解析法证明平面几何经典问题--举例
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法在高中数学学习中，平面解析几何是一个重要的内容，也是考试中的重点。
平面解析几何主要研究平面上的点、直线、圆等几何图形的性质和关系，通过坐标系和代数方法进行分析和解决问题。
下面我们将介绍一些常见的平面解析几何题型及解答方法，希望能给同学们提供一些帮助。
一、直线方程的求解直线方程的求解是平面解析几何中的基础内容。
常见的题型有已知直线上的两点，求直线方程；已知直线的斜率和一点，求直线方程等。
这里我们以已知直线上的两点，求直线方程为例进行说明。
例如，已知直线上的两点为A(2,3)和B(4,5)，求直线方程。
解题思路：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
根据已知条件，我们可以列出方程组：3 = 2k + b5 = 4k + b解方程组，得到k和b的值，从而得到直线方程。
解题步骤：1.将方程组改写为矩阵形式：| 2 1 | | k | | 3 || 4 1 | | b | = | 5 |2.利用矩阵的逆运算，求出k和b的值。
3.将k和b的值代入直线方程y = kx + b，即可得到直线方程。
通过这个例子，我们可以看到求解直线方程的方法是通过已知条件列方程组，然后通过矩阵运算求解出未知数的值，最后将值代入直线方程得到结果。
二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容。
常见的题型有直线与圆的切线问题、直线与圆的交点问题等。
这里我们以直线与圆的切线问题为例进行说明。
例如，已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，直线的方程为y = 2x - 1，求直线与圆的切点坐标。
解题思路：首先，我们需要确定直线与圆是否有交点。
当直线与圆有交点时，我们可以通过求解方程组得到交点坐标。
当直线与圆没有交点时，我们需要判断直线与圆的位置关系，进而确定是否有切点。
解题步骤：1.将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
2.求解二次方程，得到x的值。
平面几何的解析证法7
平面几何的解析证法一．方法介绍解析法是把几何问题转化成代数问题来处理的更一般的方法，用解析法解几何题时，要特别注意选择适当的坐标系，同时还要灵活利用几何图形的性质及代数、三角知识的综合运用。
其关键是：仔细审题，研究各几何量的位置和数量关系，选择适当的坐标系和方程形式。
二．应用举例例1．（2004年全国高中数学联赛）在锐角ABC∆中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 交于点H ，以DE 为直径的圆分别交,AB AC 于,F G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知25,20,7BC BD BE ===，求AK 的长。
解：以直线AB 为x 轴，直线EC 为y 轴建系，则()()7,0,0,24B C 。
设(),0A a ，则AC ：24240x ay a +-=。
由题24,20CE BD ==20=，解得18a =-，故||25||B C A B ==，知D 为AC 中点，且()9,12D -。
从而以DE 为直径的圆的方程为()()224.5656.25x y ++-=，故()9,0F -。
因:43720AC x y -+=，故可设372,4y G y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，则由EG AC ⊥得21625y =，知288216,2525G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可得247FG BC k k =-=，所以//FG BC ，AFG ∆为等腰三角形，216||25G AK y ==。
例2．已知直线l 与O 相离，OP l ⊥于点P ，Q 是l 上异于P 的一点，,QA QB 分别切O 于,A B ，直线AB 交OP 于点K ，PN BQ ⊥于点N ，PM AQ ⊥于M ，求证：MN 平分线段PK 。
证明：以O 为原点，OP 为y 轴建系，并设()0,1P ，()0,1Q x ，O ：()22201x y r r +=<<，则20:AB x x y r +=，故()20,K r 。
设()0:1A QA x x m y -=-，()0:1B QB x x m y -=-，K H G FED C BAK R NMQ PB AO则有r ==，即()()222200120,i i m r x m r x i A B -++-==，因此221A B x m m r +=-。
平面解析几何的应用题
平面解析几何的应用题在解析几何中，我们学习了如何利用坐标系和代数方法来研究和解决平面上的几何问题。
平面解析几何的应用非常广泛，可以帮助我们解决实际生活中的很多实际问题。
本文将通过几个具体的应用题来展示平面解析几何的应用。
1. 题目一：平面上两点的中点坐标已知平面上两点A和B的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，求这两点的中点坐标M。
解析：根据中点的定义，我们知道中点M的横坐标为xM = (x1 + x2) / 2，纵坐标为yM = (y1 + y2) / 2。
因此，我们可以得出中点M的坐标为M((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)。
2. 题目二：平面上两点间的距离已知平面上两点A和B的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，求这两点之间的距离AB。
解析：根据两点间的距离公式，我们可以利用坐标差值和勾股定理来计算距离。
首先计算x轴上的差值dx = x2 - x1，y轴上的差值dy = y2 - y1。
然后，根据勾股定理，我们有距离AB = √(dx^2 + dy^2)。
3. 题目三：平面上直线的斜率和截距已知平面上一条直线L过点A(x1, y1)且斜率为k，求直线L的方程和截距。
解析：直线L的方程可以表示为y = kx + b，其中b为截距。
由于直线L过点A(x1, y1)，代入得到y1 = kx1 + b。
因此，截距b可以通过解方程y1 = kx1 + b来求解。
4. 题目四：平面上两直线的交点坐标已知平面上两条直线L1和L2的方程分别为y = k1x + b1和y = k2x + b2，求这两条直线的交点坐标。
解析：将直线L1和L2的方程联立，我们得到k1x + b1 = k2x + b2。
通过移项整理，我们可以解出x坐标。
然后，将求得的x坐标代入其中一个方程中求解y坐标，即可得到交点的坐标。
5. 题目五：平面上两直线的夹角已知平面上两条直线L1和L2的斜率分别为k1和k2，求这两条直线的夹角。
平面几何问题解法
平面几何问题解法平面几何是几何学中的一部分，主要研究平面上的点、线、角以及它们之间的关系。
这一领域包含了众多的基本概念和定理，解决平面几何问题需要运用这些基本概念和定理进行推理和证明。
本文将介绍一些常见的平面几何问题及其解法。
一、线段的分割问题在平面几何中，线段的分割问题是一个常见的题型。
对于给定的线段，我们需要将其分割为若干等分段，或者按照一定比例分割。
解决这类问题的方法有很多种，我们可以使用直尺、量角器或者绘制辅助线等。
例如，考虑将线段AB分割为5等分段的问题。
我们可以使用量角器测量角度AOB，并将其等分为5个小角度。
然后利用直尺连接A和最后一个小角度的顶点，得到分割线段AB的5个等分段。
二、平行线与垂直线问题平行线与垂直线问题是平面几何中的基本问题之一。
我们需要确定两条直线之间的关系，是平行的还是垂直的。
解决这类问题的方法有很多种。
一种常用的方法是利用角的性质。
如果两条直线之间的夹角为90度，则它们是垂直的；如果两条直线之间的对应角都相等，则它们是平行的。
另外，我们还可以利用直线的斜率来判断平行与垂直关系。
如果两条直线的斜率相等，则它们是平行的；如果两条直线的斜率乘积为-1，则它们是垂直的。
三、平面图形的面积和周长问题计算平面图形的面积和周长是平面几何中常见的问题。
我们需要根据给定的图形形状和尺寸来计算其面积和周长。
对于不规则图形，我们可以将其分割为若干个简单的几何形状，然后计算每个几何形状的面积和周长，最后将它们累加起来。
对于规则图形，我们可以根据其定义的公式来计算面积和周长。
例如，正方形的面积等于边长的平方，周长等于边长乘以4；圆的面积等于半径的平方乘以π，周长等于直径乘以π。
四、三角形的性质和运用三角形是平面几何中的重要几何形状，它具有许多特殊的性质和定理。
例如，三角形的内角和等于180度，即∠A+∠B+∠C=180度。
我们可以利用这个性质来解决一些三角形的内角问题。
另外，三角形的相似性也是平面几何中的重要概念之一。
平面几何问题解析与应用
平面几何问题解析与应用一、介绍平面几何是几何学的一个重要分支，研究平面上的点、线、面及其间的关系和性质。
本文将对平面几何问题进行解析与应用。
二、点、线、面的基本概念1. 点：在平面几何中，点是最基本的图形元素，它没有长度、面积和方向。
2. 线：线由无数个点组成，它有长度、但没有宽度和高度。
线可以是直线、曲线或曲线的一部分。
3. 面：面是由三条或更多线段相互围成的区域。
面可以是多边形、圆形等。
三、平面几何问题的解析方法1. 图形相似性：当两个图形的形状和大小都相似时，它们之间的对应线段长度成比例。
2. 平行线性质：平行线有如下性质：(1) 平行线不相交，且它们之间的距离保持恒定。
(2) 平行线与同一条直线的交角相等。
3. 垂直线性质：垂直线有如下性质：(1) 垂直线与同一条直线的交角为90度。
(2) 两条互相垂直的直线乘积为-1。
4. 三角形性质：三角形有如下性质：(1) 三角形的内角和为180度。
(2) 等腰三角形的底边夹角相等。
(3) 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
5. 直线与圆的关系：直线与圆有如下关系：(1) 切线与半径垂直。
(2) 半径在圆上的延长线是两条相交弦的垂直平分线。
四、平面几何问题的应用1. 地图测绘：平面几何在地图测绘中起着重要的作用。
通过测量地图上的各种图形，可以得到地图上各点的位置信息。
2. 建筑设计：平面几何被广泛应用于建筑的设计过程中。
通过对建筑物的平面结构进行分析和计算，可以确定各种建筑元素的位置和尺寸。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，平面几何被用于实现图像的生成、处理和显示。
通过对图像中点、线、面的处理，可以实现各种特效和图形变换。
4. 纺织与服装设计：平面几何在纺织和服装设计中扮演着重要角色。
通过对布料的形状和尺寸的测量与分析，可以制作出符合需求的服装和纺织品。
五、结论平面几何问题的解析与应用在各个领域都有重要的作用。
通过掌握点、线、面的基本概念、解析方法以及应用技巧，我们可以更好地理解和应用平面几何知识，为解决实际问题提供帮助。
关于一道平面几何问题的多种解法及思考
关于一道平面几何问题的多种解法及思考问题描述：如图，在平面直角坐标系中，若 $\triangle ABC$ 的坐标分别为 $A(0,0)$，$B(5,0)$，$C(2,6)$，$P$ 为第 $x$ 轴上一点，且满足 $AP+BP+CP$ 最小，求 $x$ 取值。
解法一：几何法1.显然可以发现 $\triangle ABC$ 是个等腰三角形，且底边 $BC$ 是第 $x$ 轴。
2.设 $AP=x$，则 $\overrightarrow{AP}=(x,0)$。
3.设 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心，则 $CH$ 是 $\triangle ABC$ 的高，$CH=3$。
5.根据余弦定理可得：$$\cos\angle BPC=\frac{(5-x)^2+36-25}{2(5-x)\cdot 3}=\frac{(x-5)^2+9}{6(x-5)}$$6.根据三角形三边和公式可得：$AP+BP+CP=AP+BP+CH$。
7.设 $F$ 为线段 $BP$ 上一点使得 $PF\perp BC$，则 $BF=5-x$，$FP=h$。
8.则 $AP+BP+CH=AP+BF+FP+CH=x+(5-x)+\sqrt{h^2+9}=5+\sqrt{h^2+9}$。
9.由勾股定理可知 $BF^2+FH^2=BH^2$，即 $(5-x)^2+h^2=36$。
10.代入式子中可得：11.观察式子后可得 $AP+BP+CP$ 的最小值为 $2\sqrt{21}$，此时 $x=3$。
解法二：解析法1.设线段 $AP$ 的方程为 $y=mx$。
4.通过求两条直线之间的距离可得 $AP$ 与 $BP$ 的交点为$(\frac{5m}{1+m^2},\frac{5m^2}{1+m^2})$。
6.根据距离公式可得 $AP+BP+CP=\sqrt{m^2+1}(\frac{5}{\sqrt{m^2+1}}+\sqrt{(5-\frac{5m}{1+m^2})^2+(3-\frac{5m^2}{1+m^2})^2}+\sqrt{(2-\frac{6m}{1+m^2})^2+(6-\frac{6m^2}{1+m^2})^2})$。
平面问题极坐标下几何方程的一种解析法
平面问题极坐标下几何方程的一种解析法
在平面问题中，极坐标是一种有效的解析方法。
通过将问题转化为极坐标系下的几何方程，可以更方便地解决一些平面问题。
首先，我们需要了解极坐标系的基本知识。
极坐标系是由一个极点和一个极轴构成的，其中极点通常标记为(0,0)，极轴通常与x轴平行。
在极坐标系中，点的位置由极径r和极角θ两个参数确定。
极径r表示点与极点的距离，极角θ表示点与极轴的角度。
在极坐标系下，平面问题的几何方程通常表示为r = f(θ)，其中f(θ)是一个关于θ的函数。
通过求解这个几何方程，可以得到点的位置和形状。
下面是一个简单的例子，说明如何用极坐标解析法解决平面问题：
例：求一个以原点为圆心，半径为2的圆在极坐标系下的几何方程。
解：在极坐标系中，圆的几何方程可以表示为r = 2cosθ。
这个方程的解意味着所有在圆上的点的位置都可以用极径r和极角θ表示出来。
通过将平面问题转化为极坐标系下的几何方程，我们可以更方便地解决一些问题。
这种方法尤其适用于涉及圆、椭圆等形状的问题。
用解析法解平面几何问题
解 析 法1、 如图：四边形ABCD 的对角线AC ⊥BD ，交点为O ，自O 向各边作垂线，垂足为E 、F 、G 、H ；连EO 交CD 于E ′，连FO 交DA 于F ′，连GO 交AB 于G ′，连HO 交BC 于H ′。
求证：E 、F 、G 、H 、E ′、F ′、G ′、H ′八点共圆。
2、 如图：设H 是锐角三角形ABC 的垂心，由A 向以BC为直径的圆作切线AP ，AQ ，切点分别为P 、Q 。
求证：P 、H 、Q 三点共线。
3、 如图：过圆中弦AB 的中点M ，任引两弦CD 和EF ，连CF 、ED 分别交弦AB 于Q 、P 。
求证：PM=MQ 。
4、 如图：已知ABCD 是正方形，CE ∥BD ，BE=BD ，BE 交CD 于点H 。
求证：DE=DH 。
5、 用解析法证明圆的切割线定理。
6、 用解析法证明半角的正切公式：θθθθθsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=。
7、 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈≠-≠⎩⎨⎧=+=+Z k k abc c b a c b a ,2,0sin cos sin cos πθϕϕϕθθ 求证：2cos2sin2cosϕθϕθϕθ-=+=+cba8、设a>0，b>0，c>0，求证：bc c b ab b a -++-+2222≥ac c a ++22说明等号何时成立。
练习题：1、已知方程|x|=ax+1有一个负根但没有正根，则a 的取值范围是 。
2、已知()21x x f +=，若b a R b a ≠∈,,，则()()||||b a b f a f --与的大小关系为（ ） （A ）()()||||b a b f a f -<- （B ）()()||||b a b f a f -=- （C ）()()||||b a b f a f ->- （D ）不能确定3、函数()1sin 3cos --=ααx f 的值域为 。
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五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？
例1、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引两条直线分别交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）
（例1图） （例2图）
例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、
BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．
【部分题目解答】
例1、(难度相当于高考压轴题)
；
，、点的方程为：直线的方程为：设直线方程为：轴建立坐标系，设圆的为为原点，轴，为如图，以)(),(,AD ,,)-(2211222y x C y x B nx y mx y AB r a y x Y AO A x MN ===+
、；则，、，C B )()(4433y x E y x
D ,
1
- ;12-2-)1,{)-(22
2212212222222+=+=+=++=+=m r a x x m am x x r a amx x m y r a y x mx
y 由韦达定理知：得：（消去,1- ;1222
243243+=+=+n r a x x n an x x 同理得：
),-(---23
23
22x x x x y y y y CD =
方程为：直线 ,--Q 3
23
223Q y y y x y x x =
点横坐标：由此得
,
--P 1
41441P y y y x y x x =
点横坐标：同理得
,------1
41441323223P Q y y y
x y x y y y x y x x x AQ AP ===；即证：，只需证明：故，要证明
N
B
即证明：）（）（）（）（321441143223-----y y y x y x y y y x y x ⋅=⋅
将上式整理得：31442331242143212143)()(y y x y y x y y x y y x x x y y x x y y +++=+++
，代入整理得：注意到：44332211 , ;,nx y nx y mx y mx y ====
)]()([),()(214343212143243212x x x x x x x x mn x x x x n x x x x m +++=+++=右边左边
)
1)(1(n)
)(m -(2)121-121-()
1)(1(n))(m -(2121-121-2222222222222222222
2222222
+++=
+⋅+++⋅+=+++=+⋅+⋅++⋅+⋅=n m r a amn m am n r a n an m r a mn n m r a amn m am n r a n n an m r a m 右边左边代入得：
把上述韦达定理的结论 可见：左边=右边，故P Q -x x =，即AQ AP =. 证毕！
例2、 .标系分析：如右图，建立坐
、坐标后，求出直线、、、总体思路：设点AD D C B A 切值，证明这两个角度从而求出两个角度的正问题的关键是：如何设点C 、D 而C 、D 两点是相互独立运动的，故把点C 、D 设AD=BC= r ，则C 点可以看作是以B 为圆心，r 上的动点，类似看待D 点，故，设
),sin cos D()sin cos C(ϕϕ,r r -a θθ,r r a ++、
)2
sin sin ,2cos cos N(
ϕ
ϕ++θθ从而得
;
2
tan cos cos sin sin ,tan ,tan MN AD BC ϕθϕϕϕθ+=++=
==θθk k k 参数方程的美妙之处】【此处充分展现了圆的易得：。