∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，∴抛物线的焦点F（2，0），∴该抛物线的准线方程为x=﹣2．故答案为：x=﹣2．7．（3分）在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．【解答】解：cosA===﹣．∴在方向上的投影是||•cos（π﹣A）=3×=．故答案为．8．（3分）已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．【解答】解：∵双曲线kx2﹣y2=1的渐近线的一条渐近线的方向向量=（2，﹣1），∴渐近线的斜率为=，∴k=．故答案为：．9．（3分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．【解答】解：如图，∵AB=3，BD=1，∠B=60°，∴===．故答案为：．10．（3分）已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P 是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=4．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，⊥，得∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4c2，△PF1F2的面积为16，∴mn=32∴4a2=（m﹣n）2=4c2﹣64，∴b2=c2﹣a2=16，∴b=4．故答案为：4．11．（3分）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为2．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，|OP|2+|PF|2的最小值为2．故答案为：2．12．（3分）在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为y2=2x﹣1．【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），则∵2=+，∴2（x﹣m，y﹣n）=（a﹣m，b﹣n）+（1﹣m，﹣n），∴2x=a+1，2y=b，∴a=2x﹣1，b=2y，∵b2=4a，∴（2y）2=4（2x﹣1），即y2=2x﹣1．故答案为：y2=2x﹣1．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．（4分）“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由⇔a1 b2≠a2 b1，⇔直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，⇔方程组有唯一解，故选：C．14．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A．15．（4分）已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．8【解答】解：对于P中|x|+2|y|=5，当x＞0，y＞0时，化简得：x+2y=5；当x＞0，y＜0时，化简得：x﹣2y=5；当x＜0，y＞0时，化简得：﹣x+2y=5；当x＜0，y＜0时，化简得：﹣x﹣2y=5，对于Q中，x2+y2=5，表示圆心为原点，半径为的圆，做出图形，如图所示，则集合P∩Q=∅，即P∩Q中元素的个数是0个，故选：A．16．（4分）已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上【解答】解：∵a|y0|＞b|x0|≥0∴平方a2y02＞b2x02∴﹣＞0∴焦点在y轴故选：B．三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（8分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…（3分）解得或，…（5分）故或．…（6分）（2）∵，∴，即，…（8分）∴，整理得，…（10分）∴，…（12分）又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（14分）18．（8分）已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．【解答】解：由于直线l0：x﹣y+2=0的斜率为，故它的倾斜角为，由于直线l和直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，故直线l的倾斜角为或，故直线l的斜率不存在或斜率为﹣．再根据直线l经过点P（﹣2，），可得直线l的方程为x=﹣2，或y﹣=﹣（x+2），即x=﹣2，或x+y﹣1=0．如图：19．（10分）如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）A的坐标为（2，0），即有a=2，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，可得a=b，解得b=2，则椭圆E的方程为，（2）直线BC的方程为y=x，代入椭圆方程x2+3y2=12，得y=x=±，=|OA|•|y B﹣y C|=×2=6，∴S△ABC△ABC的面积为6．20．（10分）如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．【解答】解：（1）上半个圆所在圆的方程为x2+y2﹣4y﹣4=0，圆心为（0，2），半径为2；则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2；双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±2，即有交点为（±2，2）；设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则﹣=1，且a=2，解得b=2；所以双曲线的方程为﹣=1；（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），若∠F1PF2是直角，设点P（x，y），则有x2+y2=8，由，解得x2=6，y2=2；由，解得y=±1（不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（±，）和（±，﹣）．21．（12分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C 上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C 为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C 的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．【解答】解：（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，∴曲线y2=4x不是“有界曲线”；∵曲线（x﹣1）2+y2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线（x﹣1）2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x﹣1）2+y2=4是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）由已知得：，整理得：（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，∴，∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，则=，∵1﹣a≤x2≤a+1，∴（a﹣2）2≤4x2+a2≤（a+2）2，即，当0＜a＜1时，2﹣a，则，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为；当1≤a≤2时，2﹣a，则，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当2＜a≤3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当a＞3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为，．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。