大学物理之第一部分粒子系统——第二章 对称性与守恒定律2

2-2 功、动能和势能
注意：
1、只要有保守力，就可引入相应的势能。 2、计算势能必须规定零势能参考点。质点在某一 点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所 在点移动到零势能点时保守力所做的功。 3、势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考 点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相 对位置的单值函数。 4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。
A
动能是 相对量
末态动能 初态动能 功是质点动能变化的量度
过程量 状态量
2-2 功、动能和势能 三、势能
1、保守力
W F dr 0
某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关， 而与路径无关。这种力称为保守力。 典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力
与保守力相对应的是耗散力
r 2 r 1 r 21 dW f 2 d r 21
2-2 功、动能和势能
功率 力在单位时间内所作的功
W 平均功率： P t
W dW 瞬时功率：P lim t 0 t dt dr P F F v dW F dr dt
2-2 功、动能和势能
dW F dr Fl ds Fl rd
对于定轴转动的刚体
Z
O d F r P
M Fl r
dW Md
W AB 2 F dr Md
B A 1
力矩的功是力做功的角量表述
单位：焦耳
J ； 千瓦时
2-2 功、动能和势能
刚体的转动动能
1 2 E k J 2
2-2 功、动能和势能
质点的动能定理
物体受外力作用 运动状态变化 动能变化
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 B v2 1 W AB f dr d ( mv 2 ) B A v1 2 D ri 1 1 2 2 mv 2 mv 1 E KB E KA fi 2 2
( Fx dx Fy dy ) 2 ydx 4dy
x1 y1
O
做 功 与 路 径 有 关
3 X
94 x2 dx 4dy 10.8J 2 2 1 3
W2
x2 , y2
x1 , y1
( Fx dx Fy dy ) 2 ydx 4dy
x2 y2 x1 y1
WAB EPA EPB
定义了势能差
选参考点（势能零点），设 E PB 0
WAB E PA
2-2 功、动能和势能
WG mgza mgzb
Mm Mm W f ( G0 ) ( G0 ) ra rb
W保
b
a
F保 dr
1 2 1 2 W s kxa kxb 2 2
U U U F Fx i Fy j Fz k ( i ) ( j ) ( k) x y z ( i j k )U U x y z
那勃勒算符 质点所受保守力等于质点 势能梯度的负值
保守力沿某一给定的l方向的分量等于与此保守 力相应的势能函数沿l方向的空间变化率。
2-2 功、动能和势能
势能是位置的函数，用U=U(x,y,z)=EP ( x,y,z)表 示，称为势函数 U U U Fx , Fy , Fz x y z
dEP Fl dl
i 1
· · · · fj j
作用在系统上的合力 状态量 动量、角动量、能量
F合 F
fi j · ·
· i
状态量与系统经历的过程无关。 状态量是系统自身所具有的物理量，与外界无关。 过程量 冲量、功 过程量与系统自身没有必然的联系，过程量是由 外界对系统过程产生作用的物理量。
2-1 系统的对称性概述
1
2
O
3 X
2-2 功、动能和势能
W AB B F dr Fx d x Fy dy Fz dz
B A A F 2 yi 4 j ( N )
Y x2 4 y
2.25
4y x 6
x2
1
y 2 2
W1
x2 , y2
x1 , y1
初态量 末态量
a
O
mg
Y
可见，重力是保守力。
X
2-2 功、动能和势能
弹力的功
F kx
W
xb xa
1 2 1 2 kxdx ( kxb kxa ) 2 2
弹簧振子

1 1 2 2 kxa kxb 2 2
初态量 末态量 可见，弹性力是保守力。
2-2 功、动能和势能
1)平移 2)旋转 3)镜象反射 4)空间反演
2-1 系统的对称性概述
2、时间变换 1)时间平移 2)时间反演
3、时空联合操作 伽利略变换--- 力学定律具有不变性 洛仑兹变换---物理定律具有不变性
2-1 系统的对称性概述
物理矢量的镜面反射 极矢量 轴矢量
M
r r
M
r r
0
重力势能（以地面为零势能点）

系统的机械能
E Ek E p
2-2 功、动能和势能
势能和保守力的关系： 势能是保守力对路径的线积分
F A dl B Fl
EP F d l ＝
a
b
保守力所做元功
l
dEP F d l F cos dl Fl dl
dEP Fl dl
第二章 对称性与守恒定律
2-1 系统的对称性概述
2-2 功、动能和势能 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 哈密顿函数 时间平移对称性与能量守恒 势能曲线 空间平移对称性与动量守恒 空间旋转对称性与角动量守恒 碰撞
问题的提出
宏观 经典力学理论的局限性 守恒定律的普适性 低速 宏观、微观、低速、高速
例1 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j ( N )
在下列情况下求质点从 x1 2(m ) 处运动到
x2 3(m ) 处该力作的功：
1. 质点的运动轨道为抛物线 x 2 4 y
2.
质点的运动轨道为直线 4 y x 6
2.25
Y x2 4 y
4y x 6

R
R
R o
dr 1 1 GMm GMm 2 R h r R R h GMmh R( R 3、质量为2kg的质点在力F＝12t i (SI) 的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。
解：（一维运动可以用标量）
典型的耗散力：
摩擦力
2-2 功、动能和势能
重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点. b WG mg dr a b ( mg )k ( dxi dyj dzk ) a Z z dr mgdz
b
za


b
mgz a mgz b
W＝ F d r 12tvdt
t 12t F 2 v v0 adt 0 dt dt 3t 0 0 m 0 2 t t
W 12t 3t dt 36t dt 9t 729J
2 3 4 0 0
3
3
2-2 功、动能和势能
一对作用力和反作用力的功 m1、m2组成一个封闭系统在 dt 时间内


r







平行于镜面的分 量方向相同，
垂直于镜面的分 vaF 量方向相反。
平行于镜面的分 量方向相反，
垂直于镜面的分 LM 量方向相同。
2-1 系统的对称性概述
时间反演 (t → -t) 相当于时间倒流 牛顿第二定律
对保守系统-时间反演不变 如 无阻尼的单摆
直角坐标系中 F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk B B W AB F dr Fx d x Fy dy Fz dz
A A
微分形式 dW F dr F cos ds
守恒定律具有比力学理论更深厚的基础吗？
守恒定律是与宇宙中某些对称性相联系的。 对称性是统治物理规律的规律。
2-1 系统的对称性概述
一、系统
物质世界
系 统
外 界
孤立系统
封闭系统
开放系统
2-1 系统的对称性概述
外力
n F Fi
i · Fi f 0
内力
f ij f ji
保守力做正功等于相应势能的减少； 保守力做负功等于相应势能的增加。 比 较
E pa E pb E p
1 1 2 2 W mv 2 mv 1 E KB E KA E K 2 2
外力做正功等于相应动能的增加；
外力做负功等于相应动能的减少。
2-2 功、动能和势能
势 E P mgdy mg (0 y ) mgy 能 y 只 弹性势能（以弹簧原长为零势能点） 具 0 1 2 1 2 E p kx dx (0 kx ) kx 有 x 2 2 相 引力势能（以无穷远为零势能点） 对 Mm 1 意 EP －G 2 dr GMm ＝ r r r 义 质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用 下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。
物理上:运动方向反向
即: 速度对时间反演变号
2-1 系统的对称性概述
非保守系统 不具有时间
武打片