怎样证明根号2是一个无理数
根号2为无理数的证明
到底是哪一個成立呢? 如何證明? 欲證 H2 成立, 我們不易直接著手, 所 以改由 H1 切入。 √ 換言之, 我們假設 「 2 為有理數」, 先 √ √
投石問路一番, 看看會得出什麼邏輯結論。 第一種證法: 假設 可以寫成 √ 2 為有理數, 故 2
2=
a b
(1)
其中 a 與 b 為兩個自然數並且互質。 將上式 平方得 a2 = 2b2 (2)
五、 完全平方數
√ √ 第十種證法: 設 2 為有理數, 故 2 √ 可以寫成 2 = a , 其中 a 與 b 為互質的自 b2 + y 2 = z 2
16 數學傳播 23 卷 1 期 民 88 年 3 月
的所有正整數解為
x z
2β1 2β2 α1 2α2 αn 2βm p2 · · · p2 = 2q1 q2 · · · qm 1 p2 n
(3)
第二種證法: 觀察 (3) 式中的 2, 左項 的 2 為偶次方, 但右項的 2 為奇次方, 這是一 個矛盾。 第三種證法: 在 (3) 式中, 左項有偶數 個質數 (計較重複度), 右項有奇數個質數, 這 也是一個矛盾。 無論如何, 我們由歸謬法證明了 無理數。 √ 2為
2 2 2 2 2 2 2 2
六、 輾轉相除法
求兩個整數之最大公因數最常用輾轉相 除法 (又叫做歐氏算則)。 由此可衍生出一個 美妙的結果: 定理 1: 若 a, b 的最大公因數為 d, 則 存在兩個整數 r , s 使得 d = ar + bs (8)
質, 則 a2 = 2b2 。 a 與 b 的個位數字可能為 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 或 9, 於是 a2 與 b2 的 個位數字可能為 0, 1, 4, 5, 6 或 9, 而 2b2 的 個位數字可能為 0, 2 或 8。 由 a2 = 2b2 可 知, a 與 2b 的個位數字必為 0, 從而 a 的 個位數字為 0, 且 b2 的個位數字為 0 或 5, 所 以 b 的個位數字為 0 或 5。 因此, a 與 b 可被 √ 5 整除, 這跟 a 與 b 互質的假設矛盾, 故 2 為無理數。
无穷递降法证明根号2是无理数
无穷递降法证明根号2是无理数
根号2（√2）为什么是无理数，我们有什么办法去计算它。
当我冒出这个想法的时候，其实大部分人的反映都一样1+1开根号就是啊，至于为什么，就是规定呗，当然把根号作为一种符号确实如此，但是离结果还差了很远。
这个问题追根溯源，会发现远比我们想象的要复杂，得追溯到古希腊时期。
毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年至公元前500年间）是古希腊的大数学家，他提出“万物皆为数”的观点。
公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）突然发现好像有些情况解释不了，比如一个正方形的对角线与其一边的长度，这明显与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭，使得学派领导人很惶恐，最后被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。
要去计算根号2的值，我们可以拆分为两个问题。
1）怎么证明根号2是无理数
2）根号2的无理数值是怎么计算出来的？
我们来从求知的角度来证明下根号2（√2）为什么是无理数？
方法1：尾数证明法：
假设根号2是一个有理数，那么根号2就可以使用a/b的形式来标识，其中（a，b）=1，（表示a与b最大的公因数是1），a和b都是正整数，明确了这些条件，我们就开始证明了。
反证法的一般步骤例子
反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。
下面将以反证法的一般步骤为题，列举一些具体的例子来说明。
一、反证法的一般步骤反证法的一般步骤包括以下几个步骤：1. 假设待证命题的反命题为真；2. 利用已知条件或已证明的命题推导出与反命题相矛盾的结论；3. 由此得出结论，待证命题为真。
二、具体例子1. 证明根号2是一个无理数假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
设根号2=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。
由此可得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。
根据整除的性质可知，a^2必然是2的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是2的倍数。
设a=2k，则可得到4k^2=2b^2，化简得到2k^2=b^2。
同样地，可知b也是2的倍数。
这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号2是一个无理数。
2. 证明素数有无穷多个假设存在有限个素数，记为p1、p2、p3、…、pn。
考虑数M=p1p2p3…pn+1，显然M大于任何一个已知的素数。
根据素数的定义，M必然是一个合数。
而根据合数的定义可知，M必然可以被某个素数pi整除。
然而，pi不能整除M，因为p1p2p3…pn+1除以pi的余数必然为1。
这与假设相矛盾，因此假设不成立，素数有无穷多个。
3. 证明根号3是一个无理数假设根号3是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
设根号3=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。
由此可得3=a^2/b^2，即3b^2=a^2。
根据整除的性质可知，a^2必然是3的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是3的倍数。
设a=3k，则可得到9k^2=3b^2，化简得到3k^2=b^2。
同样地，可知b也是3的倍数。
这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号3是一个无理数。
4. 证明根号5是一个无理数假设根号5是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
证明根号2是无理数的八种方法
证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = a . b
其中(a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数.则 a 2 2b2 .由于完全平方数b2 的尾数只能是 0、1、4、5、6、9 中的一个，因此2b2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为a 2 2b2 ，所以 a 2 与 2b2 的尾数都是 0，因此b2 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a,b)=1 矛
12
m
12
n
1
m
q1,, qn 都是素数， r1,, rm 与 s1,sn 都是正整数，因此
p 2r1 p 2r2 p 2rm =2 q q 2s1 2s2 q 2sn ，素数 2 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，
1
2
m
12
n
矛盾，因此 2 是无理数.
证法 6：假设 2 = a ，其中右边是最简分数，即在所有等于 a 的分数中，a 是最小的正
2 1 1 ，将分母中的 1 2
2 用1 1 代替，有 1 2
2 1 21ຫໍສະໝຸດ 1，不断重复这1 2
个过程，得
2 =1
2
1
1
2
1 2
，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都
是 1 分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.
证法 8：构图法。以上诸多证法的关键之处在于，证明a 2 2b2 没有正整数解。若不然，
b
b
整数分子，在 a 2 2b2 的两边减去 ab 有 a 2 ab 2b2 ab ， a(a b) b(2b a) ，即
√2是无理数的证明方法
√2是无理数的证明方法
要证明√2是无理数，需要使用反证法。
即假设√2是有理数，可以表示为p/q，其中p和q都是整数，并且它们没有公共因数。
则根据等式√2=p/q，两边平方得到：2=p^2/q^2。
将等式的两边乘以q^2，得到：2q^2=p^2。
由此可知，p^2必定是2的偶数倍。
因为偶数的平方仍然是偶数，奇数的平方是奇数。
所以，p必须是偶数，即p=2k（k为整数）。
代入原方程中，得到2q^2 = (2k)^2，即 q^2 = 2k^2。
同理，q^2也是2的偶数倍。
这与最初的假设矛盾，因为p和q 不可能同时为2的偶数倍，否则它们就有公共因数2，与最初的前提矛盾。
因此，√2不能表示成两个整数的比值，即√2是无理数。
证明根号2是无理数的八种方法
怎样证明 是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数，设 a=2c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬 身海底.证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除 或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此a 2b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数， r , ,r 与 s , s 都是正整数，因此 p p p =2q q q ，素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此 2 是无理数.a a 证法 6：假设 2 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于 的分数中，a 是最小的正整b b数分子，在 2 的两边减去 ab 有 2 ， ( ) (2 ) ，即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ，右边的分子 2 - < ，这与 是最小的分子矛盾，因此 2 是无理数.a 1 证法 7：连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1，因此 2 1， 1 2 1 1 1 2 1 ，将分母中的 2 用1 代替，有 2 1 ，不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程，得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.证法 8：构图法。
gowers 根号2 证明
gowers 根号2 证明假设根号2是一个有理数，那么根号2就可以使用a/b的形式来标识，其中(a,b)=1,(表示a与b最大的公因数是1）,a和b都是正整数，明确了这些条件，我们就开始证明了。
第1步：√2=a/b那么可以得到a*a=2*b*b第2步：从数的平方我们可以很快得到，b*b的尾数范围是(0,1,4,5,6,9)中的一个数，不可能是2,3,7,8，这个道理不难理解；第3步：2*b*b的尾数范围是（0,2,8）中的一个数，第4步：因为a*a=2*b*b,那么a*a的尾数范围可以排除2和8，只有0第5步：因为2*b*b得到的值肯定是一个偶数，那么b*b的尾数范围是(0,5)第6步：按照目前的尾数可选项，a和b存在公因数5，和(a,b)=1是相矛盾的。
所以根号2是一个无理数。
方法2：奇偶分析法假设√2=a/b那么可以得到a*a=2*b*b,(a,b)=1,(表示a与b最大的公因数是1,a和b都是正整数1）根据2*b*b可以推得a是一个偶数，我们可以设置a=2c2）4*c*c=2*b*b得到b*b=2*c*c，可以得到b也是偶数3）a,b都是偶数，这和(a,b)=1相矛盾所以根号2是一个无理数，可以说明的是希帕索斯就是用这种方法证明的。
还有很多种方法补充，差不多有8种左右，我就不一一罗列了。
如何计算根号2的值呢，查找了不少资料，我觉得这几种方法还是能消化的。
方法1：（√2+1）（√2-1）=1，这是我们参考的一个基准，可以按照这种方式不断的展开。
√2-1=1/（√2+1）√2=1+1/（√2+1）,继续带入根号2的对等公式√2=1+1/（1+1/（√2+1）+1）=1+1/（2+1/（√2+1））继续推导：√2=1+1/（2+1/（√2+1））=1+1/（2+1/（1+1/（√2+1）+1））=1+1/（2+1/（2+1/（√2+1）））这种方式叫做连分数法，我们可以通过这种不断的迭代可以得到更加精确的值。
无理数的经典例题
无理数的经典例题无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
它是实数中的一类特殊的数，不属于有理数的范畴。
无理数在数学中有着广泛的应用，其中包括几何、物理学和金融学等领域。
下面将介绍一些与无理数相关的经典例题，以及其解决方法和相关的数学概念。
1. 证明根号 2 是无理数设根号2是有理数，即可以写成 m/n（最简分数形式），其中m 和 n 是整数，且它们没有公共的因子。
则有 (m/n)^2 = 2，即 m^2 = 2n^2。
由此可知，m^2 是 2 的倍数，因此 m 也是 2的倍数。
设 m = 2k，其中 k 是整数。
代入方程中得到 (2k)^2 = 2n^2，即 2k^2 = n^2。
同样的道理，n 也是 2 的倍数。
这与最简分数要求矛盾，因此根号 2 是无理数。
2. 求根号 3 的近似值根号 3 是一个无理数，我们可以通过数值逼近来求得一个近似值。
一种常用的方法是二分法。
假设根号 3 的近似值为 x，我们可以选择一个区间 [a, b]，使得根号 3 落在该区间内。
然后计算中点 c，即 (a + b)/2，并比较 c^2 和 3 的大小关系。
如果c^2 大于 3，则将 c 更新为新的上界 b，否则更新为新的下界 a。
重复上述步骤直到满足要求。
3. 证明 e 和π 的和是无理数假设 e 和π 的和是有理数，即e + π = m/n，其中 m 和 n 是整数，且它们没有公共的因子。
将等式两边均乘以 n，得到 ne + nπ = m。
由于 e 和π 都是无理数，因此它们的乘积ne + nπ 也是无理数。
但等式右边是一个有理数，这与无理数的定义相矛盾。
所以 e 和π 的和是无理数。
4. 证明根号 2 + 根号 3 是无理数假设根号 2 + 根号 3 是有理数，即可以写成 m/n（最简分数形式），其中 m 和 n 是整数，且它们没有公共的因子。
通过移项可以得到 (m/n - 根号 2)^2 = 3。
展开并化简等式得到m^2/n^2 - 2m根号 2/n + 2 = 3，继续整理得到 m^2 - 2mn根号2 + 2n^2 = 3n^2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
怎样证明2是一个无理数
2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.
换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.
证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数.
这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.
证法2：奇偶分析法.假设2=b
a .其中(a,
b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2
c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.
证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行
的.222b a =改写成a a b ⋅=
22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2
a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与
b ，这与(a,b )=1矛盾. 证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾.
证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n s n s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1 都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.
证法6：假设2=b a ，其中右边是最简分数，即在所有等于b a 的分数中，a 是最小的正整数分子，在222b a =的两边减去ab 有ab b ab a -=-222，)2()(a b b b a a -=-，即b
a a
b b a --==22，右边的分子2b -a <a ，这与a 是最小的分子矛盾，因此2是无理数. 证法7：连分数法.因为)12)(12(-+=1，因此211
12+=
-， 211
12++=，将分母中的2用2111++代替，有211
2112+++=，不断重复这
个过程，得2= +++
+21
2121
1，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是
1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.
证法8：构图法。
以上诸多证法的关键之处在于，证明222b a =没有正整数解。
若不然，可以b 、a 为边构造正方形(b<a ),因为222b a =，因此图中空白部分的面积等于中间黑色阴影部分的面积，它们都是正方形，这就找到了一组更小的正整数(a,b )满足222b a =，无穷递降下去，这个过程可以无限进行，矛盾！。