带根号的数未必是无理数
实数(详解版)
∵
，
∴ 的立方根是 ，故④正确；
∵
，
∴ 和 的平均数是 ，故⑤正确．
综上可知①③④⑤都是正确的，故小亮的得分为
D. 分 (分)．
故选 ．
考点 数 > 有理数 > 倒数 > 求一个数的倒数 数 > 实数 > 实数基础概念 > 题型：实数与相反数、绝对值和倒数
13 （5分）求下列各数的平方根与算术平方根： (1) （1分） (2) （1分） (3) （1分） (4) （1分） (5) （1分）
的解．
答案 (1) (2)
或
．
解析
(1) 解： ① ②得
① ②． ．
∵
．
∴
．
∴
，
．
．
∴
．
(2)
．
则
．
即
．
解得
．
∴
或
．
当
时
解得
当
时
解得
综上，方程的解为
或
（成立）． （成立）． ．
考点 式 > 整式的加减 > 整式的加减运算
因为
，
，所以其积可以为有理数，也可为无理数；
因为
，
，所以其商可以为有理数，也可为无理数．
所以两个无理数的和，差，积，商一定是实数．
考点 数 > 实数 > 无理数有关的计算 > 题型：无理数的定义
4 （2分）下列说法①任何数的平方根都是两个②如果一个数有立方根，那么它一定有平方根③算
术平方根一定是正数④非负数的立方根一定是非负数，正确的个数为（ ）．
25 （2分）计算：
．
答案
．
江西省临川一中七年级数学下册第六章【实数】基础卷(含答案)
一、选择题1．有下列四种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ） A ．﹣40B ．﹣32C ．18D ．103．有下列说法：①在1和2②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④B ．①②④C ．②④D ．②4．下列命题中，①81的平方根是9；±2；③−0.003没有立方根；④−64的立方根为±4； ） A ．1B ．2C ．3D ．45．下列实数220.010*******；； (相邻两个1之依次多一个0)2，其中无理数有( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．定义运算：132x y xy y =-※，若211a =-※，则a 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．27．8 ） A ．4B ．5C ．6D ．78．，则571.34的平方根约为（ ） A ．239.03B ．±75.587C ．23.903D ．±23.9039．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n10．下列说法正确的有（ ） （1）带根号的数都是无理数； （2）立方根等于本身的数是0和1； （3）a -一定没有平方根；（4）实数与数轴上的点是一一对应的； （5）两个无理数的差还是无理数；（6）若面积为3的正方形的边长为a ，a 一定是一个无理数． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．下列各组数中都是无理数的为（ ） A ．0.07，23，π； B ．0.7•，π2； C 26，π；D ．0.1010101……101，π3二、填空题12．进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n 个则称为n 进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个(210)n n ≤≤进制表示的数通常使用n 个阿拉伯数字()01--n 作为基数，特点是逢n 进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数 ()252342535469=⨯+⨯+=，则()523469=，七进制数()271361737676=⨯+⨯+=（1）请将以下两个数转化为十进制：()5333= ，（746)= ．（2）若一个正数可以用7进制表示为()7abc ，也可用五进制表示为()5cba ，求出这个数并用十进制表示．13．观察下列各式：322111124==⨯⨯，33221129234+==⨯⨯，33322112336344++==⨯⨯，33332211234100454+++==⨯⨯；…回答下面的问题：（1）猜想：33333123(1)n n ++++-+=_________；（直接写出你的结果）（2）根据（1）中的结论，直接写出13+23+33+．．．．．．+93+103的值是_________； （3）计算：213+223+233+．．．．．．+293+303的值．14．（1）解方程组；25342x y x y -=⎧⎨+=⎩（2）解不等式组：352(2)22x x x x -≥-⎧⎪⎨>-⎪⎩①②，并写出它的所有整数解．（3）解方程：2(x 2)100-=（4）计算：20172(1)|7|(---- 15．计算： （1）⎛- ⎝； （2|1--16．若求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如()()()()2223333÷÷-÷-÷-÷-，等。
无理数与根号的运算技巧
无理数与根号的运算技巧无理数是指不能表示为两个整数之比的实数，它们的十进制表示是无限不循环的。
无理数常常涉及到根号的运算技巧。
根号是数学中表示平方根的符号，它代表一个数的平方根。
本文将讨论一些处理无理数和根号的常用运算技巧。
首先，让我们来看一些根号运算的基础知识。
例如，根号下9表示的是正负3，因为3的平方是9。
同样地，根号下16表示的是正负4，因为4的平方是16。
根号下25表示的是正负5，因为5的平方是25。
可以看出，根号运算是找到一个数的平方根。
但是，并不是所有的数都有有理数的平方根。
例如，根号下2，根号下3，根号下5等都是无理数，它们不能表示为两个整数之比。
这就使得在处理无理数和根号时需要运用一些特殊的技巧。
一种常见的技巧是有理化分母。
当我们遇到分母含有根号的分式时，经常需要进行有理化分母的操作。
有理化分母是指通过一些方法将根号从分母中去掉，使得分母变为有理数。
例如，对于分式1/根号2，我们可以通过乘以根号2的形式因式分解来有理化分母，即：(1/根号2)* (根号2/根号2) = 根号2/2。
这样，我们可以得到一个有理数作为分母，从而更容易进行相关计算。
另一个常用的技巧是整理根号的表达形式。
当遇到根号下一个复合数或多个数相乘的情况时，可以考虑将它们分解为一个简化的形式。
例如，根号下12可以写成根号下4乘以根号下3，即2乘以根号下3。
这样，我们可以简化根号表达式，从而更方便进行后续的运算。
除了基本的运算技巧之外，还有一些特殊的无理数和根号运算规则需要注意。
例如，根号下a乘以根号下b可以简化为根号下ab，根号下a除以根号下b可以简化为根号下(a/b)，a的根号次方可以表示为根号下(a的次方)等等。
这些运算规则可以帮助我们更好地处理无理数和根号的运算问题。
在实际应用中，无理数和根号的运算技巧经常出现在代数、几何、三角等各个数学领域。
例如，在代数中，我们经常需要对根号进行展开，合并同类项，进行消去和求解等操作。
无理数的常见形式
无理数的常见形式，科学计数法无理数概念：无理数即无限不循环小数。
明确无理数的存在无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如：（1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等；像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。
概念剖析：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。
这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。
无理数的常见形式：在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种：1. 无限不循环的小数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）2. 含的数，如：，，等。
3. 开方开不尽而得到的数，如，等。
4. 某些三角函数值：如，等。
无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0，4/5=0.8，1/3=0.33333……。
而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………。
根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数；2、无理数不能写成两整数之比。
错误辨析：1. 无限小数都是无理数；2. 无理数包括正无理数、负无理数和零；3.带根号的数是无理数；4. 无理数是用根号形式表示的数；5.无理数是开方开不尽的数；6. 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数；7.无理数与有理数的乘积是无理数；8. 有些无理数是分数；9. 无理数比有理数少；10. 一个无理数的平方一定是有理数。
综上，学习无理数应把握住无理数的三个特征：（1）无理数是小数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数是不循环小数。
判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个不能少。
另外，还应注意无理数的几种常见的表示形式，才是弄清无理数概念的关键。
正确区分有理数和无理数
正确区分有理数和无理数
八年级数学上册第二章内容为实数，是在学生认识有理数的基础上引入无理数，进行数字的第二次扩充。
但是多数同学往往无法正确区别有理数和无理数，混淆它们的概念，错误的分类和判断。
例如：下列各数中，那些是有理数？那些是无理数？
2、1.414、132、3
π、38、1.010010001…….、0.27·、1.10010001 误区：（1）38是无理数，认为带根号的数都是无理数。
（2）3π是有理数，认为它是分数，所以是有理数。
（3）1.010010001……认为是有理数，认为有规律可循，所以是循环小数即属于有理数。
点拨：（1）38=2是有理数。
（2）3π为分数形式但为无理数故3
π是无理数。
（3）1.1010010001……相邻两个之间0的个数逐次加1，但不是循环，它是无限不循环小数，属于无理数。
解析：1.414、132、38、0.27·、1.010010001是有理数。
2、3π
、1.010010001…….是无理数。
带根号的数未必是无理数
带根号的数未必是无理数鹿泉市获鹿镇第三中学崔怀平在新教材七年级数学下册第十章第三节讲到：“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。
”接着引出定义：“无限不循环小数又叫无理数。
”例如：2，3，是无理数，π=3.14159265......,也是无理数。
时间一长，有的学生把无理数和带根号的数混淆起来，误认为带根号的数就是无理数。
其实带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定都是带根号的数得来的。
无理数的定义是：“无限不循环小数叫无理数”。
最本质特征是无限不循环。
我们知道，开方开不尽的数，开方后可以得到无限不循环小数，既无理数。
但是无限不循环小数不一定非得由开方得来，例如圆周率=3.14159265．．．．．．，它不是开放得来的，它是圆的周长除以直径得到的，它是一个比值。
还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数；它是通过求极限的方法得到的。
还有我们也可以有意识地构造一些无理数，如：0.101001000…..，（构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个），显然这个数是无限不循环的小数，也是一个无理数。
就是说无理数并不都是开方开不尽而得来，还有其他方式可以形成无理数。
另一方面，虽然很多带根号的数都是无理数，例如：2、45、33等，但不是带根号的数就一定是无理数。
例如：352++352-，从感觉上看，这个数很像无理数，但是他确实是一个有理数。
现在证明一下：设x= 352++352-两边3次方得：3x=3335252⎪⎭⎫⎝⎛-++=3352⎪⎭⎫⎝⎛++3∙⎪⎭⎫⎝⎛+∙2352352-+3∙+∙3522352⎪⎭⎫⎝⎛-+3352⎪⎭⎫ ⎝⎛- =2+5+33352()52)(52(+∙-+∙+)523-+25- =4x ∙-∙+3543=4x 3-即 x x 343-=0433=-+x x分解因式：0443=-+-x x x()()01412=-+-x x x ()()()01411=-++-x x x x()()()0411=++-x x x()()0412=++-x x x042=++x x 在实数内无解所以，x=1也就是说 352++352-=1 ，它是一个有理数。
根号是有理数吗
根号是有理数吗
要看根号下的那个数是不是完全平方数，即它能写成另一个数的平方。
如果是一个完全平方数，开根号后就是有理数；反之，是无理数。
根号是一个数学符号。
根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。
有理数介绍
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。
整数也可看做是分母为一的分数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。
但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。
有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。
实数概念分类性质讲义(含答案)
实数知识点一：无理数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；3、判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．4等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．二、知识点+例题+练习一、无理数的判断1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】0；3227；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为02273π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ．【变式训练1-1】在，–2018，π这四个数中，无理数是A ．B ．–2018CD ．Π【答案】D1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．2、实数的分类： （1）实数按定义分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数( 2 )按正负分类：227227例题精讲二、实数的概念和分类1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．【例1】在5π131401232，，，.，，----中，其中__________是整数，__________是无理数，__________是有理数.【答案】01-；π5131401322，，；，，.，---- 【例2】将这些数按要求填入下列集合中：0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|负数集合｛ …｝；分数集合｛…｝；非负整数集合｛…｝；无理数集合｛…｝．【解析】负数集合｛122-，-1，-|-5| 分数集合｛122-，3.2…｝； 非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝；无理数集合｛0.01001001…，【变式训练2-1】判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（ ）（5）若x =x =（ ）【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．【变式训练2-2】下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【答案】D【变式训练2-3】下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【答案】A【变式训练2-4】 把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、12、7.0、0（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝．【答案】（1）－1 3.14-、12、7.0、0（2-、（3）－10；（4、π、127.0 ；（5）－1、 3.14-、（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．一、相反数与绝对值求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例1的相反数是A ．BC ．D 【答案】A【解析】根据相反数的定义可知：2的相反数是2-，故选A ． 【例2】3-π的绝对值是 A ．3-π B ．π-3 C ．3 D ．π【答案】B【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B ．【例3】 A ．相反数 B ．倒数 C ．绝对值 D ．算术平方根【答案】A【解析】A ．【变式训练3-1的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【答案】【变式训练3-2】3.141π-＝______；=-|2332|______．【答案】-3.141π；【变式训练3-3】若||x =x ＝______；若||1x ，则x ＝______．【答案】1或11 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点． 2、两个实数比较大小：1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．【例1】如图，数轴上点P 表示的数可能是AB ．C ．–3.2D ．【答案】B≈2.65 3.16，设点P 表示的实数为x ，由数轴可知，–3<x <–2，∴符合题意的数为．故选B ．【例2】和数轴上的点成一一对应关系的数是A ．自然数B ．有理数C ．无理数D ．实数【答案】D【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D ．【例3】已知实数m 、n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是A ．m <0B ．n ＞0C ．n ＞mD ．n <m【答案】D【解析】由数轴上的点，得m <0<n ，所以m <0，n ＞0，n ＞m 都正确，即选项A ，B ，C 判断正确，选项D 判断错误．故选D ．【变式训练4-1】已知数轴上A 、B 两点表示的数分别为–3A 、B 间的距离为__________． 【解析】A 、B 两点表示的数分别为–3和A 、B 间的距离为3），故答案为：．【变式训练4-2】如图，点A 、B 、C 在数轴上，O 为原点，且BO ：OC ：CA =2：1：5． （1）如果点C 表示的数是x ，请直接写出点A 、B 表示的数； （2）如果点A 表示的数比点C 表示的数两倍还大4，求线段AB 的长．【解析】（1）∵BO ：OC ：CA =2：1：5，点C 表示的数是x ， ∴点A 、B 表示的数分别为：6x ，–2x ；（2）设点C 表示的数是y ，则点A 表示的数为6y ， 由题意得，6y =2y +4， 解得：y =1，∴点C 表示的数是1，点A 表示的数是6，点B 表示的数是–2， ∴AB =8． 二、比较大小【例4】 ） A ．7～8之间 B ．8.0～8.5之间 C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【答案】C【例5】 实数2.6 （ ）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6<【答案】B【变式训练4-3】一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在 （ ） A ．4～5cm 之间 B ．5～6cm 之间 C ．6～7cm 之间 D ．7～8cm 之间【答案】A【变式训练4-4】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， ，34-，【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-．1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． 【例1】计算下列各式：（1）221．【解析】（1=-．（2）原式21=1=．【变式训练5-1】计算题（1）32716949+- （2） 233)32(1000216-++【解析】（1）32716949+-71333=-+=-； （2）233)32(1000216-++226101633=++=． 【答案】（1）3-；（2）2163．1．在下列实数中，属于无理数的是 A ．0BC ．3D ．2．在每两个1之间依次多一个中，无理数的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3的值在 A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间4．下列四个数中，最小的一个数是 A ．5的绝对值是A ．3B ．6．下列说法中，正确的个数有 ①不带根号的数都是有理数； ②无限小数都是无理数；③任何实数都可以进行开立方运算；1313.140.231.131331333133331(3π-，，，，……3)B 3-．C -．D π-．3-1C 3．1D 3-．④不是分数． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．下列各组数中互为相反数的一组是 A ．-|-2|B ．-4与C ．与D ．8．如图，数轴上点P 表示的数可能是AB．C ． 3.4-D．92-的相反数是__________，绝对值是__________． 10．计算：+-=__________．11__________． 12=__________（=__________． 13．把下列各数填入相应的集合内：4230.15，-7.5，-π，0，23.． ①有理数集合：｛ …｝； ②无理数集合：｛ …｝； ③正实数集合：｛ …｝； ④负实数集合：｛…｝．14．已知：x 是|-3|的相反数，y 是-2的绝对值，求2x 2-y 2的值．515．已知ab的小数部分，|c，求a -b +c 的值．16．已知5的小数部分分别是a 、b，则（a +b ）（a–b ）=__________．17．6的整数部分是a ，小数部分是b ．（1）a =__________，b=__________．（2）求3a –b 的值．18．如图，点A ，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B 所表示的数为n ．（1）求n的值；（2）求|n +1|+（n –2）的值．答案：1．【答案】B【解析】0、3、是无理数．故选B ． 2．【答案】C【解析】，π，1.131331333133331……（每两个1之间依次多一个3）是无理数，故选C ． 3．【答案】B【解析】∵<2的值在：1和2之间．故选B ．4．【答案】D【解析】∵7<8<9<π2，3<π，∴＞–π，∴最小的一个数是–π．故选D ． 13<<3--5．【答案】A．–3的绝对值是3．故选A．6．【答案】C【解析】①不带根号的数不一定是有理数，如π，错误；②无限不循环小数是无理数，错误；③任何实数都可以进行开立方运算，正确；不是分数，正确；故选C．8．【答案】B【解析】由图可知，P点表示的数在之间，故选B．9．【答案】22；--2-的相反数是2-，绝对值是2-，故答案为：22；--10．【答案】【解析】(35+-=+-，故答案为．11．【答案】【解析】它们互为相反数，分别是故答案为：121）3（1-13-1．3=-13．【解析】有理数集合：｛4，230.15，-7.5，0，23.…｝；，π-…｝；4，230.15，23.…｝； ④负实数集合：｛-7.5，π-…｝．14．【解析】∵x 是|−3|的相反数，∴x 是3的相反数−3，即x =−3．∵y 是−2的绝对值，∴y =2．∴22229414x y -=⨯-=．15．【解析】∵<3，∴a =2，b-2，∵|c，∴c当ca -b +c =4；当c =a -b +c =4-．16．【答案】5【解析】∵与5a 、b ，∴a =（–2，b=（5）–2=3，∴（a+b ）（a –b ）=–2+32–5．故答案为：5．17．【解析】（1）∵，∴<3．∴–23．∴6–2＞66–3，∴4＞63．∴a =3，b =3（2）3a –b =3×3–（3=9–1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）（1）2a -没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10100=± （3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C2. 若22b a =，则下列等式成立的是（ ）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A A ′的坐标为 ．【答案】(2--四、课后作业4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）． 【解析】可以采用特殊值法解题，如14x =．【答案】21x x x>>5.计算:（1（2）2(2)-【解析】（111213333-=- ；（2）2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=． 【答案】（1） 13- ； （2）4．6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k 的应用．【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．7.已知实数a ，满足0a =，求11a a -++的值．【解析】0a ，0a a a ∴++=，20a a +=，0a ∴=，112a a -++=【答案】28.先阅读理解，再回答下列问题：，且12<<的整数部分为1；23<2；=34<的整数部分为3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．【解析】n2(1)n n n n +=+，又22(1)(1)n n n n <+<+，1n n ∴<+（n 为正整数），∴整数部分为n ．【答案】n9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．【解析】（5（6【答案】（5；（610.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=，14b b -==或2b =-．又a b b a -=-，b a ∴≥，2,4a b ∴==，．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
带根号的数未必是无理数
鹿泉市获鹿镇第三中学
崔怀平
在新教材七年级数学下册第十章第三节讲到：“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。
”接着引出定义：“无限不循环小数又叫无理数。
”例如：
2，3，是无理数，π=3.14159265......,也是无理数。
时间一长，
有的学生把无理数和带根号的数混淆起来，误认为带根号的数就是无理数。
其实带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定都是带根号的数得来的。
无理数的定义是：“无限不循环小数叫无理数”。
最本质特征是无限不循环。
我们知道，开方开不尽的数，开方后可以得到无限不循环小数，既无理
数。
但是无限不循环小数不一定非得由开方得来，例如圆周率
=3.14159265．．．．．．，它不是开放得来的，它是圆的周长除以直径得到的，它
是一个比值。
还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数；它是通过求极限
的方法得到的。
还有我们也可以有意识地构造一些无理数，如：
0.101001000…..，（构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个），显然这个数
是无限不循环的小数，也是一个无理数。
就是说无理数并不都是开方开不尽而
得来，还有其他方式可以形成无理数。
另一方面，虽然很多带根号的数都是无理数，例如：2、45、33等，但不是带根号的数就一定是无理数。
例如：35
2++35
2-，从感觉上看，这个数很像无理数，但是他确实是一个有理数。
现在证明一下：设x= 35
2++35
2-
两边3次方得：3x=
3
3
35
2
5
2⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
+
+
=
3
35
2⎪
⎭
⎫
⎝
⎛++3•
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
•
2
35
235
2-+3•
+
•35
2
2
35
2⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-+
3
352⎪⎭⎫ ⎝⎛- =2+5+33352()52)(52(+•-+•+)523-+25- =4x •-•+3543
=4x 3-
即 x x 343-=
0433=-+x x
分解因式：0443=-+-x x x
()
()01412=-+-x x x ()()()01411=-++-x x x x
()()()0411=++-x x x
()()0412=++-x x x
042=++x x 在实数内无解
所以，x=1
也就是说 352++352-=1 ，它是一个有理数。
当然，让我们去判断一个较复杂的数是不是无理数是困难的，就是圆周率 也是经过很多数学家的努力，才用微分学证明了它是一个无理数。
现在新课标，新教材对根式运算降低了要求，不必去运算和判断，但是我们要知道 ：一是无理数不是开方才能得到，其他方式也可能产生无理数；二是很多带根号的数或式子是无理数，但是有些带根号的数却是有理数。