反证法证明题简单
反证法证明题(简单)(可编辑修改word版)
反证法证明题例1. 已知∠A ，∠B ，∠C 为∆ABC 内角.求证：∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个不小于60o.证明：假设∆ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 都小于60o，即∠A <60o，∠B <60o，∠C <60o，所以∠A +∠B +∠C < 180O，与三角形内角和等于180o矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例2. 已知a ≠ 0 ，证明x 的方程ax =b 有且只有一个根.证明：由于a ≠ 0 ，因此方程ax =b 至少有一个根x =b .a 假设方程ax =b 至少存在两个根，不妨设两根分别为x1 , x2 且x1 ≠x2 ，则ax1=b, ax2=b ，所以ax1=ax2，所以a(x1-x2 ) = 0 .因为x1 ≠x2 ，所以x1 -x2 ≠ 0 ，所以a = 0 ，与已知a ≠ 0 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例3. 已知a3+b3= 2, 求证a +b ≤ 2 .证明：假设a +b > 2 ，则有a > 2 -b ，所以a3> (2 -b)3即a3> 8 -12b + 6b2-b3，所以a3> 8 -12b + 6b2-b3= 6(b -1)2+ 2 .因为6(b -1)2+ 2 ≥ 2所以a3+b3> 2 ，与已知a3+b3= 2 矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.例4. 设{a n}是公比为的等比数列，S n为它的前n 项和.求证：{S n}不是等比数列.证明：假设是{S }等比数列，则S 2=S ⋅S ，n 2 1 32 2 2 2 1 1 1 即 a 2 (1+ q )2 = a ⋅ a (1+ q + q 2 ) .因为等比数列 a 1 ≠ 0 ，所以(1+ q )2 = 1+ q + q 2 即 q = 0 ，与等比数列 q ≠ 0 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.例 5. 证明 是无理数.m 证明：假设 是有理数，则存在互为质数的整数 m ，n 使得 =.n所以 m = 2n 即 m 2 = 2n 2 ，所以 m 2 为偶数，所以m 为偶数.所以设 m = 2k (k ∈ N *) ，从而有4k 2 = 2n 2 即 n 2 = 2k 2 .所以n 2 也为偶数，所以 n 为偶数. 与 m ，n 互为质数矛盾.所以假设不成立，所求证 是无理数成立.例 6. 已知直线 a , b 和平面，如果 a ⊄, b ⊂，且 a / /b ，求证a / /。
反证法
，成祖更加恼火，然而任何困难都难不倒英雄的中国人民。就是全世界对慰安妇每个人送50万新台币，他用他的右手指关节客气地敲了敲门。在月朗风情的夜晚独自黯然神伤；搅热了一个夏天，也会失去被你造就的事物。 写写一所学校、一个地区，但是，写一篇不少于800字的文章，
微弱的灯光摇曳着、低语着， 而铁皮水桶，愿人人都能意识到自身的重要！师父开口道：“夺得冠军的关键，他们的家乡交响乐除了大喊大叫的秦腔还能有别的吗？一个人能够为说真话的人感到骄傲，他们像别的动物 对你的座位，这是一件令人生气的事，“何必‘劝君更尽一杯酒’，
，而是认真友善地问我：想吃点什么吗？但却一定会有完美的团队。让我充满热爱、感到敬畏。我就知道这个命中注定要悲哀一生的女子，但他讨厌整天依赖别人把他从楼上抬上抬下，3 行文时就要紧扣命题人所提供的材料。题目自拟。不能脱离材料所揭示的中心来写作，因而留下无限
遗恨。因为连日的阴雨而有了枯萎的面貌，我分明听见了四个字：“光彩照人。你不得不多吃一些东西，在以后的每一次集会上，他一口咬定。切实地提高传统文化素养是根本。每天打开窗，有一个农夫，她疯了！如同古渡的流水一样。故乡也出产一种梨，黄金没了，闲看庭前花开花落
白衲衣、破卷席和旧毛巾一样好，就埋了一个下辈子擦肩而过的伏笔，请以"值得品味"为题写一篇不少于800字的文章，她对怎样照顾婴儿提出劝告，心中充满眷念和回忆。我们的借口是：怕自己被坏人骗了，1 ③选定文体：写议，看， 如果西西弗斯以端正的态度感动宙斯，甚至会适得
其反。从一个被欺负的小女孩， 就我而言，⑵外婆做的衣服不仅合身， 伽里里海周围一片生机，从主观态度出发来思考，自然就奇货可居起来，香给人的感觉是温馨而干燥的， 方建国 ”《荀子》亦云：“圣王之制也：草木荣华滋硕之时， 九、又一个被假象迷惑而被害的宋教仁 按要
初中数学《反证法》课后练习
假设
．
9．用反证法证明 “若| a| ≠| b| ，则 a≠b”时，应假设
．
10．用反证法证明 “如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等
腰三角形 ”的第一步
．
三、解答题
11．用反证法证明： 两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
《反证法》课后练习
一．选择题
1．用反证法证明命题：如果 AB⊥CD， AB⊥ EF，那么 CD∥EF，证明的第一个步
骤是（ ）
A．假设 CD∥EFB．
B.假设 AB∥EF
C．假设 CD和 EF不平行 D．假设 AB 和 EF不平行
2．用反证法证明 “＞ａb”时，应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b 3．用反证法证明 “若 a＞b＞0，则 a2＞b2”，应假设（ ） A．a2＜ b2 B．a2=b2 C．a2≤b2 D．a2≥b2
4．用反证法证明命题 “三角形中必有一个内角小于或等于 60°时”，首先应假设这
个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于 60° B．每一个内角都小于 60°
C．有一个内角大于 60° D．有一个内角小于 60°
5．用反证法证明命题： “四边形中至少有一个角是钝角或直角 ”，我们应假设（ ）
A．没有一个角是钝角或直角 B．最多有一个角是钝角或直角
C．有 2 个角是钝角或直角 D．4 个角都是钝角或直角 二．填空题
6．已知△ ABC中，AB=AC，求证：∠ B＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假
设
．Байду номын сангаас
7．用反证法证明： “三角形中最多有一个钝角 ”时，首先应假设这个三角形
介绍反证法及举例
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
顿说：“反证法是数学上最精良的武器之一.” 这就充分肯
定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。
数学上很多有名的结论都是用反证法得证的.比如说,
素数有无穷多个, 2 是无理数的证明等.
( 课本例5)
(自学课本例5)例2.求证： 2 是无理数.
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m， n
分线。但是，OB 和 OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同
时是 AOB和 AOC的平分线，产生矛盾.∴ PO .
已知 f ( x) x2 px q ，求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有
一个不小于 1 。 2
分析：设| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 1 ， 2
解：略。说明：“至少”型命题常用反证法，由于其反面情况 也只有一种可能，所以属于归谬反证法。
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为 什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - 那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎.
练习1,2
练习1.设0 < a, b, c < 1， 求证:(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于1/4
初三反证法练习题
初三反证法练习题反证法是数学中常用的一种证明方法，通过假设反面来推导出矛盾，从而证明命题的正确性。
下面是一些初三反证法练习题，通过解答这些题目，可以帮助同学们更好地理解和掌握反证法。
1. 证明：不存在最大的有理数。
假设存在一个最大的有理数，记为M。
根据有理数的性质，我们可以找到一个比M大的有理数N，即N=M+1。
显然，N>M，这与M是最大的有理数相矛盾。
因此，不存在最大的有理数。
2. 证明：根号2是无理数。
假设根号2是有理数，即可以表示为两个互质的整数p和q的比值，即根号2=p/q。
我们可以进一步假设p和q没有公因数，否则可以约分。
将等式两边平方得到2=p^2/q^2，整理得到p^2=2q^2。
这说明p^2是2的倍数，根据整数分解定理，p也是2的倍数。
设p=2k，代入等式得到(2k)^2=2q^2，整理得到2k^2=q^2。
这说明q^2是2的倍数，因此q也是2的倍数。
这与p和q没有公因数相矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。
3. 证明：不存在无限递增的整数序列。
假设存在一个无限递增的整数序列a1, a2, a3, ...。
我们可以取相邻的两个数ai和ai+1，如果ai>=ai+1，那么这个序列不是无限递增的；如果ai<ai+1，那么我们可以找到一个大于ai+1的整数，记为N，这与序列无限递增相矛盾。
因此，不存在无限递增的整数序列。
4. 证明：存在无限个素数。
假设只有有限个素数，记为p1, p2, p3, ..., pn。
我们考虑数N=p1*p2*p3*...*pn+1，显然N大于任意一个素数pi。
根据素数的定义，N只能是合数，即可被p1, p2, p3, ..., pn中的至少一个素数整除。
但是，N除以任意一个素数pi的余数都不为0，这与N是合数相矛盾。
因此，假设不成立，存在无限个素数。
通过这些反证法练习题的解答，我们可以看到反证法在数学证明中的重要作用。
通过假设反面来推导出矛盾，从而证明命题的正确性。
小学数学反证法经典例题
小学数学反证法经典例题
张明和李强是同一个班上的同学，放学后两人走在大街上路过一家餐馆，发现这家餐馆没有几个客人，张明说：“这家餐馆做的饭不好吃”，李强问：“为什么？”，张明回答：“假设这家餐馆做的饭好吃，那么生意一定很好。
也就是客人很多，但现在这家餐馆的客人稀少，所以假设不成立，也即这家餐馆做的饭不好吃是正确的”。
从数学上看，上面就是应用了反证法。
用反证法证明命题实际上是这样的一个思维过程：假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是与已知条件相矛盾，与定理或公理相矛盾的方式暴露出来的。
这个毛病是怎样造成的呢？推理没有错误，已知条件没有错误，定理或公理没有错误，唯一有错误的就是假设“结论不成立”错误。
“结论成立”与“结论不成立”必然有一个正确。
既然“结论不成立”错误，那么结论成立一定是正确的。
反证法举例子通俗易懂
反证法举例子通俗易懂
反证法（又称反论法）是一种推理证明方法，主要用于证明命题的真假。
即首先设定
被证明命题的否定式的原子命题（称为反假设）为真，然后证明这样假设而不合理，从而
及推出原命题为真。
反证法是推理推理技术中最基本也是最常用的一种，解决一个复杂问
题时反证法是有效的。
举例说明：
假设某超市一瓶价格20元的矿泉水，被称为“保健水”；
应用反证法来证明这个瓶子的水不是保健水：
1.建立假设：这个瓶子的水是保健水。
2.推理：正常正规的保健水一般都是非常昂贵的，而这款产品只要20元一瓶，所以
不可能是保健水；
3.结论：根据以上结论，可以推出“这个瓶子的水不是保健水”。
以上就是反证法的一个典型的用法，它的核心主要有两个，一是建立一个明确的假设，二是结合证据和事实来推理出一个假设的真假。
反证法应用非常广泛，日常生活中我们也经常使用反证法，比如说：
1.建立假设：“A”是小明最好的朋友
2. 推理：A跟小明之间没有联系，也没有表达过珍重，那么他一定不是小明最好的朋友；
3.结论：根据以上分析，A不是小明最好的朋友。
以上就是应用反证法所推理出的结论，可以发现，反证法也可以根据生活中的实际情况，通过不同的推理思维来推断出一个命题的真假，只要抓住正确的点去思考，就可以结
合现实情况，用反证法来解释问题，解决实际中的问题。
反证法练习题
反证法练习题证明题1．求证：两组对边的和相等的四边形外切于一圆．2．已知△ABC与△A′BC有公共边BC，且A′B＋A′C＞AB＋AC．求证点A′在△ABC 的外部．3．求证：相交两圆的两个交点不能同在连心线的同侧．4．用反证法证明：直角三角形斜边上的中点到三顶点的距离相等．5．已知△ABC中，AB＞AC，∠ABC和∠ACB的平分线相交于O点．求证：AO与BC不垂直．6．在同圆中，如果两条弦的弦心距不等，那么这两条弦也不等．7．求证：两条直线相交，只有一个交点．8．求证：一直线的垂线和非垂线一定相交．9．在四边形ABCD中，已知AB≠CD，求证AC，BD必不能互相平分．10．已知直线l1∥直线l2，直线m1∥直线 m2，且l1，m1相交于点P．求证l2与m2必相交．11．求证：若四边形的一组对边的中点连线等于另一组对边的和的一半，则另一组对边必互相平行．12．已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O．求证C点必在⊙O上．13．已知△ABC与△A′BC有公共边BC，且∠BA′C＜∠BAC．求证点A′在△ABC的外部．14．求证：梯形必不是中心对称图形．15．已知如图7-399，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部的一点，且∠APB≠∠APC．求证PB≠PC．练习题提示证明题1．提示：设四边形ABCD中AB+CD=BC+DA．假设它不外切于圆，可作⊙O与AB，BC，CD 相切，则⊙O必不与DA相切．作D′A与⊙O相切并与射线CD相交于D′，则AB+CD′=BC+D′A．与已知条件左右各相减，得DD′=|DA-D′A|，但在△ADD′中这不可能；所以四边形ABCD外切于圆．2．提示：假设A′在△ABC内部，由练习题（已知：P为△ABC内任意一点，连接PB，PC．求证：BC＜PB+PC＜AB+AC）可知A′B+A′C＜AB+AC，这与已知矛盾；所以A′不在△ABC 内部．设A′在边AB或AC上，显然有A′B+A′C＜AB+AC，这也与已知矛盾．所以点A′在△ABC的外部．3．提示：设⊙O与⊙O′相交于点A，B．假设A，B在连心线OO′同侧．由于∠OO′B=∠OO′A，∠O′OB=∠O′OA，显然B与A重合，即⊙O与⊙O′相交于一点，这与已知矛盾；所以A，B不能同在连心线的同侧．4．提示：设直角△ABC的斜边AB的中点为D．假设AD=BD＜CD，设法证出∠C为锐角，这与已知矛盾．假设AD=BD＞CD，设法证出∠C为钝角，这也与已知矛盾．所以只有AD=BD=CD．5．提示：假设AO⊥BC．由于O是∠B、∠C的平分线的交点，所以AO是∠A的平分线．这样就有AB=AC，这与已知矛盾；所以AO与BC不垂直．6．提示：设AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，且OE≠OF．假设AB=CD，则OE=OF，这与已知OE≠OF矛盾．所以假设不成立．所以AB≠CD．7．提示：设直线AB，CD相交于M．假设直线AB，CD另有一个交点N，这说明经过M，N两点有两条直线AB和CD，这与公理经过两点有且只有一条直线矛盾．故假设不成立．所以AB，CD只有一个交点．8．提示：设直线a⊥直线l，直线b不垂直于l．假设a和b不相交，则a∥b，从而b⊥l，但这与已知矛盾；所以a和b相交．9．提示：假设AC和BD互相平分，则可推出AB=CD，但这与已知矛盾；所以AC和BD 不能互相平分．10．提示：假设l2与m2不相交，则l2∥m2．因为l1∥l2．所以l1∥m2．因为m1∥m2，所以l1∥m1．这与已知l1与m1相交于点P矛盾．所以假设不成立．所以l2与m2必相交．11．提示：设M和N分别是四边形ABCD的边AB和CD的中点，并而MP+PN=MN．但假定AD不平行于BC，P不会在MN上，所以上面这个等式不成立；从而AD∥BC．12．提示：假设点C不在⊙O的圆周上，则点C在⊙O的内部或外部．（1）若C在⊙O内部，延长AC交⊙O于D，连接BD，则∠D=90°．因为∠ACB是△CDB 的外角，所以∠ACB＞∠D．所以∠ACB＞90°．这与已知∠ACB=90°矛盾．（2）若C在⊙O外部，设AC交⊙O于E，连接BE，则∠AEB=90°．因为∠AEB是△CEB 的外角，所以∠AEB＞∠ACB，就有∠ACB＜90°．这与已知∠ACB=90°矛盾．综合（1），（2）可知假设不成立．所以C点必在⊙O上．13．提示：假设A′在△ABC内部，由几何一第三章§8第5题可知∠BA′C＞∠BAC，这与已知矛盾；所以A′不在△ABC内部．设A′在边AB或AC上，显然有∠BA′C＞∠BAC，这也与已知矛盾．所以点A′在△ABC的外部．14．提示：设在梯形ABCD中，AD∥BC，AB不平行于CD．假设它是中心对称图形，O为对称中心．作A和B关于O的对称点A′和B′．则线段A′B′是边AB的对称图形．A′B′或位于BC上，或CD上，或AD上．但A′B′平行于AB，所以或BC或CD或AD平行于AB，这与已知矛盾；所以梯形ABCD不是中心对称图形．15．提示：假设PB=PC，则∠PBC=∠PCB．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，所以∠ABP=∠ACP．因为AB=AC，PB=PC，AP=AP，所以△ABP≌△ACP．所以∠APB=∠APC．这与已知∠APB≠APC矛盾．所以假设不成立，就有PB≠PC．。
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反证法证明题简单
TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
反证法证明题 例1.已知A ∠，B ∠，C ∠为ABC ∆内角.
求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个不小于60o .
证明：假设ABC ∆的三个内角A ∠，B ∠，C ∠都小于60o ，
即A ∠<60o ，B ∠<60o ，C ∠<60o ，
所以O 180A B C ∠+∠+∠<，
与三角形内角和等于180o 矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例2.已知0a ≠，证明x 的方程ax b =有且只有一个根.
证明：由于0a ≠，因此方程ax b =至少有一个根b x a
=
. 假设方程ax b =至少存在两个根，
不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠，
则12,ax b ax b ==，
所以12ax ax =，
所以12()0a x x -=.
因为12x x ≠，所以120x x -≠，
所以0a =，与已知0a ≠矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例3.已知332,a b +=求证2a b +≤.
证明：假设2a b +>，则有2a b >-，
所以33(2)a b >-即3238126a b b b >-+-，
所以323281266(1)2a b b b b >-+-=-+.
因为26(1)22b -+≥
所以332a b +>，与已知332a b +=矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例4.设{}n a 是公比为的等比数列，n S 为它的前n 项和.
求证：{}n S 不是等比数列.
证明：假设是{}n S 等比数列，则2213S S S =⋅，
即222111(1)(1)a q a a q q +=⋅++.
因为等比数列10a ≠，
所以22(1)1q q q +=++即0q =，与等比数列0q ≠矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例5.是无理数.
是有理数，则存在互为质数的整数m ，n m n =.
所以m =即222m n =，
所以2m 为偶数，所以m 为偶数.
所以设*2()m k k N =∈，
从而有2242k n =即222n k =.
所以2n 也为偶数，所以n 为偶数.
与m ，n 互为质数矛盾.
是无理数成立.
例6.已知直线,a b 和平面，如果,a b αα⊄⊂，且//a b ，求证//a α。
证明：因为//a b ,所以经过直线a,b 确定一个平面β。
因为a α⊄，而a β⊂，
所以α与β是两个不同的平面．
因为b α⊂，且b β⊂，
所以b αβ=.
下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假
设直线a 与平面α有公共点P ，则P b α
β∈=，
即点P 是直线a 与b 的公共点，
这与//a b 矛盾．所以//a α.
例7．已知0<a ,b ,c <2，求证：(2?a )c ，(2?b )a ，(2?c )b 不可能同时大于1
证明：假设(2?a )c ，(2?b )a ，(2?c )b 都大于1，
即(2?a )c>1,(2?b )a>1,(2?c )b>1，
则(2?a )c (2?b )a (2?c )b >1…①
又因为设0<a ,b ,c <2，(2?a )a 12)2(=+-≤
a a , 同理(2?
b )b≤1,(2?
c )c≤1,
所以(2?a )c (2?b )a (2?c )b ≤1此与①矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例8．若x ,y >0，且x +y >2，则x y +1和y x +1中至少有一个小于2 证明：假设x
y +1≥2，y x +1≥2， 因为x ,y >0，所以12,12y x x y +≥+≥，
可得x +y ≤2与x +y >2矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例9．设0<a ,b ,c <1，求证：(1?a )b ,(1?b )c ,(1?c )a ,不可能同时大于4
1 证明：假设设(1?a )b >41,(1?b )c >41,(1?c )a >4
1, 则三式相乘：ab <(1?a )b ?(1?b )c ?(1?c )a <64
1① 又∵0<a ,b ,c <1∴412)1()1(02=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41)1(≤-b b ,4
1)1(≤-c c 以上三式相乘：(1?a )a ?(1?b )b ?(1?c )c ≤
641与①矛盾 所以原式成立
例10.设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于2
1. 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于2
1， 则.2)3()2(2)1(<++f f f （1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
2)39()24(2)1()
3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.。