【全国百强校】浙江省杭州高级中学2016届高三上学期第三次月考理数试题解析(解析版)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}R x x y y A ∈==,sin ，集合{}x y x B lg ==，则B A C R )(为（ ） A .(,1)(1,)-∞-+∞ B. [1,1]- C. (1,)+∞ D. [1,)+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意可以求得[1,1]A =-，(0,)B =+∞，从而求得()(1,)R C A B =+∞ ，故选C. 考点：函数的定义域，值域，集合的运算.2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.1B.23C.21D.43【答案】C考点：根据几何体的三视图，还原几何体，求其体积.3.已知R b a ∈,，条件p ：“b a >”，条件q ：“122->b a ”，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A考点：充要条件的判断. 4.函数)1(>=a xa x y x 的图像的大致形状是（ ）A B C D 【答案】B 【解析】试题分析：化简函数解析式可得,0,0x x a x y a x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，结合底数1a >，可以判断正确结果是B ，故选B .考点：函数图像的选取.【方法点睛】该题考查的是有关图像的选取问题，在做题的过程中，需要先化简函数解析式，式子中含有绝对值符号时，需要先将绝对值符号去掉，对自变量的范围进行讨论，将式子化为,0,0x x a x y a x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，结合底数的取值范围，利用指数函数的图像，可以确定出该函数的图像，从而找到正确的答案，在选择函数图像时，一般把握住函数的定义域，对称性，单调性，周期性，以及所过的特殊点，就可以选出正确的结果. 5.将函数)0)(4sin(2>-=ωπωx y 的图像分别向左、向右各平移4π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为（ ）A.21B.1C.2D.4【答案】C【解析】试题分析：根据题意，可以断定该函数的周期最大为22ππ⋅=，此时有2ω=，故选C.考点：函数图像的变换，函数的性质.6.函数,0(1)3(log >-+=a x y a 且)1≠a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中m ，n 均大于0，则nm 21+的最小值为（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】C考点：基本不等式.7.若C B A ,,三点不共线，2AB = ，3CA CB = ，则CA CB ⋅的取值范围是（ ） A.)3,43( B.)3,43(- C.)3,31( D.)3,31(-【答案】B 【解析】试题分析：设CB x = ，则33CA CB x ==，由于,,A B C 三点不共线，能构成三角形，由三角形三边关系，可得323223x x x x x x+>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩，解得112x <<，由余弦定理可得22222294cos 226AC BC AB x x C AC BC x +-+-==⋅ 221046x x -=，所以22221043526x CA CB x x x-⋅=⋅=- ，由112x <<得，235234x -<-<，故选B. 考点：三角形三边关系，余弦定理，向量的数量积.【思路点睛】根据题中的条件，三点不共线，从而得知三点可以构成三角形，先设出边长33CA CB x ==，利用三角形三边关系，确定出112x <<，最后利用余弦定理，求得两向量的夹角的余弦值，利用向量数量积的定义式，将CA CB ⋅转化为关于x 的式子，最后将问题转化为二次函数在某个区间上的值域问题来求解，从而求得结果.8.已知1F 、2F 分别是双曲线1:2222=-by a x C 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则C 的离心率为（ ）3 B.3 C.2 D.2【答案】D考点：双曲线的离心率.【思路点睛】根据点关于直线的对称点问题，可知2OA OF =，根据圆的性质可得11FO F A =，进一步得到1AFO ∆是等边三角形，根据等边三角形的性质，可知160AFO ∠= ，从而得到2120AOF ∠=，根据对称性，可知双曲线的渐近线是2AOF ∠的角分线，从而得到渐近线的倾斜角是60，从而得出tan 60ba== 结合,,a b c 的关系，从而求得离心率.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）9.设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的公差=d _____，前n 项和n S =__________.【答案】41，n n 87812+ 【解析】试题分析：根据题意有2(12)1(15)d d +=⋅+，整理得240d d -=，因为0d ≠，所以14d =，利用等差数列求和公式，求得2(1)1172488n n n S n n n -=+⋅=+. 考点：等差数列，等比数列.10.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则F 到l 的距离为______，FB =_______.【答案】2，243【解析】试题分析：根据题意，线段FA 的中点为(,1)4p B ，所以有124pp =⋅，解得p ，所以F 到l的距离为p =，42p p FB =+=. 考点：抛物线的有关性质. 11.已知(,)62ππα∈，且1sin()63πα-=，则=αsin _____，cos()3πα+=_____. 【答案】6223+，31-考点：和差角公式，诱导公式.12.已知点)3,3(A ，O 为坐标原点，点),(y x P 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-002303y y x y x ，则满足条件点P 所形成的平面区域的面积为______，在方向上投影的最大值为______. 【答案】3，3考点：线性规划.13.已知P 为ABC △内一点，且25=--，则AC P △的面积与ABC △的面积之比等于_______. 【答案】25【解析】试题分析：根据题意有52AP AB AC =+ ，2155AP AB AC =+，延长AP 交BC 于D ，则有521333AP AB AC AD =+= ，从而可以得到D 是BC 边的三等分点，且23CD CB =，设点B 到边AC 的距离为d ，则点P 到边AC 的距离为232355d d ⋅=，所以PAC ∆的面积与ABC ∆的面积之比25.考点：向量的性质，三角形的面积. 14.已知013=+++x x e x ，01327133=+--y y ey ，则y x e 3+的值为_____. 【答案】1考点：函数的性质.【方法点睛】该题可以从两个方程中寻找相似的地方，显然后一个式子中是将3y -代替前一个式子中的x 所得，从而可以确定出x 与3y -是方程310me m m +++=的两个根，不难发现函数3()1mf m e m m =+++是单调增函数，从而说明3x y =-，从而求得30x y +=，最后求得结果，在解题的过程中，需要构造新函数，应用方程的思想，解决问题.15.一个直径2AB =的半圆，过A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使A S A B =，C 为半圆上一个动点，,N M 分别为A 在,SC SB 上的射影.当三棱锥S AMN -的体积最大时，BAC ∠的余弦值为____.【解析】试题分析：如下图所示，SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA BC ⊥，又由BC AC ⊥，SA AC A = ，,SA AC ⊂平面SAC ，所以BC ⊥平面SAC ，又由AN ⊂平面SAC ，所以BC AN ⊥，又由AN SC ⊥，,,SC BC C SC BC =⊂ 平面SBC ，所以AN ⊥平面SBC ，又由SB ⊂平面SBC ，所以AN SB ⊥，又由,,,AM SB AN AM A AM AN ⊥=⊂ 平面AMN ，所以SB ⊥平面AMN ，即SM 为三棱锥S AMN -中平面AMN 上的高，因为2SA AB ==，所以AM SM ==而A N M N ⊥，故A M N ∆故当1AN MN ==时，AMN ∆的面积S 取得最大值，此时利用三角形的有关知识以及相应的边长，可以求得AC =，所以cos AC BAC AB ∠==. 考点：垂直关系的转换.【思路点睛】该题需要求的是BAC ∠的余弦值，需要将其放在三角形中，根据三角函数的定义式，可以将其转化为边的比值，所以最后的目标锁定在边AC 的长度上，根据题中所给的条件，可以确定出BC ⊥平面SAC ，进一步确定出AN ⊥平面SBC ，再求得SB ⊥平面AMN ，从而得到SM 为三棱锥S AMN -中平面AMN 上的高，所以三棱锥的高已经成定值，要使棱锥的体积最大，只要底面三角形的面积最大即可，因为底面三角形是斜边确定的直角三角形，根据基本不等式可以确定等腰直角即可，最后再求得相应的边长，从而得到答案.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足CA BA b c a sin sin sin sin --=+. （1）求角C ； （2）求a bc+的取值范围. 【答案】（1）3C π=；（2）(1,2].考点：正弦定理，余弦定理，三角函数的综合问题.17.如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，⊥PA 平面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且2===AC AB PA ，22=BC .（1）求证：⊥CD 平面PAC ； （2）求二面角C AB M --的大小；（3）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为510，求NB AN 的值.【答案】（1）证明见解析； （2）4π； （3）1. 【解析】试题分析：第一问连结AC ，由已知数据和勾股定理可得AB AC ⊥，可得AC CD ⊥，再由线面垂直关系可得，第二问如图建立空间直角坐标系，由数量积和垂直关系可得平面MAB 的法向量，根据图中的条件，得出平面ABC 的法向量，利用法向量所成角的余弦值，从而进一步求得二面角的大小，第三问先设出点N 的坐标，根据线面角的余弦值，建立x 所满足的等量关系式，最后求得结果.令1=y ，则⎪⎩⎪⎨⎧-===110z y x ，所以平面MAB 的法向量)1,1,0(-=n ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以)2,0,0(=是平面ABC 的一个法向量．所以22222,cos -=⨯-=>=<．因为二面角C AB M --为锐二面角，所以二面角C AB M --的大小为4π．考点：垂直关系的证明，二面角，线面角.18.已知0>a ，函数a x x x f -=)(.（1）当2=a 时，写出函数)(x f y =的单调递增区间；（2）求函数)(x f y =在区间]2,0[上的最大值.【答案】（1）(,1],[2,)-∞+∞；（2）22(2),01)()1)442(2),4a a a g a a a a ⎧-<≤⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩.【解析】试题分析：第一问将2a =代入函数解析式，并将解析式化简，结合二次函数的性质，确定出函数的单调增区间，第二问先化简函数解析式，之后判断出函数在相应区间上的单调性，从而结合a 的取值范围，分析函数在区间[0,2]上的最大值在哪个点处取得，再求得对应的边界值，最后将函数的最大值表示为关于a 的分段函数.试题解析：（1）当2a =时，(2),2()(2),2x x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩，由二次函数的性质可知，函数的增区间为(,1],[2,)-∞+∞；考点：二次函数的性质，分类讨论思想.【方法点睛】该题属于分段函数的问题，对于含有绝对值符号的式子，在求解的过程中，需要去绝对值符号，将函数解析式进行化简，第一问将2a =代入解析式，之后结合二次函数的图像，结合自变量的取值范围，最后确定出函数的单调区间，第二问结合参数的取值范围，结合研究的区间，通过函数图像的走向，对参数的取值范围进行讨论，分析最值出现的位置，即可求得结果.19.如图，以椭圆)1(1222>=+a y ax 的右焦点2F 为圆心，c -1为半径作圆2F （其中c 为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T .（1）若45=a ，P 为椭圆的右顶点，求切线长PT ； （2）设圆2F 与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，若OB OA ⊥，且)(23c a PT -≥恒成立，求直线l 被圆2F 所截得弦长的最大值.【答案】（1）4；（2.则有12222221+=+k a k a x x ，12222221+-=k a a k a x x ，................................9分 可得1)1(]1)([22222121221+-=++-=k a a k x x x x k y y ，考点：直线与圆锥曲线的综合问题.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n n S a =-12.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意n ，*∈N k ，有04971022>+--+k a nk n λλ，求正数λ的取值范围； （3）设(1)n n n b a =--，记12111n n T b b b =+++ ，求证：22n T <. 【答案】（1）12n n a -=；（2）32λ>； （3）证明见解析.【解析】（3）2222212111121221n n n n b b ---+=++⋅-2222222213232(2)212n n n n ----⋅=<+-， 于是2352112211111113()2222n n n T b b b -=+++<+++ 11(1)12432(1)2414n n -=⋅=-<-，结论得证. 考点：数列的通项公式，等比数列的求和公式，不等式的性质，恒成立问题的转化.【思路点睛】该题考查的是数列的综合知识，第一问要求的是数列的通项公式，在求解的过程中，根据数列的项与和的关系，类比着写出前一个或后一个式子，两式相减即可，需要注意对1n =检验，第二问恒成立问题向最值转化，从而求得结果，第三问需要将21211n nb b -+求出，即两项合并，之后再进行适当的放缩，将其化为可求和型的式子，应用等比数列求和公式求得结果，.：。