关于双Cω-半群的同余格

合集下载

纯正半群上的强同余Ⅱ

为纯正半群，（）Ｓ表示纯正半群ｓ上所有强同余
所成的完备格，ＪＪ（Ｓ）表示幂等元子半群而ｖＥ（）－Ｅ（）一Ｓｋ所有正规迹所成的完备格．于本文未加对定义的概念和符号，参见文［ —］３５．定义１设Ｊ为纯正半群，Ｊ．Ｐ为ｓＰ∈ ｓ称）Ｊｓ的强同余，若商半群ｓｐ是逆半群．／下述命题是强
６ｂ ∈丁（ｅ，ｅ） ∈丁事实上，（，）∈ ｅ），ａａｂｂ．若 Ⅱ６丁，Ｖｅ∈Ｅ（） Ⅱ （）６（）使得即Ｓ， ∈ Ⅱ ， ∈ ６，（ｌ６ｅ） ∈ 丁（ｅｂｂ） ∈ 丁对任意 Ⅱ ∈ Ⅱｅ，ｂｌ，ａａ，ｅ．Ｖｏ，（）由于Ｊ纯正，任意ｅ∈ ＥＳ，ｓ对（）我们有ｏｌｅｌ ∈ Ｖｏｅ）由纯正半群幂等元的性质和丁正规知，（ｌ．１
关键词：同余；正规迹；；强格完备格中图分类号：５．０１２７文献标识码：Ａ文章编号：Ｏｌ８９（０７０－５５０ｌＯ一３５２０）５０６－４
１引言及准备知识
早在１６年，＿．Ｒｉ９７ＮＲｅｌｌｙ等在文［］１中利用
２正规迹所决定的完备子格
定理１设Ｊ为纯正半群，是Ｅ（）的任一正ｓ丁Ｊｓ
利用幂等元集是子半群的性质构作出了最小元的结构，而讨论了由纯正半群任一正规迹所决定的进
完备子格，出了该子格的最大，小元的结构．给最最

逆半群同余的对偶刻画

五邑大学学报（自然科学版）JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY （Natural Science Edition ）第34卷第2期2020年5月Vol.34No.2May 2020文章编号：1006-7302（2020）02-0001-05逆半群同余的对偶刻画赵雪欣，陈芬芬，高连飞，谢祥云（五邑大学数学与计算科学学院，广东江门529020）摘要：本文给出了逆半群上同余的核迹对偶刻画，并在此基础上给出了最小群同余和最大幂等分离同余的对偶刻画及其相关性质.本文的主要结论是：设S 为逆半群，(,)N τ是S 上的同余对，则关系(,)N ρτ是S 上的一个同余；min στ=是S 上的最小群同余当E E τ=⨯；max μτ=是S 上的最大幂等分离同余当1E τ=.关键词：逆半群；核迹同余；最小群同余；最大幂等分离同余中图分类号：O152.7文献标志码：AA Dual Characterization of Congruences on Inverse Semigroups ZHAO Xue-xin,CHEN Fen-fen ,GAO Lian-fei,XIE Xiang-yun(School of Mathematics and Computational Science,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)Abstract:In this paper,the kernel-trace dual characterization of congruences on inverse semigroups isobtained.On this basis,the dual characterization of the minimum group congruence and the maximumidempotent-separating congruence and the related properties are given.The main conclusions of this paperare as follows:let S be an inverse semigroup,(,)N τbe a congruence pair of S ,then the relation(,)N ρτis a congruence on S .min στ=is the minimum group congruence on Sif E E τ=⨯,and max μτ=is the maximum idempotent-separating congruence on S if 1E τ=.Key words:Inverse semigroups;Kernel-trace congruence;Minimum group congruence;Maximum idempotent-separating congruenceVagner [1]在1952年首次提出逆半群理论，随后Preston [2-4]也提出这个概念.Vagner [5]最初把逆半群称为“广义群”，无论是Vagner 还是Preston ，最初提出逆半群的动机是研究集合上的部分一一映射所构成的半群.逆半群最早的结果之一是表示定理（类似于群论中的Cayley 定理），即每个逆半群都具有忠实表示作为部分一一映射的逆半群.由于逆半群的理论与群的理论有许多相似之处，所以促使了很多学者对逆半群上的同余关系进收稿日期：2019-12-30基金项目：国家自然科学基金资助项目（11801081）；广东省自然科学基金资助项目（2014A030313625，2018A030313063）；广东省普通高校特色创新类项目（2018KTSCX234）；广东省教学团队项目（粤教高函【2018】179号）；安徽省高校自然科学研究项目（KJ2018A0329）；研究生示范课建设项目（2016SFKS_40）.作者简介：赵雪欣（1995—），广东江门人，在读硕士生，研究方向为半群的代数理论；谢祥云，教授，博士，硕士生导师，通信作者，研究方向为序半群的代数理论、模糊代数、粗糙集理论.五邑大学学报（自然科学版）2020年2行研究学习，特别是核—迹方法对同余的刻画.1961年，Munn [6]首次提出逆半群的同余σ，并给出其刻画；1964年Howie [7]给出了最小群同余和最大幂等分离同余的刻画；1966年Lallement [8]给出对b H μ=的研究.1974年Scheiblich [9]首次提出核与迹；1975年和1978年Green [10]和Petrich [11]也对其做了更深入的研究.1981年Petrich 和Reilly [12]将相同的想法应用于完全单半群.本文基于Petrich [11]和Howie [7,13]对逆半群核迹同余的研究，给出了核迹同余的一种对偶刻画，并在此基础上研究了S 上的最小群同余和最大幂等分离同余的相应理论和性质.1预备知识本节的基本知识主要来源于文献[13].在一个半群S 中，定义Green 关系如下：1,,L a x y S x b a b a yb ⇔∃∈==()；1R (,),a b u v S au b bv a ⇔∃∈==；H =L R ∧；D =L R ∨.设a S ∈，元素a 称为正则的，如果存在x S ∈，使得axa a =.如果S 中每一个元素都是正则的，则S 称为正则的.半群S 称为逆半群如果S 中每个元均有逆元存在且幂等元可交换.引理1[13]145设S 是一个半群，则下列命题等价1）S 是一个逆半群；2）S 是正则的，并且它的幂等元可换；3）每一个L 类和每一个R 类只包含一个幂等元；4）S 中的每一个元素有唯一逆元.引理2[13]146设S 是一个逆半群，()E S 是其幂等元构成的半格.那么1）对任意,a b S ∈，111()ab b a ---=；2）对任意a S ∈，()e E S ∈，1aea -和1a ea -都是幂等元.设ρ是逆半群S 上的一个同余关系，()E S 是S 的幂等元构成的半格.ρ限制在()E S 上是()E S 的一个同余关系，我们称为ρ的迹，写作tr τρ=.每一个τ类e τ等于()e E S ρ .同余关系τ称作正规的，如果11 () e f a S a ea a fa ττ--⇒∀∈.我们知道，设ρ是逆半群S 上的一个同余关系，那么S ρ/是一个群当且仅当tr ()()E S E S ρ=⨯.设ρ是逆半群S 上的同余关系，S 的幂等元集是()E S ，那么ρ的核定义为Ker e EN ep ρ∈== .文献[13]中已经证明逆半群S 的核N 是S 的完全逆子半群且是正规的，且核Ker ρ与迹tr ρ有如下关系：1）1ker ,(,)tr ker ae e a a a ρρρ-∈∈⇒∈；2）11ker (,)tr a aa a a ρρ--∈⇒∈.若N 是S 上的正规子半群，τ是()E S 上的正规同余，则S 上的同余对(,)N τ定义如下[13]：1）1,(,)ae N e a a a N τ-∈∈⇒∈；2）11(,)a N aa a a τ--∈⇒∈.定理1[13]157设S 为逆半群，()E S 是S 上幂等元构成的半格，若ρ为S 上的同余，则(ker ,tr )ρρ是一个同余对；反之，若(,)N τ是一个同余对，则关系111(,){(,):(,),}N a b S S a a b b ab N τρτ---=∈⨯∈∈是S 上的一个同余，并且(,)ker N N τρ=，(,)tr N τρτ=，(Ker ,tr )ρρρρ=.本文主要内容是在定理1的基础上给出它的对偶定理.第34卷第2期3赵雪欣等：逆半群同余的对偶刻画2主要结果在给出定理1的对偶刻画之前，我们有以下关于同余对的对偶定义：定义1S 是一个逆半群，()E S 是S 上幂等元构成的半格.设N 是S 上的正规子半群，τ是()E S 上的正规同余，称(,)N τ是S 的一个同余对如果满足条件：对任意的a S ∈和()e E S ∈，有C1）1,(,)ea N e aa a N τ-∈∈⇒∈；C2）11(,)a N a a aa τ--∈⇒∈.引理3设S 是一个逆半群，()E S 是S 上幂等元构成的半格，ρ是S 上的一个同余，则对任意的a S ∈，()e E S ∈，有1）1ker ,(,)ker ea e aa a ρτρ-∈∈⇒∈；2）11ker (,)tr a a a aa ρρ--∈⇒∈.证明1）设 ea f ρ，()f E S ∈，因为1() a aa a ea f ρρ-=，所以ker a ρ∈.2）设a e ρ∈，()e E S ∈，显然有1a e ρ-∈，于是有11,a a aa e ρ--∈，则11(,)tr a a aa ρ--∈.引理4设S 是一个逆半群，(,)N τ是S 的一个同余对，则对于任意的,a b S ∈，()e E S ∈，有1）若bea N ∈，1 e aa τ-，则ba N ∈.2）若11(,)aa bb τ--∈，1a b N -∈，则对每个()e E S ∈，有11(,)aea beb τ--∈.证明1）设bea N ∈，1 e aa τ-，则11()bea bb bea beb ba f ba N --===∈，其中1()f beb E S -=∈.因为1111( ) (())f beb baa b ba ba τ----==，所以根据定义1的C1），有ba N ∈.2）设11(,)aa bb τ--∈，1a b N -∈，则(mod )τ有11111111111111111111()() ()()()()()() ( )()() ()() (C2), ) aea a a a ee a a a aea aa aea aea bb aea aa bb ae a b a b ea ae b a a b ea a b N τττ--------------------==≡=≡∈因为和是正规的根据因为和是正规的111111111111 ()() (C2), )( ).a a be a be a aa beb aa a be N bb beb bb E beb ττ------------=≡∈≡=根据因为和是正规的因为是上的一个同余，所以，11(,)aea beb τ--∈.下面我们给出定理1逆半群同余的对偶刻画：定理2设S 为逆半群，()E S 是S 上幂等元构成的半格，若ρ为S 上的同余，则(ker ,tr )ρρ是一个同余对；反之，若(,)N τ是一个同余对，则关系111(,){(,):(,),}N a b S aa bb a b N τρτ---=∈∈∈是S 上的一个同余.此外(,)ker N N τρ=，(,)tr N τρτ=，(ker ,tr )ρρρρ=.证明""⇒.若ρ为S 上的同余，则由引理3，(ker ,tr )ρρ是一个同余对.""⇐.设(,)N τ是一个同余对，111(,){(,):(,),}N a b S aa bb a b N τρτ---=∈∈∈.因为N 是S 上的正规子半群，τ是()E S 上的正规同余，所以ρ是自反的和对称的.要证ρ是传递的，只需证明对任意的五邑大学学报（自然科学版）2020年4(,)a b ρ∈，(,)b c ρ∈，有(,)a c ρ∈.设(,)a b ρ∈，(,)b c ρ∈，则由11(,)aa bb τ--∈，11(,)bb cc τ--∈，有11(,)aa cc τ--∈.因为11,a b b c N --∈，于是有111()a bb c a ec N ---=∈，1e bb -=.由于11() bb e cc τ--=，根据引理41），有1a c N -∈，所以(,)a c ρ∈.因此ρ是一个等价关系.要证ρ是一个同余关系，只需证明()(,)(,),(,)c S a b ac bc ca cb ρρρ∀∈∈⇒∈∈.设(,)a b ρ∈，则有11(,)aa bb τ--∈，1a b N -∈，根据引理42），有111111()()()() (mod )ac ac a cc a b cc b bc bc τ------=≡=.因为N 是正规的，所以有111()()ac bc c a b c N ---=∈，因此(,)ac bc ρ∈.又因为111111()() (mod )ca ca caa c cbb c cb cb τ------=≡=，111111111()()()()ca cb a c cb a c c bb b a b b c cb N ---------===∈，所以(,)ca cb ρ∈.因此，(,)N τρρ=是S 上的一个同余关系.若a e ρ∈，()e E S ∈，则1 e aa τ-，ea N ∈，根据定义1C1），有a N ∈.因此，ker N ρ⊆.反之，若a N ∈，则1e a ea N -=∈，1e aa -=；由幂等元11ee aa --=有11 ee aa τ--，所以ker a e ρρ∈⊆.因此，(,)ker N N τρ=.设,()e f E S ∈，若(,)(,)N e f τρρ∈=，则11() ( )e ee ff f τ--==，因此tr ρτ⊆.反之，若 e f τ，则11() ( )ee e f ff τ--==，1()e f ef E S N -=∈⊆，所以()(,)()()tr e f E S E S ρρ∈⨯= .因此(,)tr N τρτ=.设(,)a b ρ∈，则11(,)a b ρ--∈，于是有11(,)aa bb ρ--∈.因为1aa -，1bb -是幂等元，所以有11(,)tr aa bb ρ--∈.由于11(,)a b b b ρ--∈，则有11()ker a b b b ρρ--∈⊆，因此(ker ,tr )ρρρρ⊆.反之，设(ker ,tr )(,)a b ρρρ∈，则有11(,)tr aa bb ρ--∈，1ker a b ρ-∈.因为1()a b ρ-是/S ρ的一个幂等元，所以()()()111111()()()()a b a b a b a bb a ρρρρ------==，于是有1111111 (mod )b bb b aa b aa bb a aa aa a aa a a ρ-------=≡≡≡==，因此(,)a b ρ∈，故(ker ,tr )ρρρρ=.性质1设S 是一个逆半群，()E S 是S 上幂等元构成的半格，令τ是()E S 上的正规同余，然后有：1）关系111min {(,): ,(())( ,)}a b S S a a b b e E S e a a ae be τττ---=∈⨯∃∈=是S 上以τ为迹的最小同余；2）关系11max {(,):(()) }a b S S e E S aea beb ττ--=∈⨯∀∈是S 上以τ为迹的最大同余.证明仿照文献[13]中相关定理的证明，省略.推论1若E E τ=⨯，则min {(,):(())}a b S S e E S ae be τ=∈⨯∃∈=.一般地，记min στ=，称为S 上的最小群同余，则/S σ是S 上的最大群同态像.于是，对于S 上使得/S γ是一个群的每一个同余γ，都存在一个同态://S S ζσγ→.容易验证，σ的核如下：定理3设S 是一个逆半群，()E S 是S 上幂等元构成的半格，令σ是S 上的最小群同余，则ker E σω=，且1{(,):}a b S S a b E σω-=∈⨯∈.一个同余称为幂等分离，如果它的迹是恒同余1的.根据性质12），我们有以下推论：推论2若1E τ=，则11max {(,):(())}a b S S e E S aea beb τ--=∈⨯∀∈=.一般地，记max μτ=，称为S 上的最大幂等分离同余.要确定ker μ，我们需要一个定义：在S 上设()E S 的中心化子为E ς，其中{:(())}E a S e E S ae ea ς=∈∀∈=.然后有下面的结论：第34卷第2期5赵雪欣等：逆半群同余的对偶刻画定理4设S 是一个逆半群，()E S 是S 上幂等元构成的半格，令μ是S 上的最大幂等分离同余，则ker E μς=，且111{(,):,}a b S S aa bb a b E μς---=∈⨯=∈.下面给出μ的进一步刻画：性质2设S 是一个逆半群，()E S 是S 上幂等元构成的半格，令μ是S 上的最大幂等分离同余，则b H μ=为S 上包含在H 里的最大同余.证明设(,)a b μ∈，则由定理4得11aa bb --=.因为11(,)a b μ--∈，所以有11a a b b --=，因此(,)H a b ∈，H μ⊆.下面证明μ是S 上包含在H 里的最大同余.考虑S 上的任意一个同余ρ，且H ρ⊆.假设(,)a b ρ∈，则11(,)a b ρ--∈，于是对任意的()e E S ∈，有11(,)H aea beb ρ--∈⊆.由S 上的每个H 类最多包含一个幂等元可知，对任意的()e E S ∈，有11aea beb --=，因此(,)a b μ∈.一个逆半群S 称为基本的，如果在S 上的最大幂等分离同余是恒同余1S 的.定理5设S 是一个逆半群，()E S 是S 上幂等元构成的半格，令μ是S 上的最大幂等分离同余，则/S μ是基本的，且/S μ上的幂等元所构成的半格与()E S 同构.参考文献[1]VAGNER V V.Generalized groups [J].Doklady AkademiĭNauk SSSR,1952(84):1119-1122.[2]PRESTON G B.Inverse semi-groups [J].Journal of the London Mathematical Society,1954,29(4):396-403.[3]PRESTON G B.Inverse semi-groups with minimal right ideals [J].Journal of the London Mathematical Society,1954,29(4):404-411.[4]PRESTON G B.Representations of inverse semi-groups [J].Journal of the London Mathematical Society,1954,29(4):411-419.[5]VAGNER V V.Theory of generalized heaps and generalized groups [J].MatematicheskiĭSbornik (NS),1953(32):545-632.[6]MUNN W D.A class of irreducible matrix representations of an arbitrary inverse semigroup [J].Proceedings ofthe Glasgow Mathematical Association,1961,5(1):41-48.[7]HOWIE J M.The maximum idempotent-separating congruence on an inverse semigroup [J].Proceedings of theEdinburgh Mathematical Society(2),1964,14(1):71-79.[8]LALLEMENT G.Congruences et équivalences de Green sur un demigroupe régulier [J].Comptes Rendus del’Acad émie des Sciences Paris(Sér A),1966,262:613-616.[9]SCHEIBLICH H E.Kernels of inverse semigroup homomorphisms [J].Journal of the Australian MathematicalSociety,1974,18(3):289-292.[10]GREEN D G.The lattice of congruences on an inverse semigroup [J].Pacific Journal of Mathematics,1975,57(1):141-152.[11]PETRICH M.Congruences on inverse semigroups [J].Journal of Algebra,1978,55(2):231-256.[12]PETRICH M,REILLY N R.The kernel-trace approach to congruences on completely simple semigroups [J].Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica,1981,16(4):103-114.[13]HOWIE J M.Fundamentals of semigroup theory [M].New York:Oxford University Press,1995.[责任编辑：韦韬]。

关于Г-半群上的模糊同余

自从１９６５年Ｚａｄｅｈ＿１给出模糊关系的定义后，人们对它的研究就一直没有停止过。ＮｏｂｕａｋｅＫｕｌｏｋｉ＿２］
在１９９７年给出了逆半群上的模糊同余，吴明芬给出了半群上的．模糊同余，２００１年谭宜家对正则半群
山东科学
ＳＨＡＮＤＯＮＧＳＣＩＥＮＣＥ
第２６卷
第２期
２０１３年４月出版
Ｖｏ１．２６Ｎｏ．２Ａｐｒ．２０１３
Ｄ０Ｉ：１０．３９７６／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２— ４０２６．２０１３．０２．００７
关于厂一半群上的模糊同余
高爱侠
（山东师范大学数学科学学院，山东济南２５００１４）
摘要：本文将半群上的模糊同余推广到半群上，定义了，－半群上的模糊同余并给出了包含在，＿半群上的模糊等价关
系中的最大模糊同余。
ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ，ａｎｄｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｌａｒｇｅｓｔｆｕｚｚｙｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅｃｏｎｔａｉｎｅｄｉｎｔｈｅｆｕｚｚｙｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｒｅｌａｔｉｏｎｏｎＦ— ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ
称为模糊相容的，如果对任意的，Ｙ，ｚ，ｔ∈ Ｓ， ∈Ｆ有
ｔｚ（，ｙ）八（ｚ，ｔ）≤ｔｚ（ｘ￣，）。

右π-逆半群的同余

存在ＥＺ使得（８一（）（）从而）ＥＥ５．
ａ（ｆｅ一（）一ｂ）ｅ）ｆ（ ”一６）一ｂｅｅ．（（ｆ）
故ａｂ即１ａ，
．而一１从．
其次证一２易知．
维普资讯
第３期
汪宏梅
右丌一半群的同余逆
７３
ＣＣ一ｂ：（］ｚＩＪ．Ｔ２：ｒｒＥ（）Ｖｚ）．
由于ｚｚＥＥ（）故２ｓ，
．而＝．从２
最后证一．然显
ａｅ— ｂ）一｛口６ｅ；（，）ＥＳ× ＳＩ在，５使得ａ存ｆＥＥ（）ｅ— ｂ；２＝（６ｆ｝＝ｎ，）ＥＳ× Ｓｒ在 — ＲｇＳ＝｛存ｅ
使得ａ７ｂ；ａ｛ａ６３一ｘ）ｏ一（，）∈ Ｓ×Ｓｉ－存在ＥＳ使得ａ — ｂ．ｘｘ）则这４关系都是Ｓ上的最小群同余．个证明由引理１知，是Ｓ上的最小群同余．只需证这４个关系相等．首先证一．然显．之，ａ。．反设Ｏｂ则存在ｅｆＥＥＳ＂，（）使得一ｂ．Ｓ是右丌一半群知，ｆ由逆
１右丌一半群的最小群同余逆
定义３２设是半群ｓ上的同余．ｓ是群，［］若／则称是ｓ的［若对任意ｓ上的群同余Ｉ均有Ｄ，ｌ则称是ｓ的最小群同余．Ｄ，
汪宏梅
（山东胜利职业学院基础部，山东东营２７９）５０８

具有Q-逆断面的正则半群上的同余格

维普资讯
华南师范大学学报（自然科学版）
２００８年５月
Ｍ丑０８ｖ２０
ＪＯＵＲＮＡＬＯＵＴＨＮＡＮＯＲＯＦＳＣＨＩＭＡＬＮＩＵＶＥＲｎＹＳ
２００８年第２期
Ｎｏ２，０８．２０
摘要：研究了具有Ｑ一逆断面的正则半群上的同余格ＣｎＳ上的等价关系和Ｑ它们都是ＣｎＳｏ（），ｏ（）
上的完全同余，这些完全同余的每一个类是区间，给出了每一个类的极大、极小同余的表示．
关键词：逆断面；Ｑ一同余；同余对；同余格；同余格上的同余关系
维普资讯
第２期
商Hale Waihona Puke 宇等：具有Ｑ一逆断面的正则半群上的同余格
Ｉ５
Ｙ（ｙ。。，ｓ、ｓ为ｓ的子半群且有Ｒｓｎ（）Ｓ，ｓｎＳ＝。ＥＲＳ）。ｘｙ）且（）以（）（）Ｓ：。（）以（）Ｅ，（（）＝，，Ｓ，（）Ａ（）立．（）Ｅ（Ｓ）＝Ｓ成设日为带，若对任意ｅｇ， ∈Ｂ，有＝（＝ｇ成立，ｅ瞻ｆ）ｉ则称日为左（正规带．若右）半群ｓ的非空子集Ａ满足条件ｓＡ（ＳＡ，Ａ为ｓ的左（理想．ＡＡＣ）称＿右）若半群ｓ是正则的且幂等元的集合构成子半群，ｓ为纯正半群．称由文献［］，ｓ４知若为具有逆断面ｓ的正则半。群，ｓ则是纯正的当且仅当对任意， ∈Ｓ（ｙ。ｙ。Ｙ，ｘ）＝￣．若具有逆断面的正则半群ｓ的逆断ｘ面ｓ是ｓ。的拟理想（ｓＳ。ｓ）称ｓ即。Ｓｃ。，为具有Ｑ一＿逆断面ｓ的正则半群，。。ｓ称为ｓ的Ｑ一逆断面．由文献［］若ｓ３知，为具有逆断面ｓ的正则半群，ｓ是Ｑ一断面当且仅当对任意。则。逆

双单ω-半群同余格上的关系K

第３卷第２４期
２１００年３）
ＪＲＬＯＦＪＡＸＯＲＬＵＶＳＴＮＴＲＣＥＥＯＵＮＡＩＮＧＩＮＭＡＮＩＥＲＩＹ（ＡＵＡＬＳＩＮＣ）
Ｖｏ．４Ｎｏ．１３２Ｍａ２Ｏｒ．Ｏ１
ＢｕｋＲｉｙ张；ｒｃ— ｅｌ扩ｌ反之，任一双单一群同构于某个群Ｇ的ＢｕｋＲｉｙ半ｒｃ— ｅｌ扩张．别地，Ｃ：｛｝则ｓ：ｌ特若１，
ＳＣ，）（ａ为双循环半群．
由文献［—］５７可知，双单（半群ｓ：５Ｇ，）１９．（ａ的任一同余为群同余或幂等元分离同余，．Ｇ，）的且ｓ。上（群同余（幂等元分离同余）构成ｃ（）上的子格［］或［，］，Ｃ（）＝［］Ｕ［，］［，或ｓ，（ｅ）且Ｓ，ｅｔ，盯ｚ］ｎ［，ｅ］＝，中口ｔ分别表示ＳＧ，）其，ｚ（ａ的最小群同余和最大幂等元分离同余；，分别表示ｓＧ，）￡（ａ
文章编号：００５６（０００．１８０１０—８２２１）２０８ — ４
双单一群同余格上的关系半
陈忠汪立民２，
（．关学院数学与信息科学学院，东韶关１韶广５２０；．南师范大学数学科学学院，东广州１０５２华广５０３）１６１
ｔＤ＝Ｉｌ（）ｋｒｌｏｓ，ｅｐ＝｛ ∈ Ｓｌｅ∈ Ｅ（）ｘｅ，Ｃ（）的关系“ ” § ｔＥ（ｓ）ｐ｝则ｓ上Ｔ：ｒ：ｔＤ，（）是ｒ（ｌＥＣｓ）ｆ０

关于序半群的正则和反强正则同余

余和反强正则同余的一般刻画．关键词：反拟链；反强正则同余；正则同余
中图分类号：Ｏ１２７５．
文献标志码：Ａ
ＯｎＩｖｒｅＳｒｎｌｇｌｒＣｏｇｕｎｃｓｏｄｅｅｅｉｒｕｓｎｅｓｔｏｇｙＲｅｕａｎｒｅｅｎＯｒｒｄＳｍｇｏｐ
文章编号：１０・３２（０２）０・０１００６７０２１１００－５
关于序半群的正则和反强正则同余
谢祥云，谷泽
（邑大学数学与计算科学学院，广东江门５９２五２００）
摘要：引入了序半群中反拟链和反强正则同余等概念，讨论了它们的一些性质，出了正则同给
模糊代数、粗糙集理论．
２
五邑大学学报（然科学版）自
２１矩０２
构映射厂使得ｆａ＝ｈ．关于可剩余半群和Ｄｂｅｌ等价可参见文献【】ｕｒｉ３的第三章．为了回答一般序半群上同余理论的上述问题，上世纪九十年代，祥云提出了序半群的正则同余理论【１ｈｙｐｌ谢，Ｋｅａｏｕｕ — 等［７绍了序半群中拟序的概念，即如果是上的拟序，么存在的同余使得／是序６１－介那半群，且到／存在保序同态．这样，序半群的正则同余理论和拟序理论在一定程度上可以相互表示．近年，序半群的正则同余理论得到了更深入的发展［ｉ，并进一步推广到序ｓ８ｏ－】一系理论中去刻画序Ｓ一系的同余理论［ｉ以上研究的基础上，本文引进了序半群中反拟链和反强正则同余等概ｈ．在

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

变化．
１￣１Ｈ０２右乘）图２）产生的新的同余对为ｒ蚴和ｒｍ０．＇口ｒ１Ｉ（１１２￣（ —１：．２口口ｌ１￣２左乘）图２）．１（２（＇ｒｋ／（ —２产生的新的同余对为和ｒ㈨和ｒ姐。
’ ．．
可得一般情况：
，
由ａｒ１＋＝口口ｌ，ｉ＋＋＝口，ｉ．＋．２且ｆｌｌ＋＝口＋ｆ口＋，１＞矗 “＋口＋，１，ｌ＞ｆ＋，Ｉ＋；ｆｒａｚ＋，１＞ｆＩ
，，
收稿日期：０９０ — ２２０— ６３
作者简介：建萍（９２）女（族）青海乐都人，士，教授，马１７一，土，硕副主要研究方向为基础代数理论半群．
、
１４
青海师范大学学报（自然科学版）
２．ｒ１
定理１设ｒ是上由Ｏｅ或Ｏ或ｅｆ生成的最小正规同余，ｒｒｒｉｒ则一．证明：是由ｒ生成的最小同余．由简单情况进行分析，ｒ一先进而归纳出一般规律．由Ｔ，１我们已知㈨Ｚａｚ以下分析当和蚴分别在左、－２，１右乘后得到ａ１、、时，一方的。、ａ：另
马建萍
（青海师范大学数学与信息科学系，海西宁青８００）１０８
摘要：文将讨论得出双Ｃ本ｍ一半群的迹为ｎ和ｒ小同余的具体情况，而分析出双Ｃ一半群的同余格的子格［ｒ２最进ｍｏｐ］结构．Ｔ的
子格的结构．
设ｌＭｕｎ半群ＴＤ是ｎ上的同余，一一｛ｅ厂 ∈Ｅ×ＥＩｐ，ｒＴｒ（，）ｆ）若是的幂等元集Ｅ上的正规ｅ同余．ｒ生成的丁由上的同余ｒ迹为ｒ的最小同余，是也将ｒ记为ｐ． ’
．
另由ａｒｔｌ＋＝口）ｒｌｌ＋ｉ＝ｉｒ１＋１；Ｏ＋，１＞，￣＋，１ｉ￣Ｔｉ（７＋ｉｉｉ７且Ｕｉ￣ｔｌ＋＝ａ７，１口＋，ｌ＋１＝＞ｆｒ７＋１ｆ；ｉｏ＋，ｌ＞ｆ＋ｒｆ１＋ｙＴｉｆ＋１ｆ．＋２
。．
口ｆａ＋．１＞ｏ０ｎ１０口＋，１＞ｍ１ｒｍｎ１删ｒ１＋＝口１ｉＴ１ｍ１＋＝ａ一，ｆａ。．ｎｎＧｆ ” ｎ＋
・・
对角线上的元素都ｒ等价，同上理，ａｒａ且由Ｏ
０ｉｌｆｔ＋。ｒ０ｉ２．＋１．／＋ｆ
ｚ口Ｉｌ口ｆ１ｆｌ＝＞－＋，＋．＋
由归卸，Ｖ１，（ｇ安对ｎｍ＞ｎａｒ口＋，１１枷ｒ１ｍ１＋１＝ａｍ＋１ｒｍ２＋．Ｖ，ｍ＜）７ｌ）脚１＋＝口０口ｆｏ＋口ａ＋，１对（：
关键词：ｃ一半群；规同余；双正同余格中图分类号：５．Ｏｌ２１文献标识码：Ａ文章编号：０１７４（０００ —０１ — ０１０ — ５２２１）２０３４
ｌ引言
设半格Ｅ一｛ｏｌ …）ｅ＞ｅ＞Ｕ｛ｏｌ …）０．足ｅ，ｆ＞ｆ＞Ｕ｛）满ｉ一，）（≤ ；＝，）ｅ，（≤ ｉ一０ｆ
则有Ｍｕｎ半群Ｔ，为双Ｃ一半群．５、６已分别讨论ｎＥ称文Ｅ］［］
的元素、法公式、ｅｎ关系，乘Ｇｒｅ讨论
了双Ｃｃｃ，一半群中由Ｅ的所有由同余对生成的最小的正规同余的同余类的形式：ｚ和，到一系列整－得齐的结果．文进一步讨论双Ｃ一半群的迹为ｒ和ｒ最小同余的具体情况，而分析出它的同余格的本。进
２１ＯＯ年
青海师范大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＱｉｇａｒａｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃ）ｏｒａｎｈｉｏＮｏｍｌＵｎｖｒｉＮａｕａｉｎｅｙＳ
２Ｏ０１ＮＯ２．
第２期关于双Ｃｏ源自一半群的同余格２１雏００．
／１１变１
／１２变２
ａｌ变ｌ变
／１２变２
相应
变为
相应变为ＫＬ／１１１
为
相应
ＫＬａ２２变为
００口２２
相应
变为ＫＬＣｌｔｌ变为
．
，
ｒ０ａ件２
．
ｒ … ，口ｒＯａＯ且Ｈ
０
＝＞ｄ卜２ｆｆ０》ｒ＝ …
．
’ ・・
所有ａ（，≥ｏ都ｒ是ｚ）等价且与０等价．同理，有（，≥ｏ都ｒ等价，与０等价．所是ｚ）且