用反证法证明是无理数
根号二是无理数的证明过程
根号二是无理数的证明过程
根号二是无理数，可以通过反证法证明。
假设根号二是有理数，即可以表示为最简分数a/b(a、b互质)，
即根号二=a/b。
因为a、b互质，所以a^2是偶数，则a一定是偶数，
令a=2k(k为整数)，则有根号二=2k/b。
则2k^2=b^2/2。
根据等于奇数的平方数的最后一位只能是1、5、6、9，而等于偶
数的平方数的最后一位只能是0、4、6，所以b的最后一位只能是0或6。
当b的最后一位为0时，设b=2m(m为整数)，则有k^2=m^2×2，
即k^2为偶数，所以k也是偶数，与a为偶数矛盾。
当b的最后一位为6时，设b=2m+1(m为整数)，则有
k^2=m^2×2+m，即k^2为奇数，所以k为奇数，与a为偶数矛盾。
因此，假设不成立，所以根号二不是有理数，即根号二是无理数。
e是无理数的证明方法
立。
一 逻 , 困 , 至 ,
& ∋ ( ) 斗% , ) 水。 , ∗ % 一 ) 二 + “十 ‘ ,
当 时 此时有 此式左边为偶数 右边 为奇
----------------------- Page 1-----------------------
又又
一 期
开封教育学院学报 九 年第一
百 、 , ,
尹峨 ∗ 率& ∗ ∋
∀ 当 车 时
桑震军 刘月桂
〔 〕 一 函 函
摘要 本文利用 元 数微积分中乘积 数求导数的莱布尼兹公式和定积分的分
假设 是有理数 可令 粤 这里 为 数
%
∀ ∀
2 , 即% 二 ∋ , / 二 。。 , ‘“. 。 − 2
/0 二 7 边 2 边+ # 2 8 2 % − . /
即 此时左 为 但右 矛盾 此时也不可能有
反证法是大家熟悉的 种 辑演绎法 不少问题直接证很 难 甚 无从证起 往
。
一 , 了 活, 巧
。 。
矛盾 但要除去% − / − 7 , 此时确有, 。二 . 。− 2
”杏 ‘ 3 哈2
∗ % 二 + # 2 二 & 4 一 2 ( # 2 − 4 5 # )
% ∃
一一
∗ & , ∗ 半∋ −
当 , 时
一 明
关于 是无理 & 二) ∋ 下 四 况∀
用反证法 假定有 整数 使 则有 边 种情
& 4 ( ) % , ) / , ∗ /∀ # ) − + 亡# ’ , ,
如何利用高一数学中的反证法解题
如何利用高一数学中的反证法解题在高一数学的学习中，我们会接触到许多解题方法，反证法便是其中一种极具魅力和实用性的方法。
反证法，简单来说，就是先假设命题的结论不成立，然后通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，原命题成立的结论。
接下来，让我们一起深入探讨如何利用反证法来解题。
一、反证法的基本原理反证法的核心思想是“正难则反”。
当直接证明一个命题比较困难时，我们就考虑从它的反面入手。
假设原命题的结论不成立，然后基于这个假设进行一系列的推理。
如果在推理过程中出现了矛盾，比如与已知的定理、定义、公理或者题设条件相矛盾，那么就说明这个假设是错误的，从而也就证明了原命题的结论是正确的。
例如，要证明“一个三角形最多只能有一个直角”这个命题。
如果直接证明，可能会感觉无从下手。
但我们用反证法，假设一个三角形有两个或三个直角，那么三个内角之和就会大于 180 度，这与三角形内角和为 180 度的定理相矛盾，从而证明原命题成立。
二、适用反证法的常见题型1、结论为“否定性”的命题当命题的结论是“不存在”“不可能”“不是”等否定形式时，常常适合使用反证法。
比如，证明“在一个凸多边形中，不可能存在五个内角都为钝角”。
我们先假设存在这样的凸多边形，然后通过内角和的计算推出矛盾。
2、结论为“唯一性”的命题如果要证明某个对象是唯一的，直接证明可能比较复杂，此时反证法就派上用场了。
例如，证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。
假设过该点不止一条直线与已知直线平行，然后推出矛盾。
3、结论为“至多”“至少”的命题对于“至少”“至多”这类命题，反证法也是一个有效的工具。
比如，证明“一个班级中，至少有两名同学的生日在同一个月”。
假设没有两名同学的生日在同一个月，那么最多只有 12 名同学，这与班级人数通常多于 12 人相矛盾。
三、反证法的解题步骤1、反设首先，提出与原命题结论相反的假设。
需要注意的是，反设一定要全面、准确，不能遗漏任何可能的情况。
介绍反证法及举例
01
用反证法证明命题的一般步骤是什么?
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
02
则C必定是在撒谎.
05
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
03
B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说——
国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
1
2
3
4
5
6
唐·吉诃德悖论
说谎者悖论
M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。
M：一天，有个旅游者回答——
旅游者：我来这里是要被绞死。
M：这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0
与题设矛盾
若a = 0，则与abc > 0矛盾，
∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
练习2.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
abc > 0， 求证：a, b, c > 0
幻灯片切换
反设②归谬③结论 方法小结: 1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. 正难则反!
数学中的证明方法和技巧
数学中的证明方法和技巧数学作为一门严谨的学科，证明是其核心和灵魂。
无论是基础数学还是高等数学，在数学的世界里，证明是推动数学发展和解决问题的关键方法。
本文将探讨数学中常见的证明方法和一些应用技巧，帮助读者更好地理解和运用数学证明。
一、直接证明法直接证明法是最常见也是最直观的证明方法之一。
它通过一系列逻辑推理来证明一个数学命题。
步骤如下：1. 假设给定的前提条件（假设x是奇数）；2. 推导出结论（推导出x的平方也是奇数）；3. 根据推导过程中的逻辑关系，展示每一步的合理性（通过元素的特性，奇数的平方仍然是奇数）；4. 结合前提条件和推导过程，得出结论（根据步骤2和步骤3可得出结论）。
二、间接证明法（反证法）间接证明法，也称为反证法，通过假设反命题，证明其导致矛盾，从而得出所要证明的正命题成立。
步骤如下：1. 假设所要证明的命题的反命题为真；2. 对反命题进行逻辑推理，得出矛盾的结论；3. 根据矛盾结论，推出原命题为真；4. 得出结论，所要证明的命题成立。
三、归纳法归纳法是数学证明中常用的一种方法，尤其适合用于证明某个命题在所有自然数上成立。
步骤如下：1. 基础步骤：证明当n为某个特定数时，命题成立（如n=1时）；2. 归纳假设：假设当n=k时命题成立；3. 归纳步骤：证明当n=k+1时命题也成立；4. 根据归纳步骤，推出结论：由步骤2和步骤3可得出结论，命题对所有自然数成立。
四、递推法递推法是一种通过建立递推关系，不断由已知结果推出未知结果的方法。
递推法通常用于数列和递归问题的证明。
步骤如下：1. 确定初始条件：给出初始条件，如数列的前几项已知；2. 建立递推关系：找出数列中相邻项之间的关系，建立递推公式；3. 假设命题成立：假设当前项满足递推公式时，后一项也满足；4. 基于递推关系推出结论：根据递推公式，由当前项推导出后一项；5. 通过数学归纳法证明：使用数学归纳法证明递推公式成立；6. 得出结论，命题成立。
无理数的发现与探索
无理数的发现与探索无理数的概念最早起源于对于数学中存在的一种特殊数的质疑和探索。
在古希腊时期，人们对于无理数的存在产生了疑惑，并通过一系列的研究和思考，最终揭示了无理数的本质。
本文将通过回顾无理数的历史背景、介绍无理数的定义和性质，以及讨论无理数在数学领域中的应用等方面，深入探讨无理数的发现与探索过程。
一、历史背景在古希腊时期，人们对于数的概念进行了初步的研究和分类。
他们将数分为有理数和无理数两类，其中有理数指的是可以表示为两个整数之间的比值的数，而无理数则指的是不能被表示为有理数的数。
最著名的无理数就是根号2，当时人们发现，无论如何用两个整数的比值来表示根号2，都无法准确地表示出其真实值。
这一发现对于那个时代的人们来说是一次巨大的冲击，他们开始质疑有理数是否能够涵盖所有的数，是否存在着一些无法用有理数来表示的数。
于是，无理数的发现与探索之旅开始了。
二、无理数的定义与性质无理数的定义可以通过反证法进行阐述。
假设存在一个无理数x，我们通过构造一个有理数序列来逼近这个无理数x。
假设这个有理数序列为{a_n}，则对于任意的正整数n，都可以通过有理数a_n来逼近无理数x。
然而，我们可以证明，无理数x与这个有理数序列的每一项都有一个正无穷大的距离，即|x - a_n| > ε，其中ε是一个足够小的正数。
因此，无理数x不能被任何有理数序列准确地逼近，从而证明了无理数的存在和不可被有理数表示的性质。
无理数具有以下一些重要性质：1. 无理数与有理数的和、差、积和商仍然是无理数；2. 无理数之间的和、差、积和商可能是有理数，也可能是无理数；3. 无理数可以用数列的极限进行定义，比如通过无理数的连分数表示等。
三、无理数在数学中的应用无理数在数学中具有广泛的应用，以下是其中几个重要的应用领域：1. 几何学：无理数在几何学中有着重要的地位。
黄金分割比例、勾股定理中的根号2和根号3等都是无理数，它们被广泛应用于各种几何问题的解决中。
宜用反证法证明的几类命题
宜用反证法证明的几类命题反证法是证明数学命题的一种重要方法，当直接证明思路受阻，难以成功时，反证法常使人茅塞顿开，柳暗花明．它通常用来证明下列几类命题．一、否定性命题问题的结论是以否定形式出现（例如“没有…”，“不是…”，“不存在…”等）的命题，宜用反证法．例1 求证：3lg 2是无理数．分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数．证明：假设3lg 2不是无理数，即为有理数，则设3lg 2＝m n (,m n ∈+N ，n m ,互质）从而32=m n得， m n 32=上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，于是假设不成立． 故3lg 2是无理数．例2 证明：一个三角形中不可能有两个直角．分析：用三角形内角和为0180证一个三角形中不存在两个直角．证明：假设一个三角形中有两个直角．不妨设∠Ａ＝090，∠Ｂ＝090． ∵∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝090＋090＋∠Ｃ＝0180＋∠Ｃ＞0180这与三角形内角和定理矛盾． ∴ 假设不成立，即原命题成立．二、“至少”或“至多”类命题若一个命题的结论是“至少…”或“至多…”，“不都…”则可考虑用反证法． 例3 已知1p 、2p 、1q 、2q ∈Ｒ，且1p 2p ＝2（1q ＋2q ）求证：方程2x ＋1p x ＋1q ＝0和2x ＋2p x ＋2q ＝0中，至少有一个方程有实根． 分析：“至少有一个”是“有一个”、 “有两个”，它的反面是“一个都没有”． 证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于0，即：⎪⎩⎪⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆<-=∆22212122221211440404q p q p q p q p ∴)(4212221q q p p +<+ ∵1p 2p ＝2（1q ＋2q ）代入上式得02212221<-+p p p p ，即.0)(221<-p p ．这与“任何实数的平方为非负数”相A B P 矛盾，所以假设不成立．故这两方程中，至少有一个方程有实根．三、唯一性命题若一个命题的结论是“…唯一”的形式出现，则可考虑用反证法． 例4 求证：在一个平面内，过直线l 外一点P 只能作出一条直线垂直于l ． 证明：假设过点P 可以作两条直线垂直于直线l 如图，那么∠P AB ＝∠PBA ＝090． 于是∠APB ＋∠P AB ＋∠PBA ＞0180．即∆P AB 的内角和大于0180，这与定理“三角形内角和等于0180”相矛盾，故假设不成立．l。
数学的证明技巧
数学的证明技巧数学作为一门严谨而又精确的学科，证明是其核心内容之一。
无论是在高中数学教学中还是在科学研究中，证明技巧都扮演着重要的角色。
以下将介绍一些常用的数学证明技巧，帮助读者更好地理解和运用数学。
一、直接证明法直接证明法是数学证明中最常见和最简单的一种方法。
它通过逻辑推理和数学运算，直接从已知条件推导出所要证明的结论。
例如，要证明一个数是偶数，我们可以直接使用定义，通过将该数表示为2的倍数的形式来证明。
首先假设该数为2的倍数，然后利用数学运算和逻辑推理，展示该数可以被2整除，从而得出结论。
二、归纳法归纳法是一种常用于证明数学命题的方法，特别适用于证明与自然数相关的性质和公式。
它的基本思想是通过证明一个初始条件成立，并且如果某个命题对某个特定的数成立，那么它对该数的下一个相邻数也成立，从而推导出该命题对所有自然数都成立。
例如，要证明所有正整数之和的公式：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，我们可以使用归纳法。
首先证明当n=1时，等式成立；然后假设当n=k 时等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2；接着证明当n=k+1时等式也成立，即1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。
通过这种方式，我们可以得出结论：对于所有正整数n，等式都成立。
三、反证法反证法是一种常用的数学证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一种矛盾，从而得出原命题成立的结论。
例如，要证明根号2是一个无理数，我们可以使用反证法。
首先假设根号2是一个有理数，即可以写成两个整数的比值。
然后，通过对这两个整数的性质进行分析推论，可以得出根号2既不是有理数也不是无理数的矛盾。
因此，我们可以得出结论：根号2是一个无理数。
四、假设法假设法是一种常用于证明含有“若...则...”结构的命题的方法。
它通过假设若命题的条件成立，然后利用逻辑推理和数学运算推导出结论的方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
据说最初发现
p
q
，这里p和q是无公约数的正整数
传说毕达哥拉斯太珍惜这个发现，不打算公开这个结果。
他的学生之一为了好奇，悄悄走进老师的家里偷文件，这方法才被公开出来。
我们下面介绍五个用反证法证明这结果，大家可以学习这种证明。
p
q
=，p，q是无公约数的整数。
(1)毕达哥拉斯方法：
p
q
=两边平方得22
2
p q
=，所以2p是偶数，因此p也须是偶数（因为奇数2k
＋1的平方后是4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1仍旧是奇数）。
所以我们可以设p是2a的样子，代入上式得(2a)2＝2q2，即4a2=2q2两边同时消掉2可得2a2＝q2，即q也是偶数。
由于p，q都是偶数，它们有一个公约数2，这和我们最初假设p，
q
(2)利用整数的个位数性质：我们知道任何整数平方其最后一位数是等于原数最后一位数的平方后的最后一位数。
例如（12）2＝144，最后一位数4=（2）2。
而（17）2=289，（7）2=49，最后一位数是一样。
最后一位数可能出现0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。
因此任何数的平方最后一位数只可能是0，1，4，5，6，9。
因此2q2的最后一位数只可能是0，2或8。
由于p2的最后一位数可能是0，1，4，5，6，9。
而且由P2=2q2，故必须有2q2最后一位数是0，因此推到q2的最后一位数是0或5。
可是如果P2的最后一位数是0，而q2的最后一位数是0或5的话，则P的最后一位数是0，q的最后一位数是0或5，这样5就能整除p和q，这和p，q无公约数的假定矛盾。
(3)利用素因子的性质：
p
q
=得22
2
p q
=，这里q要大于1，如果是等于1
＝p，这是个整数，明显是不合理的。
现在我们可以得到2
2
p
q p
⎛⎫
=⋅
⎪
⎝⎭
，我们知道：
（一）任何整数不是素数就是合数。
（二）如果一个素数s 能整除u ×v ，则必须是s 能整除u 或s 能整除v.
由整数的性质，我们知道由q ＞1，存在一个素数s 是q 的约数。
因此s 能整除22p q p ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
，故s 能整除2p 或p .由这两种情形推出s 能整除p ，因此我们得到s 能同时整除p 和q ，显然这是不合理的。
(4)用素因子的性质：由p 2=2q 2我们得q 2=p 2-q 2＝(p+q)(p-q)
由于 q ＞1，存在一个素数s 能整除q ，由此可知s 能整除p+q 或p-q 。
因此p+q=su 或p －q=sv,但q ＝St （t 是某一个整数），因此由p+q=su ，得p=s(u －t)，所以p ，q 有公共素因子s ，这产生矛盾。
(5)利用代数方程根与系数的关系：p q ，则p q
是代数方程x 2-2=0的解，我们知道在代数方程a 0x n ＋a 1x n-1
…＋a n ＝0中如果有有理根r s ，则r 能整除a n ，s 能整除a 0.现在在x 2-2=0
中，a 0＝1，a 1＝0，a 2＝-2；既然p q
是有理根，就有q 能整除1，即q ＝1p 是一个整数，明显这是不可能的。