例谈-割补法-求空间几何体体积论文
例谈割补法求空间几何体的体积
例谈"割补法"求空间几何体的体积作者：蓝诚来源：《读写算》2012年第21期【摘要】高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂。
如果能利用"割"与"补"的方法来解决，就可以把一些不易直接计算的几何体"分割"成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，化繁为简，使思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。
本文就通过具体的实例来谈谈如何利用"割补法"解决此类难题。
【关键词】分割法等体积变换底面法补形法高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法，就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂的几何体。
如果能利用"割补法"来解决，把一些不易直接计算的几何体分解成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，使复杂多变的问题变得思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。
下面就谈谈"割补法"解决难题具体做法。
一、分割法：就是将一个难于直接计算的几何体分割成几个易于计算的几何体，分别求出它们的体积，再将加，便得所求几何体的体积。
例1 如图，在三棱锥A-BCD中，若相对棱AB⊥CD，且AB=4，CD=3，EF是这两条异面直线AB、CD的公垂线，且EF=6，求该三棱锥A-BCD的体积.分析：本题所给的条件，如果直接从正面利用公式直接去求是没有办法的，但是从EF是这两条异面直线AB、CD的公垂线出发，易知AB⊥EF，AB⊥CD，EF∩CD=F，所以知道AB⊥面ECD，这样我们就以⊿DCE为底面，高分别是AE、BE的两个小的三棱锥A-DCE和三棱锥B-DCE来计算就行，于是得下面的解答。
立体几何中的“割”与“补”
立体几何中的“割”与“补”作者：郑晓华来源：《新课程学习·中》2015年第04期在解决有些立体几何问题时，将图形进行适当的“割”与“补”，使之变成我们熟悉的简单几何体，从而获得新的解题途径，这也是解决立体几何问题的基本思想方法之一。
例一：求证棱长为a的正四面体内任意一点到各面距离之和为一常数a。
证明：用分割的思想，如图1，任取正四面体内一点E，连接EA，EB，EC，ED.可以将正四面体A-BCD分割成四个小四面体E-ABC，E-ACD，E-ABD，E-BCD，并且分别设它们的高为h1，h2，h3，h4.易知，h1，h2，h3，h4就是E点到各面的距离则VA-BCD=VE-ABC+VE-ACD+VE-ABD+VE-BCD即S△BCD·h=S△ABC·h1+S△ACD·h2+S△ABD·h3+S△BCD·h4而正四面体的每个面都是全等的三角形所以有S△BCD·h=S△BCD·（h1+h2+h3+h4），即h1+h2+h3+h4=h=a例二：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1 的中点，求直线EF和BC1所成的角。
解：本题考查异面直线所成的角。
如图2，将其补成正方体，连接AB1、AD1，则AB1∥EF、AD1∥BC，则∠B1AD1就是异面直线EF和BC1所成的角，而△AB1D1是正三角形，所以∠B1AD1=60°。
例三：在正四面体ABCD中，AB⊥AC，BC⊥CD，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，BC=6，∠DBC=30°，求AC和BD所成角的余弦。
解：如图3，过B作BE∥CD且BE=CD，将三棱锥A-BCD补成一个四棱锥A-BECD，则∠ACE即为AC与BD所成的角。
由题设条件，得AC=3，CE=BD=4AE2=AD2=AF2+DF2=AF2+CF2+CD2=30所以cos∠ACE==例四：求棱长为a的正四面体的外接球半径。
用割补法求几何体的体积
用割补法求几何体的体积――培养学生的空间想象能力内容提要：本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。
关键字：割补法空间想象能力在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。
特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。
那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。
空间想象能力的提高必定AB要经过实际的训练，途径也有很多种。
本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。
由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。
针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:① 几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。
② 几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。
一、用割补法求锥体的体积例题一：已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。
【思路一】作BC 的中点D ，连接PD 、过P 作AD PH ⊥，垂足H易证PH 即为三棱锥ABC P -的高， 由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-31即得 三棱锥ABC P -的体积。
学生论文割补法运用
割补法解题思想的运用初一（2）班 柯登明数学就像风，无处不有，充塞四虚。
小学老师有向我介绍过割补法和分割法，我对她也十分感兴趣。
割补法和分割法用于几何题之中。
割补法就是把图形切开，把切下来的那部分移动到其他位置，使题目便于解答；分割法就是同样把图形切开，但是并不移动，使题目便于解答。
其实，在现实生活中，许多东西都是有图案的，一些不规则的图案，就是的我们深思熟虑。
最近又遇到了诸如此类的东西，我也稍有回忆——如果我问你长方形的面积该怎样计算时，恐怕你会很干脆地说出“用‘长方形面积＝长×宽’求出来呀。
”没错，你回答得很好。
好，下面请看这道题：某学校有一个长方形操场，它的长和宽相加的和是200米，现在学校要扩建这个操场，使得它的长和宽都增加20米。
那么，这个操场的面积将会增加多少平方米？初看这道题，你会觉得这道题不太难。
可是，当你提笔解答时，就会感觉有点不对劲：“要求长方形的面积，必须知道它的长和宽是多少，而现在知道的是长与宽的和，这该怎么做呢？”别急，遇到困难时，好好动脑筋想一想，准能想出好办法的。
你学过组合图形面积计算的方法吗？常用的“割、补、拼、凑”的方法你用过吗？那好，请看图1，图中长方形S 表示原操场的面积，S1、S2、S3分别表示增加的三个长方形面积，由图可知增加的面积为S1＋S2＋S3，如果我们用割补的方法把图1变为图 2，这时，你会发现什么呢？原来，增加的面积就是这个新长方形的面积，它的长是200＋20＝220（米），宽是20米，则增加的面积是4400平方米原来，增加的面积的大小与长和宽各是多少无关，而只与长加宽的和有关，这是为什么呢？请爱动脑筋的同学继续往下看。
假设原操场的长为a ，宽为b ，则扩大后操场的长为（a ＋20）米，宽为（b ＋20）米 原面积：S 原＝ab现面积：S 现＝（a ＋20）（b ＋20）增加的面积：图1图2S增＝S现－S原＝（a＋20）（b＋20）－ab＝ab＋20a＋20b＋400－ab＝20（a＋b）＋400＝20×200＋400＝4400（平方米）其实以上这种方法可以理解成“割”、“补”——把增加后的面积看成一个整体，原操场面积就是被割部分，增加的面积就是所求内容；倘若把原操场面积看做一个整体，那么，增加后的面积还可以分为三个整体，就是以上方法。
文档“割补法”求解不规则几何体体积
“割补法”求解不规则几何体体积我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．一、来自三棱柱的截体例1如图1，正四面体A BCD，，，分别-中，E F G H是棱，，，的中点，求证：平面EFHG把正四面体分AB AC BD CD割成的两部分几何体的体积相等．分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割．证明：连结CE CG AG AH，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．二、来自正方体的截体例2如图2，已知多面体ABC DEFG，，两两互-中，AB AC AD相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，==，则该多面体的体积为AC EF2AB AD DC===，1（ ）Ａ．2Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8解法一（割）：如图3，过点作CH DG ⊥于，连结，这样就把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三棱柱BEF CHG -． 于是所求几何体的体积为：DEH BEF V S AD S DE =⨯+⨯△△11212212422⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半．于是所求几何体的体积为31242V =⨯=．三、来自圆柱的截体例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上 面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1，而上面的圆柱的高为3．于是所求几何体的体积为221π212310π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=．解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是21π2510π2V =⨯⨯⨯=．。
初中数学教学论文--巧割活补,尽显平行线之奥秘
初中数学教学论文--巧割活补，尽显平行线之奥秘摘要：割补法不仅是多边形面积求解的常用方法，而且它在解平行线的角度问题的图形中也有着极深的造诣。
用割补法来解决平行线角度的图形问题，可使错综复杂的图形转化成常见图形，是有效解答此类题型的有效方法。
本文结合教学实例进行阐述。
关键词：必要性方式意义在平行线知识的教学中，我们常发现：学生对平行线的判定及性质能理解并能正确书写推理过程，但在解与平行线相关的图形的问题时却常常措手无策。
究其原因，不难发现，学生的识图及对图形的分解等方面的能力存在极大的不足。
因此，在教学平行线相关的知识时，就得有计划地、循序渐进地培养学生的识图能力和分解图形的技巧，割补法就是一种常用且高效的方法。
我在教学中不断地加以尝试，试图引导学生通过对图形的巧割活补，使平行线相关问题的图形转化为常见图形，准确地找到解题的突破口，取得较好的教学效果。
一、指导学生巧割活补图形的必要性1、由学生的年龄特征决定的北师大版的初中数学教材把《平行线》的教学内容安排在七年级，七年级的学生年龄介于13岁～14岁之间，他们的知识储备有限，不能一下子琢磨透复杂平行线图形涵含的意义及方向。
另外，处于七年级学生解题习惯的角度来考虑，他们常喜解显无易见的、一步到位的平行线的图形的问题。
根据以上两个对学生年龄特征的分析，可见指导学生巧割活补图形是必要的。
2、由提高解题效率决定的七年级学生刚由小学升入初中，他们对数学的学习充满好奇，任何题型任何学习方法总想试一试。
如果他们在解题的过程中不断地遇到困难，无法入手，将挫伤学生探究的积极性。
久而久之，就会出现不认真审题、随意解题等极端行为，解题效果自然就可想而知了。
为此，从呵护学生的学习动力、激发学生的学习兴趣、提高学生的解题效率、拓展学生的数学思维等方面都要求数学老师要善于引导学生把复杂平行线图形巧割活补。
二、巧割活补平行线图形常用的几种方法平行线的角度问题的解答不能一概而论地要用哪一种方法、朝什么角度或用什么性质及特征来构图，而是应该根据题目所给的条件及图形的特征，灵活地将图形进行割补，以此达到高效解题的目的。
割补法在高中立体几何解题中的应用_方清
锥．故只 要 求 出 其 中 一 个 三 棱 锥 的 体 积 即 可．由
图 可 知 ，ＶＡ′－ＢＥＤ′ ＝ＶＤ′－Ａ′ＢＥ ＝ １３·ＳΔＡ′ＢＥ·Ａ′Ｄ′＝
１ ３
·１２·ａ２·ａ·ａ＝１１２ａ３
．故ＶＡ′－ＥＢＦＤ′
＝２ＶＡ′－ＢＥＤ′
＝
１ａ３． ６
以上各例 说 明，在 解 决 某 些 几 何 问 题 时，若
利用部分与整体的关系来解题．
例６ 已知三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ，其中 ＰＡ ＝４， ＰＢ ＝ ＰＣ ＝２，
∠ＡＰＢ ＝ ∠ＡＰＣ ＝ ∠ＢＰＣ ＝６０°求：
三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ 的
体积．
分析１ 作 ＢＣ
分析 如图４，将一个完全相同的几何体与 已知的几何体拼在一起组成一个高为５的圆柱，
那么所 求 几 何 体 的 体 积 就 是 这 个 圆 柱 体 积 的
例８ 如图 １０，已
知正方体 ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ 的 棱 长 为ａ，
Ｅ、Ｆ 分 别 是 棱 ＡＡ′ 和
ＣＣ′ 的 中 点，求 四 棱 锥
Ａ′－ＥＢＦＤ′ 的体积．
分析 本题要想直接求出四棱锥的高还是 比较困难的．但 是 四 棱 锥 的 底 面 是 菱 形，所 以 连
结对角线把四棱Leabharlann 分割成体积相等的两个三棱Ａ．３π Ｂ．４π Ｃ．３ 槡３π Ｄ．６π
分析１ 设ΔＡＣＤ 的重心 为 Ｅ，则球心在线段 ＢＥ 上，可 在直角 三 角 形 中 求 解，但 计 算 较麻烦．
分 析 ２ 将 正 四 面 体 ＡＢＣＤ 补成正方体，则 正 四 面 体、正 方 体 的 外 接
球为同一 个 球．因 为 正 四 面 体 的 棱 长 为槡２，所 以
（收 稿 日 期 ：２０１３－０８－１６）
割补法在立体几何中的应用
WS自动填充功能快速填写重复内容自动填充功能是工作表软件（WS）中一个高效的工具，它可以帮助用户快速填写重复内容。
通过利用这一功能，用户可以大大提高数据录入的效率，节省时间和精力。
本文将介绍WS自动填充功能的使用方法和一些注意事项。
一、使用方法使用WS自动填充功能十分简便。
以下是具体操作步骤：1. 创建一个新的工作表或打开一个已有的工作表。
2. 在需要填写重复内容的单元格中输入第一个数值或文本。
3. 鼠标选中填写内容的单元格，使其被选中。
4. 在选中的单元格的右下角会出现一个小黑色方块，将鼠标放置在该方块上，鼠标指针会变成一个加号（+）。
5. 按住鼠标左键，拖动该小黑色方块至需要填充的单元格区域，可以是横向、纵向或是一个矩形区域。
6. 松开鼠标左键，重复内容会被自动填充至选中的单元格区域。
二、应用场景WS自动填充功能在很多场景下都非常实用。
以下是几个常见的应用场景：1. 数字序列的填充：有时候我们需要填写一列连续的数字，如1、2、3等。
使用WS自动填充功能，只需输入前几个数字，然后拖动填充方块即可快速生成整个序列。
2. 日期序列的填充：在某些情况下，我们需要填写一系列连续的日期，如每月的第一天或每周的某一天。
借助自动填充功能，我们只需输入一个日期，然后拖动填充方块即可轻松生成整个日期序列。
3. 文本的填充：有时候需要在表格中填写一些重复的文本，如产品名称或客户姓名。
使用自动填充功能，只需输入第一个文本，然后拖动填充方块即可快速将文本填充至其他单元格。
三、注意事项在使用WS自动填充功能时，需要注意以下几点：1. 填充方块大小的调整：在拖动填充方块之前，可以根据需要调整其大小。
只需将鼠标放置在填充方块的右下角，鼠标指针会变成双向箭头，然后按住鼠标左键拖动即可调整填充方块的大小。
2. 自动填充的规律：WS自动填充功能会根据已有的数据规律进行填充。
对于数字序列和日期序列，可以根据需要选择自增、自减或是使用特定的间隔。
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例谈”割补法”求空间几何体的体积
【摘要】高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂。
如果能利用”割”与”补”的方法来解决，就可以把一些不易直接计算的几何体”分割”成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，化繁为简，使思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。
本文就通过具体的实例来谈谈如何利用”割补法”解决此类难题。
【关键词】分割法等体积变换底面法补形法
高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法，就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂的几何体。
如果能利用”割补法”来解决，把一些不易直接计算的几何体分解成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，使复杂多变的问题变得思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。
下面就谈谈”割补法”解决难题具体做法。
一、分割法：就是将一个难于直接计算的几何体分割成几个易于计算的几何体，分别求出它们的体积，再将加，便得所求几何体的体积。
例1 如图，在三棱锥a-bcd中，若相对棱ab⊥cd，且ab=4，cd=3，ef是这两条异面直线ab、cd的公垂线，且ef=6，求该三棱锥a-bcd 的体积.
分析：本题所给的条件，如果直接从正面利用公式直接去求是没有办法的，但是从ef是这两条异面直线ab、cd的公垂线出发，易知ab⊥ef，ab⊥cd，ef∩cd=f，所以知道ab⊥面ecd，这样我们就以⊿dce为底面，高分别是ae、be的两个小的三棱锥a-dce和三棱锥b-dce来计算就行，于是得下面的解答。
解：连结ce、de
∵ef为异面直线ab和cd的公垂线
∴ef⊥ab ∵ab⊥cd ∴ab⊥面ecd
在⊿dce中，∵ef⊥cd ∴
【方法提炼】本题利用”割”的思想将此三棱锥的体积转化为两个同底的棱锥的体积之和，进而使本题简捷、巧妙获解。
例2如图，已知在正方体abcd-a1b1c1d1中，棱长为a，m、n分别为cc1、aa1的中点，求四棱锥a-mb1nd的体积.
分析：由题目所给的条件，易知四边形mb1nd是菱形，但是点a 到面mb1nd的距离难求，如果我们把该棱锥分解成以⊿amn为底面，d、b1作为顶点的三棱锥，那么这些顶点到平面amn的距离为面的对角线bd的一半，
解：连结mn，∵a1b1=b1m=md=da1=，b1m//a1d ∴四边形a1b1md 是菱形，ac=mn=bd=
又∵三棱锥d-amn与三棱锥b1-amn的高相等，且∵
【方法提炼】本题体现的数学思想方法：①分割法：将此四棱锥的体积转化为两个全等的三棱锥的体积之和；②等体积变换底面法：分割后的三棱锥通过换底来求其体积。
分割法是一种将复杂的几何体分解成几个简单的几何体的方法，在应用时，要注意改变对几何体的观察角度，寻找最佳的分割方法.
二、补形法：就是将一个难于直接计算的几何体补成一个易于计算的几何体，求出这个几何体的体积后，再减去补上的部分的体积，便得到所求几何体的体积.
例3 如图，斜三棱柱的一个侧面abb1a1的面积为s，侧棱cc1
支这个侧面的距离为h，求斜三棱柱的体积.
分析：由于我们求棱柱的体积公式，只有底面乘高，根据该项题所给的条件是无法直接求解，但是我们容易想到，如果是一个四棱柱，按对角面切开就变成了两个三棱柱，于是我们把这个三棱柱补成四棱柱，问题就可得到解决。
这样得到下面的简解。
解：如上图所示，将左图补成一个斜四棱柱(平行六面体)，则
∴
例4 如图，abcd为边长为3的正方形，ef到面abcd的距离为
h=2，面ade⊥面abcd，且ef//ab，ef=，求此多面体的体积.
分析：该几何也是几何特征不是很明显的几何体，但是已知条件知四边形abcd是正方形，且面ade⊥面abcd，且ef//ab，于是我们可以把ef延长到g使得eg=ab，这样我们就可以得到直三棱柱，
再减去三棱锥f-bcg的体积即可.
解：∵abcd是正方形，∴ab⊥ad ∵面ade⊥面abcd，面ade∩面abcd=ad ∴ab⊥面ade ∵ef//cd，cd//ab ∴ef//cd，ef⊥面ade，cd⊥面ade
延长ef到g，使得eg=ab，并连结gb、gc，则几何体ade-bcg是直三棱柱.
,
∴
【方法提炼】在求体积时，我们常常把不熟悉或不够直观的几何体通过补形法，转化为熟悉的、直观性更好的几何体来求解。
以下是常见的补形变换：
①斜棱柱→直棱柱；②三棱柱→平行六面体；③三棱锥→三棱柱或平行六面体；④把不规则的几何体→规则的几何体
以上的几个例题讲讲何利用”割”与”补”的方法，破解空间几何中难于直接计算的几何体的体积的应用。
从此可以看出割补法是的重要数学方法之一，我们在平常的在实际应用时，一定要抓住几何体自身特点，做到合理割补，也就是要做到能”割”善”补”。
参考文献
[1]割补法解题技巧，李晓芹《数学通讯》
[2]割补法及其应用，王建忠《中学物理》。