为什么说根号2不是有理数？
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。
本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。
它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。
二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。
当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。
2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。
3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。
4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。
2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。
四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。
2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。
通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。
3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。
为什么说√2不是有理数
2
不是有理数
• 公元前6世纪古希腊的毕达哥拉 斯有一种观点，即“万物皆数”， 一切量都可以用真实或整数的比 （分数）表示，后来，当这一学 派的希帕索斯发现边长为1的正 方形的对角线的长度不能用整数 或整数的比表示，即 2 不是 有理数时，毕达哥拉斯学派感到 惶恐不安。由此还引发了一次数 学危机……
• 因为(n/m)^2=2,所以n/m不 可能是整数，于是把它写 成小数形式，而有限小数 的平方不可能是整数。如 果n/m不是有限小数的话， 可以把它转换成另外的进 制使得n/m是有限小数，因 而上面的结论仍然成立。
毕达哥拉斯，古 希腊数学家、哲 学家。
• 把BD减去BC，剩下一段DE。以DE 为边做一个新的小正方形DEFG， 那么显然DE=EF=FC（∵△EDF为 等腰直角且△BEF≌△BCF）。接 下来我们应该在BC和DE间辗转相 除。BC就等于CD，CD减去一个DE 相当于减去一个FC，就只剩下一 段DF了。现在轮到DE和DF之间辗 转相除，而它们是一个新的正方 形的边和对角线，其比例正好与 最初的BC和BD相当。于是，这个 操作再次回到原问题，并且无限 递归下去。
同样是证明不存在整数p, q， 使得p^2=2q^2，这个证明只需 一句话。假如p、q是最小的正整 数使得p^2=2q^2，看图，两个边 长为q的小正方形放在一个边长 为p的大正方形里，那么图中深 灰色正方形的面积就等于两个白 色正方形面积之和，于是我们就 找到了具有同样性质的更小的整 数p和q。仔细体会一下这个“面 积守恒”，如果A+B=C，那么A和 B重复计算了的必然是C里还没有 算过的。
• 无理数，即非有理数之实 数，不能写作两整数之比。 若将它写成小数形式，小 数点之后的数字有无限多 个，并且不会循环。
第5讲为什么说根号2不是有理数
第5讲学习目标1.了解无理数产生的背景；2.3..重点与难点. 一、无理数产生的背景公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示.后来，当这一学派中的希帕索斯（Hippasus ）发现边长为1哥拉斯学派感到惊恐不安.由此引发了第一次数学危机.据传希帕索斯被抛入大海而葬身鱼腹..法国数学家笛卡尔（R.Descartes ）于1637. 二、P41探究：能否用两个面积为1dm 2的小正方形拼成一个面积为2dm 2的大正方形？三、P41∵221=1,2=4，∴12<;∵221.4=1.96,1.5=2.25，∴1.4 1.5<;∵221.41=1.9881,1.42=2.0164，∴1.41 1.42;∵221.414=1.999396,1.415=2.002225，∴1.414 1.415<;…….⋅⋅⋅，它是一个无限不循环小数..四、P54以单位长度为边长画一个正方形（如图所示），以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正与负半轴的五、P58下面给出欧几里得《原本》中的证明方法.p q，，使得pq,于是p=，两边平方，得222p q=.由22q是偶数，可得2p是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.因此可设2p s=，代入上式，得2242s q=，即222q s=.所以q也是偶数.这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾...事实上，无理数只是一种命名，并非“无理”，而是实际存在的不能写成分数形式的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.如何理解“理”的含义？《几何原本》是我国最早译自拉丁文的数学著作，明朝科学家徐光启在翻译时没有现成的、可以对照的词，许多译名都是从无到有创造出来的.徐光启将“ratio（比）”译成了“理”，即“理”就是比的意思.所以，“有理数”应理解为“可以写成两个整数之比的数”，不应理解为“有道理的数”；同样，“无理数”应理解为“不可以写成两个整数之比的数”，不应该理解为“没有道理的数”.因此，有人建议，把“有理数”和“无理数”改称为“比数”和“非比数”.六、一试身手习题见PPT课件内容七、课堂小结说一说你本节课的感受与体会.。
带根号的数未必是无理数
带根号的数未必是无理数鹿泉市获鹿镇第三中学崔怀平在新教材七年级数学下册第十章第三节讲到：“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。
”接着引出定义：“无限不循环小数又叫无理数。
”例如：2，3，是无理数，π=3.14159265......,也是无理数。
时间一长，有的学生把无理数和带根号的数混淆起来，误认为带根号的数就是无理数。
其实带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定都是带根号的数得来的。
无理数的定义是：“无限不循环小数叫无理数”。
最本质特征是无限不循环。
我们知道，开方开不尽的数，开方后可以得到无限不循环小数，既无理数。
但是无限不循环小数不一定非得由开方得来，例如圆周率=3.14159265．．．．．．，它不是开放得来的，它是圆的周长除以直径得到的，它是一个比值。
还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数；它是通过求极限的方法得到的。
还有我们也可以有意识地构造一些无理数，如：0.101001000…..，（构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个），显然这个数是无限不循环的小数，也是一个无理数。
就是说无理数并不都是开方开不尽而得来，还有其他方式可以形成无理数。
另一方面，虽然很多带根号的数都是无理数，例如：2、45、33等，但不是带根号的数就一定是无理数。
例如：352++352-，从感觉上看，这个数很像无理数，但是他确实是一个有理数。
现在证明一下：设x= 352++352-两边3次方得：3x=3335252⎪⎭⎫⎝⎛-++=3352⎪⎭⎫⎝⎛++3•⎪⎭⎫⎝⎛+•2352352-+3•+•3522352⎪⎭⎫⎝⎛-+3352⎪⎭⎫ ⎝⎛- =2+5+33352()52)(52(+•-+•+)523-+25- =4x •-•+3543=4x 3-即 x x 343-=0433=-+x x分解因式：0443=-+-x x x()()01412=-+-x x x ()()()01411=-++-x x x x()()()0411=++-x x x()()0412=++-x x x042=++x x 在实数内无解所以，x=1也就是说 352++352-=1 ，它是一个有理数。
为什么说根号2(√2)不是有理数
5,
3 0.3737737773
有理数集合
无理数集合
整数 实 有理数
数
分数
有限小数或无 限循环小数
无理数 无限不循环小数
正实数
实
数
0
负实数
正有理数 正无理数
负有理数 负无理数
一、判断：
1.实数不是有理数就是无理数。（ ）
2.无理数都是无限不循环小数。（ ）
3.无理数都是无限小数。（ ）
4.带根号的数都是无理数。（ × ） 5.无理数一定都带根号。（× ）
6.两个无理数之积不一定是无理数。（ ）
7.两个无理数之和一定是无理数。（ × ）
8.有理数与无理数之和一定是无理数 ( )
把下列各数填入相应的集合内：
9 35
64
0.6
3 4
3 9
3
0.13
有理数集合： 9
64
0.6330.13 Nhomakorabea4
无理数集合： 3 5
3 9
整数集合： 9 64 3
分数集合： 0.6
3 4
0.13
实数集合：
9 35
64
0.6
3 4
3 9
3
0.13
每个有理数都可以用数轴上的点表示， 那么无理数 是否也可以用数轴上的 点来表示呢？
你能在数轴上找到表示 和 2及 2
这样的无理数的点吗？
直径为1的圆
7
3
有理数能不能将数轴排满？
2、（结果保留3个有效数字）
(1)、5
(2)、( 3 2 2) 2
(3)、2 9 2
为什么说√2不是有理数
• 无理数，即非有理数之实数， 无理数，即非有理数之实数， 不能写作两整数之比。 不能写作两整数之比。若将 它写成小数形式， 它写成小数形式，小数点之 后的数字有无限多个， 后的数字有无限多个，并且 不会循环。 不会循环。
假设根号2为有理数,那么存在两个互质 的正整数p, q, 使得: √2=p/q 于是： p= （√2）q 两边平方得： p^2=2q^2 由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有 偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。 因此可设p=2s,代入上式，得： 4s^2=2q^2, 即，q^2=2s^2. 所以q也是偶数。这样，p, q都是偶数， 不互质，这与假设p, q互质矛盾。 这个矛盾说明，√2不能写成分数的形 式，即√2不是有理数。
• 因为(n/m)^2=2,所以n/m不 因为(n/m)^2=2,所以n/m不 (n/m)^2=2,所以n/m 可能是整数， 可能是整数，于是把它写 成小数形式， 成小数形式，而有限小数 的平方不可能是整数。 的平方不可能是整数。如 n/m不是有限小数的话 不是有限小数的话， 果n/m不是有限小数的话， 可以把它转换成另外的进 制使得n/m是有限小数， n/m是有限小数 制使得n/m是有限小数，因 而上面的结论仍然成立。 而上面的结论仍然成立。
同样是证明不存在整数p, q， 同样是证明不存在整数p, q， 使得p^2=2q^2 p^2=2q^2， 使得p^2=2q^2，这个证明只需 一句话。假如p 一句话。假如p、q是最小的正整 数使得p^2=2q^2 看图， p^2=2q^2， 数使得p^2=2q^2，看图，两个边 长为q 长为q的小正方形放在一个边长 的大正方形里， 为p的大正方形里，那么图中深 灰色正方形的面积就等于两个白 色正方形面积之和， 色正方形面积之和，于是我们就 找到了具有同样性质的更小的整 仔细体会一下这个“ 数p和q。仔细体会一下这个“面 积守恒” 如果A+B=C 那么A A+B=C， 积守恒”，如果A+B=C，那么A和 重复计算了的必然是C B重复计算了的必然是C里还没有 算过的。 算过的。
6.3为什么说根号2不是有理数(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握有理数的定义和性质，能够正确判断一个数是否为有理数。
（2）理解无理数的概念，尤其是根号2为什么不是有理数。
（3）学会运用反证法进行数学证明。
举例解释：
-在讲解有理数的定义时，可以通过具体的例子（如分数、整数）让学生理解有理数的含义，强调有理数可以表示为两个整数的比。
2.介绍根号2的概念，引导学生思考根号2是否为有理数。
3.引导学生尝试用反证法证明根号2不是有理数，从而理解无理数的存在。
4.通过实际例题，让学生巩固对有理数和无理数的认识，提高解题能力。
本节课旨在帮助学生理解无理数的概念，掌握反证法的运用，为后续学习奠定基础。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，通过反证法的运用，让学生掌握证明根号2不是有理数的方法，提高学生的逻辑思维水平。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“无理数来自实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调有理数的定义和无理数的证明这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的例子和反证法的步骤来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如其他常见的无理数有哪些，它们在生活中的应用等。
阅读与思考：为什么根号2不是有理数
理数、无理数的由来，为什么 2 不是有理数，学生只是知其然并不知其所以然。
本节课所涉及的推理和证明过程中所涉及的反证法的数学思想，综合性较
1
强，学生在探究的过程中存在一定的思维障碍。 2.心理特征
此阶段的学生已经基本适应了初中的数学学习，学习的主动性和进步性进一 步加强。
理由的。例如负数的负就是亏欠、负
债的意义，也表示其意义与正数的正
恰好相反。而有理数之所以叫做有理
数确实毫无道理的。它源于翻译中的
失误。
19 世纪，西方科学传入中国时，
我国数学家李善兰（1811-1882）在译
英国 De Morgan 的《代数学》时将
rational function 与 irrational function
学习了有理数和七年级下册学习无理数、实数内容的延续和拓展。 数的范围从有理数扩充到实数，完善了初中阶段数域的意义，构建了实数与
数轴的完美结合与统一。
1.认知基础：
学情分析
本节课的授课对象为普通初中的学生，学生的学习基础一般。在先前的学习
中，学生已经了解有理数、无理数、实数的分类等内容，了解形如 m （m、n 是 n
数比表示，即 2 不是有理数时，毕达
哥拉斯学派感到狂恐不安，由此，引 发了第一次数学危机。
让学生通过微课视 频了解数系扩充的 过程。
将数学文化融入 数学课堂，激发 学生学习数学的 兴趣。
有理数是能表示成 m （m、n 是 教 师 提 出 问 题 ， 学
n
生回答。
整数，n≠ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）的数。我们知道有理数
3
包括整数和分数，请把下列分数写成 小数的形式，你有什么发现？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有理数-----整数或是互质的整数比
将下列小数化成分数.
(1) 0.1=
(2) 0.125= •
(3) 0.3 =
(4)
0.
•
4
•
5
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谈谈你对 2的认识
已知正方形ABCD的面积为2，请
问边长是多少？
A
2
B
阅读教材58页第二，三段 的证明方法
0
1
2
3
4
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了解了无理数的证明方法、 阅读材料的理解和学习方法
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1.用类似的方法，你能证ห้องสมุดไป่ตู้明3 2不是有理数吗？
2.数轴上有理数多还是无理数多？
0
1
2
3
4
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想一想
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问题2：数轴上每个正整数点都埋有一颗地雷。有一个机器 人从数轴上0与1之间的某个点出发，沿着数轴的正方向一 直前进。它的每一步长度都相同，设为 x（x>0），
请你给x取一个值，使得机器人永远不会踩上地雷，并说 明理由。
阅读方法指导：
1.试着理解推理论证过程； 2.勾画出存在疑惑的地方； 3.在本子上复写推理过程.
D
C
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证明 2 是无理数.
的发现 重庆市第三期农村中小学领雁工程项目
2
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阅读方法指导： 人物、 事件、 主要矛盾
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为什么说 2 不是有理数
数的分类与发展 重庆市第三期农村中小学领雁工程项目 荣昌区宝城初级中学初中数学教研工作坊
有限小数及无限循环小数
整数
有理数
……
分数
实
（比）
数
无理数
无限不循环小数
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想一想 重庆市第三期农村中小学领雁工程项目 荣昌区宝城初级中学初中数学教研工作坊
问题1：数轴上每个正整数点都埋有一颗地雷。有一个机器 人从原点出发，沿着数轴的正方向一直前进。它的每一步 长度都相同，设为 x（x>0），
（1）请你给x取一个值，使得机器人永远不会踩上地雷，并 说明理由。
（2）这样的值唯一吗？怎样的数符合要求？