2 为无理数的证明
√2 為無理數的證明蔡聰明數學最讓我欣喜的是, 事物能夠被證明。
—B. Russell—√2 為無理數, 這是古希臘畢氏學派的偉大發現, 是歸謬證法的典範。
一方面,它震垮了畢氏學派的幾何原子論以及幾何學的算術化研究綱領, 導致數學史上的第一次危機。
另一方面, 它也讓古希臘人發現到連續統(continuum) 並且直接面對到「無窮」(infinity), 使得往後的數學家、哲學家為了征服無窮而忙碌至今, 收獲非常豐富。
對於宇宙、人生之謎, 佛家有所謂的25證道法門。
換言之, 一個深刻的事物往往可以從各種角度與觀點來論證。
對於「√2 為無理數」, 我們一共蒐集了28種證法(有些是大同小異), 其中的第十二種與第十三種是筆者自己的證法, 至少在文獻上不曾見過(也許是筆者孤漏寡聞)。
在數量上, 雖然比不上畢氏定理的370種證法(見參考資料[5]), 但是28種已夠驚人了(28是第二個完美數, 28 =1 +2 + 4 + 7 + 14)。
這些證法牽涉到數學各方面的概念, 弄清楚它們, 有助於加深與增廣對於數學的了解, 並且可將零散的知識統合在一起。
一、奇偶論證法√2 只有兩種情形: 有理數(rational number) 或者不是有理數。
不是有理數就叫做無理數(irrational number)。
因此, 我們立下正、反兩個假說:H1 : √2為有理數;H2 : √2為無理數。
到底是哪一個成立呢? 如何證明?欲證H2 成立, 我們不易直接著手, 所以改由H1 切入。
換言之, 我們假設「√2 為有理數」, 先投石問路一番, 看看會得出什麼邏輯結論。
第一種證法: 假設√2 為有理數, 故√2可以寫成√2 =ab(1)其中a 與b 為兩個自然數並且互質。
將上式平方得a2 = 2b2 (2)12√2 為無理數的證明13所以a2 為偶數, 從而a 亦為偶數。
令a = 2m其中m 為某一自然數, 於是2b2 = a2 = (2m)2 = 4m2或者b2 = 2m2因此, b2 為偶數, 故b 亦為偶數。
這就跟a 與b 互質的假設互相矛盾, 所以「√2 為有理數」不成立, 從而得證「√2 為無理數」。
這是一般教科書上最常見的證法, 我們稱之為反證法或歸謬法(reductio ad absur- dum)。
二、算術根本定理質數2, 3, , 5, 7, 11, 13, . . . 相當於自然的「原子」(不可分解之意), 算術根本定理是說: 任何大於1的自然數都可以唯一分解成質數的乘積。
這跟「萬物都是由原子組成的」具有平行的類推。
欲證√2 為無理數, 我們仍然採用歸謬法。
假設√2 為有理數, 即√2 = ab , 其中a與b 為自然數, 則a2 = 2b2。
首先我們注意到: b > 1 且a > 1。
因為若b = 1, 則a2 = 2, 但是2不是平方數, 故b = 1 不成立, 於是b > 1。
又因為√2 > 1,故a > 1。
其次, 由算術根本定理知,a = p11 p22 · · · pnnb = q1 q2 · · · qm其中p1, . . . , pn 與q1, . . . , qm 皆為質數且α1, . . . , αn, β1, . . . , βm 皆為自然數。
再由a2 = 2b2 得到p211 p222 · · · p2nn = 2q21 q22 · · · q2m(3)第二種證法: 觀察(3) 式中的2, 左項的2為偶次方, 但右項的2為奇次方, 這是一個矛盾。
第三種證法: 在(3) 式中, 左項有偶數個質數(計較重複度), 右項有奇數個質數, 這也是一個矛盾。
無論如何, 我們由歸謬法證明了√2 為無理數。
三、無窮下降法這可以有三種變化的證法。
第四種證法: 假設(1) 式成立。
因為1 < √2 =ab< 2所以a > b, 故存在自然數q 使得a =b + q由a2 = 2b2 得2b2 = a2 = (b + q)2 = b2 + 2bq + q2消去b2 得b2 = 2bq + q2所以b > q14 數學傳播23卷1期民88年3月於是存在自然數p 使得b = q + p從而a =b + q = (q + p) + q = 2q + p又由a2 = 2b2 得(2q + p)2 = 2(q + p)2展開化簡得p2 = 2q2 (4)至此, 我們由兩個自然數a 與b 出發,求得另外兩個較小的自然數p 與q, 滿足a >b > p > q。
在形式上, (4) 式和(2) 式完全相同, 故可採用上述方法, 重複做下去, 就得到自然數所成的遞減的無窮數列a >b > p > q > · · ·但這是不可能的, 因為不存在這種數列。
第五種證法: 對於第一種證法, 筆者遇見過有人不滿意一開始就假設a 與b 互質,那麼我們就改為如下的論證。
假設√2 = ab為有理數, 我們得知a與b 皆為偶數。
令a = 2a1, b = 2b1, 則√2 = a1b1。
同理可證a1 與b1 也都是偶數,令a1 = 2a2, b1 = 2b2。
如此這般, 反覆做下去, 我們就得到遞減的自然數列a > a1 > a2 > ···與b > b1 > b2 > ···(6)但這是一個矛盾, 因為自然數不能無止境地遞減下去。
第六種證法: 假設√2 = ab , 其中a 與b 為自然數, 代入等式√2 + 1 =1√2 − 1得到ab+ 1 =1( ab ) − 1=ba − b所以√2 =ab=ba −b − 1 =2b − aa − b=a1b1(7)其中a1 = 2b − a 且b1 = a − b。
今因1 < √2 = ab < 2, 乘以b 得b < a < 2b於是0 < 2b − a 且2b < 2a從而a1 = 2b − a < a由(7) 式知√2 =a1b1並且0 < a1 < a。
重複上述的過程, 又可得√2 =a2b2且a2 < a1總之, 我們可以得到自然數所成的無窮數列a > a1 > a2 > a3 > · · · > 0但這是一個矛盾。
四、進位法√2 為無理數的證明15利用三進位法, 也可以證明√2 為無理數。
第七種證法: 假設√2 為有理數, 則√2 = ab , 其中a 與b 為自然數。
於是a2 = 2b2。
今將a 與b 用三進位法表達時,顯然a2 與b2 最後一位非零的數字必為1, 但是2b2 之最後一位非零數字為2。
因此, a2 不可能等於2b2, 這是一個矛盾。
第八種證法: 假設√2 為有理數, 亦即√2 = ab , 其中a 與b 為自然數且互質。
在三進位記數法中, a 與b 的個位數字為0, 1或2, 所以a2 與b2 之個位數字必為0或1, 從而2b2 之個位數字為0或2。
由a2 = 2b2 可知, a2 與2b2 之個位數字必為0, 於是a 的個位數字為0。
另一方面, b2 的個位數字也是0, 從而b 的個位數字為0。
換言之, a 與b 不互質, 這是一個矛盾。
第九種證法: 設√2 = ab , 且a 與b 互質, 則a2 = 2b2。
a 與b 的個位數字可能為0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 或9, 於是a2 與b2 的個位數字可能為0, 1, 4, 5, 6 或9, 而2b2 的個位數字可能為0, 2 或8。
由a2 = 2b2 可知, a2 與2b2 的個位數字必為0, 從而a 的個位數字為0, 且b2 的個位數字為0或5, 所以b 的個位數字為0或5。
因此, a 與b 可被5整除, 這跟a 與b 互質的假設矛盾, 故√2 為無理數。
五、完全平方數第十種證法: 設√2 為有理數, 故√2可以寫成√2 = ab , 其中a 與b 為互質的自然數, 於是a2 = 2b2。
這表示b2 可以整除a2, 從而b 可以整除a。
因為a 與b 互質,所以只好b = 1。
因此√2 = a, 或2 = a2,亦即2為一個完全平方數, 這是一個矛盾, 故√2 為無理數。
注意: 當我們推得b = 1 時, 就已跟b > 1 矛盾。
另一方面, 我們仿上述的證法可以證明: 若√n 為有理數, 則n 為完全平方數。
六、輾轉相除法求兩個整數之最大公因數最常用輾轉相除法(又叫做歐氏算則)。
由此可衍生出一個美妙的結果:定理1: 若a, b 的最大公因數為d, 則存在兩個整數r, s 使得d = ar + bs (8)第十一種證法: 設√2 = ab且a, b 互質, 則a = √2b, √2a = 2b, 根據上述定理知, 存在兩個整數m, n, 使得1 = am+bn。
於是√2 = √2 ·1 = √2(am + bn)= (√2a)m + (√2b)n= 2bm + an為一個整數, 這是一個矛盾。
七、畢氏三元數公式我們知道, 方程式x2 + y2 = z216 數學傳播23卷1期民88年3月的所有正整數解為8>>><>>>:x = ℓ(m2 − n2)y = ℓ(2mn)z = ℓ(m2 + n2)(9)其中ℓ, m, n 皆為自然數且m > n.√2 起源於等腰直角三角形的斜邊與一股的比值, 要證明√2 為無理數, 只需證明不存在正整數邊的等腰直角三角形就好了。
我們仍然利用歸謬法, 假設存在有正整數邊的等腰直角三角形, 亦即存在自然數ℓ, m, n, m > n, 滿足ℓ(m2 − n2) = ℓ(2mn) (10)第十二種證法: 由(10) 式得到m2 − (2n)m − n2 = 0解得m =2n ±√4n2 + 4n22= n(1 ±√2)負根不合, 故m = n(1 + √2)我們再證明: n(1 + √2) 永不為自然數。
這就得到一個矛盾, 而完成證明。
令集合S = {n : n(1 + √2) ∈N 且n ∈N}如果S 為空集合, 則證明完畢。
因此, 我們考慮S 6= φ(空集合) 的情形。
由良序性原理(well-ordering principle, 即任何非空的自然數子集必有一最小元素, 這等價於數學歸納法) 可知, S 有一最小元素, 令其為u。
借助实例,归纳出无理数的性质及其运算规则
借助实例，归纳出无理数的性质及其运算规则知识点：无理数的性质及其运算规则一、无理数的定义与性质1.无理数是不能表示为两个整数比的实数，其小数部分是无限不循环的。
2.无理数与有理数统称为实数，共同构成了数轴上的所有点。
3.无理数不能精确表示，通常用无限不循环小数或π表示。
4.无理数具有非周期性、非对称性和非线性等特点。
5.无理数可以分为三种类型：带根号的不可约根式、含有π的三角函数值和一些特定算术表达式。
二、无理数的运算规则1.加法：两个无理数相加，仍为无理数。
2.减法：无理数减去有理数，结果为无理数；两个无理数相减，仍为无理数。
3.乘法：两个无理数相乘，仍为无理数。
4.除法：无理数除以有理数，结果为无理数；无理数除以无理数，结果可能为有理数或无理数。
5.幂运算：无理数的幂运算遵循指数法则，如(a^m a^n = a^{m+n})，其中a为无理数，m、n为整数。
6.根式运算：无理数的根式运算，如开平方、立方根等，结果仍为无理数。
7.三角函数运算：正弦、余弦、正切等三角函数，其结果为无理数。
三、无理数的相关概念1.平方根：一个数的平方根是指乘以自身等于该数的非负实数。
2.立方根：一个数的立方根是指乘以自身两次等于该数的实数。
3.π（圆周率）：π是一个常数，表示圆的周长与直径的比值，约等于3.14159。
4.指数函数：以e（自然对数的底数）为底的指数函数，如(e^x)，其中e约等于2.71828。
四、无理数在实际应用中的例子1.物理学：在研究振动、波动等物理现象时，常涉及无理数，如圆频率ω=2πf。
2.几何学：在计算圆的周长、面积等几何问题时，会用到π。
3.工程学：在建筑设计、机械制造等领域，无理数应用于计算角度、弧长等。
4.计算机科学：在二进制与十进制的转换中，无理数起到了关键作用。
通过以上归纳，我们可以了解到无理数的基本性质和运算规则，以及在实际应用中的广泛场景。
在学习和掌握无理数的过程中，要注重理论联系实际，提高自己的数学素养。
证明根号2是无理数的8种方法
证明根号2是无理数的8种方法
嘿，你知道吗，要证明根号 2 是无理数居然有 8 种方法呢！
第一种方法，反证法呀！假如根号 2 是有理数，那岂不是就和我们熟知的那些整数、分数一样了？哎呀，这怎么可能呢，感觉就不对劲嘛！就好比说狗怎么能和猫是同一种动物呢。
第二种，用奇偶性来分析。
想想看，如果根号 2 能表示成两个整数的比，那这两个数的奇偶性得有多奇怪呀，这不是很荒谬吗？就像说白天突然变成黑夜一样不可思议。
第三种，可以从无限不循环小数的角度切入呀。
有理数都是能循环的，可根号 2 它就是那么特别，就是不循环，咋就这么倔强呢，哈哈！好比一个特立独行的人不愿意随大流。
第四种，利用一些数学定理。
哎呀，那些定理就像是我们的秘密武器，来揭示根号 2 的无理本质，这多厉害呀！就好像侦探用各种线索破案一样。
第五种，代数的方法也能上呀。
通过一些代数运算，能发现根号 2 就是无法被有理数的规则所束缚，这不是很牛吗？就像一只鸟怎么也关不进笼子里。
第六种，几何的角度也能试试看呢。
把根号 2 放到几何图形里，一下子就看出它的特别之处了，这可真有趣！跟在一幅画里突然发现一个隐藏的宝贝一样。
第七种，分析它的近似值。
怎么找都找不到一个精确的有理数来表示根号 2 呀，这不就说明了问题吗？就好像怎么都找不到完全一样的两片树叶。
第八种，用极限的思想呀。
哎呀呀，发现根号 2 就是不会被有理数的极限所框住，厉害吧！就像一个超爱自由的人怎么也不愿意被束缚。
我觉得呀，这么多种方法都表明了根号 2 就是无理数，这是毫无疑问的呀！。
证明根号2是无理数
证明：√2是无理数。
证：假设√2不是无理数，则必然为有理数，而有理数必然可以写成q/p，p,q属于整数，即p，q∈N。
且对于任意的有理数n/m，因为约分可以一直进行下去，则n/m必然可以写成互质的q/p，且p和q互质，即没有公约数。
=√2(#)
因此，必然存在互质的p和q，使得q
p
即q2=2p2
但基于若q2为偶数，则q也必然为偶数。
（1）（后续证明）
换言之，存在整数s，使得：q=2s
将其带入上式，则q2=2p2=(2s)2=4s2
即p2=2s2
换言之，p也是偶数。
（2）
综合（1）（2），p和q均为偶数，
因此p和q不互质。
（*）
由于（#）与（*）矛盾，因此假设不成立。
因此，命题得证。
附，2t2+2t+1/2证明：若q2为偶数，则q也必然为偶数。
证：q2为偶数，那么存在M属于整数，（*）
使得q2=2M
假设q为奇数，则存在整数t，使得q=2t+1
于是：（2t+1）2=2M
M=2t2+2t+1/2
但是，2t2+2t是一整数，
而2t2+2t+1/2是一个小数,即M是一个小数(#)
因此，（#）与（*）矛盾，因此假设不成立，因此命题得证。
无理数的常见形式
无理数的常见形式，科学计数法无理数概念：无理数即无限不循环小数。
明确无理数的存在无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如：（1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等；像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。
概念剖析：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。
这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。
无理数的常见形式：在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种：1. 无限不循环的小数，如……（两个1之间依次多一个0）2. 含的数，如：，，等。
3. 开方开不尽而得到的数，如，等。
4. 某些三角函数值：如，等。
无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=， 4/5=， 1/3=……。
而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=…………。
根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数；2、无理数不能写成两整数之比。
错误辨析：1. 无限小数都是无理数；2. 无理数包括正无理数、负无理数和零；3.带根号的数是无理数；4. 无理数是用根号形式表示的数；5.无理数是开方开不尽的数；6. 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数；7.无理数与有理数的乘积是无理数；8. 有些无理数是分数；9. 无理数比有理数少； 10. 一个无理数的平方一定是有理数。
综上，学习无理数应把握住无理数的三个特征：（1）无理数是小数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数是不循环小数。
判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个不能少。
另外，还应注意无理数的几种常见的表示形式，才是弄清无理数概念的关键。
口诀快速记忆：√2≈：意思意思而已√3≈：一起生鹅蛋√5≈：两鹅生六蛋(送)六妻舅√7≈：二妞是我，气我一生e≈:粮店吃一把π≈，26535，897，932，384，626：山巅一寺一壶酒,尔乐苦杀吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐，无理数包括：正无理数和负无理数。
证明√2是无理数反证法
证明√2是无理数反证法【实用版】目录1.引言：介绍√2 的无理性的重要性2.反证法的定义和应用3.假设√2 是有理数4.推导出矛盾结果5.结论：√2 是无理数正文1.引言在数学中，无理数是指不能表示为两个整数之比的实数。
其中，最著名的无理数之一就是√2，即平方根 2。
证明√2 是无理数可以追溯到古希腊时代的数学家，他们使用了一种叫做反证法的证明方法。
在本文中，我们将使用反证法来证明√2 是无理数。
2.反证法的定义和应用反证法是一种数学证明方法，其基本思想是：假设某个命题的反面成立，然后通过逻辑推理得出矛盾结果，从而证明原命题成立。
这种证明方法在数学中有着广泛的应用。
3.假设√2 是有理数首先，我们假设√2 是一个有理数，即可以表示为两个整数 p 和 q 的比，其中 p 和 q 没有公共因数（即它们是互质的）。
根据这个假设，我们可以得到如下等式：√2 = p/q其中 p 和 q 是互质的整数。
4.推导出矛盾结果接下来，我们将对上述等式进行平方操作，得到：2 = p^2/q^2这意味着 p^2 是 q^2 的 2 倍，即存在一个整数 k，使得：p^2 = 2k * q^2由于 2 是质数，所以它的质因数分解中，质数 2 的指数必须是偶数。
因此，我们可以设：2k = 2m * n其中 m 和 n 是整数。
将上式代入 p^2 = 2k * q^2 中，得到：p^2 = 2m * n * q^2这意味着 p^2 是 q^2 的 2m 倍，即存在另一个整数 l，使得：p^2 = 2m * l * q^2将这个等式与前面得到的等式相比较，我们可以发现：2m * n = 2m * l这说明 n 和 l 是相等的。
但根据假设，p 和 q 是互质的，所以 p^2 和 q^2 的质因数分解中，质数 2 的指数必须是不同的。
然而，我们刚刚证明了它们是相等的，这就产生了矛盾。
2 为无理数的证明
√2 為無理數的證明蔡聰明數學最讓我欣喜的是, 事物能夠被證明。
—B. Russell—√2 為無理數, 這是古希臘畢氏學派的偉大發現, 是歸謬證法的典範。
一方面,它震垮了畢氏學派的幾何原子論以及幾何學的算術化研究綱領, 導致數學史上的第一次危機。
另一方面, 它也讓古希臘人發現到連續統(continuum) 並且直接面對到「無窮」(infinity), 使得往後的數學家、哲學家為了征服無窮而忙碌至今, 收獲非常豐富。
對於宇宙、人生之謎, 佛家有所謂的25證道法門。
換言之, 一個深刻的事物往往可以從各種角度與觀點來論證。
對於「√2 為無理數」, 我們一共蒐集了28種證法(有些是大同小異), 其中的第十二種與第十三種是筆者自己的證法, 至少在文獻上不曾見過(也許是筆者孤漏寡聞)。
在數量上, 雖然比不上畢氏定理的370種證法(見參考資料[5]), 但是28種已夠驚人了(28是第二個完美數, 28 =1 +2 + 4 + 7 + 14)。
這些證法牽涉到數學各方面的概念, 弄清楚它們, 有助於加深與增廣對於數學的了解, 並且可將零散的知識統合在一起。
一、奇偶論證法√2 只有兩種情形: 有理數(rational number) 或者不是有理數。
不是有理數就叫做無理數(irrational number)。
因此, 我們立下正、反兩個假說:H1 : √2為有理數;H2 : √2為無理數。
到底是哪一個成立呢? 如何證明?欲證H2 成立, 我們不易直接著手, 所以改由H1 切入。
換言之, 我們假設「√2 為有理數」, 先投石問路一番, 看看會得出什麼邏輯結論。
第一種證法: 假設√2 為有理數, 故√2可以寫成√2 =ab(1)其中a 與b 為兩個自然數並且互質。
將上式平方得a2 = 2b2 (2)12√2 為無理數的證明13所以a2 為偶數, 從而a 亦為偶數。
令a = 2m其中m 為某一自然數, 於是2b2 = a2 = (2m)2 = 4m2或者b2 = 2m2因此, b2 為偶數, 故b 亦為偶數。
北师大版八年级数学上册第2章2.1无理数(教案)
在实践活动和小组讨论中，学生们表现出了较高的参与度。他们通过分组讨论和实验操作，不仅加深了对无理数的理解，还学会了如何将理论知识应用到实际问题中。不过，我也注意到，有些学生在讨论中较为被动，可能是因为他们对无理数的掌握还不够自信。在今后的教学中，我需要关注这部分学生，鼓励他们多参与、多表达。
在小组讨论环节，我对学生的引导和启发还有待加强。有些学生在分析问题时，容易陷入思维定势，无法从多角度去考虑问题。为此，我将在下一次课中尝试提供更多开放性的问题，引导学生从不同角度思考，激发他们的创新意识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《无理数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过无法用有限小数表示的长度或面积？”（如一张纸的边长是√2倍另一边长）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索无理数的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如无理数的证明，我会通过具体的例子和逻辑推理来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如无理数在建筑、艺术等领域的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用计算器观察π的小数部分，感受无理数的无限不循环。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
证明根号2是无理数的八种方法
怎样证明 是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数，设 a=2c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬 身海底.证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除 或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此a 2b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数， r , ,r 与 s , s 都是正整数，因此 p p p =2q q q ，素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此 2 是无理数.a a 证法 6：假设 2 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于 的分数中，a 是最小的正整b b数分子，在 2 的两边减去 ab 有 2 ， ( ) (2 ) ，即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ，右边的分子 2 - < ，这与 是最小的分子矛盾，因此 2 是无理数.a 1 证法 7：连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1，因此 2 1， 1 2 1 1 1 2 1 ，将分母中的 2 用1 代替，有 2 1 ，不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程，得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.证法 8：构图法。
文档：无理数2
第9讲柏拉图和亚里士多德时代的希腊数学（续）5、归功于柏拉图的数学工作●两平方或立方数之间的比例中项在Timaeus中，柏拉图称：在两个平方数之间只要一个几何中项就够了，而在两个立方数之间必需有两个几何中项才行。
因此柏拉图知道《几何原本》命题VIII. 11和VIII.12：命题11 Between two square numbers there is one mean proportional number, and the square has to the square the duplicate ratio of that which the side has to the side.命题12 Between two cubic numbers there are two mean proportional numbers, and the cube has to the cube the triplicate ratio of that which the side has to the side.●倍立方参阅上一讲。
归功于柏拉图的这一机械解法并不符合柏拉图有关几何本质的观点，因而被认为并非柏拉图本人的。
●勾股数参阅第9讲。
●不可公度量在Theaetetus和Laws中，柏拉图都谈到不可公度量问题。
柏拉图认为，正如一个偶数既可以是两个奇数之和，也可以是两个偶数之和一样，两个无理数之和既可以是有理数，也可以是无理数。
一个明显的例子是一条有利线段被分成黄金分割比。
●几何数柏拉图在《理想国》中谈到一种特殊的数——“几何数”，但后人有很多种不同解释。
11.3 梅内克缪斯梅内克缪斯（Menaechmus, 380?～320? B.C.）是公元前4世纪柏拉图学派数学家，因发现圆锥曲线而著称于世。
为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线。
用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅氏分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线。
如何在数轴上表示无理数.3-.2---无理数在数轴上的表示
A
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
D
-2
-1
0
1
2
点A表示 2
点C表示 1
点B表示
2 3
点D表示
7 3
无理数在数轴上的表示
学科：数学 年级：八年级 版本：华师大版 主讲人：秦艳秋 单位：长治市郊区漳村矿中学
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上表示出 2 的点吗？
任意一个直角三角形，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方
c b
a
a2+b2=c2
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 32 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 32 3 4 5
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
__ 6 __ 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
45
2
6 10
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 32 5 3 4 5
探究2：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线L⊥OA,在L上取一点B，使 AB=2;
3数,以轴原交点于OC为点圆L，心B 则，点以CO即B为为半表径示作1弧3，的弧点与。
∴点C即为表示 13 的点
0 1 2 A•3 C 4
你能在数轴上画出表示 17 的点和 15 的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2 , 3, 4 , 5
的线段.
1
1
2
34