一题多解求不规则多面体体积——割补法的运用
“割补法”求解不规则几何体体积
“割补法”求解不规则几何体体积我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．一、来自三棱柱的截体例1 如图1，正四面体A BC D -中，E F G H ，，，分别是棱A B A C B D C D ，，，的中点，求证：平面EFH G 把正四面体分割成的两部分几何体的体积相等．分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割．证明：连结C E C G A G A H ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．二、来自正方体的截体例2 如图2，已知多面体ABC D EFG -中，A B A C A D ，，两两互相垂直，平面ABC ∥平面D E F G ，平面BEF ∥平面A D G C ，2AB AD D C ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8解法一（割）：如图3，过点C 作C H D G ⊥于H ，连结EH ，这样就把多面体分割成一个直三棱柱D EH ABC -和一个斜三棱柱BEF C H G -．于是所求几何体的体积为：DEH BEF V S AD S DE =⨯+⨯△△11212212422⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是所求几何体的体积为31242V =⨯=．三、来自圆柱的截体例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1，而上面的圆柱的高为3． 于是所求几何体的体积为221π212310π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=．解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是21π2510π2V =⨯⨯⨯=．例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。
立体几何中的割补法解题技巧
⽴体⼏何中的割补法解题技巧
⽴体⼏何中的割补法解题技巧
※⾼考提⽰
⽴体⼏何中常⽤割补法解题.特别是⾼考中的⽴体⼏何题很多可⽤割补法解,有时解起来还⽐较容易.
[规律⼩结]
割补法是割分形法即割法与补加形法即补法的总称。
补法是把不熟悉的或复杂的⼏何体延伸或补加成熟悉的或简单的⼏何体，把不完整的图形补成完整的图形。
割法是把复杂的或不熟悉的⼏何体，割分为简单的或熟悉的⼏何体。
这样对此解起题来就有好处。
割补法中的割与补是⼀个问题中的相反两个⽅⾯，是对⽴统⼀的⼀对⽭盾。
解决⼀个问题，是割是补？这要看问题的性质，宜补就补，宜割就割，不可割补就不割补，就是宜割补，也要讲究如何割补，不要盲⽬⾏动，否则就会导致⿇烦，使问题复杂化，使得其反，甚⾄问题还不能解决。
⽴体⼏何中需得三棱柱补成平⾏六⾯体，将三棱维补成三棱柱，将三棱柱割分为三棱维等等这些我们很熟悉，其实，割补法不仅仅使⽤于⽴体⼏何，将上述概念中的⼏何体或图形改为代数式，那么在数学的其它⽅⾯使割补法也就很多了，⽐如运算中的添项减项，重新组合另⾏考虑，考虑问题的对⽴⾯等等均可视为割补法，因此，割补法不只是⼀种⽅法，可把它上升为⼀种思想——⼀种数学思想。
关于我们：。
例谈割补法求空间几何体的体积
例谈"割补法"求空间几何体的体积作者：蓝诚来源：《读写算》2012年第21期【摘要】高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂。
如果能利用"割"与"补"的方法来解决，就可以把一些不易直接计算的几何体"分割"成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，化繁为简，使思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。
本文就通过具体的实例来谈谈如何利用"割补法"解决此类难题。
【关键词】分割法等体积变换底面法补形法高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法，就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂的几何体。
如果能利用"割补法"来解决，把一些不易直接计算的几何体分解成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，使复杂多变的问题变得思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。
下面就谈谈"割补法"解决难题具体做法。
一、分割法：就是将一个难于直接计算的几何体分割成几个易于计算的几何体，分别求出它们的体积，再将加，便得所求几何体的体积。
例1 如图，在三棱锥A-BCD中，若相对棱AB⊥CD，且AB=4，CD=3，EF是这两条异面直线AB、CD的公垂线，且EF=6，求该三棱锥A-BCD的体积.分析：本题所给的条件，如果直接从正面利用公式直接去求是没有办法的，但是从EF是这两条异面直线AB、CD的公垂线出发，易知AB⊥EF，AB⊥CD，EF∩CD=F，所以知道AB⊥面ECD，这样我们就以⊿DCE为底面，高分别是AE、BE的两个小的三棱锥A-DCE和三棱锥B-DCE来计算就行，于是得下面的解答。
割补法、构造法、特值法应用综述——高中数学解题基本方法系列讲座(9)
=1，
联想
向量的数量积的坐标运算法则， 可以构造向量．设向量軖m=
（cos琢，
sin琢），
n軋=
（
１ a
+
１ b
），
由题意知
cos琢 a
+
sin琢 b
=1.
姨 由
軖m·n軋≤│軖m││n軋│，可得
1=
cos琢 a
+
sin琢 b
≤
１ a2
+
１ b2
．又
可自然快速得到答案 D.
点评： 平面向量进入高中教材后， 其主要的功能就好应
G
E
F
（2）
G
面 体 ABC -DEFG 中 ，
AB， AC， AD 两两互相垂直， 平面 ABC∥平面 DEFG， 平面
BEF∥平面 ADGC， AB=AD=DC=2， AC=EF=1， 则该多面体的
体积为 （ ）
Ａ． 2
Ｂ． 4
Ｃ． 6
Ｄ． 8
分析： 这个几何体即可以看作两个三棱柱拼合而成的，
也可以看作是从一个正方体割下来的．
那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是
所求几何体的体积为 V= １ ×2３＝４． ２
点评： 割补法是我们解决不规则空间几何体体积的最主
要的技巧， 其基本思想是利用割补将其转化为规则空间几何
体加以解决．
2． 构造法: 在解题时， 我们常常会采用这样的方法， 通过
对条件和结论的分析， 构造辅助元素， 它可以是一个图形、
其外接球的表面积是
．
分析： 将其补成一个正方体．
解析： 这样的三棱锥实际上是正方体被一个平面所截下
割补法解立体几何中的技巧
解 题 技巧 与 方 法
・ 篇黑
・
舞
静静黼
●
●
剑排瀛解寞 挑俩
◎王 东 （ 甘 肃酒泉工 贸中等 专业 学校 ， 甘 肃 酒泉
援
２ ７ ４ ０ ０ ０ ）
【 摘要】 割补法是计算平面几何图形面积的推导方法，
也是 一种 思考方 法． 在几 何 图形教 学 中， 有着 广泛 的应用．
为 ， 故选 Ｂ ．
面体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的外接球 的表 面积．
分析
由图 ８ 得 四面体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ如 图 ９所示 ， 欲求其外接
球 的表 面积 ， 先要找 出其 外接球心 所在的 位置 ， 将 图 ９补 成
数 学学习与研究
２ ０ １ ７ ． ２ ２
● ●
・
・
●
如图ｌ ０所示的长方 体 ， 易 知其外接 球心是 长方 体对 角线 的 中点 ， 问题便 可以解决．
例４ 已知曲线Ｙ ：， ／ １ 一 与 轴的交点为Ａ ， ， 分别
由Ａ 。 Ｂ两 点 向直 线 Ｙ ＝ √ ３ 作 垂线 ， 垂 足分别 为 Ｃ ， Ｄ ， 沿直
线 Ｙ： 将平 面 Ａ Ｃ Ｄ 折起 ， 使平 面 Ａ Ｃ Ｄ上平 面 Ｂ Ｃ Ｄ， 求四
等腰直角三角形 ， 利用体积 相等 ， 立即可求 得原 三棱锥 的高
证明 ： 平面 Ｇ 。 Ａ Ｂ上平 面 Ｇ ｌ Ａ Ｄ ．
Ａ ． ÷
Ｂ ． ４
Ｄ． ４
图５
图 ６
国
图 １
图 ２
分析
求点到面 的距 离通 常是 过点 作 面 的垂线 ， 而由
图７
于该 图的局 限性 不太好 作垂线 ， 考 虑 ０为 Ａ ， ｃ ， 的中点 ， 故 将要求 的距 离与 ／ Ｉ ， 到面 Ａ Ｃ ， Ｄ， 的距离挂 钩 ， 从 而与棱锥知
割补法在立体几何解题中的应用
例
.
2
〔19 93 年 理 工 农 医 类 高 考 题 ( 26 )〕
IA BI C I 一 A B C 是 直 三梭 柱 , 过 点 A , 、 B 、 C l 的平 面 和 平面 A B C 的 交 线记 为 L 。 ( 1) 判定直 线 IA C I 和 L 的
BC 位 里 关 系 , 并加 以 证 明 ; (2 ) 若 A A : = 1 , A B ~ 4 ,
. 中学 理科 教 学
割补法在立体几何解题中的应用
白银 公 司一 中 赵 保 铎
几何 体彼此之 间有着密切 的联 系 , 解题 时只要
细 心 观 察 , 广泛 联 想 , 不 难发 现 其 转 化 契 机 . 所 谓 割
补 法 , 即 补 体法和 分割 法 的合 称 , 就 是 实 现 几 何 体 之
~ 3 , 匕 A B C ~ 90 。 , 求 顶 点 A l 到 直线 L 的距 离 。
分析 : 解 此题 , 作出 平
面 A I EC ; 和 平 面 A B C 的 交线 L 是 关键 . 如 图 (3 ) , 补作 一 个 直 三 棱 柱 人B r 卜一 A I B , D , , 使 其 成 为 一 个 直 四 棱 柱 A C B I) 一
粤 公 垂 线 E D 一 h , 求 证 三 棱 锥 的 体 积 v 一 LZ h 。
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分 析 : 与现 行立 几 教
材 分割三 棱 柱 的情 况 相
反 , 也可 以 把 一个三 棱 锥 补成一 个体积 是其三倍 的 三棱柱 。 如图 ( 4 ) ,连 B E 、
用割补法求几何体的体积
用割补法求几何体的体积――培养学生的空间想象能力内容提要：本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。
关键字：割补法空间想象能力在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。
特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。
那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。
空间想象能力的提高必定AB要经过实际的训练，途径也有很多种。
本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。
由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。
针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:① 几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。
② 几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。
一、用割补法求锥体的体积例题一：已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。
【思路一】作BC 的中点D ，连接PD 、过P 作AD PH ⊥，垂足H易证PH 即为三棱锥ABC P -的高， 由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-31即得 三棱锥ABC P -的体积。
割补法在解题中的应用
巧用割补，化难为易顾介远割补法就是把图形切开，把切下来的那部分移动到其他位置，使题目便于解答；割补法是立体几何解题中的常用技巧，巧妙地对几何体进行分割与拼补，能够简化解题过程。
例如：已知正四面体的棱长为2，求其内切球和外接球的表面积与体积。
分析：本题的解题关键是求出正四面体的内切球和外接球的半径，用何种方法，怎样思维就成了解决本题的关键。
由几何图形我们不难看出球和正四面体都是对称的几何体，所以正四面体的外接球、内切球的球心与正四面体的几何中心重合。
将球心与正四面体的四个顶点连线，就可将这个正四面体分割成四个正四棱锥，这四个正四棱锥的底面分别是正四面体的侧面和底面，高是该正四面体的内切球的半径，侧棱为正四面体的外接球的半径，因此它们的体积相等且这四个正四棱锥的体积的和为正四面体的体积，从而我们可以得出结论：正四面体的外接球的半径是它的内切球的半径的3倍，它们的和等于该正四面的高。
令正四面体的高为h ，则h 2=SA 2-(32AE)2 =(2)2-(233)2,所以h=332；故该正四面体的外接球的半径R=43h=23，其表面积为S=3π；其体积为V=23π。
该正四面体的内切球半径r=41h=63，其表面积为s=31π，其体积v=183π。
如果把思维放开，这个正四面体可以看作是一个棱长为1的正方体ABCD-A /B /C /D /，“切去”四个“角”所对应的三棱锥得到正四面体C /-A /BD ，则该四面体与正方体具有公共的外接球，此时外接球的直径等于该正方体的体对角线的长，即2R=3，所以R=23，再根据R ：r=3：1的关系，该四面体的内切球半径r 就很容易求得了。
高中数学学习的本质是提高学习者的思维品质，快快进行“头脑体操”的锻炼吧，它给你带来快乐和成就感一定会超过鸟叔的《江南style 》！。
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一题多解求不规则多面体体积——割补法的运用【摘要】高中教学中所涉及的几何体，大多是规则的，如柱体、锥体、台体、球体，主要采用直接公式法和等体积法直接求解其体积，但在平时的教学练习和高考试题中，经常遇到一些不规则的多面体，不易于直接求解，本文利用分割法与补形法多角度求解一个不规则多面体的体积，从而达到一题多解的目的。
【关键词】不规则多面体；分割法；补形法；一题多解
体积在立体几何教学中中占有一定的地位，对于规则几何体，可以利用直接公式法和等体积转化法进行求解，不规则的几何体如何去求呢？其实，皆可以采用割补法，分割成一些简单的规则的几何体，然后采用公式法和等体积法求解。
割补思想，是立体几何的重要思想。
通过割补，将复杂的问题简单化。
解题时，要注重一题多解，多角度的割与补，以达到方法的灵活运用。
以下题为例：
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD底面ABCD，且PD=1，点E，F分别是棱PB，AD的中点.
(II)求多面体PDFEC的体积.
此题来自新课标2014宁夏海南模式高考模拟试题汇编试题3：哈尔滨市高考复习质量检测的第19题。
初看到这道题，多面体PDFEC比较复杂，学生很清楚采用割补
法，但却一时无从下手。
我先给出标准答案：
V多面体平PDFEC=VE-PDC+VE-PDF+VE-FCD
沿截面分割成三部分，由于学生的空间想象能力有限，不易想清楚。
难道没有更好的方法吗？我鼓励学生大胆尝试，积极探索，但没有想到学生思维敏捷宽阔，交流热烈踊跃，方法丰富多样，竟然又给出四种不同的解法。
现将其整理如下：
当这些学生一一阐述完自己的做法，几乎所有的学生都是激动的，对题目的惧怕心理一扫而光，原先“想不清楚的”一个不规则多面体，只要敢想，原来可以有这么多种求法。
针对这种现象，我又趁热打铁，设计如下题目：
如图所示的几何体为一简单组合体，其底面ABCD为矩形，PD ⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC.AB=3，AD=2，PD=2，求该简单几何体的体积。
此题与上例同是割补法，但不同的是这题的思路更好找，方法更多，更易于开发学生的思维。
分割法：
1、V=VP-ABCD+VP-BCE
2、V=VP-ABD+VB-PDCE
3、V=V ADF-BCE+VP-ABEF
补形法：
1、V=VP-ABGD-VE-BCG
2、V=VPAD-HBC-VP-BEH
仔细分析一下，无外乎是割补，虽然是简简单单的两个字，但具体操作时可以多角度多层面的。
这节课下来，学生完成了求解不规则多面体体积的课程，不仅理解了“割补”方法的内涵，更加能游刃有余的运用。
波利亚说：“教师在课堂上讲什么当然重要，然而学生想什么更是千百倍的重要，思想应该在学生脑海中产生出来，而教师仅仅就起一个助产婆的作用。
”数学课堂应该是充满生命活力的，充满着浓厚趣味和挑战的，老师不能一味地讲，学生一味地模仿、接受，我们应该让学生在发现问题时积极探索并有效地解决问题，并为他们提供互相交流的平台，让他们在“做中学，学中做”的过程中不断成长。
由此，我更加深刻的意识到：教学并非是忠实地执行官方课程或者标准答案的过程，而是师生共同决定学习内容、建构知识的过程，是挖掘、拓展教学内容的过程。
只有这样才能使师生的主体性与生命力的张扬、发展成为一个统一的过程。
参考文献
［1］申招斌主编《高中数学思维导图》湖南教育出版社2012年8月第4版
［2］冯寅《解决体积问题的三种策略》数理化学习高中版2004年第5期。