6、用反证法证明根号3是无理数：
证明根号3的无理性
我这里有个最通俗有趣和直观的方法，是用三角形来证明的。
如果根号3是无理数，则不存在互质的整数p和q，使得；；
那么我们用反证法，假设存在这样的p和q满足；，也就是；以p和q为边长，作两个等边三角形：
等边三角形的面积和边长的平方成正比，根据可知，白色三角形的面积
是灰色三角形的3倍。
我们把3个灰色三角形分别塞进白色三角形的三个角里，见下图：
灰色三角形重叠出了3个深灰色的小三角形，同时中间留了块白色的空隙；
这个图形十分直观，一看就明白：因为3个灰色三角形的面积之和等于大三角形的面积，所以重叠部分的面积一定等于留空部分的面积。
所以说，白色小三角形的面积，等于3个深灰色小三角形的面积之和，也就是单个深灰色小三角形面积的3倍。
设白色小三角形的边长是n、深灰色小三角形的边长是s，则有，也就是。
记住上面的结论，然后看看n和s到底是多少：
看大三角形的任意一条边就能算出，；
再看灰色三角形内侧，可知，代入一下即得。
因为p和q都是整数，所以n和s当然也是整数。
好了，最开始我们假设存在且p和q互质，现在又找到一对n和s也满
足，且n小于p、s小于q，说明必然是约分后的结果，与p和q互质的假设相矛盾。
所以根号3是无理数。
扩展小思考：
为什么三个灰色三角形塞进大三角形之后一定会有重叠和中间的空隙？为什么不是下面这两种情况？答：如果要像左图那样不重叠，则
答：如果要像左图那样不重叠，则，与矛盾；
如果要像右图那样不留空隙，则，也与矛盾。
反证法求解技巧
反证法求解技巧反证法是一种常用的数学证明方法，它利用了逻辑上的矛盾来证明一个命题的真假。
它的基本思想是假设待证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。
在这篇文章中，我将介绍一些常见的反证法求解技巧。
一、假设法在使用反证法时，我们需要先假设待证明命题的反命题为真。
这样做的目的是为了通过推导与已知事实相矛盾的结论来证明原命题的真实性。
因此，在使用反证法时，我们需要清晰地理解原命题的含义，并假设其反命题为真。
二、推导过程在假设待证明命题的反命题为真之后，我们需要进一步推导出与已知事实相矛盾的结论。
这个过程需要基于已知的条件、公理或定理进行推导，通过逻辑演算来得出新的结论。
在这个推导过程中，需要逐步展开，一步一步推导，直到最终推导出矛盾的结论。
三、缺陷分析在推导过程中，如果我们能够证明存在一个矛盾的结论，那么我们就成功地证明了原命题的真实性。
但是，有时候推导过程中可能会出现错误或漏洞，导致无法得出矛盾的结论。
因此，在使用反证法时，我们需要仔细检查每一步的推导，并进行缺陷分析。
我们要找出导致推导出错或漏洞的原因，并进行修正。
通常，这涉及到了解已知事实的局限性、推导过程的合理性、逻辑演算的正确性等方面。
四、充分性和必要性在使用反证法时，我们要明确待证明命题的充分性和必要性。
充分性是指待证明命题的推导过程中是否覆盖了所有可能的情况和条件，必要性是指推导出的矛盾结论是否可以唯一地导出待证明命题的反命题。
在使用反证法时，我们需要特别注意待证明命题的充分性和必要性。
如果推导出的矛盾结论并不能得出待证明命题的反命题，或者对于待证明命题的某些情况或条件无法进行推导，那么我们就不能通过反证法来证明原命题的真实性。
五、实例分析为了更好地理解反证法的应用，我们可以通过一些实际问题的分析来掌握它的求解技巧。
例如，证明“根号2是无理数”。
假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2=p/q，其中p和q互质。
反证法在数学中的应用
反证法在数学中的应用反证法是一种常用的证明方法，在数学和逻辑学中都有广泛的应用。
反证法的基本思想是，通过否定所要证明的命题，假设其不成立，然后推出一个矛盾结论，从而证明所要证明的命题是正确的。
反证法在数学中的应用非常广泛，可以用来证明很多重要的定理和命题。
下面将介绍一些常见的数学应用。
1.无理数的存在性证明：通过反证法可以证明无理数的存在。
假设不存在一个无理数，在其附近只会有有理数。
然而，通过构造一个无法表示为有理数的数，如根号2，可以推出矛盾结论，从而证明了无理数的存在。
2.质数的无穷性证明：欧几里得在《几何原本》中使用了反证法证明了质数的无穷性。
假设质数的个数是有限的，然后构造一个超过这个有限个质数乘积的数，得出矛盾结论，从而证明了质数的无穷性。
3.唯一分解定理的证明：反证法可用于证明整数可以唯一地分解成质数的乘积。
假设存在两个不同的质因数分解，然后通过求得出现在两个分解中的最小质因数得出矛盾结论，从而证明了唯一分解定理。
4.代数基本定理的证明：反证法可用于证明代数基本定理，即任意次数的多项式方程在复数域上存在根。
假设存在一个次数大于1的多项式方程没有复数根，然后通过构造一个不可约的多项式得出矛盾结论，从而证明了代数基本定理。
5.函数极值点的存在性证明：反证法可以用于证明函数在闭区间上的极值点的存在。
假设函数在闭区间上没有极值点，然后通过构造一个极值点的序列得出矛盾结论，从而证明了函数的极值点的存在性。
6.不动点定理的证明：反证法可以用于证明不动点定理，即如果一个连续函数在闭区间上有定义，且满足拉格朗日中值定理的条件，则在该区间上必定存在一个不动点。
通过否定存在不动点的情况，构造一个函数的序列得出矛盾结论，从而证明了不动点定理。
反证法的应用不仅限于上述几个例子，还可以用于证明不等式、集合论命题等各种数学定理。
反证法是一种十分强有力的证明方法，通过假设反面，并推出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题。
初中数学反证法
初中数学反证法在初中数学的学习中，我们会接触到各种各样的解题方法，其中反证法是一种独特而富有魅力的方法。
它就像是数学世界中的“逆向思维魔法”，常常能帮助我们在看似无解的困境中找到出路。
反证法，顾名思义，就是先假设命题的结论不成立，然后通过一系列的推理，得出与已知条件、定理、公理等相互矛盾的结果，从而证明原命题的结论是正确的。
这种方法听起来似乎有点绕，但其实只要我们深入理解，就能发现它的巧妙之处。
为了更好地理解反证法，让我们来看一个简单的例子。
假设要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。
我们先假设在一个三角形中可以有两个或三个直角。
如果有两个直角，那么三角形的内角和就会超过 180 度，这与三角形内角和是 180 度这个定理相矛盾。
同样，如果有三个直角，内角和更是远远超过 180 度，这显然是不可能的。
所以，我们的假设是错误的，从而得出在一个三角形中最多只能有一个直角的结论。
再比如，证明“根号 2 是无理数”。
如果假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个既约分数 p/q（p、q 为整数，且互质），即根号 2 ＝p/q，两边平方得到 2 ＝ p^2/q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。
由此可知 p^2 是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以 p 也是偶数。
不妨设 p ＝ 2m，代入上式得到 4m^2 ＝ 2q^2，即 2m^2 ＝ q^2，这又说明 q 也是偶数。
但是 p、q 都是偶数，这与 p、q 互质矛盾。
所以，假设不成立，根号 2 是无理数。
反证法的应用范围非常广泛。
在几何证明中，当直接证明某个结论比较困难时，反证法常常能发挥意想不到的作用。
比如在证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”时，就可以使用反证法。
假设过直线外一点有两条直线与已知直线平行，然后通过一系列的推理，会得出与平行公理相矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在代数中，反证法也有很多用武之地。
例如，证明方程 x^5 ＋ x 1＝0 只有一个正实数根。
无理数的经典例题
无理数是不能表示为两个整数的比例的实数，它们的小数部分是无限不循环的。
以下是一些关于无理数的经典例题：
1. **证明根号2 是无理数：**
考虑方程\(x^2 = 2\)，证明它没有整数解。
这可以通过反证法，假设存在整数解，然后导出一个矛盾，证明根号2 是无理数。
2. **证明\(e\) 是无理数：**
证明自然对数的底\(e\) 是无理数是一个复杂的问题，通常需要使用数学分析的方法。
这个证明是由瑞士数学家乔治·庞加莱提出的，使用了连分数等技巧。
3. **证明\(\pi\) 是无理数：**
证明圆周率\(\pi\) 是无理数是一个著名的问题。
这个证明最初由德国数学家弗朗茨·利希滕贝尔格在18世纪提出，后来由英国数学家罗杰·阿普利顿于1882年完成。
4. **证明黄金比例\( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) 是无理数：**
这个数通常用希腊字母\(\phi\) 表示，它是黄金比例的一个代表。
证明\(\phi\) 是无理数可以通过构造与其相关的方程并应用数学归谬法。
5. **证明平方根为质数的无理数性质：**
例如，证明\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt{7}\) 等为无理数。
这可以通过反证法，假设它是有理数，然后导出矛盾。
这些问题都涉及到一些高级的数学知识，通常需要运用代数、数论、分析等多个数学分支的方法。
证明一个数是无理数往往需要使用反证法，也可能需要一些创造性的构造和证明技巧。
无理数判定方法
无理数判定方法
无理数的判定方法如下：
1. 定义法：根据无理数的三种形式进行判断。
例如，无法开方开得尽方的数是无理数，无限不循环小数是无理数。
2. 特殊值法：选取适当的特殊值进行检验，如对于平方根类无理数，可取其算术平方根或0进行检验。
3. 性质法：根据无理数的性质进行判断，例如，无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数。
无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数。
无理数加（减）有理数一定是无理数。
无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数。
4. 运算判别法：通过实数的运算性质来判断，如利用有理数的运算性质，反证无理数的存在。
5. 放缩法：通过放缩法判断一个数是否为无理数。
例如，对于形如√n的开
方类无理数，可通过放缩其范围来判定。
6. 代数法：通过代数法来判断一个数是否为无理数。
例如，对于形如
√n+√m的复杂形式，可通过代数变形来判定。
7. 反证法：通过反证法来判断一个数是否为无理数。
例如，假设一个数为有理数，然后利用有理数的性质进行推导，得出矛盾，从而证明原假设不成立，该数为无理数。
以上方法仅供参考，具体应用时需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。
同时需要注意，判定一个数是否为无理数需要严格按照定义和性质进行判断，不能随意臆断。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种基本的数学证明方法，在初中数学解题中也被广泛应用。
它是一种通过假设引出矛盾来证明某个命题的方法，通常用于证明一些不能直接得到结论的命题。
一、基本思想反证法的基本思想是：如果要证明一个命题P成立，可以假设它不成立，然后推出一个矛盾的结果，从而证明原命题成立。
这样的证明方式可以帮助我们避免直接证明带来的困难，使证明过程更为简单。
二、实例分析1. 证明“根号3是无理数”假设根号3是有理数，则可以写成根号3=a/b（a、b互质），其中a、b都是整数。
平方两边得3=a^2/b^2，从而得到a^2=3b^2。
这说明a的平方是3的倍数，因此a也是3的倍数，即a=3c（c∈Z）。
将其代入a^2=3b^2中得到9c^2=3b^2，即3c^2=b^2，由此可知b 也是3的倍数。
但是a、b是互质的，矛盾！因此假设不成立，根号3是无理数。
2. 证明“在一个无限的等差数列中，任意两个正整数的差都不能是1”假设该等差数列中存在正整数a、b，使得a-b=1。
令等差数列的第一项为c，公差为d，则有a=c+kd，b=c+(k-1)d，其中k是正整数。
带入a-b=1得到d=1，因此等差数列的公差为1。
若d=1，则对于任意正整数，其后面必然至少有一个正整数与之差为1，矛盾！因此假设不成立，证明了该命题。
三、注意事项反证法虽然在初中数学中被广泛应用，但它也存在一些需要注意的细节问题。
1. 假设的前提需要清晰明确。
在运用反证法时，我们需要明确假设的前提是什么，以免出现“抓住了一根草而错过了一个森林”的情况。
2. 矛盾的产生必须严密。
在假设的基础上，我们需要通过一些推理或运算，得到一个相互矛盾的结果，才能证明该命题。
3. 反证法不一定适用于所有问题。
有些问题需要直接证明，反证法并不一定能够得出正确的结果。
4. 其他证明方法的选择需要根据问题的实际情况来决定。
在做题时需要灵活运用不同的证明方法，如归纳法、直接证明等。
证明根号3是无理数 反证法
证明根号3是无理数反证法今天咱们来玩一个特别有趣的数学小探索，就是证明根号3是无理数，咱们用一种很奇妙的方法，叫反证法。
什么是无理数呢？无理数就是那些不能写成两个整数相除的数，就像一个调皮的小数字，怎么都不能规规矩矩地用整数的除法表示出来。
那咱们就开始证明根号3是这样调皮的无理数吧。
咱们先假设呀，根号3是有理数。
这是什么意思呢？就是说根号3可以写成一个分数，就像a/b这样，这里的a和b都是整数哦，而且a和b不能再约分了，就像3/4这样，已经是最简的分数形式了。
那按照咱们的假设，根号3 = a/b。
然后呀，咱们把这个等式两边都平方一下，就得到3 = a²/b²，再变一变，就成了a² = 3b²。
这时候咱们来想想这个a²。
a是个整数，那a²就是一个整数乘以自己。
比如说2² = 4，3² = 9，这些整数的平方都有自己的特点呢。
那对于a² = 3b²这个式子，这就说明a²是3的倍数。
那什么样的整数的平方会是3的倍数呢？咱们可以举个例子，像6，6是3的倍数，6² = 36，36也是3的倍数。
如果a²是3的倍数，那a肯定也是3的倍数哦。
咱们可以想象a就像一群小方块，如果这些小方块能组成一个大正方形（也就是a²），而且这个大正方形的数量是3的倍数，那这个大正方形的边长（也就是a）肯定也是3的倍数啦。
既然a是3的倍数，那咱们就可以说a = 3k，这里的k也是一个整数。
把a = 3k代入到a² = 3b²里，就得到(3k)² = 3b²，算一算就是9k² = 3b ²，再变一变就成了b² = 3k²。
你看，这个式子是不是和之前的a² = 3b²很像呀？按照之前的推理，那b也得是3的倍数呢。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、假设(√3)是有理数。
∵ 1＜3＜4
∴(√1)＜(√3)＜(√4)
即：1＜(√3)＜2
∴(√3)不是整数.
∵整数和分数也统称为有理数，而(√3)不是整数。
∴在假设“(√3)是有理数”的前提下，(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数。
此时假设(√3) = m/n(m、n 均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除 1 外再无公因数)。
两边平方，得：m² / n² = 3
∴m² 是质数 3 的倍数。
我们知道，如果两个数的乘积是 3 的倍数，那么这两个数当中至少有一个数必是3 的倍数。
∴由“m² (m 与 m 的乘积) 是质数 3 的倍数”得：正整数 m 是 3 的倍数。
此时不妨设 m = 3k(k 为正整数)
把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ,得：(9k²) / n² = 3
∴3k² = n²
即：n² / k² = 3
对比“m² / n² = 3“ 同理可证
正整数 n 也是 3 的倍数。
∴正整数 m 和 n 均为 3 的倍数。
这与“m、n 均为正整数且互质”相矛盾。
意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论。
∴原假设“(√3) = m/n(m、n 均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除 1 外再无公因数)”是不成立的。
∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数。
而已证(√3) 不是整数。
∴(√3) 既不是整数也不是分数，即(√3) 不是有理数。
∴(√3) 是无理数。
2、假设根号3 是有理数。
有理数可以写成两个整数的比。
且经过有限次约分后成为最简分数，即分子分母互质。
设根号3=p/q
p 和 q 都是整数且互质。
两边平方
3=p^2/q^2
p^2=3q^2
则 p^2 能被 3 整除。
所以 p 也能被 3 整除。
设 P=3m
9m^2=3q^2
q^2=3m^2
所以 q^2 能被 3 整除。
所以 q 也能被 3 整除。
这和 p 和 q 互质矛盾。
所以根号 3 不是有理数，是无理数。