(京津密卷)2019高考数学总复习 优编增分练：压轴大题突破练(三)函数与导数(1)文
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练(70分)8+6标准练4 理
[70分] 8＋6标准练41．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,3} D ．{2,4} 答案 D解析 根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}， 故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12＋12i B ．1＋12i C ．1－12i D.12－12i 答案 D 解析 复数z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i ＋12， 根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为12－12i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )A ．30B ．25C ．22D ．20 答案 D解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203 D ．8 答案 B解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163.5．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝12；i ＝2，S ＝1＋2＋1＋12，x ＝4，y ＝14；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，x ＝32，y ＝132，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C.6．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )A ．(2,22]B ．(22，4]C ．(4,2＋22]D ．(2＋22，6]答案 C解析 由题意可得tan A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cosC2sinC 2＝2sin C 2cos C2，则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12， ∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形， 则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，据此有a ＋b ≤22，∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613答案 D解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，又∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2×(－2)＝13，ma 1＋m (m －1)2×(－2)＝0，解得a 1＝13，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 当a n ≥0时，n ≤7.5， 当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， ∴数列的前7项为正数， ∴1a n a n ＋1＝1(15－2n )(13－2n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－113＝613.故选D.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，0<x <2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是( ) A ．(0,12) B ．(0,16) C ．(9,21) D ．(15,25)答案 A解析 函数的图象如图所示，∵f (x 1)＝f (x 2)，∴－log 2x 1＝log 2x 2， ∴log 2x 1x 2＝0，∴x 1x 2＝1， ∵f (x 3)＝f (x 4)， 由函数对称性可知，x 3＋x 4＝12,2<x 3<x 4<10，∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2＝x 3x 4－2(x 3＋x 4)＋4＝x 3x 4－20＝x 3(12－x 3)－20＝－(x 3－6)2＋16， ∵2<x 3<4， ∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是(0,12)．9．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为________． 答案22解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，即a 2－|a |·|b |cos θ＝0， ∴cos θ＝22， ∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝22. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则ω的最小值为________． 答案 23解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝23.11．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________．答案 2 3解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP2≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．12.已知正方形的四个顶点A (1,1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)分别在曲线y ＝x2和y ＝1－x 2－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案8＋3π24解析 y ＝x 2与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃ1－1x 2d x ＝2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 331－1＝2－23＝43， y ＝1－x 2－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，则y ＝1－x 2－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积， 即π×122＝π2，故质点落在图中阴影区域的概率是43＋π24＝8＋3π24.13．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝(x ＋y )2xy的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t ＝y x，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率，由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2. u ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋2xy ＋y 2xy＝x y ＋y x＋2＝t ＋1t＋2. 易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减， 在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；当t ＝2时，u ＝92，所以u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163.14．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (1，3＋1]解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可， 即1a 2－3b2≤1，两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2， 由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2，解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12，故1<ca ≤3＋1.。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练(80分)解答题标准练(二)理
[80分] 解答题标准练(二)1．(2018·威海模拟)在△ABC 中，边BC 上一点D 满足AB ⊥AD ，AD ＝3DC . (1)若BD ＝2DC ＝2，求边AC 的长； (2)若AB ＝AC ，求sin B . 解 (1)∵AB ⊥AD ，∴在Rt△ABD 中，sin∠ABD ＝AD BD ＝32， ∴∠ABD ＝60°，AB ＝1.在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝3，由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos∠ABC＝1＋9－2×1×3×12＝7，∴AC ＝7.(2)在△ACD 中，由正弦定理可得AD sin C ＝DCsin∠DAC ，∵AD ＝3DC ， ∴3sin C ＝1sin∠DAC， ∵AB ＝AC ，∴B ＝C ， ∴∠BAC ＝180°－2B ， ∵∠BAD ＝90°， ∴∠DAC ＝∠BAC －∠BAD ＝180°－2B －90°＝90°－2B ， ∴3sin B ＝1sin (90°－2B )， ∴3sin B ＝1cos 2B， 化简得23sin 2B ＋sin B －3＝0， 即(3sin B －1)(2sin B ＋3)＝0， ∵sin B >0，∴sin B ＝33. 2．(2018·安徽省亳州市涡阳一中模拟)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知∠B 1C 1A 1＝90°，异面直线AB 1⊥A 1C ，且AA 1＝AC .(1)求证：平面ACC1A1⊥平面A1B1C1；(2)若AC1＝AA1＝B1C1，求直线A1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值．(1)证明因为AA1＝AC，所以四边形ACC1A1是菱形，所以A1C⊥AC1，又因为异面直线AB1⊥A1C，AC1∩AB1＝A，AB1，AC1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥平面AB1C1，又B1C1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥B1C1.又因为∠B1C1A1＝90°，即B1C1⊥A1C1，且A1C1∩A1C＝A1，A1C，A1C1⊂平面ACC1A1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，又B1C1⊂平面A1B1C1，所以平面ACC1A1⊥平面A1B1C1.(2)解设O是A1C1的中点，因为AC1＝AA1，所以AO⊥A1C1，由(1)可知，AO⊥平面A1B1C1，以O为坐标原点，过点O且与C1B1平行的直线为x轴，以OC1所在直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，设AA1＝2，则A (0,0，3)，A 1(0，－1,0)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，设A 1C 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ，因为 A 1C 1→＝(0,2,0)，A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)， 设平面ABB 1A 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0，不妨令x ＝1， 则y ＝－1，z ＝33，可得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，33， 所以sin θ＝|cos 〈A 1C 1→，n 〉|＝22×73＝217，所以直线A 1C 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为217. 3．(2018·山西省运城市康杰中学模拟)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]内，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图(见下图)．(1)填写下面的2×2列联表，判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？(2)将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X ，求X 的分布列及期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)K 2＝200×(5×115－35×45)250×150×40×160＝256≈4.167>3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．(2)由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为15.X 的所有可能的取值为0,1,2,3，且X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，15.P (X ＝k )＝C k 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫15k ×⎝⎛⎭⎪⎫1－153－k(k ＝0,1,2,3)． P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫150×⎝ ⎛⎭⎪⎫453－0＝64125， P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫151×⎝ ⎛⎭⎪⎫453－1＝48125， P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫153×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝1125， 所以X 的分布列为E (X )＝3×15＝35.4．(2018·安徽省“皖江八校”联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22，过点E 的动直线l 被椭圆C 所截得的线段MN 长度的最小值为463.(1)求椭圆C 的方程；(2)B 是椭圆C 上异于顶点的一点，且直线OB ⊥l ，D 是线段OB 延长线上一点，且|DB |＝75|MN |，⊙D 的半径为|DB |，OP ，OQ 是⊙D 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠POQ 的最大值，并求出取得最大值时直线l 的斜率． 解 (1)由已知，可得12(c ＋a )c ＝b22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，解得a ＝2c ，设椭圆C 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，当直线l 的斜率不存在时，线段MN 的长为23c ； 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24c 2＋y 23c 2＝1，y ＝kx ＋c ，得(4k 2＋3)x 2＋8kcx －8c 2＝0，Δ＝(8kc )2＋32c 2(4k 2＋3)>0， 从而|MN |＝k 2＋1·Δ4k ＋3＝46c ·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3 ＝23c ·(4k 2＋4)·(4k 2＋2)(4k 2＋3)2＝23c ·1－1(4k 2＋3)2<23c ，易知当k ＝0时，|MN |的最小值为463c ，从而c ＝1，因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由B 是椭圆上异于顶点的一点且直线OB ⊥l ，可知l 的斜率存在且不为0.由(1)知，|MN |＝46·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3， 而⊙D 的半径r ＝75|MN |， 又直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，得x 2B ＝12k23k 2＋4，因此|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋1·|x B | ＝12·k 2＋13k 2＋4， 由题意可知sin ∠POQ 2＝r r ＋|OB |＝11＋|OB |r，要求∠POQ 的最大值，即求|OB |r的最小值．而|OB |r＝12·k 2＋13k 2＋475·46·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3＝57·4k 2＋322·3k 2＋4·2k 2＋1 ＝57(4k 2＋3)2(12k 2＋16)·(4k 2＋2)， 令u ＝4k 2＋3， 则u >3，1u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，因此|OB |r ＝57u 2(3u ＋7)·(u －1)＝5713＋4u －7u2＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫7u －22＋25≥1，当且仅当7u ＝2，即u ＝72时等号成立，此时k ＝±24，所以sin ∠POQ 2≤12， 因此∠POQ 2≤π6，所以∠POQ 的最大值为π3.综上所述，∠POQ 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率k ＝±24. 5．(2018·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝(3－x )e x＋ax(x >0，a ∈R )．(1)当a >－34时，判断函数f (x )的单调性；(2)当f (x )有两个极值点时，若f (x )的极大值小于整数m ，求m 的最小值． 解 (1)由题意知，f ′(x )＝[－e x＋(3－x )e x]x －(3－x )e x－ax2＝(－x 2＋3x －3)e x－a x2(x >0)． 令h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a (x >0)， 则h ′(x )＝(－x 2＋x )e x，当0<x <1时，h ′(x )>0，h (x )为增函数； 当x >1时，h ′(x )<0，h (x )为减函数． 故h (x )在x ＝1处取得极大值，也为最大值． 则h (x )max ＝h (1)＝－e －a . 由于a >－34，所以h (x )max ＝h (1)＝－e －a <0， 所以f ′(x )<0，于是f (x )为(0，＋∞)上的减函数． (2)令h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a (x >0)，则h ′(x )＝(－x 2＋x )e x，当0<x <1时，h ′(x )>0，h (x )为增函数； 当x >1时，h ′(x )<0，h (x )为减函数． 当x 趋近于＋∞时，h (x )趋近于－∞. 由于f (x )有两个极值点， 所以f ′(x )＝0有两个不等实根，即h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a ＝0有两不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧h (0)<0，h (1)>0，解得－3<a <－e.可知x 1∈(0,1)，由于h (1)＝－e －a >0， h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－34e 32－a <－34e 32＋3<0，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 而f ′(x 2)＝(－x 22＋3x 2－3)2e x－ax 2＝0， 即e x 2＝a－x 22＋3x 2－3，①所以f (x )极大值＝f (x 2)＝(3－x 2)2e x＋ax 2，于是f (x 2)＝ax 2－2ax 22－3x 2＋3，②令t ＝x 2－2，则x 2＝t ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1<t <－12， 则②可变为g (t )＝t t 2＋t ＋1a ＝1t ＋1t＋1a ，可得－1<1t ＋1t＋1<－23，而－3<a <－e ， 则有g (t )＝tt 2＋t ＋1a ＝1t ＋1t＋1a <3， 下面再说明对于任意－3<a <－e ，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫1，32，f (x 2)>2.又由①得a ＝2e x(－x 22＋3x 2－3)，把它代入②得f (x 2)＝(2－x 2)2e x，所以当x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，f ′(x 2)＝(1－x 2)2e x<0恒成立，故f (x 2)＝(2－x 2) 2e x为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上的减函数，所以f (x 2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1232e >2.所以满足题意的整数m 的最小值为3. 6．在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1. (1) 设c n ＝a n2n ，求证：数列{c n }是等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式． (1)证明 ∵S n ＋1＝4a n ＋2，① ∴当n ≥2，n ∈N *时，S n ＝4a n －1＋2.② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.方法一 对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝2a n 2n －a n －12n －1，即a n ＋12n ＋1＋a n －12n －1＝2a n2n ， 即c n ＋1＋c n －1＝2c n ， ∴数列{c n }是等差数列．由S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2， 则a 2＝3a 1＋2＝5，∴c 1＝a 12＝12，c 2＝a 222＝54，故公差d ＝54－12＝34，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．方法二 ∵a n ＋1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)， 令b n ＝a n ＋1－2a n ，则{b n }是以a 2－2a 1＝4a 1＋2－a 1－2a 1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝3·2n －1，∵ c n ＝a n2n ，∴ c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n2n ＋1＝b n2n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34， c 1＝a 12＝12，∴ {c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14，a n ＝(3n －1)·2n －2是数列{a n }的通项公式． 设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2，则2S n ＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n －1)·2n －1，∴S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1＝－1－3×2n －1－12－1＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝(3n －1)·2n －2，前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1，n ∈N *.。
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题03 导数及其应用 (含解析).docx
专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1， 将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式，从而求解，属于常考题 型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ，设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立，则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时，/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时，/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄，即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时，f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时，h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时，〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知，a 的取值范围是［0,e ］. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成 立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ，函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点；当 x>0 时，y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时，y>0, y=f (x) -ax-b 在［0, +oo)上单调递增， 则y =f -ax-b 最多有一个零点，不合题意；当a+l>0,即°>-1时，令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增， 令WVO 得用［0, d+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点，在［0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图：b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当兀V0时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点；当空0时，y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准，是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点，则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x （x〉0）,得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -（x>0）切于（x0,x0+—）,x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2（x0=-A/2舍去），x o曲线y = x + -（x>o）±,点P（V2,3A/2）到直线x+y = o的距离最小，最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnr上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e, -l）（e 为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.【答案】（e, 1）【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点A（x0,y0）,则y Q =lnx0.又# =丄，X则曲线y = InX在点A处的切线为y - ％=丄（X —勺），即yin”。
(京津密卷)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练12 函数的图象与性质 文
8＋6分项练12 函数的图象与性质1．(2018·葫芦岛模拟)已知实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( )A ．tan x >tan yB ．ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1C.1x >1yD ．x 3>y 3答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y⇔x >y ，对于A ，当x ＝3π4，y ＝－3π4时，满足x >y ，但tan x >tan y 不成立．对于B ，若ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1，则等价于x 2＋1>y 2成立，当x ＝1，y ＝－2时，满足x >y ，但x 2＋1>y 2不成立．对于C ，当x ＝3，y ＝2时，满足x >y ，但1x >1y不成立．对于D ，当x >y 时，x 3>y 3恒成立．2．函数f (x )＝e x＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )答案 A解析 f (－x )＝e －x＋1(－x )(e －x－1) ＝e x＋1(－x )(1－e x )＝e x ＋1x (e x－1)＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称， 又当x →0时，f (x )→＋∞，故选A.3．已知定义域为R 的奇函数f (x )满足f (3－x )＋f (x )＝0，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(2x＋7)，则f (2 017)等于( ) A ．－2 B ．log 23 C ．3 D ．－log 25答案 D解析 因为奇函数f (x )满足f (3－x )＋f (x )＝0， 所以f (x )＝－f (3－x )＝f (x －3)，即周期为3， 所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－log 25，故选D.4．(2018·山西省运城市康杰中学模拟)已知函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，则使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B.()－∞，－3∪()3，＋∞ C.()－3，3 D ．(－∞，－1)∪()3，＋∞答案 D解析 因为f (－x )＝ln(e －x＋e x )＋(－x )2＝ln(e x＋e －x)＋x 2＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数，又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (2x )>f (x ＋3)⇔|2x |>|x ＋3|， 解得x <－1或x >3.故选D.5．(2018·贵州省凯里市第一中学模拟)定义：如果函数f (x )的导函数为f ′(x )，在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b )，使得f ′(x 1)＝f (b )－f (a )b －a ，f ′(x 2)＝f (b )－f (a )b －a，则称f (x )为区间[a ，b ]上的“双中值函数”．已知函数g (x )＝13x 3－m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，83C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 由题意可知，g (x )＝13x 3－m 2x 2，∵g ′(x )＝x 2－mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)，满足g ′(x 1)＝g ′(x 2)＝g (2)－g (0)2－0＝43－m ， ∴方程x 2－mx ＋m －43＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝m 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －43>0，0<m 2<2，m －43>0，4－2m ＋m －43>0，解得43<m <83，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，83. 6．(2018·咸阳模拟)已知奇函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，则( ) A ．函数f (x )是以2为周期的周期函数 B ．函数f (x )是以4为周期的周期函数 C ．函数f (x ＋1)是奇函数 D ．函数f (x ＋2)是偶函数 答案 B解析 根据题意，定义在R 上的函数f (x )是奇函数， 则满足f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )， 又由f (1－x )＝f (1＋x )，得f (x ＋2)＝f [1＋(x ＋1)]＝f [1－(x ＋1)] ＝f (－x )＝－f (x )， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为4.7．(2018·安徽亳州市涡阳一中模拟)若y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上无零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1∪(1，＋∞) D ．(0,1)∪()4，＋∞答案 C解析 令y ＝8x －log a x 2＝0，则8x ＝log a x 2， 设f (x )＝8x，g (x )＝log a x 2，于是要使函数y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有零点，只需函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有交点， 当a >1时，显然成立；当0<a <1时，f (x )＝8x单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝813＝2，此时，要使函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有交点， 则需g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log a 19>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2，即log a 19>2＝log a a 2，于是a 2>19，解得13<a <1，故实数a 的取值范围是a >1或13<a <1，故选C.8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，2≤x ≤3，x 2＋2x，3<x ≤4，g (x )＝ax ＋1，对∀x 1∈[－2,0]，∃x 2∈[－2,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－18∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18C ．(0,8]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 答案 D解析 由题意知问题等价于函数f (x )在[－2,0]上的值域是函数g (x )在[－2,1]上的值域的子集．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋4，2≤x ≤3，x ＋2x，3<x ≤4，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，92，由f (x ＋2)＝2f (x )，可得f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)，当x ∈[－2，0]时，x ＋4∈[2,4]．则f (x )在[－2,0]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，98. 当a >0时，g (x )∈[－2a ＋1，a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≤34，a ＋1≥98，解得a ≥18；当a ＝0时，g (x )＝1，不符合题意；当a <0时，g (x )∈[a ＋1，－2a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤34，－2a ＋1≥98，解得a ≤－14. 综上所述，可得a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 9．(2018·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，则g (f (－2))的值为________．答案 －2解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－(4－2)＝－2，g (f (－2))＝g (－2)＝f (－2)＝－2.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________． 答案 2解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个． 11．(2018·东北三省三校模拟)函数f (x )＝a x －2 015＋2 017(a >0且a ≠1)所过的定点坐标为________．答案 (2 015,2 018) 解析 当x ＝2 015时，f (2 015)＝a 2 015－2 015＋2 017＝a 0＋2 017＝2 018，∴f (x )＝ax －2 015＋2 017(a >0且a ≠1)过定点(2 015，2 018)．12．(2018·南平质检)已知实数x ，y 满足x 2－sin y ＝1，则sin y －x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1＋2解析 由x 2－sin y ＝1，可得sin y ＝x 2－1. 又sin y ∈[－1,1]，所以x 2－1∈[－1,1]， 解得－2≤x ≤ 2.sin y －x ＝x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54.结合－2≤x ≤2，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1＋2. 13．若函数f (x )对定义域内的任意x 1，x 2，当f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称函数f (x )为单纯函数，例如函数f (x )＝x 是单纯函数，但函数f (x )＝x 2不是单纯函数，下列命题：①函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，x －1，x <2是单纯函数；②当a >－2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x在(0，＋∞)上是单纯函数；③若函数f (x )为其定义域内的单纯函数，x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④若函数f (x )是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x 0使其导数f ′(x 0)＝0，其中正确的命题为________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①③解析 由题设中提供的“单纯函数”的定义可知，当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为当x ≥2时，f (x )＝log 2x 单调，当x <2时，f (x )＝x －1单调，结合f (x )的图象可知f (x )是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，f (x )＝x ＋1x ＋a ，由f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12但2≠12可知f (x )不是单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，即命题③正确；对于命题④，例如，f (x )＝x 是单纯函数且在其定义域内可导，但在定义域内不存在x 0，使f ′(x 0)＝0，故④错误，答案为①③.14．已知函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，关于x 的方程f 2(x )－af (x )－1＝0有以下结论： ①当a ≥0时，方程f 2(x )－af (x )－1＝0恒有根；②当0≤a <649时，方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，2π内有两个不等实根；③当a ≥0时，方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，6π内最多有9个不等实根；④若方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，6π内根的个数为非零偶数，则所有根之和为15π.其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ③④解析 如图所示，令f (x )＝t ，故可将题意理解为先求出t 2－at －1＝0的解，然后再令f (x )＝t 即可得出方程的根的情况，而假设t 2－at －1＝0有两解t 1，t 2，则t 1＋t 2＝a ，t 1·t 2＝－1，故t 1，t 2一正一负，显然负根与函数f (x )的图象不会产生交点，故只需讨论正根与图象的交点，不妨假设t 1为正根，故可得t 1－1t 1＝a ，对于①显然错误，只要足够大，很显然与函数图象不会有交点，故①错误．对于②，当0≤a <649时，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，83，故t 1∈[1,3)，故方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，2π内有两个或三个不等实根，故②错误．对于③，当a ≥0时，故a ∈[0，＋∞)，当a ＝0时，t 1的最小值取1.当t 1＝1时，此时在[]0，6π内有9个不等实根；当a >0时，此时在[]0，6π内无根或者3个根或者6个根，故最多9个根，③正确；对于④，当在[]0，6π内有偶数(非零)个根时，即为6个根，此时6个解关于x ＝5π2对称，故6个根的和为5π2×2×3＝15π，④正确，故正确的为③④.。
(京津密卷)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练3 复数与程序框图 理
8＋6分项练3 复数与程序框图1．(2018·南昌模拟)若实数x ，y 满足x1＋i＋y ＝2＋i(i 为虚数单位)，则x ＋y i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B 解析 因为x1＋i＋y ＝2＋i ， 所以x ＋y ＋y i ＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ， 因为x ，y 为实数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝3，解得x ＝－2，y ＝3，所以复数x ＋y i ＝－2＋3i 在复平面内对应的点为(－2,3)，位于第二象限． 2．(2018·湘潭模拟)在如图所示的复平面内，复数z ＝2＋3i i对应的点为( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D 答案 D解析 ∵z ＝2＋3i i ＝(2＋3i )(－i )－i 2＝3－2i ， ∴z 在复平面内对应点的坐标为(3，－2)， 观察图象，对应点为点D .3．(2018·南平质检)已知i 为虚数单位，复数z ＝(a －i)2，a ∈R ，若复数z 是纯虚数，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C解析 z ＝(a －i)2＝a 2－2a i －1，若复数z 是纯虚数，则a 2－1＝0，且a ≠0，所以a 2＝1. 因为z ＝－2a i ，所以|z |＝4a 2＝2. 4．(2018·潍坊模拟)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足z ＝z ，则z ∈R ；p 2：若复数z 1，z 2满足||z 1＝||z 2，则z 1＝z 2或z 1＝－z 2； p 3：若复数z 1＝z 2，则z 1·z 2∈R ；p 4：若复数z 1，z 2满足z 1＋z 2∈R ，则z 1∈R ，z 2∈R ，其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 2，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4 答案 A解析 由z ＝z ，可知复数的虚部为0，所以有z ∈R ，从而得p 1是真命题；由复数的模的几何意义，可知p 2是假命题；由z 1＝z 2，可知z 1，z 2互为共轭复数，所以p 3是真命题；复数z 1，z 2满足z 1＋z 2∈R ，只能说明两个复数的虚部互为相反数，所以p 4是假命题．5．(2018·天津河东区模拟)执行如图所示的程序框图，则S 的值为( )A ．16B ．32C ．64D ．128 答案 D解析 模拟程序的运行，可得i ＝1，S ＝1， 执行循环体，S ＝2，i ＝2，满足条件i ≤4，执行循环体，S ＝8，i ＝4， 满足条件i ≤4，执行循环体，S ＝128，i ＝8，此时，不满足条件i ≤4，退出循环，输出S 的值为128.6．(2018·东北师大附中模拟)执行如图所示的程序框图，若输出结果为15，则判断框中应填入的条件M为( )A．k≥16 B．k<8 C．k<16 D．k≥8答案 A解析根据题中所给的程序框图，可以确定该题要求的是S＝1＋2＋4＋8＋…，对应的正好是以1为首项，以2为公比的等比数列，该数列的前4项和正好是15，结合题中所给的条件，可知选A.7．(2018·武汉调研)欧拉公式e i x＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，它将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，若将πi2e表示的复数记为z，则z·(1＋2i)的值为( )A．－2＋i B．－2－i C．2＋i D．2－i 答案 A解析由题意得z＝πi2e＝cos π2＋isinπ2＝i，所以z(1＋2i)＝i(1＋2i)＝－2＋i.8．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若a＝32，b＝12，则输出的n等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 记执行第n 次循环时，a 的值为a n ，则有a n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32n；记执行第n 次循环时，b 的值为b n ，则有b n ＝12×2n.令32⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ≤12×2n，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ≤38，故n ≥4.所以输出的n 等于4.9．(2018·三明质检)若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z ＝________. 答案 －125＋725i解析 由题意可得z ＝1－i 3＋4i ＝(1－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－1－7i25，所以z ＝－125＋725i.10．(2018·江西省景德镇市第一中学等盟校联考)运行如图所示程序框图，若输入的t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3，则输出s 的取值范围为________．答案 [1－3，8]解析 由程序框图可知，该程序表示分段函数，22212cos ,1221,13,2t t t t t S t -π⎧+π-⎪⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩≤＜，≤≤ 当－12≤t <1时，解析式化为s ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt ＋π6＋1，πt ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，7π6，s ∈[]1－3，3，当1≤t ≤3时，－3≤2t －t 2≤1，s ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，8，综上所述，s 的取值范围是[]1－3，8.11．若复数z 满足i·z ＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为________；|z |＝________. 答案 313解析 ∵i·z ＝－3＋2i ，∴z ＝－3＋2i i ＝()－3＋2i i i 2＝－3i －2－1＝2＋3i ， ∴复数z 的虚部为3，|z |＝22＋32＝13. 12．(2018·泉州质检)在复平面内复数z ＝a i1＋i对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 在复平面内复数z ＝a i 1＋i ＝a i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12a ＋12a i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a 位于第三象限， ∴12a <0，解得a <0. 则实数a 的取值范围是(－∞，0)．13．(2018·大连模拟)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为________．答案 －12解析 运行程序如下：1≤2 018，s ＝－3，n ＝2；2≤2 018，s ＝－12，n ＝3；3≤2 018，s＝13，n ＝4；4≤2 018，s ＝2，n ＝5，所以s 的周期为4， 因为2 018除以4的余数为2， 所以输出s ＝－12.14．(2018·南平质检)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案 1 009解析 执行程序框图：S ＝0＋1·sin π2＝0＋1，i ＝3,3≤2 018； S ＝0＋1＋3·sin3π2＝0＋1－3，i ＝5,5≤2 018； S ＝0＋1－3＋5·sin5π2＝0＋1－3＋5，i ＝7,7≤2 018；……S ＝0＋1－3＋…＋2 017·sin2 017π2＝0＋1－3＋…＋2 017，i ＝2 019,2 019>2 018. 输出S ＝0＋1－3＋5－7…－2 015＋2 017＝()0＋1＋()－3＋5＋()－7＋9＋…＋()－2 015＋2 017＝1＋2＋2＋…＋2＝1＋504×2＝1 009.。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)理
(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2018·洛阳模拟)已知抛物线C ：y ＝－x 2，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为－12，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间(不包括点A ，点B )，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 的斜率k 的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．解 (1)由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94，设P (x P ，－x 2P )，－12<x P <32，所以k ＝－x 2P ＋14x P ＋12 ＝－x P ＋12∈(－1,1)，故直线AP 的斜率k 的取值范围是(－1,1)． (2)直线AP ：y ＝kx ＋12k －14，直线BQ ：x ＋ky ＋94k －32＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12k －14，x ＋ky ＋94k －32＝0，可知，点Q 的横坐标为x Q ＝3－4k －k 22k 2＋2， |PQ |＝1＋k 2(x Q －x P )＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k －k 22k 2＋2＋k －12＝(k －1)2(1＋k )1＋k2， |PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x P ＋12＝1＋k 2(1－k )，所以|PA |·|PQ |＝(1－k )3(1＋k )， 令f (x )＝(1－x )3(1＋x )，－1<x <1，则f ′(x )＝(1－x )2(－2－4x )＝－2(1－x )2(2x ＋1)，当－1<x <－12时，f ′(x )>0，当－12<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1上单调递减． 故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2716，即|PA |·|PQ |的最大值为2716.2．(2018·葫芦岛模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，离心率为12，圆O ：x 2＋y 2＝c 2，A 1，A 2是椭圆的左、右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，△A 1AB 面积的最大值为2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，求|PQ |的取值范围． 解 (1)设B 点到x 轴距离为h ， 则1A AB S＝12A OBS＝2·12·|A 1O |·h ＝a ·h ， 易知当线段AB 在y 轴时，h max ＝|BO |＝c ，∴1A ABS ＝a ·c ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，求得|PQ |＝3；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， ∵直线为圆的切线， ∴d ＝|m |1＋k2＝1，∴m 2＝k 2＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 判别式Δ＝48(3k 2＋2)>0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3，x 1·x 2＝4m 2－124k 2＋3，∴弦长|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝43·1＋k 2·3k 2＋24k 2＋3， 令t ＝4k 2＋3≥3， 则|PQ |＝3·－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋2t ＋3∈⎝⎛⎦⎥⎤3，463. 综上，|PQ |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，463.3．(2018·江西省重点中学协作体联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴为MN ，点P (4,0)满足PM →·PN →＝15. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线l 与椭圆交于点A ，B ，是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)PM →·PN →＝(－4，b )·(－4，－b )＝16－b 2＝15， 所以b ＝1，又c a ＝a 2－b 2a 2＝32，所以a 2＝4， 从而椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l 不为x 轴时，设l ：x ＝my ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立l 与C 的方程可得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0， 所以y 1＋y 2＝－8m m 2＋4，y 1y 2＝12m 2＋4， OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2] ＝(1＋λ)(1＋m 2)y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16 ＝(12λ－20)m 2＋12(λ＋1)m 2＋4＋16.因为OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值，所以12λ－201＝12(1＋λ)4，解得λ＝239，此时定值为803.当l 为x 轴时，A (－2,0)，B (2,0)． OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－4＋239·12＝803.综上，存在λ＝239，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值803.4．(2018·宿州质检)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32，以椭圆C 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若经过点P (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在直线l 0：x ＝x 0(x 0>2)，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|PA ||PB |恒成立，若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵c a ＝32，∴c ＝32a ， 又∵4a 2＋b 2＝45，∴a 2＋b 2＝5，由b 2＝a 2－c 2＝14a 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 0为任意的x ＝x 0(x 0>2)都满足要求； 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(不妨令x 1>1>x 2)， 则d A ＝x 0－x 1，d B ＝x 0－x 2，|PA |＝1＋k 2(x 1－1)，|PB |＝1＋k 2(1－x 2)，∵d A d B ＝|PA ||PB |， ∴x 0－x 1x 0－x 2＝1＋k 2(x 1－1)1＋k 2(1－x 2) ＝x 1－11－x 2，解得x 0＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)(x 1＋x 2)－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，x 0＝8k 2－81＋4k 2－8k 21＋4k 28k21＋4k2－2＝4. 综上可知，存在直线l 0：x ＝4，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|PA ||PB |恒成立．5．(2018·四省大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点F (1,0)，过直线l ：x ＝2左侧的动点P 作PH ⊥l 于点H ，∠HPF 的角平分线交x 轴于点M ，且|PH |＝2|MF |，记动点P 的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)过点F 作直线m 交曲线Γ于A ，B 两点，点C 在l 上，且BC ∥x 轴，试问：直线AC 是否恒过定点？请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，由题意可知|MF |＝|PF |， 所以|PF ||PH |＝|MF ||PH |＝22，即(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，化简整理得x 22＋y 2＝1，即曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知可得直线m 的斜率不为0， ∴可设直线m 的方程为x ＝ny ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋1，x 22＋y 2＝1消去x ，得(n 2＋2)y 2＋2ny －1＝0，Δ>0恒成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2n n 2＋2，y 1y 2＝－1n 2＋2，x 1＝ny 1＋1， ∴直线AC 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－2， 直线AC 的方程为y －y 2＝y 1－y 2x 1－2(x －2)， 即y ＝y 1－y 2x 1－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋y 2(x 1－2)y 1－y 2， 又y 2(x 1－2)y 1－y 2＝y 2(ny 1－1)－2nn 2＋2－2y 2＝y 2＋n n 2＋22⎝⎛⎭⎪⎫n n 2＋2＋y 2＝12， ∴直线AC 的方程为y ＝y 1－y 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2＋12＝y 1－y 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，∴直线AC 过定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.。
北京市2019届高考考前提分冲刺卷(三)理科数学试题(含答案)
北京市2019届高考考前提分冲刺卷(三)理科数学试题本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.设复数z 满足，则z =（ ）A. B. C. D.2.设全集为实数集R ，集合{}2A |4x x =<，{}B |31xx =>，则=B)C (A R （ ）A ．{}|20x x -≤≤B ．{}|20x x -<≤C ．{}|1x x <D ．{}|0x x ≤3.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ）A. B. C. D.4.已知函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数)(x f y =的图象向左平移163π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数)(x f y =的图象（ ）A ．关于点)0,16(π-对称 B ．关于点)0,16(π对称C ．关于直线16π=x 对称 D ．关于直线4π-=x 对称5.定义“有增有减”数列{a n }如下：∃t ∈N *，满足a t ＜a t +1，且∃s ∈N *，满足a S ＞a S +1．已知“有增有减”数列{a n }共4项，若a i ∈{x ，y ，z }（i =1，2，3，4），且x ＜y ＜z ，则数列{a n }共有（ ）A. 64个B. 57个C. 56个D. 54个6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）.A. 2+B. 4C. 2+D. 5俯视图侧（左）视图正（主）视图7.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->=0,20190,ln )(x x x x x e x f ，（其中e 为自然对数的底数），函数2)()12()()(2+--=x f m x f x g ，若函数)(x g 恰有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.2>m B ． 2≥m C ． 221+>m D ．221221+>-<m m 或 8.已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为62，球的半径为5,则正四面体表面与球面的交线的总长度为（ ）A. π4B.π28C.π212D.π12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练13 导数 文
8＋6分项练13 导 数1．(2018·宿州模拟)已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)的导函数为f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A答案 D解析 绘制函数f (x )＝log a x ()0<a <1的图象如图所示，且M ()a ，log a a ，N ()a ＋1，log a (a ＋1)，由题意可知A ＝f ′(a )为函数在点M 处切线的斜率，C ＝f ′(a ＋1)为函数在点N 处切线的斜率，B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a为直线MN 的斜率，由数形结合可得C >B >A . 2．已知函数f (x )＝f ′(1)ee x＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.(]－∞，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 答案 A解析 对函数求导可得，f ′(x )＝f ′(1)e·e x ＋f (0)2×2x －1，∴f ′(1)＝f ′(1)＋f (0)－1， ∴f (0)＝f ′(1)e＝1，∴f ′(1)＝e ，f (x )＝e x＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x＋1>0， ∴函数f ′(x )单调递增，而f ′(0)＝0， ∴当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 故f (x )min ＝f (0)＝1，由存在性的条件可得关于实数n 的不等式2n 2－n ≥1， 解得n ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 3．若点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －52的距离的最小值为( )A. 2B.332C.322D. 5答案 C解析 点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，所以当曲线在点P 的切线与直线y ＝x －52平行时，点P 到直线y ＝x －52的距离最小，直线y ＝x －52的斜率为1，由y ′＝3x －2x ＝1，解得x ＝1或x ＝－23(舍)．所以曲线与直线的切点为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.点P 到直线y ＝x －52的距离最小值是⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－32－5212＋12＝322.故选C.4．(2018·咸阳模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x()2x －2＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，则( )A ．f (x )＝e x(x ＋1) B ．f (x )＝e x(x －1) C ．f (x )＝e x(x ＋1)2D ．f (x )＝e x(x －1)2答案 D 解析 令G (x )＝f (x )e x，则G ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex＝2x －2，可设G (x )＝x 2－2x ＋c ， ∵G (0)＝f (0)＝1，∴c ＝1. ∴f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x ＝e x (x －1)2.5．(2018·安徽省江南十校联考)y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5) 答案 C 解析 令g (x )＝f (x )x －2，则g ′(x )＝(x －2)f ′(x )－f (x )(x －2)2， 因为当x ≠2时，(x －2)[f (x )＋(2－x )f ′(x )]>0， 所以当x >2时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(2，＋∞)上单调递减， 则g (5)>g (3)>g (4)， 即f (5)5－2>f (3)3－2>f (4)4－2， 即(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)．6．(2018·辽宁省葫芦岛市普通高中模拟)已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，＋∞B.()－2，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3－5π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5π6，＋∞答案 D解析 ∵函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，∴f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，由f ′(x )＝0，得x ＝π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2 时，f ′(x )<0， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3＋λ，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ，∵在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ>0，① f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，② 联立①②，得λ>3－5π6. 7．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －ln x ，x >0，ax ＋ln (－x )，x <0，若f (x )有两个极值点x 1，x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，若0<k ≤2e，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，2 C ．(e,2e] D.⎝⎛⎦⎥⎤2，2＋1e 答案 A解析 当x >0时，函数f (x )＝ax －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，由函数f (x )为奇函数且有两个极值点得a >0， 不妨设x 2＝－x 1>0， 则有x 2＝1a，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，1＋ln a ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，－(1＋ln a )，由直线的斜率公式可得k ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝a (1＋ln a )，a >0，又k >0,1＋ln a >0，所以a >1e ，设h (a )＝a (1＋ln a )，则当a >1e时，h ′(a )＝2＋ln a ＝1＋(1＋ln a )>0，所以h (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0，h (e)＝2e,0<k ≤2e，得h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <h (a )≤h (e)， 所以1e<a ≤e.8．(2018·四川省成都市第七中学模拟)设函数f (x )＝x 2－x ln x ＋2，若存在区间[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，9＋2ln 24 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 24 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 答案 C解析 由题意得f ′(x )＝2x －ln x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝2－1x(x >0)．当x ≥12时，g ′(x )＝2－1x≥0，所以函数g (x )＝f ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )≥f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 12>0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，因为[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 所以f (x )在[a ，b ]上单调递增，因为f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝k (a ＋2)，f (b )＝k (b ＋2)，所以方程f (x )＝k (x ＋2)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有两解a ，b ，作出y ＝f (x )与直线y ＝k (x ＋2)的函数图象，则两图象有两个交点，若直线y ＝k (x ＋2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94＋12ln 2， 则k ＝9＋2ln 210，若直线y ＝k (x ＋2)与y ＝f (x )的图象相切， 设切点为(x 0，y 0)则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝k (x 0＋2)，y 0＝x 20－x 0ln x 0＋2，2x 0－ln x 0－1＝k ，解得k ＝1，数形结合可知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210. 9．(2018·昆明模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是________． 答案 －e解析 因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )， 所以f ′(x )＝e x (x 2－2x )＋e x(2x －2)－a x＝e x (x 2－2)－a x(x >0)．因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝e x (x 2－2)－a x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a x≤e x (x 2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，亦即a ≤e x (x 3－2x )在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝e x(x 3－2x )，x >0，则h ′(x )＝e x (x 3－2x )＋e x (3x 2－2)＝e x (x 3－2x ＋3x 2－2)＝e x (x －1)(x 2＋4x ＋2)，x >0， 因为x ∈(0，＋∞)，所以x 2＋4x ＋2>0. 因为e x>0，令h ′(x )>0，可得x >1， 令h ′(x )<0，可得0<x <1.所以函数h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减． 所以h (x )min ＝h (1)＝e 1(1－2)＝－e. 所以a ≤－e.所以a 的最大值是－e.10．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ 解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t＝am 2－e tm －t，所以m ＝2t －2，a ＝e t 4(t －1)(t >1)，令f (t )＝e t 4(t －1)(t >1)，则f ′(t )＝e t(t －2)4(t －1)2，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e 24，所以a ≥e24.11．(2018·河南省豫南九校联考)若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________. 答案 6解析 由题意得f ′(x )＝3f ′(1)－4x ， ∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2， ∴f ′(x )＝6－4x ， ∴f ′(0)＝6－4×0＝6.12．(2018·烟台模拟)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝ln x ＋a 相切，则实数a 的值是________． 答案 2＋ln 2解析 由y ＝ln x ＋a 求导得y ′＝1x，设切点是(x 0，ln x 0＋a )， 则y ′＝1x 0＝2，故x 0＝12，ln x 0＝－ln 2，切点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2＋a ，代入直线方程得 2×12＋ln 2－a ＋1＝0，解得a ＝2＋ln 2.13．(2018·峨眉山市第七教育发展联盟模拟)对于函数y ＝f (x )，若其定义域内存在两个不同的实数x 1，x 2，使得x i f (x i )＝1(i ＝1,2)成立，则称函数f (x )具有性质P ，若函数f (x )＝exa具有性质P ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0 解析 若函数f (x )＝exa具有性质P ，则xf (x )＝1 有两个不等实数根， 代入得xf (x )＝x ·exa＝1，即a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根． 令g (x )＝x e x，则g ′(x )＝x e x＋e x＝e x(1＋x )，令g ′(x )＝0， 得x ＝－1，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表所示：根据表格，画出如图所示的函数图象由图象可知，a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根， 即y ＝a 与g (x )的图象有两个不同交点， 由极小值g (－1)＝－1e可知，当有两个交点时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0. 14．已知函数f (x )＝－x 2－6x －3，g (x )＝e x＋e xe x，实数m ，n 满足m <n <0，若∀x 1∈[m ，n ]，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则n －m 的最大值为________．答案 4解析 因为g (x )＝e x＋e x e x ，所以g ′(x )＝e x(x －1)e x 2，分母恒大于0，且e x>0，由题意讨论x >0即可，则当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝2.f (x )＝－(x ＋3)2＋6≤6，作函数y ＝f (x )的图象如图所示，当f (x )＝2时，方程－(x ＋3)2＋6＝2的两根分别为－5和－1，则n －m 的最大值为－1－(－5)＝4.。
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(三)函数与导数(1)1．(2018·咸阳模拟)已知函数f (x )＝a (x ＋1)ln x －x ＋1(a ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥12时，求证：对任意的x ≥1，f (x )≥0恒成立．(1)解 由f (x )＝2(x ＋1)ln x －x ＋1，得f ′(x )＝2ln x ＋2x ＋1，切点为(1,0)，斜率为f ′(1)＝3，所求切线方程为y ＝3(x －1)，即3x －y －3＝0.(2)证明 当a ＝12时，f (x )＝12(x ＋1)ln x －x ＋1(x ≥1)，欲证：f (x )≥0，注意到f (1)＝0，只要f (x )≥f (1)即可，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ＋1－1(x ≥1)，令g (x )＝ln x ＋1x ＋1(x ≥1)，则g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0(x ≥1)，知g (x )在[1，＋∞)上单调递增，有g (x )≥g (1)＝2，所以f ′(x )≥2a －1≥0⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≥12，可知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (1)＝0，综上，当a ≥12时，对任意的x ≥1，f (x )≥0恒成立．2．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2＋ax (a ∈R )，g (x )＝e x ＋32x 2.(1)讨论函数f (x )极值点的个数；(2)若对∀x >0，不等式f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1x ＋x ＋a ＝x 2＋ax ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，即x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4，①当a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即f ′(x )≥0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点，②当a 2－4>0，即a <－2或a >2时，若a <－2，设方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－a >0，x 1x 2＝1>0，故x 1>0，x 2>0，此时x ∈(0，x 1)，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(x 1，x 2)，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ∈(x 2，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故x 1，x 2分别为f (x )的极大值点和极小值点，因此a <－2时，f (x )有两个极值点；若a >2，设方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－a <0，x 1x 2＝1>0，故x 1<0，x 2<0，此时f (x )无极值点，综上，当－2≤a ≤2时，f (x )无极值点，当a <－2时，f (x )有两个极值点，当a ≥－2时，f (x )无极值点．(2)f (x )≤g (x )等价于ln x ＋12x 2＋ax ≤e x ＋32x 2，即e x －ln x ＋x 2≥ax ，因此a ≤e x －ln x ＋x2x 对∀x >0恒成立．设h (x )＝e x －ln x ＋x2x ，h ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫e x －1x ＋2x x －e x ＋ln x －x 2x 2＝e x (x －1)＋ln x ＋x 2－1x 2，当x ∈(0,1)时，e x (x －1)＋ln x ＋x 2－1<0，即h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，e x (x －1)＋ln x ＋x 2－1>0，即h ′(x )>0，h (x )单调递增，因此x ＝1为h (x )的极小值点，即h (x )≥h (1)＝e ＋1，故a ≤e＋1.3．(2018·亳州模拟)已知函数f (x )＝a ＋ln x x 在x ＝1处取得极值．(1)求a 的值，并讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥m1＋x 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意知f ′(x )＝1－a －ln xx 2，又f ′(1)＝1－a ＝0，即a ＝1，∴ f ′(x )＝－ln xx 2(x >0)，令f ′(x )>0，得0<x <1；令f ′(x )<0，得x >1，∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)依题意知，当x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥m1＋x 恒成立，即m ≤(1＋x )(1＋ln x )x 恒成立，令g (x )＝(1＋x )(1＋ln x )x (x ≥1)，只需g (x )min ≥m 即可，又g ′(x )＝x －ln xx 2，令h (x )＝x －ln x ，h ′(x )＝1－1x ≥0(x ≥1)，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴ h (x )≥h (1)＝1>0，∴ g ′(x )>0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，故m ≤2.4．(2018·福建省百校模拟)已知函数f (x )＝x －1＋a e x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋1e .(1)解 f ′(x )＝1＋a e x ，当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在R 上单调递增．当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，令f ′(x )<0，得x >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(2)证明 方法一 设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3， 由g ′(x )<0得x >ln 3；由g ′(x )>0得x <ln 3，故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0，从而得g (x )＝f (x )＋2x <0，∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0，即x 1－2x 2>－4＋1e .方法二 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴x 1＝12e e x x ＋－x 2－3，∴x 1－2x 2＝12e e x x ＋－3x 2－3，设g (x )＝e x －3x ，则g ′(x )＝e x －3，由g ′(x )<0得x <ln 3，由g ′(x )>0得x >ln 3，故g (x )min ＝g (ln 3)＝3－3ln 3.∵－1<x 1<0，x 2>0，∴x 1－2x 2>e －1＋3－3ln 3－3＝1e －3ln 3，∵3ln 3＝ln 27<4，∴x 1－2x 2>－4＋1e .5．(2018·江南十校模拟)已知函数f (x )＝a ＋ln x x ，g (x )＝mx .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝0时，f (x )≤g (x )恒成立，求实数m 的取值范围；(3)当a ＝1时，求证：当x >1时，(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1e xf (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e .(1)解 f (x )＝a ＋ln x x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－(a ＋ln x )x 2＝1－ln x －ax 2.由f ′(x )>0得1－ln x －a >0，即ln x <1－a ，解得0<x <e 1－a ，∴f (x )在(0，e 1－a )上单调递增，在(e 1－a ，＋∞)上单调递减．(2)解 a ＝0，f (x )＝ln x x ，∴f (x )≤g (x )⇔ln x x ≤mx ⇔m ≥ln xx 2，令u (x )＝ln x x 2，∴u ′(x )＝1－2ln xx 3，由u ′(x )>0得0<x <e ，∴u (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴u (x )max ＝u (e)＝ln e e ＝12e ，∴m ≥12e .(3)证明 (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1e xf (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e ，等价于1e ＋1·(x ＋1)(ln x ＋1)x >2ex －1x e x ＋1.令p (x )＝(x ＋1)(ln x ＋1)x ，则p ′(x )＝x －ln xx 2，令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∵x >1，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增， φ(x )>φ(1)＝1>0，p ′(x )>0，∴p (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴p (x )>p (1)＝2，∴p (x )e ＋1>2e ＋1，令h (x )＝2e x －1x e x ＋1，则h ′(x )＝2e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2，∵x >1，∴1－e x <0，∴h ′(x )<0，h (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴当x >1时，h (x )<h (1)＝2e ＋1， ∴p (x )e ＋1>2e ＋1>h (x )， 即(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1e xf (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e ，x >1.。