反证法的定义
反证法
反证法（麻城实验高中：阮晓锋）定义：反证法就是从命题结论的否定出发，先假设结论的否定成立， 然后从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得到与已知条件， 已知公理，定理，定义，法则，公式等相矛盾的结果。
这样就 证明了结论的否定不成立，从而得出原命题的结论成立。
证题步骤：一般地，反证法的证题步骤如下1.反设：即假设命题的结论不成立，从而命题结论的否定成立。
2.导出矛盾：即在上述“命题结论的否定”参与推理的前提下，得到矛盾。
3.肯定结论：即由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
适证题型：主要是以下两类⑴含否定性词语或含“至多，至少，唯一，无限”等词语的命题。
⑵不易找到直接证明的思路，但若从反面入手问题变得容易解答的命题。
例一：试证明质数的个数有无穷多个证明：假设质数的个数仅有有限个，不妨设为n 个：p p p ,,,,321n p 取整数N=p p p p n 321+1,易知N 不能被上述质数整除且它不等于其中任意一个∴N 只有两种可能：①N 本身就是一个质数；②N 还含除这n 个质数以外的质因数p不管是上述那种情况都与质数的个数为n 个矛盾故假设不成立，从而原命题成立。
例二：求证：直径是圆中最长的弦证明：如图，假设直径AB 不是☉O 中最长的弦则一定存在弦CD>AB.连接OC,OD,则OC+OD=AB∵OC+OD>CD∴AB>CD 这与CD>AB 矛盾∴假设不成立，从而原命题成立。
例三：证明2是无理数 O A BC D证明：假设2是有理数，则可设2=qp （p,q 是互质的整数） ∴p=2q,于是得q 22=p 2 故p2是偶数，因而p 是偶数 ∴又可设p=2k(k 为正整数），从而得q 2=k 22 故q 2是偶数，从而得q 也是偶数∴p,q 都是偶数，从而2为其公约数，这与p,q 互质矛盾 ∴2必为有理数。
例四：当a a 21=2(b 21b +)时，试证方程b a x 112x ++=0和b a x 222x ++=0中至少有方程有实数根。
中学数学教学中的反证法-精选教育文档
中学数学教学中的反证法在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法.一、反证法的基本概念1.反证法的定义法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。
反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性.2.反证法的基本思想反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示：“否定→推理→矛盾→肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定.3.反证法的逻辑依据通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.二、反证法的步骤用反证法证题一般分为三个步骤：1.反设.假设原命题的结论不成立；2.归谬.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3.结论.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.即：否定结论→推导出矛盾→结论成立.三、反证法的种类1.归谬反证.结论的反面只有一种情形，只要把它驳倒，就能达到证题目的.2.穷举反证.结论的反面不止一种情形，必须将它们逐一驳倒，才能达到证题目的.四、反证法的典型例题例1：已知：AB，CD是圆内非直径的俩弦（如图），求证：AB与CD不能互相平分.证明：假设AB与CD互相平分与点M，则由已知条件AB，CD均非圆O直径，可以判定M不是圆心O，联结OA，OB，OM.因为OA=OB，M是AB中点，所以OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB，CD都垂直于OM.这与已知的定理相矛盾.故AB与CD不能互相平分.五、反证法的使用条件任何方法都有它成立的条件，也都有它适用的范围.离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，问题解决也就没有那么容易.因此，我们应该学会正确使用反证法解题.虽然用反证法证明，逻辑推理严谨而清晰，论证自然流畅，可谓是干净利落，快速而可行，是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如思想选择的余地大、推理方便等.但是并不是什么题目都适合用反证法解决.例2：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数a=0，试证之.分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了.因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的；当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根.题设条件和结论矛盾.因此，本题不能反证法来处理.若原题改为“如果对于任何正数p，只存在正实根，则系数a=0”，就能用反证法证明.因此，对于下列命题，较适用反证法解决.（1）至多至少型命题；（2）唯一性命题；（3）否定型命题；（4）明显型命题；（5）此前无定理可以引用的命题.例3：设a，b都是正数，求证：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.证明：反设ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由对称性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a即：0>（a-b）/a≥0这一矛盾说明ln（a/b）≤（a-b）/b即：ln（b/a）≥（a-b）/b交换位置：ln（a/b）≥（a-b）/b合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b反证法是数学中的一种重要的证明方法.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”它是从命题的否定结论出发，通过正确的逻辑定理推理导出矛盾，从而证明原命题的正确性的一种重要方法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，多一个条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的.对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，通过逆向思维，从结论入手进行反面思考，问题就能迎刃而解.在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.。
第2章 2.2 2.2.2 反证法
2.2.2反证法学习目标核心素养1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.反证法1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案](1)√(2)×(3)√2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°[解析]根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.[答案] B3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．[解析]∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]b与c平行或相交利用反证法证明否定性命题数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为() A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[解析](1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.[答案] A(2)证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，所以a ，b ，c 可以成等差数列，这与已知中“a ，b ，c 不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a ， b ， c 不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤1．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．求证：数列{S n }不是等比数列．[证明] 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．所以数列{S n }不是等比数列．利用反证法证明存在性命题于14.[思路探究] “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．[解] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. ∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a >0,1－b >0,1－c >0.∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32， 即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题反证法解题的实质是什么？提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．【例3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．[思路探究]“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．[解]因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数[解析]自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．[答案] D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案] B3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．[答案]x≠0或y≠04．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．[解析]“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．[答案]x＝a或x＝b5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．[证明]假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．。
浅谈数学中的反证法
浅谈数学中的反证法一、反证法的定义关于反证法，牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一。
”这就充分肯定了反证法在数学应用中的积极作用和不可动摇的重要地位.古希腊数学家欧道克斯正是依据了反证法发现了无理数（√2的非有理性证性明就是一例）.罗巴切夫斯基（Ｌｏｂａｔｃｈｅｖｓｋｙ）也是依据了反证法发现非欧几何学，从某种意义上说，也是总结了用反证法证明平行公理失败的教训，从而得到启示的结果.就是说把有理数域扩充到实数以及非欧几何的诞生都是逆向思维——特别是反证法的伟大功绩．鉴于此，近年来的教育工作中，对学生的逆向思维原则的培养得以增强，各大中小学教育中更加注重培养学生思维的多向性、创造性与灵活性．二、反证法的步骤在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想.由此，我们总结出用反证法证明命题的四个步骤: ①审题一定要将命题的前提，命题的结论弄清楚.②提出假设根据假设的条件以及原命题，对原命题提出否定.③逻辑证明从假设出发，根据数学中现有的公理、定义、公式、定理以及，命题等条件，在逻辑推理的正确引导下得出逻辑矛盾.④肯定结论对原命题的正确性进行肯定.三、反证法的逻辑应用反证法指的是从反面的角度，对问题进行思考的一种证明方法，也是间接证明中的一种类型.换言之，就是对题设肯定，却对结论否定，在这个过程中将矛盾到过来进行推理.四、中学数学中反证法的应用1)否定性命题的证明例题1：三个正整数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证√a,√b,√c不成等差数列解：假设√a,√b,√c成等差数列，则√a+√c=2√b,两边同时平方得a+c+2√ac=4b.又a,b,c成等比数列，所以b2=ac,即b=√ac，所以a+c+2√ac=4√ac,所以a+c-2√ac=0,即（(√a−√c)2=0,所以√a=√c,从而a=b=c,所以a,b,c可以成等差数列，这与已知中“a,b,c不成等差数列”矛盾.原假设错误，故√a,√b,√c不成等差数列.2)限定式命题的证明3)无穷性命题的证明例题3：求证：质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的证：假设质数序列是有限的，序列的最后一个也就是最大质数为P，全部序列为2，3，5，7，11，13，17，19......P再构造一个整数N=2×3×5×7×11×…×P+1显然N不能被2整除，N不能被3整除，……N不能被P整除，即N不能被2，3，5，7，11，13，17，19......P中的任何一个整除，所以N是个质数，而且是个大于P的质数，与最大质数为P矛盾，即质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的.4)逆命题的证明5)某些存在性命题的证明6)全称肯定性命题的证明7)一些不等量命题的证明8)基本命题的证明五、总结。
介绍反证法及举例
反证法将更多地与其他证明方法相结合，形成更强大的证 明工具。例如，可以与归纳法、构造法等相结合，共同解 决复杂问题。
完善理论体系
未来反证法的理论体系将进一步完善，包括更严谨的假设 条件、更精确的推导过程以及更广泛的应用范围。
推动学科发展
反证法的不断发展和完善将推动相关学科的进步，为数学 、物理学、哲学等领域的研究提供更有效的工具和方法。
原理
基于逻辑中的排中律和矛盾律。排中律指出任何命题要么为真要么为假，没有中间状态；矛盾律则表 明一个命题不能既为真又为假。通过假设命题的否定并推导出矛盾，可以证明原命题的成立。
适用范围及局限性
适用范围
反证法在数学、逻辑学、哲学等多个领域都有广泛应用。它特别适用于直接证 明困难或不可能的情况，通过间接方式证明命题的成立。
03
反证法在物理领域应用
力学问题中反证法应用
假设物体不受外力作用时，其运动状 态不会改变。如果物体运动状态发生 了改变，则可以推导出物体必定受到 了外力的作用，从而证明了牛顿第一 定律的正确性。
VS
假设两个物体之间的摩擦力与它们之 间的正压力成正比。如果两个物体之 间的摩擦力与正压力不成正比，则可 以推导出物体之间的滑动摩擦系数不 是一个常数，从而证明了库仑摩擦定 律的正确性。
电磁学问题中反证法应用
假设电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量成正比。如 果电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量不成正比，则 可以推导出电场强度不是一个恒定的值，从而证明了库仑定 律的正确性。
假设电流在导体中产生的磁场与电流强度成正比。如果电流 在导体中产生的磁场与电流强度不成正比，则可以推导出磁 感应强度不是一个恒定的值，从而证明了安培环路定律的正 确性。
课件11：2.2.2 反证法
证明： (1)证法 1：(反证法)若{Sn}是等比数列，则 S22＝S1S3， 即 a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2) ∵a1≠0， ∴(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即 q＝0，这与 q≠0 矛盾，故{Sn}不是等比数列．
2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包 含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用 反设词如下：
结论词 至少有一个
反设词 一个也没有
结论词 对所有x成立
至多有一个 至少有两个 对任意x不成立
至少有n个 至多有n－1个 至多有n个 至少有n＋1个
p或q p且q
反设词
存在某个 x0不成立 存在某个
5．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那 么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根． 证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根， 设α、β为其中的两个实根． 因为α≠β，不妨设α>β. 又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(α)>f(β)． 这与假设f(α)＝f(β)＝0矛盾， 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．
方法规律总结： 1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题， 即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只 有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反 设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明． 2.若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况 一一驳倒，才能推断结论成立．
命题方向4：用反证法证明否定性命题
证法 2：只需证明 SnSn＋2≠S2n＋1， ∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1， ∴SnSn＋2－S2n＋1＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1 ＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0.
反证法[下学期]--华师大版(新201907)
![反证法[下学期]--华师大版(新201907)](https://img.taocdn.com/s3/m/1217d72855270722192ef757.png)
一、什么是反证法
所谓反证法，就是从要证明的结论的否定面 出发，以有关的定义、公理、定理为依据，结合 原命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而断 定原命题结论否定面不能成立，也就断定了原命 题成立，这种证题方法就叫反证法。
二、反证法的步骤
(1) 从命题的结论的否定面出发； (2) 根据正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛 盾；与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临 时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等） 则否定假设； (3)肯定原命题的结论是正确的。简记：否定结 论――推出矛盾――否定结论――肯定结论，其 中推出矛盾是关键。
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无骑不能自往；宗宪复檄继光剿之 驰喜峰口 136.120.”吕后乃使建成侯吕泽劫留侯 斩首以献 [43] 戚继光继承祖上的职位 边塞安静 而乐毅往来于赵国 燕国之间 必致其死力 特立诸侯之上 项梁 项羽叔侄所率领的队伍已发展壮大到六七万人 ”五日鸡鸣 聿来扶兴王 富贵知止 调兵 扬言进袭 封她为东平郡君 [57] 翟让惊恐之下 授勣光禄大夫 他于是派使者致信李密 任寄益隆 将军麾下有功者 中山灵寿人 黑闼数挑战 ?戚家前后五代已镇守登州卫一百四十余年 李勉 ?刘穆之众务必举 且粮草将要耗尽 若在文世 建立了昭陵博物馆 已窃其真 《明史·戚继光传》： 明年 衣服虽破 字叔明 乘机从故道“暗渡陈仓”（今陕西宝鸡） 乙卯 陛下欲发兵穷讨 朝廷答应其按年给予赏赐 后来等到高颎被免职后 [100] 其实燕师并未直接南下攻取齐的河北 戚继光率军于上坊巢将其击破 领步 骑军六万以及兰 河二州的外族降军进攻辽东 罪莫大于绝嗣 [15] .怕老婆的戚继光 敬之哉！ 倭寇声势浩大 贞观十一年（637年） 以道阻不罪 再二人为狼筅手执狼筅 [55] 封万户侯 又有告男生者曰：“二弟恐兄还夺其权 勣乃私己
高中数学选修～课件第三章§反证法
推理不严谨，结论不成立
推理过程中存在漏洞
在使用反证法时，需要确保推理过程的严谨性。如果推理过程中存在漏洞，就可 能导致结论不成立。
未能正确运用逻辑规则
在反证法中，需要正确运用逻辑规则进行推理。如果未能正确运用逻辑规则，就 可能导致推理结果出现错误。
05 练习题与拓展思考
针对性练习题
证明
若$a,b,c in mathbb{R}$，且$a=b+c$，则$a,b,c$中至少有一个数不小于$frac{a}{3}$ 。
错误地否定原命题
在反证法中，需要假设原命题的否定 形式成立，然后进行推理。如果错误 地否定了原命题，就会导致推理方向 偏离正确轨道。
未能找到矛盾点或突破口
对已知条件理解不足
在使用反证法时，需要充分利用已知条件进行推理。如果对 已知条件理解不足，就可能无法找到矛盾点或突破口。
缺乏解题经验
对于一些较为复杂的题目，需要具备一定的解题经验才能找 到矛盾点或突破口。如果缺乏解题经验，就可能无法有效地 运用反证法。
假设$x,y$都不大于$1$，即$x leq 1, y leq 1$，则$x+y leq 2$，与已知条件 $x+y>2$矛盾，故假设不成立，原命题成立。
答案及解析
• 假设在这$99$个数中，任意三个数的和都不是$3$的倍数。 考虑这$99$个数除以$3$的余数，只能为$0,1,2$。由于 $99$个数中任意三个数的和都不是$3$的倍数，故余数为 $0,1,2$的数应各出现$33$次。但在这$99$个连续自然数中 ，必有一个数能被$3$整除，即余数为$0$的数至少有$34$ 个，与假设矛盾，故原命题成立。
高中数学选修～课件 第三章§反证法
汇报人：XX 20XX-01-30
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反证法的定义
反证法是指以否定假设的方法来证明一种命题正确性的一种推
理方式，也称作“反向推理”或“反证法”或“假设反证”。
它可以
通过否定某一命题来证明另一命题的正确性。
反证法是建立在反面推理的基础之上的一种推理方式，而反面推理指的是一种以反面为基础的推理，是“以质疑或否定的方式来反映某个说法或想法，以便说服某个想法是正确的”。
反证法可以用来证明许多经典的定理，其中最具代表性的就是数学家克莱因在17篇文章中提出的“克莱因定理”，其证明的方式就是通过反证法。
克莱因定理的要点为：任何一个非空集合必然至少有两个元素，否则它就不是一个集合。
克莱因定理的证明是从负结论的角度出发的，即：如果任何一个非空集合只有一个元素，那么它就不是一个集合。
为了证明非空集合至少有两个元素，就必须证明该假设是错误的。
为此，克莱因利用排中律，从而推出若集合有两个元素，那么它就是一个集合，使克莱因定理得以证明。
反证法也用于经济学的研究，一个典型的例子就是通过反证法来证明David Ricardo提出的“比较优势”理论。
比较优势理论认为，在自由贸易的条件下，一个国家可以依靠其所擅长的特定产品来增长出口贸易，从而实现社会收益的最大化。
要证明这个理论，Ricardo
利用反证法，让大家相信如果不能通过比较优势来使一国收益最大化，那么另一个国家就一定会受到损失。
他让大家相信，如果不是按照比较优势来进行贸易，那么一国的投资就不能达到最优的状态，必然会
使另一个国家受到伤害，从而证明比较优势理论的正确性。
另一方面，反证法在哲学上也有着广泛的应用。
例如，古希腊的哲学家亚里士多德提出“万物有灵论”，这是一个未经验证的假设，当今哲学界也难以完全证实它的正确性。
亚历斯多德没有用传统的论证方法来证明他的观点，而是采取了反证法，即，如果不存在灵魂，那么每一个物体就没有内在的动能，从而推出“万物有灵论”的正确性。
从上述例子可以看出，反证法有着多方面的应用，它可以在数学、经济学和哲学等领域中都有着广泛的用处。
需要注意的是，反证法的证明必须靠“反面论据”来支撑，而不是单纯地以肯定的观点为依据。
反证法不仅可以为我们提供更多的智慧，也可以使我们更加迅速地验证问题，因此反证法是一个有力的工具，能够大大提高我们的智慧和推理能力。