高中数学立体几何常用求体积的三种解题方法
高中数学中的立体几何体积知识点总结
高中数学中的立体几何体积知识点总结在高中数学的学习过程中，立体几何体积是一个重要的知识点，它涉及到空间中物体的容量大小。
掌握立体几何体积的计算方法，能够帮助我们更好地理解物体的三维形态，并且在实际问题中能够解决容量、储存等方面的具体计算。
本文将总结一些高中数学中的立体几何体积的相关知识点。
一、立体几何体积的基本概念立体几何体积是指物体占据的三维空间容量大小，常用的计量单位有立方厘米、立方米等。
在计算体积时，我们需要明确几何体的形状以及各个定点、边、面的属性。
二、常见几何体的体积计算公式1. 立方体的体积计算公式立方体是边长相等的正方体，它的体积可以通过边长的三次方来计算。
设立方体的边长为a，则立方体的体积V等于a³。
即V = a³。
2. 直方体的体积计算公式直方体是具有六个面的长方体，它的体积可以通过长、宽和高的乘积来计算。
设直方体的长为l，宽为w，高为h，则直方体的体积V等于lwh。
即V = lwh。
3. 圆柱体的体积计算公式圆柱体是由一个底面为圆形的筒体和两个平行于底面的圆盖组成，它的体积可以通过底面积乘以高来计算。
设圆柱体的底面半径为r，高为h，则圆柱体的体积V等于πr²h。
即V = πr²h。
4. 圆锥体的体积计算公式圆锥体是由一个底面为圆形的筒体和一个以底面圆周为直径的圆锥组成，它的体积可以通过底面积乘以高再除以3来计算。
设圆锥体的底面半径为r，高为h，则圆锥体的体积V等于πr²h/3。
即V = πr²h/3。
5. 球体的体积计算公式球体是由无限多个与其中心距离相等的点组成，它的体积可以通过半径的立方和乘以4再除以3来计算。
设球体的半径为r，则球体的体积V等于(4/3)πr³。
即V = (4/3)πr³。
三、立体几何体积的计算方法在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的计算方法来求解立体几何体积。
以下是一些常见的解题方法。
高中数学一轮复习之立体几何之体积求和之倒序相加与错位相减法
高中数学一轮复习之立体几何之体积求和之倒序相加与错位相减法摘要立体几何是高中数学中的重要内容之一，其中体积求和是一个常见的问题。
本文将介绍两种体积求和的方法：倒序相加法和错位相减法。
通过这两种方法，我们可以更方便地求解复杂的体积求和问题。
1. 倒序相加法倒序相加法是一种简单而直观的方法，适用于一些具有对称性质的几何体。
具体步骤如下：1. 确定要求解的几何体的个数，并按照从大到小的顺序排列。
2. 计算每个几何体的体积。
3. 将各个几何体的体积按照倒序相加的方式进行求和。
倒序相加法的优点是简单易懂，适用于初学者。
然而，需要注意的是，这种方法只适用于具有对称性质的情况，对于一些复杂的几何体，可能需要使用其他的方法进行求解。
2. 错位相减法错位相减法是一种更灵活的方法，适用于一些不具有对称性质的几何体。
具体步骤如下：1. 确定要求解的几何体的个数。
2. 依次计算每个几何体的体积。
3. 将第一个几何体的体积与第二个几何体的体积相减。
4. 将第二个几何体的体积与第三个几何体的体积相减。
5. 依次类推，直到计算完所有的几何体。
6. 对所有的几何体体积的减法结果进行求和。
错位相减法的优点是适用范围广，可以应用于各种几何体。
但是，需要在计算过程中保持准确性和注意顺序。
结论通过倒序相加法和错位相减法，我们可以更方便地求解复杂的立体几何体积求和问题。
在实际应用中，根据具体的几何体特点选择合适的方法进行求解，有助于提高计算效率和准确性。
以上是本文对于高中数学一轮复之立体几何之体积求和之倒序相加与错位相减法的介绍。
希望对你的研究有所帮助！（注：本文所述方法为整理总结，部分应用注意题设条件是否满足）。
高考数学立体几何专题：等体积法
高考数学立体几何专题：等体积法一、引言在高考数学中，立体几何是一门重要的学科，它考察了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
其中，等体积法是一种常用的方法，它在解决立体几何问题中具有重要的作用。
本文将详细介绍等体积法的基本原理和应用，并通过实例来展示其用法。
二等体积法的基本原理等体积法的基本原理是：对于同一个体积，可以将其分解为不同的几何形状，并且这些几何形状的体积相等。
在立体几何中，常见的几何形状有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
这些形状的体积可以通过其高度、底面积和高度的乘积等参数来计算。
三等体积法的应用等体积法在解决立体几何问题中具有广泛的应用。
下面我们将通过几个例子来展示其用法：1、求几何体的表面积和体积例1：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的表面积和体积。
解：该长方体的表面积为2(ab+bc+ac)，体积为abc。
2、判断两个几何体是否体积相等例2：给定两个几何体，判断它们是否体积相等。
解：根据等体积法，我们可以分别计算两个几何体的体积，如果两个体积相等，则两个几何体体积相等；否则，两个几何体体积不相等。
3、求几何体的重心位置例3：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的重心位置。
解：根据等体积法，我们可以将该长方体分成两个小的长方体，它们的重心位置与原长方体的重心位置相同。
因此，我们只需要找到这两个小长方体的重心位置即可。
四、结论等体积法是一种常用的方法，在解决立体几何问题中具有重要的作用。
它可以帮助我们计算几何体的表面积和体积，判断两个几何体是否体积相等，以及求几何体的重心位置等。
在实际应用中，我们需要灵活运用等体积法来解决各种不同的问题。
在数学的世界里，立体几何是一门研究空间几何形状、大小、位置关系的科学。
它不仅在数学领域中占据着重要的地位，同时也是高考数学中的重要考点之一。
本文将针对高考数学立体几何专题进行深入探讨，帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
高中数学立体几何体积和表面积计算技巧
高中数学立体几何体积和表面积计算技巧在高中数学中，立体几何是一个重要的内容，其中计算几何体的体积和表面积是必不可少的技巧。
本文将介绍一些常见的计算技巧，并通过具体的题目来说明这些技巧的应用。
一、立体几何体的体积计算技巧1. 直接计算法对于常见的几何体，如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体和球体，可以直接使用相应的公式进行计算。
举例来说，如果要计算一个长方体的体积，可以使用公式 V = lwh，其中 l、w 和 h 分别表示长方体的长、宽和高。
如果已知长方体的长为 6 cm，宽为 4 cm，高为 3 cm，则可以直接代入公式计算得到体积 V = 6 × 4 × 3 = 72 cm³。
2. 分割法对于复杂的几何体，可以通过将其分割成若干简单的几何体来计算体积。
这种方法常用于计算不规则体的体积。
举例来说，如果要计算一个由三棱锥和一个正方体组成的复合体的体积，可以先计算三棱锥的体积，再计算正方体的体积，最后将两者相加。
3. 单位体积法对于一些特殊的几何体，可以利用单位体积的性质来计算体积。
这种方法常用于计算球台、球冠等几何体的体积。
举例来说，如果要计算一个球台的体积，可以先计算整个球的体积，再减去球冠的体积。
具体计算步骤如下：步骤一：计算整个球的体积，使用公式V = (4/3)πr³，其中 r 表示球的半径。
步骤二：计算球冠的体积，使用公式V = (1/3)πh²(3r - h)，其中 h 表示球台的高度。
步骤三：将步骤一的结果减去步骤二的结果，即可得到球台的体积。
二、立体几何体的表面积计算技巧1. 直接计算法对于常见的几何体，可以直接使用相应的公式进行表面积的计算。
举例来说，如果要计算一个长方体的表面积，可以使用公式 S = 2lw + 2lh +2wh，其中 l、w 和 h 分别表示长方体的长、宽和高。
如果已知长方体的长为 6 cm，宽为 4 cm，高为 3 cm，则可以直接代入公式计算得到表面积 S = 2(6×4) + 2(6×3) +2(4×3) = 108 cm²。
高中数学立体几何中的体积解题技巧
高中数学立体几何中的体积解题技巧在高中数学中，立体几何是一个重要的部分，而体积是立体几何中最基本也是最常见的题型之一。
掌握体积解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将介绍几个常见的体积解题技巧，并通过具体的题目来说明其考点和解题思路。
一、长方体的体积计算长方体是最常见的立体几何形体之一，其体积计算公式为V = lwh，其中l、w和h分别表示长方体的长度、宽度和高度。
例如，有一个长方体，其长为5cm，宽为3cm，高为2cm，我们可以通过代入公式计算得到体积为V = 5cm × 3cm × 2cm= 30cm³。
二、正方体的体积计算正方体是一种特殊的长方体，其长度、宽度和高度相等。
因此，正方体的体积计算公式为V = a³，其中a表示正方体的边长。
例如，有一个正方体，其边长为4cm，我们可以直接计算得到体积为V = 4cm × 4cm × 4cm = 64cm³。
三、棱柱的体积计算棱柱是由两个平行且相等的多边形底面通过直线连接而成的立体图形。
对于棱柱，我们可以通过计算底面积与高的乘积来求得其体积。
例如，有一个底面为正方形的棱柱，其边长为3cm，高为5cm，我们可以计算得到体积为V = 3cm × 3cm ×5cm = 45cm³。
四、棱锥的体积计算棱锥是由一个多边形底面和一个顶点通过直线连接而成的立体图形。
对于棱锥，我们可以通过计算底面积与高的乘积再除以3来求得其体积。
例如，有一个底面为正三角形的棱锥，其边长为4cm，高为6cm，我们可以计算得到体积为V = (4cm ×4cm × √3) × 6cm / 3 ≈ 37.15cm³。
五、球体的体积计算球体是一个非常特殊的立体图形，其体积计算公式为V = 4/3πr³，其中r表示球体的半径。
例如，有一个球体，其半径为2cm，我们可以计算得到体积为V =4/3 × 3.14 × (2cm)³ ≈ 33.49cm³。
高中数学高考专题(5)立体几何的高考解答题型及求解策略
高中数学高考专题(5)立体几何的高考解答题型及求解策略立体几何的解答题型主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再计算几何体的体积．试题背景有折叠问题、探索性问题等，考查空间想象能力、逻辑思维能力及转化与化归思想的应用能力.题型一线面位置关系的证明题型概览：空间中线面的平行与垂直的证明有两种思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量法来论证，应用向量证明线、面的位置关系的关键是把空间线面位置关系的判定定理和性质定理与空间向量建立对应关系，把空间位置关系的证明转化为空间向量的运算，通过运算解决证明问题．这里以传统方法为例建立审题程序与答题模板，向量方法参照本专题题型二．如图，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN⊥平面ABCD，E、F分别为MA、DC的中点，求证：(1)EF∥平面MNCB；(2)平面MAC⊥平面BND.[审题程序]第一步：利用中位线、平行四边形的性质在四边形MNCB内确定与EF平行的直线；第二步：在平面MAC和平面BND中寻找与另一平面垂直的直线；第三步：应用面面垂直、菱形的性质，由线线垂直解决．[规范解答](1)如图，取NC的中点G，连接FG，MG.因为ME∥ND且ME＝12ND，F、G分别为DC、NC的中点，FG∥ND且FG＝12ND，所以FG与ME平行且相等，所以四边形MEFG是平行四边形，所以EF∥MG，又MG⊂平面MNCB，EF⊄平面MNCB，所以EF∥平面MNCB.(2)如图，连接BD、MC.因为四边形MADN是矩形，所以ND⊥AD.因为平面MADN⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面MADN＝AD，DN⊂平面MADN，所以ND⊥平面ABCD，所以ND⊥AC.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为BD∩ND＝D，所以AC⊥平面BDN.又AC⊂平面MAC，所以平面MAC⊥平面BDN.[答题模板]解决这类问题的答题模板如下：1．(2016·北京西城区高三期末)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是CE，CF的中点．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求证：平面BDGH∥平面AEF；(3)求多面体ABCDEF的体积．[解](1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF.(2)证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF.又GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH.在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF.因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.(3)由(1)得AC⊥平面BDEF.因为AO＝2，四边形BDEF的面积S▱BDEF＝3×22＝62，＝4.所以四棱锥A－BDEF的体积V1＝13×AO×S▱BDEF同理，四棱锥C－BDEF的体积V2＝4.所以多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.题型二求空间几何体的体积题型概览：计算几何体的体积，关键是根据条件找出相应的底面和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．(1)直接法：对于规则几何体，直接利用公式计算即可．(2)割补法：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体．(3)等体积法：一般利用三棱锥的“等积性”求三棱锥体积，可以把任何一个面作为三棱锥的底面．注意两点：一是求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；二是利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥．(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面P AB；(2)求四面体N－BCM的体积．[审题程序]第一步：由线线平行或面面平行证明(1)；第二步：由N 为PC 中点，推证四面体N －BCM 的高与P A 的关系； 第三步：利用直接法求四面体的体积．[规范解答] (1)由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. [答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：2．(2016·深圳一模)如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC是正三角形，E是SB的中点，且AE⊥平面SBC.(1)证明：SD∥平面ACE；(2)若AB⊥AS，BC＝2，求点S到平面ABC的距离．[解](1)证明：连接BD，交AC于点F，连接EF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴F是BD的中点，又∵E是SB的中点，∴EF∥SD.∵SD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，∴SD∥平面ACE.(2)∵AB⊥AS，BC＝BS＝2，且E是SB的中点，∴AE＝1.∵AE⊥平面SBC，BS、CE⊂平面SBC，∴AE⊥BS，AE⊥CE.∴AB＝AE2＋BE2＝ 2.又侧面SBC 是正三角形，∴CE ＝3， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝2，∴△ABC 是底边长为2，腰长为2的等腰三角形， ∴S △ABC ＝12×2×4－12＝72.设点S 到平面ABC 的距离为h .由V 三棱锥S －ABC ＝V 三棱锥A －SBC ，得13h ·S △ABC ＝13AE ·S △SBC ，∴h ＝AE ·S △SBC S △ABC ＝237＝2217.题型三 立体几何中的探索性问题题型概览：如果知道的是试题的结论，而要求的却是试题的某一个存在性条件(如存在某个定点、定直线、定值等)，这种试题称为存在探索型试题．解题策略一般是先假设结论成立，然后以该结论作为一个已知条件，再结合题目中的其他已知条件，逆推(即从后往前推)，一步一步推出所要求的特殊条件，即要求的存在性条件．若能求出，则存在；若不能求出，则不存在．(2016·石家庄调研)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，E 在线段B 1C 1上，B 1E ＝3EC 1，AC ＝BC ＝CC 1＝4.(1)求证：BC ⊥AC 1；(2)试探究：在AC 上是否存在点F ，满足EF ∥平面A 1ABB 1？若存在，请指出点F 的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．[审题程序]第一步：由B 1E ＝3EC 1及EF ∥平面A 1ABB 1猜想点F 的位置；第二步：在平面A 1ABB 1内探求与EF 平行的直线或寻找经过EF 与平面A 1ABB 1平行的平面； 第三步：由线线平行或面面平行推理论证．[规范解答] (1)证明：∵AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥AA 1. 又∵BC ⊥AC ，AA 1∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面AA 1C 1C . 又AC 1⊂平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥AC 1.(2)解法一：当AF＝3FC时，EF∥平面A1ABB1.证明如下：如图1，在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G，连接AG.∵B1E＝3EC1，∴EG＝34A1C1.又AF∥A1C1且AF＝3，4A1C1∴AF∥EG且AF＝EG，∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG.又EF⊄平面A1ABB1，AG⊂平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.解法二：当AF＝3FC时，EF∥平面A1ABB1.证明如下：如图2，在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G，连接FG. ∵EG∥BB1，EG⊄平面A1ABB1，BB1⊂平面A1ABB1，∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，∴FG∥AB.又AB⊂平面A1ABB1，FG⊄平面A1ABB1，∴FG∥平面A1ABB1.又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面A1ABB1.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.[答题模板]解决这类问题的答题模板如下：3．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，M为A1B1的中点．(1)证明：MC⊥AB；(2)若AA1＝26，侧棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，求PC的长；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：取AB的中点N，连接MN，CN，则MN⊥底面ABC，MN⊥AB.因为△ABC是正三角形，所以NC⊥AB.因为MN∩NC＝N，MN⊂平面MNC，NC⊂平面MNC，所以AB⊥平面MNC，所以AB⊥MC.(2)由(1)知MC⊥AB，若存在点P使得MC⊥平面ABP，则必有MC⊥BP.过M作MQ⊥B1C1，垂足为Q，连接QC，则QC是MC在平面BCC1B1内的射影，只需QC⊥BP即可，此时Rt△QC1C与Rt△PCB相似，QC1C1C ＝PCCB，所以PC＝QC1·CBC1C＝3×426＝6，点P恰好是CC1的中点．。
高中数学立体几何体积解题技巧
高中数学立体几何体积解题技巧立体几何是高中数学中的一个重要内容，其中涉及到的体积计算问题常常让学生感到困惑。
本文将介绍一些解题技巧，帮助高中学生更好地理解和解决立体几何体积问题。
一、直角三棱柱的体积计算直角三棱柱是指底面为直角三角形的三棱柱。
计算其体积时，可以利用底面积与高的乘积来求解。
例如，已知直角三棱柱的底面是一个直角边长为3cm和4cm 的直角三角形，高为5cm，求其体积。
解答：首先计算底面积，底面积=1/2 × 3cm × 4cm = 6cm²。
然后将底面积与高相乘，体积=6cm² × 5cm = 30cm³。
因此，该直角三棱柱的体积为30cm³。
通过这个例子可以看出，直角三棱柱的体积计算可以通过底面积与高的乘积来求解，这是一个常用的解题方法。
二、棱柱的体积计算棱柱是指底面为多边形的柱体。
计算其体积时，可以利用底面积与高的乘积来求解。
例如，已知一个棱柱的底面是一个边长为6cm的正六边形，高为8cm，求其体积。
解答：首先计算底面积，正六边形的面积可以通过将其分割为六个等边三角形来计算。
每个三角形的面积为1/2 × 6cm × 6cm × sin(60°) = 9√3 cm²。
因此，正六边形的面积为6 × 9√3 cm² = 54√3 cm²。
然后将底面积与高相乘，体积=54√3 cm² ×8cm = 432√3 cm³。
所以，该棱柱的体积为432√3 cm³。
通过这个例子可以看出，对于底面为多边形的棱柱，可以将其分割为若干个三角形来计算底面积，然后再与高相乘求解体积。
三、圆柱的体积计算圆柱是指底面为圆形的柱体。
计算其体积时，可以利用底面积与高的乘积来求解。
例如，已知一个圆柱的底面半径为5cm，高为10cm，求其体积。
高中数学中的立体几何体积计算
高中数学中的立体几何体积计算立体几何是数学中一个重要的分支，它研究的是三维空间中的物体形状和大小。
在高中数学中，我们经常需要计算各种立体几何体的体积，这是一个基本的技能。
本文将介绍一些常见的立体几何体以及计算它们体积的方法。
一、长方体的体积计算长方体是最基本的立体几何体之一，它的六个面都是矩形。
计算长方体的体积非常简单，只需要将它的长、宽、高三个边长相乘即可。
例如，一个长方体的长为5cm，宽为3cm，高为2cm，那么它的体积就是5cm × 3cm × 2cm = 30cm³。
二、正方体的体积计算正方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。
计算正方体的体积也非常简单，只需要将它的边长立方即可。
例如，一个正方体的边长为4cm，那么它的体积就是4cm × 4cm × 4cm = 64cm³。
三、圆柱体的体积计算圆柱体是一个底面为圆形的立体几何体。
计算圆柱体的体积需要知道它的底面半径和高。
圆柱体的体积公式是底面积乘以高，即πr²h，其中π约等于3.14。
例如，一个圆柱体的底面半径为2cm，高为5cm，那么它的体积就是3.14 × 2² × 5 =62.8cm³。
四、球体的体积计算球体是一个所有点到中心点的距离都相等的立体几何体。
计算球体的体积需要知道它的半径。
球体的体积公式是4/3乘以π乘以半径的立方，即4/3πr³。
例如，一个球体的半径为3cm，那么它的体积就是4/3 × 3.14 × 3³ = 113.04cm³。
五、锥体的体积计算锥体是一个底面为圆形且所有侧面都相交于一个顶点的立体几何体。
计算锥体的体积需要知道它的底面半径和高。
锥体的体积公式是1/3乘以底面积乘以高，即1/3πr²h。
例如，一个锥体的底面半径为6cm，高为8cm，那么它的体积就是1/3 ×3.14 × 6² × 8 = 301.44cm³。
高中数学 三维设计 立体几何初步 简单几何体的表面积与体积
8．3 简单几何体的表面积与体积新课程标准新学法解读知道球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.1.求表面积问题，要充分利用柱体、锥体、台体的结构特征，准确把握各个面的形状和数量关系，尤其是侧面展开图与原几何体的关系．2.求体积问题则要准确把握底面积和高，尤其是四面体，确定哪个面为底面要依据条件看哪个面和面上高的是否易求．3.关于球的体积和表面积问题，抓住球心，确定球的半径是解题关键.8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积[思考发现]1．棱长为3的正方体的表面积为()A．27B．64C．54 D．36解析：选C根据表面积的定义，组成正方体的表面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.故选C.2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．48 6 B．64C．16 D．96解析：选B设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4. ∴其体积V＝a3＝43＝64.故选B.3．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为()A．4 B.3 4C．2 3 D.3解析：选D三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为34，所以此三棱锥的表面积为4×34＝ 3.故选D.4．已知棱台的上、下底面积分别为4, 16，高为3，则棱台的体积为________．解析：由棱台的体积公式可求得其体积为V＝13(4＋4×16＋16)×3＝28.答案：28[系统归纳]1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和． 2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个棱柱的体积相同．(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝Sh ――→S ′＝S V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V ＝13Sh . (4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积[例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解] 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9， ∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋⎝⎛⎭⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64，∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160.求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤(1)清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积． (2)求出其底面的面积． (3)求和得到表面积．注意：组合体的表面积应注意重合部分的处理．[变式训练]已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．解析：如图，在四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，过B 1作B 1F ⊥BC ，垂足为F ，在Rt △B 1FB 中，BF ＝12×(8－4)＝2，B 1B ＝8，故B 1F ＝82－22＝215，所以S 梯形BB 1C 1C ＝12×(8＋4)×215＝1215，故四棱台的侧面积S 侧＝4×1215＝4815， 所以S 表＝4815＋4×4＋8×8＝80＋4815. 答案：80＋4815棱柱、棱锥、棱台的体积[例2] (1)如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A DED 1的体积为________．第(1)题图 第(2)题图(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD A ′B ′C ′D ′， 上面部分为正四棱锥S ABCD ，若几何体的高为5，棱AB ＝2，则该几何体的体积为________．(3)(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.[解析] (1)VA DED 1＝VE DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.(2)V 正方体＝23＝8，V S ABCD ＝13×22×(5－2)＝4.V ＝V 正方体＋V S ABCD ＝12.(3)由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形， 对角线长分别为6 cm 和4 cm ，故V 挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm 3)．又V 长方体＝6×6×4＝144(cm 3)，所以模型的体积为V 长方体－V 挖去的四棱锥＝144－12 ＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)． [答案] (1)16(2)12 (3)118.8求几何体体积的常用方法[变式训练]1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________ cm 3.解析：由三视图可知原几何体如图所示． 所以V ＝V ABC A ′B ′C ′－V M ABC ＝S △ABC ·5－13S △ABC ·3＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24. 答案：242.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C A 1DD 1，求棱锥C A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．解：设矩形ADD 1A 1的面积为S ，AB ＝h ， ∴VABCD A 1B 1C 1D 1＝VADD 1A 1BCC 1B 1＝Sh . 而棱锥C A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C A 1DD 1的体积为： VC A 1DD 1＝13×12S ×h ＝16Sh ，余下部分体积为：Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.A 级——学考合格性考试达标练1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3D ．125 cm 3解析：选B 长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 (cm)3.故选B.2．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于( )A ．12B ．48C ．64D ．72解析：选D 该六棱柱的6个侧面是全等的矩形，则S 侧＝6×(3×4)＝72.故选D. 3.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相结，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为( )A ．13.25立方丈B ．26.5立方丈C ．53立方丈D ．106立方丈解析：选B 由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)．故选B.4．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．6 B ．12 C ．24D ．48解析：选D 正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4，S 侧＝4×12×6×4＝48.故选D.5.如图，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：选C ∵V C A ′B ′C ′＝13V ABC A ′B ′C ′＝13，∴V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.故选C.6．若五棱台ABCDE A 1B 1C 1D 1E 1的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为________．解析： S 表＝S 侧＋S 两底，则S 两底＝S 表－S 侧＝30－25＝5. 答案：57．已知高为3的直棱柱ABC A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1ABC 的体积为________．解析：由题意，锥体的高为BB 1，底面为S △ABC ＝34，所以VB 1ABC ＝13Sh ＝13×34×3＝34. 答案：348．已知正五棱台的上、下底面边长分别为4 cm 和6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧面积为________cm 2.解析：侧面等腰梯形的高为52－1＝26(cm)，所以侧面积S ＝5×(4＋6)×262＝506(cm 2)．答案：5069．如图所示，三棱锥的顶点为P ，P A ，PB ，PC 为三条侧棱，且P A ，PB ，PC 两两互相垂直，又P A ＝2，PB ＝3，PC ＝4，求三棱锥P ABC 的体积V .解：三棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B 看作顶点，△P AC 作为底面求解．故V P ABC ＝13S △P AC ·PB ＝13×12×2×4×3＝4.10．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为V ，P 是DD 1的中点，Q 是AB 上的动点，求四面体P CDQ 的体积．解：设长方体的长、宽、高分别为AB ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，则有V ＝abc . 由题意知PD ＝12c ，S △CDQ ＝12CD ·AD ＝12ab ，所以V P CDQ ＝13S △CDQ ·PD ＝13×12ab ×12c ＝112abc ＝112V .B 级——面向全国卷高考高分练1．一个长方体的三个面的面积分别为2，3，6，则这个长方体的体积为( ) A ．6 B.6 C ．3D ．23解析：选B 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则xy ＝2，yz ＝3，xz ＝6，∴(xyz )2＝6.∴V ＝xyz ＝ 6.故选B.2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( )A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2解析：选A ∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于22a a ，∴S 表＝34a a 2＋3×12×⎝⎛⎭⎫22a 2＝3＋34a 2.故选A.3.如图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱BB 1的中点，点F 是棱CC 1上靠近C 1的三等分点，且三棱锥A 1AEF 的体积为2，则四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为( )A ．12B ．8C ．20D ．18解析：选A 设点F 到平面ABB 1A 1的距离为h ，由题意得VA 1AEF ＝VF A 1AE ＝13S △A 1AE ·h ＝13×⎝⎛⎭⎫12AA 1·AB ·h ＝16 (AA 1·AB )·h ＝16 ·S 四边形ABB 1A 1·h ＝16a V ABCD A 1B 1C 1D 1，所以VABCD A 1B 1C 1D 1＝6VA 1AEF ＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为12.故选A.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶2解析：选C 由题图可知，三棱锥D 1AB 1C 的各面均是正三角形. 其边长为正方体侧面对角线. 设正方体的棱长为a ，则面对角线长为2a ，S 锥＝4×12(2a )2×32＝2 3a 2，S 正方体＝6a 2，故S 锥∶S 正方体＝1∶ 3.故选C.5．棱台的体积为76 cm 3，高为6 cm ，一个底面面积为18 cm 2，则另一个底面面积为__________．解析：设另一个底面面积为x cm 2，则由V ＝13h (S ＋SS ′＋S ′)，得76＝13×6×(18＋x ＋18x )，解得x ＝8，即另一个底面的面积为8 cm 2.答案：8 cm 26．三棱锥P ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析：如图，设点C 到平面P AB 的距离为h ，三角形P AB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.答案：147.三棱台ABC A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1ABC ，三棱锥B A 1B 1C ，三棱锥C A 1B 1C 1的体积之比．解：设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB A 1B 1C ＝V 台－VA 1ABC －SC A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.C 级——拓展探索性题目应用练用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．解：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积[思考发现]1．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于( ) A ．15 B ．15π C ．24πD ．30π解析：选B S 侧＝πrl ＝15π.故选B.2．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于( ) A ．72 B ．42π C ．67πD ．72π 解析：选C S 表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.故选C.3．若球的过球心的圆面的周长是C ，则这个球的表面积是( ) A.C 24π B.C 22π C.C 2πD ．2πC 2解析：选C 由2πR ＝C ，得R ＝C 2π，所以S 球面＝4πR 2＝C 2π.故选C.4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π. 该圆柱的表面积为__________．解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.答案：6π5．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________． 解析：由已知圆锥的高h ＝4， 所以V 圆锥＝13π×32×4＝12π.答案：12π[系统归纳]1．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式. 但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的．(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长．(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题． (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系 S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl .2．对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识(1)等底、等高的两个圆柱的体积相同．(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．(3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系V ＝Sh ――→S ′＝S V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0 V ＝13Sh . (4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积. 根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积．3．与球的体积、表面积有关的问题(1)球的表面积(体积)与半径之间的函数关系S 球＝4πR 2 V 球＝43πR 3 从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有惟一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数．(2)球的表面积(体积)计算中蕴涵的数学思想①函数方程思想：根据球的表面积与体积公式可知，球的半径R ，球的表面积S ，球的体积V 三个量“知一求二”．②转化思想：空间问题平面化．(3)球体的截面的特点①球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆．②利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．圆柱、圆锥、圆台的表面积[例1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为() A．122πB．12πC．82π D．10π(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积为__________．(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________．[解析](1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.(2)由题意，母线长l＝2，底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π.(3)先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝h2＋(R－r)2＝(4r)2＋(3r)2＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.[答案](1)B(2)2π(3)168π求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤(1)得到空间几何体的平面展开图．(2)依次求出各个平面图形的面积．(3)将各平面图形的面积相加．[变式训练]1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是________.解析：设圆锥的底面半径为r，则2πr＝4π，∴r＝2，∴圆锥的表面积为S＝πr2＋πr×4＝4π＋8π＝12π.答案：12π2.如图，一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，其中有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)试用x 表示圆柱的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)S 圆柱侧＝2πrx ＝2π⎝⎛⎭⎫2－x 3x ＝4πx －2π3x 2，x ∈(0,6)． (2)由(1)知当x ＝－4π2⎝⎛⎭⎫－2π3＝3时，这个二次函数有最大值6π， ∴当圆柱的高为3 cm 时，它的侧面积最大为6π cm 2.圆柱、圆锥、圆台的体积[例2] (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3B.128π3 C ．64π D ．1282π (2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．[解析] (1)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r ＝ l 2＋l 2，即l ＝2r ，由题意得，侧面积S 侧＝πr ·l ＝2πr 2＝162π，∴r ＝4. ∴l ＝42，高h ＝ l 2－r 2＝4.∴圆锥的体积V ＝13Sh ＝13π×42×4＝643π，故选A. (2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.(3)设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π，∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(12＋22＋1×2)×3＝733π.[答案] (1)A (2)D (3)733π圆柱、圆锥、圆台的体积求法(1)直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出．(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去．[变式训练]如图所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)解：正方体的表面积为4×4×6＝96(cm 2)，圆柱的侧面积为2π·1×1＝2π(cm 2)，圆柱的底面积为π·12＝π(cm 2)，则挖洞后几何体的表面积为96－π＋2π＋π＝96＋2π≈102.28(cm 2).球的体积与表面积[例3] (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( ) A ．12πB ．16π C.16π3 D.64π3(2)一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3(3)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________．[解析] (1)设球的半径为R ，则由已知得43πR 3＝32π3，解得R ＝2. 故球的表面积S 表＝4πR 2＝16π.(2)设球心为O ，截面圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1垂直于截面圆O 1，如图所示． 在Rt △OO 1A 中，O 1A ＝ 5 cm ，OO 1＝2 cm ， ∴球的半径R ＝OA ＝ 22＋(5)2＝3(cm)，∴球的体积V ＝43×π×33＝36π(cm 3)． (3)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为43π. [答案] (1)B (2)B (3)43π1．求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.2．球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R 、截面圆半径r 、球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．[变式训练]1．[变条件]将本例(3)变为：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是3，3，6，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )A ．12πB ．18πC ．36πD ．6π解析：选A 由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为23，从而球的半径为3，球表面积为12π.故选A.2.[变条件]将本例(3)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________．解析：如图，由条件知，O 1A ＝3，OO 1＝4，所以OA ＝5，所以球的表面积为100π.答案：100πA 级——学考合格性考试达标练1．直径为6的球的表面积和体积分别是( )A ．144π，144πB ．144π，36πC ．36π，144πD ．36π，36π解析：选D 半径R ＝3.所以S 表＝4πR 2＝36π，V ＝43πR 3＝4π3×27＝36π. 故选D. 2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π解析：选C 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C.3．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.故选A.4．圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )A ．4πSB ．2πSC ．πSD.233πS 解析：选A 底面半径是S π，所以正方形的边长是2πS π＝2πS ，故圆柱的侧面积是(2πS )2＝4πS .故选A.5．表面积为Q 的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为( )A.13Q B ．QC.43Q D ．2Q 解析：选C 4πR 2＝64π⇒R ＝4，∴V ＝13QR ＝43Q .故选C. 6．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.解析：设大球的半径为R ，则有43πR 3＝2×43π×13，R 3＝2，所以R ＝32. 答案：327．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________.解析：设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3. 答案：38．若一个直立圆柱的侧视图是面积为S 的正方形，则该圆柱的表面积为____________． 解析：设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，∵l ＝2r ，∴S ＝2r ·l ＝4r 2.∴r 2＝S 4. ∴S 表＝2πr 2＋2πrl ＝6πr 2＝3π2S . 答案：3π2S 9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3. 10．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O ′，球心为O ，连接O ′A ，OA ，OO ′，设球半径为R ，因为O ′A ＝23×32×2＝233. 在Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2，所以R 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋14R 2，所以R ＝43， 所以S 球＝4πR 2＝649π. B 级——面向全国卷高考高分练1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6解析：选A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.故选A. 2．一飞行昆虫被长为12 cm 的细绳绑在房间一角，则飞虫活动范围的体积为( )A ．144π cm 3B ．288π cm 3C ．576π cm 3D ．864π cm 3解析：选B 飞虫活动的范围是以墙角为球心，半径为12 cm 的球在房间内的部分，即整个球的18，∴飞虫活动范围的体积为18×43×π×123＝288π (cm 3)．故选B. 3．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( )A ．S 正方体>S 球B ．S 正方体<S 球C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝ 33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝ 3216V 2，S 球＝4πR 2＝ 336πV 2<3216V 2.故选A. 4．表面积为16π的球的内接正方体的体积为( )A ．8B.169C.64 39 D ．16解析：选C 设表面积为16π的球的半径为r ，则4πr 2＝16π，解得r ＝2.设内接正方体的棱长为a ，则3a ＝2r ，所以a ＝43 .所以内接正方体的体积V ＝a 3＝⎝⎛⎭⎫433＝64 39.故选C. 5．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________ cm 2. 解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r 3＝53.∴r ＝5.∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π (cm 2)．答案：100π6．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的底面圆的半径为________，体积为________．解析：设该圆锥的底面圆的半径为r ，高为h .∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，∴侧面展开图的弧长为5×8π5＝8π.又弧长＝底面周长，即8π＝2πr ，∴r ＝4，∴圆锥的高h ＝ 52－42＝3，∴圆锥的体积V ＝13×π×42×3＝16π. 答案：4 16π7.如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10,8,15(单位：cm)，球的直径为5 cm ，求该组合体的体积和表面积．解：根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．由已知可得V 长方体＝10×8×15＝1 200(cm 3)，又V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×⎝⎛⎭⎫523＝12512π(cm 3)， 所以所求几何体体积为V ＝V 长方体＋V 半球＝1 200＋12512π(cm 3)． 因为S 长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm 2)，故所求几何体的表面积S 表面积＝S 长方体全＋S 半球－S 半球底＝700＋254π(cm 2)． C 级——拓展探索性题目应用练有位油漆工用一把滚筒长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的刷子给一块面积为10 m 2的木板涂油漆，且滚筒刷以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？(精确到1 s)解：滚筒刷滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积．因为圆柱的侧面积S侧＝2π×0.1×0.5＝0.1π(m2)，且滚筒刷以每秒5周的速度匀速滚动，所以滚筒刷每秒滚过的面积为0.5π m2.所以油漆工完成任务所需的时间t＝100.5π＝20π≈6.366(s)．故油漆工完成任务所需的时间约是7 s.。
高中数学中的立体几何解题技巧
高中数学中的立体几何解题技巧作者：王文杰来源：《文理导航》2012年第32期高中数学中的立体几何是重点和难点之一，作为培养空间思维的立体几何，其基础知识的掌握及应用程度取决于我们对空间图形的认识与处理及正确思维方法的选择。
为此，笔者现就立体几何解题中几种常见的技巧予以分解，以供同仁参考。
1、巧作辅助图形，采用特殊化法例：求棱长为a的正四面体A-BCD的体积和外接球的半径。
解析：由于正四面体的六条棱相等，易联想到正方体的六个面的对角线相等。
于是构作辅助图形，即将正四面体补成正方体DE. 由AB=a，易得正方体棱长AE=■a，V■=V■-4V■=■a■由正方体是球的内接正方体，易知外接球半径为■a.例：在三棱锥P—ABC中，三条棱PA，PB，PC两两互相垂直。
设D为底面ABC内任一点，若PD与平面PAB，面PBC所成角分别为30°，45°.求PD与平面PAC所成角的正切值。
解析：本题若直接求解非常冗繁，但若考虑到题设条件，则以PD所在直线为对角线，PA、PB、PC所在线段为三条棱构作辅助图形长方体，使问题特殊化：即求该长方体的对角线PM与侧面PAC所成角的正切值。
设PD与侧面PAB，PBC，PAC所成角分别为α，β，γ.则依据长方体性质有：sin2α+sin2β+sin2γ=1.由条件知α=30°，β=45°.∴sin2γ=1-（sin2α+sin2β）=■.∴tanγ=■为所求。
评注：通过构造辅助图形，使原命题特殊化来解答某些立体几何问题，不但可以简化解题过程，优化问题解答，而且能开拓解题的思维视野，使问题解答独辟蹊径。
2、寻找主要矛盾，采用“隔离法”例：二面角α-l-β为30°，点A在平面α内，点A到直线l的距离为2，点A在平面β内的射影为B，B在平面α内射影为点A′，点A′在面β内射影为B′.求点B′到棱l的距离。
解析：本题由于条件太复杂，干扰因素太多，不便于分析。
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高中数学立体几何——常用求体积的三种解题方法1. 1
（1）分割法
一般的考试题目不会给你一个简单的长方体，正方体，圆等等一些能套公式就能求出体积，而是弄一些多面体，让你求它的体积。
分割法，就是把多面体分割成几个我们常见的立体，然后求各个分割体的体积，最后相加就能得出所要求的体积了。
2. 2
（2）补形法
多面体加以拼补，把它拼成我们常见的立体，求出该立体的体积后，把补上去的各个立体的体积算出来，相减就能得出所要求的体积了。
3. 3
（3）等体积法
这个方法举例比较好说明，比如，求四面体P-ABC的体积，但是顶点P到面ABC的距离不好求（即高h），然而我们把顶点和底面换一下，换成四面体A-PBC，此时，顶点A到面PBC的距离可以很容易就得到(AP ⊥面PBC,即AP就是高)，这样四面体A-PBC的体积就很容易就求出来了。
显然，四面体P-ABC和四面体A-PBC是同一个立体，因此，求出四面体A-PBC的体
积也就是求出四面体P-ABC的体积。