高中数学 2.4向量的数量积课件 苏教版必修4
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第一章 三角函数
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1.1 任意角、弧度
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1.2 任意角的三角函数
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最新苏教版高二数学必修4电子 课本课件【全册】目录
0002页 0055页 0176页 0210页 0261页 0276页 0303页 0343页
第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 第二章 平面向量 2.2 向量的线性运算 2.4 向量的数量积 第三章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数 计算机的使用范围
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2.4 向量的数量积
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2.5 向量的应用
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1.3 三角函数的图像和性质
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第二章 平面向量
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2.1 向量的概念及表示
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2.2 向量的线性运算
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ห้องสมุดไป่ตู้
2.3 向量的坐标表示
苏教版必修4高中数学2.4《向量的数量积(一)》ppt课件1
记为a⊥b.
A
B
OB
B
b Oa A
知识点1：向量“数量积”的概念 一个物体在力F的作用下产生位移S（如 图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角. 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
典型例题
已知 | a | 6，| b | 4，a与b夹角为60，求： （1）（a 2b）（ a - 3b）（2）| a 2b |
注 （1）两向量的数量积是一个数量， 意 （2） a ·b不能写成a×b ，‘·’不能
省.
探究点4 运算率
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
课堂练习
例：已知a 1, b 2 (1)a // b,求a b; (2) 3 ,求a b
-72
2 37
典型例题
证明 :
2
2
(a b) (a b) a b
(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时, △ ABC各是什么三角 形当？a ·b＜0时， cos <0，为钝角三角形 当a · b=0时，为直角三角形
探究点2
投影的概念
B b
ab | a || b | cos
O
a B1 A
| b | cos 叫做向量b在向量a的方向上的投影，即有向线段OB1的数量
数量积 a ·b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向上的投影 | b |cos 的乘积.
A
B
OB
B
b Oa A
知识点1：向量“数量积”的概念 一个物体在力F的作用下产生位移S（如 图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角. 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
典型例题
已知 | a | 6，| b | 4，a与b夹角为60，求： （1）（a 2b）（ a - 3b）（2）| a 2b |
注 （1）两向量的数量积是一个数量， 意 （2） a ·b不能写成a×b ，‘·’不能
省.
探究点4 运算率
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
课堂练习
例：已知a 1, b 2 (1)a // b,求a b; (2) 3 ,求a b
-72
2 37
典型例题
证明 :
2
2
(a b) (a b) a b
(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时, △ ABC各是什么三角 形当？a ·b＜0时， cos <0，为钝角三角形 当a · b=0时，为直角三角形
探究点2
投影的概念
B b
ab | a || b | cos
O
a B1 A
| b | cos 叫做向量b在向量a的方向上的投影，即有向线段OB1的数量
数量积 a ·b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向上的投影 | b |cos 的乘积.
高中数学必修四[苏教版]2.4《向量的数量积》ppt课件
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例10：设A(0，0)，B(2，3)，C(1，k)，若 △ABC是直角三角形，求k的值.
例11：已知 a (2, 1)，b (,1)，若向量
a 与 b 的夹角 为锐角，求 的取值范围. 若向量 a 与 b 的夹角 为钝角，求 的范围. 若向量 a 与 b 垂直，求的范围.
例12：设O(0，0)，A(3，0)，B(0，3)，
向量 a 和 b 的夹角.
当 0 时，a 与 b 同向，a b | a || b | ； 当 180 时，a 与 b 反向，a b | a || b | ； 当 90 时，称 a 与 b 垂直，记作 a b ，
此时 a b 0 .
向量的数量积运算律
ab ba
(a) b a (b) (a b) a b
例6：已知 | a | 5 ，| b | 4 ， 且 a 与 b 的夹 角 60 ，若 ka b a 2b，求实数 k 的值.
例7：已知 a、b 都是非零向量，且向量 a 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与 7a 2b垂直，求 a a (x1, y1)，b (x2, y2) 那么
(a b) c a c b c 思考： (a b) c a (b c) 是否正确？ 错误
例1：已知向量 a 与 b 的夹角为 ，| a | 2 ，
| b | 3 ，分别在下列条件下求 a b ：
(1) 60
(2) 135
(3) a b
(4) a b
例2：已知 | a | 6 3 ，| b | 1 ，a b 9 ， 求 a 与 b 的夹角.
3 求：(1) | a b | ；(2) | 3a b | .
例5：已知 | a | 3 ，| b | 3，| c | 2 3 ，
且 a b c 0 ，求 a b b c c a .
例11：已知 a (2, 1)，b (,1)，若向量
a 与 b 的夹角 为锐角，求 的取值范围. 若向量 a 与 b 的夹角 为钝角，求 的范围. 若向量 a 与 b 垂直，求的范围.
例12：设O(0，0)，A(3，0)，B(0，3)，
向量 a 和 b 的夹角.
当 0 时，a 与 b 同向，a b | a || b | ； 当 180 时，a 与 b 反向，a b | a || b | ； 当 90 时，称 a 与 b 垂直，记作 a b ，
此时 a b 0 .
向量的数量积运算律
ab ba
(a) b a (b) (a b) a b
例6：已知 | a | 5 ，| b | 4 ， 且 a 与 b 的夹 角 60 ，若 ka b a 2b，求实数 k 的值.
例7：已知 a、b 都是非零向量，且向量 a 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与 7a 2b垂直，求 a a (x1, y1)，b (x2, y2) 那么
(a b) c a c b c 思考： (a b) c a (b c) 是否正确？ 错误
例1：已知向量 a 与 b 的夹角为 ，| a | 2 ，
| b | 3 ，分别在下列条件下求 a b ：
(1) 60
(2) 135
(3) a b
(4) a b
例2：已知 | a | 6 3 ，| b | 1 ，a b 9 ， 求 a 与 b 的夹角.
3 求：(1) | a b | ；(2) | 3a b | .
例5：已知 | a | 3 ，| b | 3，| c | 2 3 ，
且 a b c 0 ，求 a b b c c a .
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
解析(jiě xī)： A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0. C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b. D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c. 答案： B
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
高中数学 2.4向量的数量积课件 苏教版必修4
c 而言，(a·b)c＝a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c 表示一个与
栏 目
链
c 共线的向量，而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一 接
定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．
第十四页，共28页。
知识点3 向量(xiàngliàng)的模
设 a＝(x，y)，|a|2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，故|a|＝
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
链 接
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|；
当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a|·|b|；
特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2，a·a 也可记作 a2.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
第十一页，共28页。
2．数量积的运算律．
已知 a，b，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
θ的乘积．这个投影值可正可负也可为零，
栏 目
链
所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．
接
第十页，共28页。
知识点2 数量(shùliàng)积的性质及运 算律 1．数量积的重要性质．
设 a 与 b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是 a 与 e 的夹角．
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
栏
目
答案：120°
栏 目
◎规律总结：本题涉及向量的加法、向量的模、向量垂直的等 链
接
价条件、向量的夹角和向量的数量积等基础知识．法一是通常方法； 法二将数学符号语言转化为图形语言，由平面几何知识快速得到答 案．无图考图，体现了数形结合思想的灵活运用．
第二十一页，共28页。
变式
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4
第六页，共3式是数量积的坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 的一种特例，当 a＝b 时， 则可得|a|2＝x2＋y2；
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
高中数学必修二课件：向量的数量积(第1课时)
题型三 投影向量
例3 已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求： (1)向量a在向量b上的投影向量； (2)向量b在向量a上的投影向量．
【解析】 (1)∵|b|＝1，∴b为单位向量． ∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·b＝3×－12b＝－32b. (2)∵|a|＝3，∴|aa|＝13a， ∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°|aa|＝1·－12·13a＝－16a.
解析 如图，连接AD.
因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点， 所以AD⊥BC. 又AB＝2，∠ABC＝30°， 所以CD＝BD＝AB·cos 30°＝ 3. 由图可知B→A与C→D的夹角为∠ABC的补角， 所以B→A与C→D的夹角为150°.
(1)向量B→A在向量C→D上的投影向量为|B→A|cos 150°|CC→ →DD|＝2×cos 150°×C→D3 ＝－C→D.
【思路】 根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角θ.
【解析】 ①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°. ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝2×5×1＝10. 若a与b反向，则它们的夹角为180°. ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝2×5×0＝0. ③当a与b的夹角为30°时， a·b＝|a||b|cos 30°＝2×5× 23＝5 3.
4．若a·b＝0，则a⊥b对吗？ 答：不对，也可能a＝0或b＝0.
5．在等边△ABC中，向量A→B与向量B→C夹角为π3 ，对吗？ 答：不对，向量A→B与向量B→C夹角为2π 3 .
课时学案
题型一 数量积的运算 例1 (1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°， 分别求a·b.
高中数学必修四[苏教版]2.4《向量的数量积》ppt课件2
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l1
:
x
2
y
0和l2:
:
x
3y
0,
求直线
l1和l
的夹角。
2
归纳整理，整体认识：
1．平面向量数量积的坐标公式；向量垂直的坐标表示的条件， 复习向量平行的坐标表示的条件；
2．向量长度（模）的公式及两点间的距离公式和夹角公式．
(1)设a,bc是任意的非零向量，且相互不共线，有下列命题： （1）（a b)c (c a)b 0
高中数学 必修4
复习回顾：
(1) 平面向量的坐标表示？ （2）平面向量的坐标运算？ （3）向量平行的坐标表示？
创设情景，揭示课题：
提出问题：向量的数量积 能否用坐标表示？
学生活动：
提出问题：设
j
a(
是y
x1, y1), b (x2 , y2 ) ，设 i 轴上的单位向量，试用
是
x轴上的单 位向 量，
i ，j 表示 a 和 b ．
a x1i y1 j,b x2i y2 j
2
2
a
b
(x1i
y1
j)(x2
i
y2
j)
又 i i 1，j
j
x1x2
i
1 ，i
j
x1
y2
i
j
j i 0
y1x2
j
i
y1 y2
j
从而得向量数量积的坐标表示公式： a b x1x2 y1 y2
建构数学：
例题讲解：
例2 在△ABC中，设 AB (2,3) ，AC (1, k) ，且△ABC是直角三角形，
求k的值.
变式：已知 A(1, 2), B(2,3),C(2,5) ，求证 ABC 是直角三角形．
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设 a 与 b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是 a 与 e 的夹角．
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
栏 目
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
链
接
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|；
当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a|·|b|；
特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2，a·a 也可记作 a2.
θ＜0，从而
a·b＜0；当θ＝π2 时，cos
θ＝0，
从而 a·b＝0.
(2)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a
栏
的方向上的投影|b|cos θ的乘积．这个投影值可正可负也可为零， 目
链
所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．
接
知识点2 数量积的性质及运算律
1．数量积的重要性质．
c
而言，(a·b)c＝a(b·c)未源自成立．这是因为(a·b)c表示一个与
栏 目
c
共线的向量，而
a(b·c)表示一个与
a
共线的向量，而
c
与
a
不一
链 接
定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．
知识点3 向量的模
设 a＝(x，y)，|a|2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，故|a|＝
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
2．数量积的运算律．
已知 a，b，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
(1)a·b＝b·a(交换律)；
栏
(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(数乘结合律)； 目
链
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
接
说明：(1)当 a≠0 时，由 a·b＝0 不能推出 b 一定是零向量．这
(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝_x_1_x_2_＋__y_1.y2
7．如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，
y1)、(x2，y2)，那么|a|＝_________________________________，这
栏
是平面内两点间的距离公式．
目
x x x y y y x y 8．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b
第2章 平面向量
2．4 向量的数量积
栏 目 链 接
1．掌握平面向量数量积的定义及其几何意义．
栏
2．掌握平面向量的数量积的性质及运算律，并能运用它们处理 目
链
长度、角度和垂直等问题．
接
栏 目 链 接
1．已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为θ，我们把数量
|_a_|_|_b__|c_o__s__θ__ 叫 做 a a_·_b_＝__|_a__||_b__|c__o_s__θ．
与
b
的 数 量 积 ， 记 作 ____ab_·_______ ， 即
2．两非零向量 a 与 b 的夹角为θ，a 在 b 方向上的投影为 栏
|_a_|_c_o_s__θ___，b 在 a 方向上的投影是_|_b__|c_o__s__θ___，a·b 的几何意
目 链
义为__a_的___长__度__|_a_|_与__b__在__a_的___方__向__上__的___投__影__|_b_|_c_o__s__θ_的__积______． 接
叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即
a·b＝|a||b|cos θ(0≤θ≤π)．
栏
目
其中|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向 链
接
上)的投影．
特别提示：(1)当 0≤θ＜π2 时，cos θ＞0，从而 a·b＞0；当
π 2 ＜0≤π时，cos
是因为任一与 a 垂直的非零向量 b，都有 a·b＝0.
(2)已知实数 a、b、c(b≠0)，则 ab＝bc⇒ a＝c.但对向量的数
量积，该推理不正确，即 a·b＝b·c 不能推出 a＝c.由图很容易看
出，虽然 a·b＝b·c，但 a≠c.
栏 目 链 接
(3)对于实数 a、b、c，有(a·b)c＝a(b·c)；但对于向量 a、b、
当θ为__锐___角___时，b 在 a 上投影为正；当θ为__钝__角____时，b 在 a 上的投影为负；当θ为___9__0_°__时，b 在 a 上的投影为零．
3．a，b 同向时，a·b＝|_a_|_|_b_|_，当 a 与 b 反向时，a·b＝－__|_a_|_|_b_|_，
特别地 a·a＝__|_a_|_2___.
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其夹角为θ，则 a·b＝x1x2＋y1y2
或 a·b＝|a||b|cos θ＝ x21＋y12 x22＋y22 cos θ，故 cos θ＝ 栏
目
xx21＋1x2y＋12 yx1y22＋2 y22，当θ＝90°时，cos
θ＝0，即 x1x2＋y1y2＝0，所以
链 接
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
栏 目 链 接
题型1 向量数量积的运算
例1已知向量 a 和 b 的夹角为 120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a
－b)·a＝________.
栏
解析：(2a－b)·a＝2a·a－a·b
x2＋y2，即向量的长度(模)等于它的坐标平方和的算术平方根．设 栏
目
A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 A→B ＝ (x2 － x1 ， y2 － y1) ， | A→B | ＝
链 接
x2－x1 2 y2－y1 2.即得平面上两点间的距离公式，与解析几
何中的距离公式完全一致．
知识点4 向量的夹角
4．|a·b|与|a|·|b|的大小关系是|a__·_b_|_≤__|a__|·_|_b__| ．
5．向量数量积的运算律为
a·b＝___b_·_a___；(λa)·b＝λ_(_a__·b__)__
栏 目
＝_a_·_(_λ__b_)_；(a＋b)·c＝_a_·_c_＋__b__·.c
链 接
6．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即若 a＝
_x_1_x_2_＋__y__1y__2_＝. 0
链 接
9．若1 2 a＋ ＝(1 x12 ，y1)，b＝(x2，y2)，a、b 的夹角为θ，则有 cos θ
＝____2 1 _＋ ___1 2 · _____2 2 ＋ ___2 2 .
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知识点1 数量积的定义
已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角是θ，我们把|a||b|cos θ