离散数学习题2
离散数学课后习题答案(第二章)
(3) 寻求下列各式的真假值。 A） (∀x)( P( x) ∨ Q( x)) ，其中 P( x) : x = 1, Q( x) : x = 2 ，且论域是 {1, 2} B） (∀x)( P → Q( x)) ∨ R( a) ， 其中 P : 2 > 1, Q( x) : x ≤ 3, R( x) : x > 5 而 a : 5 ， 论域是 {−2,3, 6} 解：a) (x)(P(x)∨Q(x))⇔(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))， 但 P(1)为 T，Q(1)为 F，P(2)为 F，Q(2)为 T, 所以(x)(P(x)∨Q(x))⇔(T∨F)∧(F∨T) ⇔T。 b) (x)(P→Q(x))∨R(a)⇔ ((P→Q(−2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a) 因为 P 为 T，Q(−2)为 T，Q(3)为 T，Q(6)为 F，R(5)为 F， 所以(x)(P→Q(x))∨R(a)⇔((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F⇔ F (4) 对下列谓词公式中的约束变元进行换名。 A） ∀x∃y ( P ( x, z ) → Q ( y ) � S ( x, y ) B） (∀xP( x) → ( R( x) ∨ Q( x))) ∧ ∃xR( x)) → ∃zS ( x, z) 解：a)(u)(v)(P(u，z)→Q(v))S(x，y) b)(u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧(v)R(v))→(z)S(x,z) (5) 对下列谓词公式中的自由变元进行代入。 A） (∃yA( x, y ) → ∀xB ( x, z )) ∧ ∃x∀zC ( x, y , z ) B） (∀yP( x, y ) ∧ ∃zQ( x, z )) ∨ ∀xR( x, y) 解：a)((y)A(u，y)→(x)B(x，v))∧(x)(z)C(x，t，z) b)((y)P(u，y)∧(z)Q(u，z))∨(x)R(x，t) 习题 2-5 （1）考虑以下赋值，论域：
离散数学 第2章 习题解答
习题 2.11．将下列命题符号化。
(1) 4不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：4。
“4不是奇数。
”符号化为：¬A(a)(2) 2是偶数且是质数。
解：设A(x)：x是偶数。
B(x)：x是质数。
a：2。
“2是偶数且是质数。
”符号化为：A(a)∧B(a)(3) 老王是山东人或河北人。
解：设A(x)：x是山东人。
B(x)：x是河北人。
a：老王。
“老王是山东人或河北人。
”符号化为：A(a)∨B(a)(4) 2与3都是偶数。
解：设A(x)：x是偶数。
a：2，b：3。
“2与3都是偶数。
”符号化为：A(a)∧A(b)(5) 5大于3。
解：设G(x,y)：x大于y。
a：5。
b：3。
“5大于3。
”符号化为：G(a,b)(6) 若m是奇数，则2m不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：m。
b：2m。
“若m是奇数，则2m不是奇数。
”符号化为：A(a)→A(b)(7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。
设D(x,y)：直线x相交于直线y。
a：直线A。
b：直线B。
“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
”符号化为：C(a,b)↔¬D(x,y)(8) 小王既聪明又用功，但身体不好。
解：设A(x)：x聪明。
B(x)：x用功。
C(x)：x身体好。
a：小王。
“小王既聪明又用功，但身体不好。
”符号化为：A(a)∧B(a)∧¬C(a)(9) 秦岭隔开了渭水和汉水。
解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。
a：秦岭。
b：渭水。
c：汉水。
“秦岭隔开了渭水和汉水。
”符号化为：A(a,b,c)(10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。
解：设A(x)：x是东北人。
B(x)：x怕冷。
a：小李。
“除非小李是东北人，否则她一定怕冷。
”符号化为：B(a)→¬A(a)2．将下列命题符号化。
并讨论它们的真值。
(1) 有些实数是有理数。
解：设R(x)：x是实数。
离散数学课后习题答案二
习题1. 列出关系}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z ,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表所有的主键码。
解 略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><d c b a ，，，时你能得到什么解 略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量 解 略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir航空公司＝σ到二维表以后得到的表。
解5,3,2πNadir 航空公司＝6. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量解 略7. 构造把连接运算2J 用到二维表和二维表所得到的二维表。
解 零件供应商二维表与零件数量和颜色代码二维表连接运算2结果第4章：群、环、域习题1. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。
（1）集合}|{Z Z ∈⨯=z z n n 关于普通加法和普通乘法运算，其中n 是正整数。
（2）集合}12|{+∈-==Z n n x x S ，关于普通加法和普通乘法运算。
（3）集合}10{，=S 关于普通加法和普通乘法运算。
离散数学习题解答-第2章命题逻辑
(2) 有 4 个不同的命题变元，使公式的真值为 0 的赋值有 p 0, q 0, r 1, w 0 ；
p 0, q 1, r 0, w 1 ； p 0, q 1, r 1, w 0 ； p 1, q 1, r 0, w 1 ；
3
p 1, q 1, r 1, w 1 ； 使 公 式 的 真 值 为 1 有 赋 值 有 p 0 , q 0 ,r 0 ,w ； 0 p 0, q 0, r 0, w 1 ； p 0, q 0, r 1, w 1 ； p 0, q 1, r 0, w 0 ； p 0, q 1, r 1, w 1 ； p 1, q 0, r 0, w 0 ； p 1, q 0, r 0, w 1 ； p 1, q 0, r 1, w 0 ； p 1, q 0, r 1, w 1 ； p 1, q 1, r 0, w 0 ； p 1, q 1, r 1, w 0 ；
((p q) s) (r t )
3. 列出下列各公式的所有赋值， 并指出哪些赋值使公式的真值为 1， 哪些赋值使公式的真值 为 0。 (1) ( p q) r r (2) (w q) ( p r ) w (3) (( p q) ( p q)) p (4) ((u q) (t r )) (r u) (5) (m q) ((q r ) s) (6) (m q) (t r ) q 解 ： (1) 有 3 个 不 同 的 命 题 变 元 ， 使 公 式 的 真 值 为 0 的 赋 值 有 p 0, q 0, r 0 ；
p 0, q 0, r 1 ； p 0, q 1, r 0 ； p 0, q 1, r 1 ； p 1, q 0, r 1 ； p 1, q 1, r 0 ； p 1, q 1, r 1 . 使公式的真值为 1 有赋值有 p 1, q 0, r 0 .
离散数学练习题2 答案
1-1．都是命题：1-2设P：明天天气晴朗Q：我们就去郊游则P →Q：如果明天天气晴朗，我们就去郊游1-3根据真值表求公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。
解表1.15 例1.42真值表则P → (P∧(Q →R )) ⇔ (﹁P∧Q∧R )∨(﹁P∧Q∧﹁R )∨(﹁P∧﹁Q∧R )∨⌝(﹁P∧Q∧﹁R )∨(P∧﹁Q∧R )∨(P∧﹁Q∧﹁R )∨(P∧Q∧R ) ■由于任意一组命题变元P1, P2, …, P n的真值指派和它的极小项之间是一一对应的，故可以对极小项进行编码。
首先需要规定变元在极小项中的排列次序，假设为P1, P2, …, P n，用m表示极小项，若P i出现在极小项中，则编码的第i个位置上的值为1，否则为0。
比如变元P, Q, R（规定次序为P, Q, R）的极小项P∧﹁Q∧﹁R的编码为100，将此极小项记为m100。
若将编码看作是一个二进制数，又可将例中的极小项记为m4。
用此方法，可以简写所求得的给定公式的主析取范式。
P → (P∧(Q →R )) ⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7（规定P, Q, R的次序为P, Q, R）公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。
解P → (P∧(Q →R ))⇔﹁P∨(P∧(﹁Q∨R ))⇔ (﹁P∨P)∧(﹁P∨﹁Q∨R)⇔ (﹁P∨﹁Q∨R )⇔ (﹁P∨﹁Q∨R )1-4试证明(﹁P →Q )∧(P →R )∧(﹁Q∨S ) ⇒S∨R。
证明（1）﹁P →Q P（2）﹁Q∨S P（3）Q →S T, (2), E16（4）﹁P →S T, (1), (3), I13（5）﹁S →P T, (4), E18（6）P →R P（7）﹁S →R T, (5),(6), I13（8）﹁﹁S∨R T, (7),E16（9）S∨R T, (8), E11-5如果迈克有电冰箱，则或者他卖了洗衣机，或者他向别人借了钱。
离散数学第2章习题解答
2.4(1)对所有的x，存在着y，使得x y 0，在(a), (b)中为真命题，在(c),(d)中为假命题。
(2)存在着x,对所有的y，都有x y 0，在(a),(b)中为真命题，在(c),(d)中为假命题。
3)对所有x，存在着y，使得x y 1，在(a),(b)(c)中均为假命题，而在(d)中为真命题。
(F(a) yG(y)) (F(b) yG(y)) F(c) yG(y))
(F(a) (G(a) G(b) G(c)
(F(b) (G(a) G(c))
(F(c) (G(a) G(b) G(c))
(F(a) (F(b) (G(a) G(b) (c)).
显然这个演算比原来的演算麻烦多了
2.13在I下
(F( 2) G( 2)) (F(3) G(3)) F(6) G(6))
在一阶逻辑中，将命题符号化时，当引入特性谓词(如题中的F(x))之后，
全称量词后往往使用联结词→而不使用，而存在量词 后往往使用 ，而不使用→，如果用错了，会将真命题变成假命题，或者将假命题变成真命题。
2．6在解释R下各式分别化为
(1)x( x 0);
(2)x y(x y x);
(3)x y z(x y) (x z y z));
x(F(x) (G(x) H (x))
(2)令F(x):x是人，G(y):y是化，H (x) : x喜欢，命题符号化为x(F(x) y(G(y) H ( x, y)))
(3)令F(x):x是人，G(x) : x犯错误，命题符号化为
x(F(x) G(x)),
或另一种等值的形式为
x(F(x) G(x)
离散数学练习题(含答案2)
离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ D ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∀x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)1 / 72 / 7D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系 12．设R 为实数集，函数f ：R →R ，f(x)=2x ，则f 是（ ） A ．满射函数 B ．单射函数 C ．双射函数 D ．非单射非满射CDACCDAADADB第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。
吉林大学离散数学课后习题答案
第二章命题逻辑§2.2 主要解题方法2.2.1 证明命题公式恒真或恒假主要有如下方法：方法一.真值表方法。
即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。
真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。
例2.2.1 说明 G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。
解：该公式的真值表如下：表2.2.1由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故G恒真。
方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。
例2.2.2 说明 G= ((P→R) ∨⌝ R)→ (⌝ (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。
解：由(P→R) ∨⌝ R=⌝P∨ R∨⌝ R=1，以及⌝ (Q→P) ∧ P= ⌝（⌝Q∨ P）∧ P = Q∧⌝ P∧ P=0知，((P→R) ∨⌝ R)→ (⌝ (Q→P) ∧ P)=0，故G 恒假。
方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。
方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G恒假，若最终结果有1，有0，则是可满足的。
例子参见书中例2.4.3。
方法五. 注意到公式G蕴涵公式H的充要条件是：公式G→H是恒真的；公式G，H等价的充要条件是：公式G↔H是恒真的，因此，如果待考查公式是G→H型的，可将证明G→H 是恒真的转化为证明G蕴涵H；如果待考查公式是G↔H型的，可将证明G↔H是恒真的转化为证明G和H彼此相蕴涵。
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《离散数学》习题2
一、单项选择题
1．下列各式中判断自由变元和约束变元不正确的是（ ）。
A.()()()()()
()()()
x P x R x S x x P x Q x ∃∨∧→∀∧,其中x 是约束出现
B.()()()()
x Q x P x R y ∀→∧,其中x 是约束出现，而y 是自由出现
C.()()()()x y P x Q x S y ∀∃⌝→∧, 其中x 和y 都是约束出现
D.
()()(),x P x yR x y ∀∧∃, 其中x 和y 都是约束出现
2．设{}
A φ=,则()P A =
（ ）。
A.φ
B.
{}φ
C.{}{},φφ
D.{}{}φ
3．设
{}
1,2,3A =,则A 上不同的等价关系总共有（ ）。
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
4．在自然数集N 上，下列（ ）运算是可结合的，对于任意,a b N ∈。
A.
()
max ,a b a b *=
B.a b a b *=-
C.5a b a b *=+
D.
a b a b
*=-
5．集合｛a,b,c ｝到集合｛0,1｝可定义的特征函数的个数为（ ）。
A.3
B.6
C.8
D.9
6．整数集合Z 上的关系≠的传递闭包是关系（ ）。
A.<
B.>
C.全域关系z
D.≠
7．数的加法在下列集合上封闭的是（ ）。
A.{}
0,1A =
B.{}
1,1B =-
C.{
},C b a b z
=∈
D.
{}
D x x =是奇数
8．设
12,,,V R V R +=+=*
，其中R 为实数集合，R +
为正实数集合，+和*分别
表示普通的加法和乘法，令():,x
R R x e ϕϕ+→=，下面四个命题中为真的是
（ ）。
A.12V V ϕ是到的自同态
B.12V V ϕ是到的自同构
C.12V V ϕ是到的同构
D.
12V V ϕ是到的映射
，但A,B,C 都不是
9．三阶群中不同构的有（ ）个。
A.1
B.2
C.3
D.4
10．设
{}
G=23,m n m n I ⨯∈,*为普通乘法，则代数系统,*
G 的幺元为（ ）。
A.不存在
B.00
23e =⨯
C.23e =⨯
D.11
23e --=⨯
11．完全图K3的不同构的生成子图的个数为（ ）。
A.3
B.4
C.5
D.6
12．仅有孤立点组成的图是（ ）。
A.零图
B.平凡图
C.完全图
D.子图
13．任意具有多个等幂元的半群，它（ ）。
A.不能构成群
B.不一定能构成群
C.不能构成交换群
D.能构成交换群
14．整数集合Z 上的关系≠的传递闭包是关系（ ）。
A.<
B.>
C.全域关系z
D.≠
15．设{}1,2,3A =,则A 上不同的等价关系总共有（ ）。
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
16．数的加法在下列集合上封闭的是（ ）。
A.{}0,1A =
B.{}1,1B =-
C.{}
,C b a b z =∈
D.{}D x x =是奇数
17．设{}G=23,m n m n I ⨯∈,*为普通乘法，则代数系统,*G 的幺元为（ ）。
A.不存在
B.0023e =⨯
C.23e =⨯
D.1123e --=⨯
18．完全图K 3的不同构的生成子图的个数为（ ）。
A.3
B.4
C.5
D.6
19．设,A ≤是一个有界格，它也是有补格，只要满足（ ）。
A.每个元素都有一个补元
B.每个元素都至少有一个补元
C.每个元素都无补元
D.每个元素都有多个补元
20．具有如下定义的代数系统,*G ，（ ）不构成群。
A.G={1，10},*是模11乘
B.G={1，3，4，5，9},*同是模11乘
C.G=Q(有理数),*是普通加法
D.G=Q(有理数),*是普通乘法
二、判断题 1．联结词集合
{}7,→是功能完备集。
（ ）
2．设A 为任意一个集合，则()A A A φ⊕-=。
（ ）
3．设
12,,,n
p p p 是不同的命题变元，关于12,,,n
p p p 的极大项是简单析取式，
但简单析取式不一定是极大项。
（ ）
4．设个体域是自然数集合，p 代表 ∀x ∀y 彐z F （x －y = z ），则 p 是真命题。
( )
5．自然数 N 与其上的普通加法 + 构成的代数系统 〈N ，+〉 是群。
( ) 6．命题公式 A =﹁（p →q ）∧q 的主析取范式为 A 〈=〉∑（0）。
( ) 7．边数 m 等于 n-1 的 n 阶无向图都是树。
( ) 8．非平凡无向树 T 至少两片树叶。
( )
三、填空题
1．设*为集合A 上二元运算，若A 中一个元素e ，它既是___，又是___，则称e 是A 中关于*的幺元。
2．谓词公式
()()()
x P x P x ∀⌝→⌝是___，
()()
xP x xP x ∀→∃是___。
（填逻辑有
效式或矛盾式）
3．原子Q 既可说成是___范式，也可说成是___范式。
4．设,*G 是群，若运算*在G 上满足交换律，则称G 为______群或______群。
5．若连通平面图G 有4个结点，3个面，则G 有______条边。
四、综合题
1．在一阶逻辑中，将下面命题符号化，并且要求只能使用全称量词： （1）没有人长着绿色头发。
（2）有的上海市民没有去过东方明珠塔。
2．已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)。
《离散数学》习题2答案
一、单项选择题
二、判断题
三、填空题
1、左幺元 右幺元
2、逻辑有效式 矛盾式
3、合取 析取
4、交换 Abel
5、5
四、综合题 1． 答案:
（1）设()()::M x x B x x 是人，长着绿色头发，则命题（1）可表示为：
()()()x M x B x ∀→⌝
（2） 设()()::M x x B x x 是上海市民，去过东方明珠塔，则命题（2）可表示为：
()()()x M x B x ⌝∀→
2． 证明：∵x ∈ A-（B ∪C ）⇔ x ∈ A ∧x ∉（B ∪C ）⇔ x ∈ A ∧（x ∉B ∧x ∉C ）⇔ （x ∈ A ∧x ∉B ）∧（x ∈ A ∧x ∉C ）⇔ x ∈（A-B ）∧x ∈（A-C ）⇔ x ∈（A-B ）∩（A-C ）∴A-（B ∪C ）=（A-B ）∩（A-C ）。