求体积几种求法及割补法

-BCE=VC -PEB=
由PB=PD=AB=AD=2知，△ABD≌△PBD,因为∠BAD=60°，
1 1 VC PAB VB APC , 2 2
所以 PO AO 3,AC 2 3，BO=1,又 PA 6, PO2+AO2=PA2，即
1 PO⊥AC,故 S POgAC 3， V APC
解 如图，取CF的中点P，过P作PQ∥CB交BE于Q，连接PD， QD，AD∥CP，且AD＝CP. 四边形ACPD为平行四边形，∴AC∥PD. ∴平面PDQ∥平面ABC，该几何体可分割成三棱柱PDQCAB和四 棱锥DPQEF， 1 2 1 1＋2×2 ∴V＝V三棱柱PDQCAB＋VDPQEF＝ ×2 sin 60° ×2＋ × × 3 2 3 2 ＝3 3.
`
a 2 b 2 25 a 3 2 1 2 a c 34 b 4 VP ABC 3 4 5 4 3 4 5 20 6 b 2 c 2 41 c 5 所以三棱锥P-ABC的体积为20（立方单位）。
6.
(1)证明:PC⊥BD.
(2)若E为PA的中点,
求三棱锥P-BCE的体积.
【解析】(1)连接AC,交BD于O点，连接PO，因为底面ABCD是菱 形，所以AC⊥BD,BO=DO,由PB=PD知，PO⊥BD,再由PO∩AC=O，
知BD⊥平面APC，又PC⊂平面APC，因此PC⊥BD.
(2)因为E是PA的中点，所以VP
p
B1 A1 N
p
M
D1
C1
A
D C
A B
D C
B
3、如图：在正方体 AC1 中，E 为 B1C1 的中点， 求：异面直线 A1C 和 BE 所成的角.
A1 D1 E A B C1 B1
E1
F
D
C
解:
如图，补一个正方体，取 C1F 的中点 E1，则 BE∥CE1 ∴∠A1CE1（或其补角）为 A1C与 BE 所成的角. 13 a A1C 3a CE1 5 a A1E1 2 可得： 2 在△A1CE1中，有余弦定理得： 2 2 2 CE 1 A1C A1E1 cosA1CE1 15 0 2 CE1 A1C 15 15 ∴ A1C和 BE 所成的角即为∠A1CE1，其值为 arccos 15
正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABE,故BB1为 高,BB1=2, = 因为CD∥AB, 所以S△ABE= 故 S
=
△ABC
.
.
BB1·S△ABE=
【通关题组】 1.(2013·安徽高考)如图,四棱锥P-ABCD的 底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°. 已知PB=PD=2,PA=
.(
(1)证明:DE⊥BC. (2)求三棱锥D-ABE的体积.
(1)取 BC 的中点为 F,连接 AF,EF,BD, 因为△BCE 是正三角形,所以 EF⊥BC, 又平面 ABC⊥平面 BCE,且交线为 BC,所以 EF⊥平面 ABC, 又 AD⊥平面 ABC,所以 AD∥EF,所以 D,A,F,E 共面, 又易知在正三角形 ABC 中,AF⊥BC,AF∩EF=F, 所以 BC⊥平面 DAFE,又 DE⊂平面 DAFE,故 DE⊥BC.
• 求几何体的体积问题，可以 多角度、全方位地考虑问题，常采用 的方法有“换底法”、“分割法”、 “补体法”等，尤其是“等积转化” 的数学思想方法应高度重视．
. (2014·惠州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱
长为2,E是棱CD的中点,P是棱AA1的中点.
求三棱锥B-AB1E的体积
.如图所示,已知三
棱柱ABCA1B1C1的所有棱 长均为1,且AA1⊥ 底面ABC,则三棱 锥B1-ABC1的体 积为( ) A. B. C. D. 【解析】选A.在 △ABC中,BC边上 的高为 ,即棱锥 A-BB1C1的高 为 ,又=,所以.
VB1 ABC1＝VABB1C1
2015·唐山模拟)如图所示,△ABC和△BCE是边长为2 的正三角形,且平面ABC ⊥平面BCE,AD⊥平面ABC,AD=2
arctan
15 5
A1
D
C1 B1 C B
A1 N
B1
C1 M C
A
A
B
注： （1）中利用面面垂直的性质找线面成角。 （2）中射影面积公式的应用：S△AB1M•cosα =S△ABC.
【例 1－3】 (2014·南阳联考)如图所示，ABCD 是正方形，PA ⊥平面 ABCD，E，F 分别是 AC，PC 的中点，PA＝2，AB＝1， 求三棱锥 C－PED 的体积．
F
1 V 2 三棱柱
F D A D A
B
C
B
C
例1. 如图: 斜三棱柱的一个侧面 ABB1A1的面积为 S， 侧棱 CC1 到这个侧面的距离为 h . 求：斜三棱柱的体积.
A1 C1 C1 B1 A1 O C
O
A
B1
B
C
B
A
如图所示：将左图补成一个斜四棱柱（平行六面体） 1 则 V四棱柱＝ S×h ∴ V三棱柱 ＝ 2 ×h
由(1)知BO⊥平面APCVB APC BOgSVAPC . 2 2 3 2
如图,菱形 ABCD 的边长为 6,∠BAD=60°,AC∩
BD=O.将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥,点 M
是棱 BC 的中点,DM=3. (1)求证:平面 ABC⊥平面 MDO; (2)求三棱锥 M—ABD 的体积.
A D C N A1 B1 M D1 C1 B1 A1 B N A C D
B
M D1 C1
解(简):
VA－DMN=VM － ADN
2 a a 1 底面积： SADN a 2 2 4 h=a 高：为点 M 到平面 ADN的距离 2 a 1 ∴V四棱锥=2VA－ DMN= a 1 a3 3 4 12
48 7
如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平 面所截得到的几何体,截面为ABC,已知 A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°, AA1=4,BB1=3,CC1=2,求: (1)该几何体的体积. (2)截面ABC的面积.
【解析】(1)过 C 作平行于 A1B1C1 的截面 A2B2C,交 AA1,BB1 分别于 A2,B2
∴VA－DMN
1 a3 6
例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求D1到截面C1BD的距离。
D1 A1 B1 C1
提示：利用
VD CBD
1

1
=
V B C D D
1 1
求解。
D
A B
C
KEY：
3 a 3
注意：等体积法求点面距离。
例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中， （1）BC1与侧面 ABB1A1所成的角为__________； （2）如果M为CC1的中点，则截面AB1M与底面所成 的角的大小为__________。 45o
P B1
P
A D B C B
A C
D
解：
如图所示、将左图补成一个正方体. ∴平面 ABP 即为平面 ABB1P 所在平面 ∴平面 PDC 即为平面 PDCB1 所在平面
∴所求二面角即为正方体的对角面 PDCB1与侧面 ABB1P所成角 即：∠CB1B=
4
2、如图：正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 3。 求：侧面 PAB 与 PCD 所成的二面角.
例5、已知三棱锥P-ABC，PA=BC=5，PB=AC = PC=AB=
，
34
41 ，求三棱锥的体积。
P
A` C P
A
B`
C A B P` B C`
提示：分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图， 则V P-ABC=V长方体-4V P ABP 。设长方体长宽高分别为a、b、c，则有：
例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。
S E
A F B
提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为 等边三角形，边长为 6 ，SASB。取SA中 点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得： SC 平面ABE。利用： VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE C 得三棱锥体积。
A. C. B. D.
a2 h =
S△ VHB= a·h
S△ VHB·a
a·h=
S△ VHB=
×
=
如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC， 且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5. 求：此几何体的体积？
分析：
用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。
E E
∴V几何体=
s
例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD--A1B1C1D1中取 点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体， 求：此多面体的体积.
A1
D1
B1
C1
A D B
C
例4. 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面ABCD， 如果AB=PA。 求：平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角的大小.
N D A B C
F M
∴ V几何体=V三棱柱+V四棱锥
例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD--A1B1C1D1中取 点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体， 求：此多面体的体积. 解二：用分割法
A1 D1
B1
C1
V正四面体 V正方体 4V三棱锥
D
A
B
a3 4 1 a3 6 1 a3 3