利用割补法解几何题
立体几何中的割补法解题技巧
⽴体⼏何中的割补法解题技巧
⽴体⼏何中的割补法解题技巧
※⾼考提⽰
⽴体⼏何中常⽤割补法解题.特别是⾼考中的⽴体⼏何题很多可⽤割补法解,有时解起来还⽐较容易.
[规律⼩结]
割补法是割分形法即割法与补加形法即补法的总称。
补法是把不熟悉的或复杂的⼏何体延伸或补加成熟悉的或简单的⼏何体，把不完整的图形补成完整的图形。
割法是把复杂的或不熟悉的⼏何体，割分为简单的或熟悉的⼏何体。
这样对此解起题来就有好处。
割补法中的割与补是⼀个问题中的相反两个⽅⾯，是对⽴统⼀的⼀对⽭盾。
解决⼀个问题，是割是补？这要看问题的性质，宜补就补，宜割就割，不可割补就不割补，就是宜割补，也要讲究如何割补，不要盲⽬⾏动，否则就会导致⿇烦，使问题复杂化，使得其反，甚⾄问题还不能解决。
⽴体⼏何中需得三棱柱补成平⾏六⾯体，将三棱维补成三棱柱，将三棱柱割分为三棱维等等这些我们很熟悉，其实，割补法不仅仅使⽤于⽴体⼏何，将上述概念中的⼏何体或图形改为代数式，那么在数学的其它⽅⾯使割补法也就很多了，⽐如运算中的添项减项，重新组合另⾏考虑，考虑问题的对⽴⾯等等均可视为割补法，因此，割补法不只是⼀种⽅法，可把它上升为⼀种思想——⼀种数学思想。
关于我们：。
割补法在高中立体几何解题中的应用
正方 体棱 长为 １ ， 从 而外 接球 半径 Ｒ 一 ， 得 Ｓ 球
一
３ ． 故 选 Ａ． 变式 １ 三 棱 锥 Ｐ～Ａ ＢＣ 满 足 Ｐ Ａ—Ｐ Ｂ —
Ｐ Ｃ＝ ＝ ＝ ２ ， △ Ａ Ｂ Ｃ 为正 三角形 ， 其边 长 为 ２ √ ２ ， 四个
仙 ∞ ＥＦ — 棱柱 ～ 棱锥 一 ．
Ａ Ｅ Ｆ 的 面 积 为 丢 ｓ ．
由 于 Ｖ Ａ Ｅ ｎ ｃ ： 专 ・ ＾ ・ （ 鲁 ＋ ｓ ＋ 导 ） 一
Ｓ ｈ， 则剩 余不 规 则几 何体 的体 积 为 Ｖ 一 Ｖ —
Ｖ — Ｓ ｈ一 ７ Ｓ ｈ
变式 ３ 过 正方 形 ＡＢ Ｃ Ｄ 的顶 点Ａ 作 Ｐ Ａ Ｊ Ⅲ 平面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ， 设 Ｐ Ａ —Ａ Ｂ， 求平面 Ｐ ＡＢ 和 平 面
关 键 词 割 补 法 ； 立体几何 ； 解题
割补 法就 是 通 过几 何 体 的分 割 或补 形 进 而 发现 未 知几 何 体 和 已知 几 何 体 内在 联 系 的一 种 方法 ． 这 种 方 法 蕴 含 了一 种 构 造 思想 ， 同 时也 反 应 了对立 统一 的辩 证思 想． 掌 握 这 种方 法 对 培养 学生 的数 学 素养 及创新 意识 都 有 重 要 意义 ． 本 文
体积 ．
一
ＡＰ Ｂ ＝
ＡＰ ｃ
Ｂ ＰＣ 一 ６ ０ 。 求：
国
图３ 图４
三 棱 锥 Ｐ— Ａ Ｂ Ｃ 的
体
４ 分析 １ 作 Ｂ Ｃ Ｎ６ 口
的 中 点 Ｄ， 连接 Ｐ Ｄ、 Ａ Ｄ， 过 Ｐ作 Ｐ Ｈ ｊ Ｉ Ａ Ｄ， 易 证
割补法求面积经典例题
割补法求面积经典例题当涉及到计算面积的经典例题时，割补法是一种常用且有效的方法。
下面割补法求面积的经典例题：1. 一个矩形的长为10cm，宽为5cm，求其面积。
解：面积= 长×宽= 10cm ×5cm = 50cm²2. 一个正方形的边长为7cm，求其面积。
解：面积= 边长×边长= 7cm ×7cm = 49cm²3. 一个圆的半径为3cm，求其面积（取π=3.14）。
解：面积= π×半径²= 3.14 ×3cm ×3cm = 28.26cm²4. 一个梯形的上底长为6cm，下底长为8cm，高为4cm，求其面积。
解：面积= （上底长+ 下底长）×高÷2 = （6cm + 8cm）×4cm ÷2 = 28cm²5. 一个三角形的底边长为9cm，高为12cm，求其面积。
解：面积= 底边长×高÷2 = 9cm ×12cm ÷2 = 54cm²6. 一个平行四边形的底边长为10cm，高为6cm，求其面积。
解：面积= 底边长×高= 10cm ×6cm = 60cm²7. 一个等边三角形的边长为5cm，求其面积。
解：面积= （边长²×√3）÷4 = （5cm ×5cm ×√3）÷4 ≈10.83cm ²8. 一个正五边形的边长为8cm，求其面积。
解：面积= （5 ×边长²×√5）÷4 = （5 ×8cm ×8cm ×√5）÷4 ≈110.85cm²9. 一个正六边形的边长为12cm，求其面积。
解：面积= （6 ×边长²×√3）÷4 = （6 ×12cm ×12cm ×√3）÷4 ≈374.12cm²10. 一个扇形的半径为5cm，圆心角为60°，求其面积（取π=3.14）。
(完整版)用割补法求面积
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
用割补法求几何体的体积
用割补法求几何体的体积――培养学生的空间想象能力内容提要：本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。
关键字：割补法空间想象能力在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。
特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。
那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。
空间想象能力的提高必定AB要经过实际的训练，途径也有很多种。
本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。
由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。
针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:① 几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。
② 几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。
一、用割补法求锥体的体积例题一：已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。
【思路一】作BC 的中点D ，连接PD 、过P 作AD PH ⊥，垂足H易证PH 即为三棱锥ABC P -的高， 由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-31即得 三棱锥ABC P -的体积。
割补法在高中立体几何解题中的应用_方清
锥．故只 要 求 出 其 中 一 个 三 棱 锥 的 体 积 即 可．由
图 可 知 ，ＶＡ′－ＢＥＤ′ ＝ＶＤ′－Ａ′ＢＥ ＝ １３·ＳΔＡ′ＢＥ·Ａ′Ｄ′＝
１ ３
·１２·ａ２·ａ·ａ＝１１２ａ３
．故ＶＡ′－ＥＢＦＤ′
＝２ＶＡ′－ＢＥＤ′
＝
１ａ３． ６
以上各例 说 明，在 解 决 某 些 几 何 问 题 时，若
利用部分与整体的关系来解题．
例６ 已知三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ，其中 ＰＡ ＝４， ＰＢ ＝ ＰＣ ＝２，
∠ＡＰＢ ＝ ∠ＡＰＣ ＝ ∠ＢＰＣ ＝６０°求：
三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ 的
体积．
分析１ 作 ＢＣ
分析 如图４，将一个完全相同的几何体与 已知的几何体拼在一起组成一个高为５的圆柱，
那么所 求 几 何 体 的 体 积 就 是 这 个 圆 柱 体 积 的
例８ 如图 １０，已
知正方体 ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ 的 棱 长 为ａ，
Ｅ、Ｆ 分 别 是 棱 ＡＡ′ 和
ＣＣ′ 的 中 点，求 四 棱 锥
Ａ′－ＥＢＦＤ′ 的体积．
分析 本题要想直接求出四棱锥的高还是 比较困难的．但 是 四 棱 锥 的 底 面 是 菱 形，所 以 连
结对角线把四棱Leabharlann 分割成体积相等的两个三棱Ａ．３π Ｂ．４π Ｃ．３ 槡３π Ｄ．６π
分析１ 设ΔＡＣＤ 的重心 为 Ｅ，则球心在线段 ＢＥ 上，可 在直角 三 角 形 中 求 解，但 计 算 较麻烦．
分 析 ２ 将 正 四 面 体 ＡＢＣＤ 补成正方体，则 正 四 面 体、正 方 体 的 外 接
球为同一 个 球．因 为 正 四 面 体 的 棱 长 为槡２，所 以
（收 稿 日 期 ：２０１３－０８－１６）
三角形面积割补法
三角形面积割补法在几何学中，我们经常需要计算三角形的面积。
三角形是最基本的几何形状之一，其面积计算方法也非常重要。
除了传统的高乘以底再除以2的方法，还有一种称为“三角形面积割补法”的计算方法。
本文将详细介绍三角形面积割补法的原理和应用。
让我们回顾一下传统的计算三角形面积的方法。
传统方法是根据三角形的高和底边来计算面积。
假设三角形的底边长为b，高为h，则三角形的面积S等于底乘以高再除以2，即S = (b * h) / 2。
这是最常见的计算三角形面积的方法。
然而，在某些情况下，我们可能无法直接测量三角形的高和底边。
这时，三角形面积割补法就派上用场了。
三角形面积割补法的原理是将三角形割补成一个或多个可以直接计算面积的几何形状，再将这些形状的面积相加得到三角形的总面积。
具体来说，我们可以将三角形割补成两个直角三角形或一个直角三角形和一个梯形。
接下来，我们将详细介绍这两种情况下的计算方法。
第一种情况是将三角形割补成两个直角三角形。
假设三角形的两条边长分别为a和b，夹角为θ。
我们可以通过以下步骤来计算三角形的面积：1. 首先，根据三角形的两个边长和夹角，使用三角函数计算三角形的高。
例如，可以使用正弦函数计算出高h = b * sin(θ)。
2. 接下来，计算第一个直角三角形的面积，使用传统的计算方法：S1 = (b * h) / 2。
3. 然后，计算第二个直角三角形的面积，使用传统的计算方法：S2 = (a * h) / 2。
4. 最后，将两个直角三角形的面积相加，得到三角形的总面积：S = S1 + S2。
第二种情况是将三角形割补成一个直角三角形和一个梯形。
假设三角形的两条边长分别为a和b，夹角为θ。
我们可以通过以下步骤来计算三角形的面积：1. 首先，根据三角形的两个边长和夹角，使用三角函数计算三角形的高。
例如，可以使用正弦函数计算出高h = b * sin(θ)。
2. 接下来，计算直角三角形的面积，使用传统的计算方法：S1 =(a * h) / 2。
立体几何巧思妙解之割补法
立体几何巧思妙解之割补法在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一目了然的作用。
一 、求异面直线所成的角例1、如图1，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）000090604530A B C D分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。
如图1，只要AC 的中点G ，连EG ，FG ，解△EFG 即可.应该是情理之中的事。
若把三棱锥巧妙补形特殊的正方体，定会叫人惊喜不已。
巧思妙解：如图2，把正三棱锥S-ABC 补成一个正方体11AGBH ACB S -，1//,EF AA ∴异面直线EF 与SA 所成的角为0145A AS ∠=。
故选C 。
二、体积问题例2、如图3，已知三棱锥子P —ABC，10,PA BC PB AC PC AB ======锥子P —ABC 的体积为（ ）。
4080160240A B C D分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。
若能换个角度来思考，注意到三棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。
巧思妙解：如图4所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。
PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有：2222221001366,8,10164x y x z x y z y z ⎧+=⎪+=⇒===⎨⎪+=⎩，从而知 416810468101606P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEBV V V V V V V V --------=----=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 例3、如图5，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）23分析：要直接求解组合几何体的体积显然较困难，变换角度思考将这个组合几何体分割成特殊的几个几何体求解，则问题可迎刃而解。
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利用割补法巧解几何题
温州实验中学：江瑛
割补法在初中数学竞赛中经常用到，实际上它也广泛应用于一般几何证明题中。
下面我就从四个方面来说明割补法在几何证明中的重要性：
一．利用垂直与特殊角割补成特殊三角形
例1：四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∠A=135°，AD=2，BC=6 H
求四边形ABCD面积
解： D
A
B C
例2：四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB H =30°，∠ABC=60°，四边形ABCD
面积为5√3， D
求AD长 C
解：
B
A
D
思考题：
1．已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=1， C ∠A=60°，∠B=∠D=90°
求四边形ABCD面积
A B
2．四边形ABCD中，∠ABC =135°， D
∠BCD=120°，AB=2√6，
BC=5√3，CD=6
求AD长 A
C B
二．利用角平分线与垂直割补全等
例1：△ABC是等腰Rt三角形，∠A=90°，AB=AC， F BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E
求证：BD=2CE
解： A
E
D
B C
思考题：
1．已知：AB=3AC，AD平分∠BAC，
BD⊥AD，AD交于BC于O C D
求证：OA=OD O
A B
2．已知：锐角△ABC中，∠B=2∠C A
∠B的平分线与AD垂直
求证：AC=2BD
D
B C 三．利用互补割补全等
例1：五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED C D =90°AB=CD=AE=BC+DE=1
求五边形ABCDE面积 B
解：
E
F
A
例2：在四边形ABCD中，已知：AB= A E AD,∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥
BC，且AH=1
求四边形ABCD面积 D 解：
B H C
思考题：
1．五边形ABCDE中，AB=AE， A
BC+DE=CD，∠ABC+∠AED
=180°，连AD E
求证：AD平分∠CDE
D
B
C
2：△ABC为边长是1的正三角形，△BDC是顶角 A ∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点，
作一个60°两边分别交AB于M、
交AC于N，连MN。
求△AMN周长
M N
B C
D
四：利用特殊角割补成规则图形H
例1：一个六边形六内角都是120°，连续
四边长分别为1、3、3、2。
求该六边形面积和周长 E D
解：
F C
M A B N
例2：△ABC中，∠BAC=45°，
AD⊥BC于D，BD=2，DC=3
求S△ABC
解：
E
B D
F
思考题：
1．凸无边形ABCDE中，∠A=∠B=120°， C
EA=AB=BC=2，CD=DE=4，
求五边形ABCDE面积 B
D
A
E
2．六边形ABCDEF中，∠A=∠B=
∠C=∠D=∠E=∠F=120°， A F
求证：AB+BC=EF+ED
B E
C D
同学们：如果你有空跟着我们看看练练，就一定能提高做题感觉，再次遇到这类题型时，相信你一定能“下笔如有神！”试试吧！。